Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретико-числовые методы в криптографии и криптопротоколах. Учебное пособие.pdf
2) а)
23
2
111xy y x+=+
( ) ( )
22 22
110 ,110 , 100 ,011PQ
23 2
22
011 100xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
010 ,010 , 001 ,010PQ
23 2
2
010xy y x x+=+
(
) (
)
22 2 2
100 ,011 , 010 ,010PQ
23 2
22
100 100xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
011 ,000 , 011 ,011PQ
23 2
22
111 100xy y x x+=+ +
(
) (
)
22 2 2
010 ,101 , 101 ,110PQ
23 2
22
011 111
xy y x x+=+ +
(
) ( )
22 22
111 ,111 , 000 ,101PQ
23 2
22
100 101xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
111 ,111 , 100 ,101PQ
23 2
22
001 101
xy y x x+=+ +
( )
(
)
22 22
110 ,110 , 101 ,100PQ
23 2
22
110 101xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
001 ,100 , 001 ,100PQ
23 2
22
001 100xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
001 ,110 , 010 ,001PQ
23 2
22
001 010xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
000 ,110 , 001 ,100PQ
23 2
22
010 010xy y x x
+=+ +
(
) ( )
22 22
100 ,100 , 111 ,001PQ
23 2
22
011 011xy y x x+=+ +
( )
( )
22 2 2
011 ,101 , 100 ,110PQ
23
2
100xy y x+=+
( ) ( )
22 22
011 ,000 , 011 ,011PQ
23 2
22
111 110xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
111 ,001 , 111 ,001PQ
23
2
100xy y x+=+
( ) ( )
22 22
111 ,110 , 110 ,100PQ
23
2
110xy y x+=+
( )
( )
22 22
010 ,110 , 011 ,001PQ
23 2
22
111 100xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
001 ,100 , 001 ,101PQ
23 2
22
011 100xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
101 ,000 , 010 ,000
PQ
23 2
2
001xy y x x+=+
( ) ( )
22 2 2
111 ,101 , 011 ,100PQ
23
2
111xy y x+=+
( ) ( )
22 22
101 ,110 , 001 ,011PQ
23 2
22
011 001xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
111 ,001 , 010 ,110PQ
23 2
22
001 100xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
001 ,110 , 001 ,111
PQ
23 2
22
101 110xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
100 ,000 , 100 ,100PQ
,
;
b)
3) а)
b)
4) а)
b)
5) а)
b)
6) а)
b)
7) а)
,
,
;
,
,
,
,
,
,
,
,
;
;
;
;
;
;
;
;
;
b)
8) а)
b)
9) а)
b)
10) а)
b)
11) а)
b)
12) а)
,
,
,
;
,
,
,
;
;
,
,
,
,
;
;
;
;
;
;
;
b)
13) а)
b)
,
,
,
131
;
;
;
14) а)
23 2
22
110 111xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
000 ,101 , 010 ,011PQ
23
2
110xy y x+=+
(
) ( )
22 22
010 ,110 , 011 ,001
PQ
23 2
2
100xy y x x+=+
( )
(
)
22 22
010 ,100 , 110 ,011PQ
23 2
2
111xy y x x+=+
(
) (
)
22 22
001 ,010 , 011 ,010
PQ
23 2
22
011 110xy y x x+=+ +
(
)
( )
22 22
111 ,010 , 111 ,010
PQ
23
2
010xy y x+=+
( ) ( )
22 22
000 ,110 , 100 ,110PQ
23 2
22
100 011xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 2 2
101 ,001 , 001 ,010PQ
23 2
22
101 100xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 2 2
010 ,110 , 000 ,010PQ
23
2
010xy y x+=+
( ) ( )
22 22
101 ,001 , 101 ,001PQ
23 2
2
101xy y x x
+=+
( ) ( )
2 2 22
101 ,000 , 001 ,111PQ
23 2
22
100 100xy y x x+=+ +
( )
(
)
22 22
011 ,010 , 011 ,010
PQ
23 2
22
111 001xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 2 2
011 ,101 , 110 ,100PQ
23 2
22
001 100
xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
010 ,001 , 001 ,110PQ
23 2
22
011 110xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 2 2
000 ,111 , 101 ,110PQ
( )
( ) ( )
{ }
2 32
,8 88
, |, ,
ab
EC P xy xy y xy x ax b= ∈× + = + +
[ ]
(
)
3
82
/1xxx++
(
)
,P xy
2 32
22
101 010
xy y x x+=+ +
2 32
22
101 001xy y x x+=+ +
2 32
22
001 101xy y x x+=+ +
2 32
2
001xy y x x+=+
2 32
22
010 101
xy y x x+=+ +
2 32
22
110 101xy y x x+=+ +
2 32
22
101 100xy y x x+=+ +
2 32
22
000 011xy y x x+=+ +
,
;
b)
15) а)
b)
16) а)
b)
17) а)
b)
18) а)
b)
19) а)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
b)
20) а)
b)
5.3.2. Нахождение всех точек эллиптической кривой
,
,
,
;
;
.
Найти все точки и указать порядок не суперсингулярной эллиптиче-
ской кривой
1)
2)
; т. е.
;
;
.
5)
6)
,
;
;
3)
4)
;
;
7)
8)
132
;
;
9)
2 32
22
100 011xy y x x+=+ +
2 32
22
100 011xy y x x+=+ +
2 32
22
100 011xy y x x+=+ +
2 32
22
110 111xy y x x+=+ +
2 32
22
010 101xy y x x+=+ +
2 32
22
010 111xy y x x+=+ +
2 32
22
100 111xy y x x+=+ +
2 32
22
101 001xy y x x+=+ +
2 32
2
001xy y x x+=+
2 32
22
110 111xy y x x+=+ +
2 32
22
000 001xy y x x+=+ +
2 32
22
110 110xy y x x+=+ +
mod
e
ct n
=
1)
731, 601, 169net= = =
;
2201, 599, 46n et
= = =
1537, 1269, 673net= = =
2059, 1517, 1364net= = =
671, 451, 78net
= = =
5893, 2293, 2096net= = =
1349, 1213, 1308net= = =
2077, 1657, 1361net= = =
2923, 1345, 2522net= = =
1147, 409, 398n et= = =
11)
4087, 2963, 2739net= = =
;
731, 341, 717net= = =
377, 25, 323n et= = =
4183, 373, 2327n et= = =
2419, 2277, 1103net
= = =
4183, 3679, 3602net= = =
3149, 2837, 99net
= = =
737, 593, 558net= = =
737, 131, 699n et= = =
2759, 487, 1056n et= = =
;
15)
;
10)
11)
12)
13)
14)
;
;
;
;
;
16)
17)
18)
19)
20)
;
;
;
;
.
6. АСИММЕТРИЧЕСКИЕ КРИПТОСИСТЕМЫ И КРИПТОПРОТОКОЛЫ
6.1. КРИПТОСИСТЕМА RSA
6.1.1. Выполнение процедуры зашифрования
в криптосистеме RSA
Для заданных чисел n, e произвести зашифрование числа t:
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
;
;
;
;
;
;
;
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
.
;
;
;
;
;
;
;
9)
10)
;
;
133
19)
20)
;
.
6.1.2. Выполнение процедуры расшифрования
1)
5893, 5279, 3004nec= = =
;
1633, 1121, 1059nec= = =
5917, 4753, 5565nec= = =
1241, 959, 296n ec= = =
551, 79, 127
n ec= = =
295, 137, 153
nec= = =
4307, 1415, 4855n ec= = =
623, 355, 27nec= = =
377, 211, 277
nec= = =
4189, 439, 1660n ec= = =
11)
177, 79, 77n ec= = =
;
5141, 629, 1498n ec= = =
87, 31, 26
nec
= = =
781, 241, 252nec= = =
305, 59, 34n ec= = =
1739, 907, 838
n ec= = =
295, 115, 152n ec= = =
1541, 1117, 1363nec= = =
923, 499, 84
ne c= = =
235, 117, 118nec= = =
, pq
{
}
12
,cc
83, 2, 79, 31, 38p gy k t= = = = =
31, 3, 2, 9, 2
p gykt= = = = =
23, 5, 15, 15, 17p gy k t= = = = =
67, 2, 43, 15, 32p gy k t= = = = =
67, 2, 63, 3, 10p gy kt= = = = =
89, 3, 17, 68, 41p gy k t= = = = =
в криптосистеме RSA
По известному открытому ключу e, используя малость числа n, рас-
шифровать криптотекст c, т. е. t.
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
;
;
;
;
;
;
;
;
;
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
;
;
;
;
;
;
;
;
.
6.2. КРИПТОСИСТЕМА ЭЛЬ-ГАМАЛЯ
6.2.1. Выполнение процедуры зашифрования
в криптосистеме Эль-Гамаля
Заданы параметры
Гамаля. Произвести зашифрование текста t для выбранного случайного
числа k, т. е.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
.
и открытый ключ y криптосистемы Эль-
;
;
;
;
;
;
134
7)
43, 3, 24, 20, 2p gy k t= = = = =
53, 2, 34, 39, 1p gy k t= = = = =
31, 3, 27, 20, 8p gy k t= = = = =
17, 3, 6, 12, 14p gyk t= = = = =
13, 2, 4, 5, 11p gykt= = = = =
41, 6, 23, 33, 21
p gy k t= = = = =
73, 5, 49, 23, 10p gy k t= = = = =
79, 3, 41, 69, 2p gy k t
= = = = =
97, 5, 28, 90, 263p gy k t= = = = =
71, 7, 32, 2, 44
p gy kt= = = = =
53, 2, 25, 46, 3p gy k t= = = = =
29, 2, 20, 23, 18p gy k t= = = = =
11, 2, 7, 8, 8p gykt
= = = = =
17, 3, 12, 4, 3p gy kt= = = = =
, pq
p
{ }
12
,c cc
=
{ }
29, 2, 4, 6,9p gyc= = = =
{ }
11, 2, 5, 10,8p g yc= = = =
{ }
89, 3, 22, 43,46
p gy c= = = =
{ }
13, 2, 5, 4,12p gyc= = = =
{ }
31, 3, 13, 14,25p gy c= = = =
{
}
29, 2, 27, 14,27p gy c= = = =
{ }
37, 2, 3, 10,34p gyc= = = =
;
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
20)
6.2.2. Выполнение процедуры расшифрования
в криптосистеме Эль-Гамаля
Известны параметры
Гамаля. Пользуясь малостью числа
, т. е. t.
1)
2)
3)
4)
и открытый ключ y криптосистемы Эль-
;
;
;
.
, расшифровать криптотекст
;
5)
6)
7)
;
;
;
135
8)
{ }
37, 2, 29, 27,18
p gy c= = = =
{ }
47, 5, 37, 3,36p gy c= = = =
{
}
97, 5, 96, 67, 2
p gy c
= = = =
{
}
23, 5, 10, 20,9
p gy c
= = = =
{ }
17, 3, 16, 4,11p gy c= = = =
{ }
11, 2, 5, 9,1p gyc= = = =
{ }
73, 5, 34, 71,59p gy c= = = =
{ }
23, 5, 10, 6,8p gy c
= = = =
{ }
11, 2, 6, 6,8p gyc= = = =
{ }
17, 3, 15, 10,5p gy c= = = =
{ }
13, 2, 10, 4,9p gy c= = = =
{ }
43, 3, 37, 19,29p gy c
= = = =
{
}
83, 2, 42, 77,51p gy c= = = =
11, 4pm
= =
{
}
,,θασ
{ }
1
,,
p
CC C=
{
} ( )
(
)
0 1 10
,, ,,
m
mm
pp
b b b b GF p
−−
≡∈
{ } {
} ( )
11 11
5,6,2,2 , 6,1,9,6 , 7,1,4,2,9,5,6,10,3,11,8θ= α= σ=
{ } { } ( )
11 11
7,10,7,3 , 5,7,5,1 , 3,1,10,2,8,9,11,4,7,5,6θ= α= σ=
{ } { } ( )
11 11
4,10,10,3 , 9,3,2,1 , 3,8,2,10,6,11,7,1,5,9,4θ= α= σ=
{ } { } ( )
11 11
9,7,1,6 , 1,9,6,5 , 8,7,11,5,1,3,2,6,4,10,9θ= α= σ=
{ } { } ( )
11 11
0,2,4,0 , 1,6,2,7 , 3,9,7,2,1,11,4,5,6,10,8θ= α= σ=
;
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
20)
.
6.3. КРИПТОСИСТЕМА ХОРА – РИВЕСТА
6.3.1. Вычисление открытого ключа
Для заданных значений параметров
Хора – Ривеста по выбранным секретным ключам
личный ключ
1)
2)
. (Ниже
криптосистемы
вычислить пуб-
).
;
;
3)
4)
5)
136
;
;
;
6)
{ } { } ( )
2,0,10,5 , 3,6,10,2 , 10,11,9,2,6,7,4,5,8,1, 3
θ= α= σ=
{
} {
} (
)
11 11
10,2,0,3 , 9,9,4,8 , 11,5,6,9,4,10,8,2,3,7,1θ= α= σ=
{ } {
} ( )
11 11
6,9,10,10 , 9,1,0,10 , 7,10,8,11,6,3,9,5,1,4,2θ= α= σ=
{ } { } ( )
11 11
8,1,7,8 , 1,9,1,10 , 2,4,6,8,1,3,11,5,9,7,10θ= α= σ=
{ } { } ( )
11 11
2,9,7,6 , 4,0,0,1 , 8,5,6,10,9,7,4,3,11,2,1θ= α= σ=
{ } { } ( )
11 11
2,9,9,4 , 2,9,0,3 , 1,11,7,9, 4,5,3,10,8,2,6θ= α= σ=
{
} { } ( )
11 11
2,10,9,7 , 3,6,10,2 , 7,2,1,9,10,8,3,11,5,4,6θ= α= σ=
{ } { } ( )
11 11
2,2,7,2 , 8,6,1,3 , 2,4,9,5,6,1,10,8,3,11,7
θ= α= σ=
{ } { } ( )
11 11
10,5,2,6 , 3,5,7,10 , 6,7,5,11,8,1,2,4,9,10,3θ= α= σ=
{ } { }
( )
11 11
7,7,3,7 , 5,9,6,6 , 11,3,5,6,2,1,7,4,9,10,8θ= α= σ=
{ } { } ( )
11 11
7,4,9,10 , 9,3,10,7 , 3,8,4,10,7,5,2,9,6,11,1θ= α= σ=
{ } { } ( )
11 11
4,10,2,4 , 4,4,7,4 , 5,9,2,4,8,11,10,7,6,3,1θ= α= σ=
{ } {
} ( )
11 11
7,5,4,8 , 9,3,4,6 , 1,4,3,10,6,9,11,7,2,5,8θ= α= σ=
{ } { }
( )
11 11
7,8,5,6 , 1,6,2,6 , 7,11,10,8,3,6,2,5,9,1,4θ= α= σ=
{ } { }
( )
11 11
6,8,7,1 , 5,4,6,6 , 10,1,3,8,9,7,6,4,5,2,11θ= α= σ=
11, 4pm= =
{ }
,,θασ
crypt
{ } ( )
( )
0 1 10
,, ,,
m
mm
pp
b b b b GF p
−−
≡∈
{ } { } ( )
11 11
4,0,4,2 , 7,5,6,2 , 3,6,10,5,9,4,7,8,11,2,1 , θ= α= σ=
24912crypt =
;
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
17)
18)
19)
20)
6.3.2. Расшифрование криптотекста
Для заданных значений параметров
Хора – Ривеста по выбранным секретным ключам
найти исходный текст, т. е. t. (Ниже мы по-прежнему используем
обозначения
;
;
;
.
криптосистемы
и криптотексту
).
1)
;
137
2)
{
} { } ( )
11 11
9,0,8,5 , 9,4,3,6 , 11,8,4,1,3,2,10,6,5,9,
7 ,
θ= α= σ=
27803crypt =
{ } { } ( )
11 11
5,9,1,5 , 3,3,10,10 , 3,5,4,6,9,8,10,7,2,11,1 , θ= α= σ=
19784crypt =
{ } { } ( )
11 11
8,0,4,7 , 10,6,0,2 , 5,9,6,10,11,1,8,2,4,3,7 , θ= α= σ=
33357crypt =
{ } { } ( )
11 11
8,8,9,8 , 9,4,0,6 , 2,7,9,4,11,8,1,6,10,5,3 ,
θ= α= σ=
27269crypt =
{
}
{ }
(
)
11 11
1,8,4,2 , 8,0,6,3 , 1,4,6,10,7,3,5,9,11,2,8 , θ= α= σ=
48488crypt =
{ } { } ( )
11 11
0,10,7,7 , 5,10,5,2 , 11,1,2,4,7,8,5,9,6,10,3 , θ= α= σ=
36365crypt
=
{ } { } ( )
11 11
3,10,3,6 , 4,5,1,10 , 4,5,10,7,2,1,11,8,9,3, 6 , θ= α= σ=
32687crypt =
{ } { } ( )
11 11
8,8,6,8 , 3,10, 2,9 , 6,2,10,3,11,7,8,9,5,1,4 , θ= α= σ=
23883crypt =
{ } { } ( )
11 11
5,5,2,7 , 10,7,6,7 , 5,2,1,4,8,7,6,3,11,9,10 , θ= α= σ=
35234crypt =
{ }
{ } (
)
11 11
3,9,6,7 , 8,6,0,1 , 5,10,6,4,11,1,7,3,9,8,
2 , θ= α= σ=
23575crypt =
{ } { } ( )
11 11
10,9,9,6 , 10,8,3,2 , 10,5,3,6,7,9,11,4,1,8,2 , θ= α= σ=
22849
crypt =
{ } { }
( )
11 11
8,0,1,1 , 5,0,9,1 , 8,1,5,9,10,7,3,6,4,11,2 , θ= α= σ=
22266crypt =
{ } { } ( )
11 11
10,7,6,3 , 6,7,10,1 , 8,6,4,2,3,10,7,1,11,5,9 , θ= α= σ=
30692crypt =
3)
4)
5)
6)
7)
;
;
;
;
;
8)
9)
10)
11)
12)
;
;
;
;
;
;
13)
;
14)
;
138
15)
{ } { } ( )
11 11
0,3,2,7 , 8,5,9,9 , 8,7,4,10,2,9,5,11,3,6,
1 , θ= α= σ=
45172crypt =
{ } { } ( )
11 11
8,8,6,9 , 8,10,3,4 , 2,11,3,5,9,4,6,10,1,7,8 , θ= α= σ=
33269crypt =
{
} {
} (
)
11 11
3,6,7,1 , 3,2,8,5 , 7,10,3,1,2,6,5,9,8,11,
4 ,
θ= α= σ=
28897crypt =
{
}
{ }
( )
11 11
0,1,3,5 , 8,0,8,9 , 7,11,10,5,6,9,2,1,3,8,
4 , θ= α= σ=
22482crypt =
{ } { } ( )
11 11
9,8,10,3 , 5,3,10,2 , 7,10,5,11,4,8,6,2,1,9,3 , θ= α= σ=
31937crypt =
{
}
{
} (
)
11 11
1,9,3,8 , 0,8,3,6 , 2,4,7,1,5,3,8,10,11,9,
6 , θ= α= σ=
17173crypt
=
, , pqa
{ }
,rs
941, 47, 302, 35, 24, 39p qa xmk= = = = = =
523, 29, 121, 11, 19, 20p q a xmk= = = = = =
569, 71, 302, 58, 6, 6p q a x mk= = = = = =
167, 83, 25, 46, 77, 62p qaxmk= = = = = =
89, 11, 64, 6, 4, 4p q a xmk= = = = = =
743, 53, 212, 42, 11, 43p q a x mk= = = = = =
16)
17)
18)
19)
20)
;
;
;
;
;
.
6.4. ПРОТОКОЛЫ ЭЛЕКТРОННОЙ ПОДПИСИ
6.4.1. Электронная подпись (алгоритм ГОСТ Р 34.10-94)
Участник Алиса, используя алгоритм ГОСТ Р 34.10-94 с параметрами
, подписывает сообщение со значением хеш-функции m. Для под-
писи Алиса выбирает случайное число k и использует свой секретный
ключ x. Вычислить подпись
1)
2)
.
;
;
3)
4)
5)
6)
139
;
;
;
;
7)
709, 59, 551, 17, 56, 50
p qa xmk
= = = = = =
137, 17, 122, 16, 14, 12p qa xmk= = = = = =
461, 23, 262, 21, 11, 12p q a x mk
= = = = = =
199, 11, 125, 2, 7, 9
p q a xmk= = = = = =
1163, 83, 911, 46, 67, 13
p qa xmk
= = = = = =
739, 41, 478, 31, 37, 15p qa xmk= = = = = =
191, 19, 52, 6, 4, 5p q a xmk= = = = = =
317, 79, 16, 7, 59, 18p q a xm k
= = = = = =
229, 19, 165, 10, 5, 5p qa xmk= = = = = =
223, 37, 60, 23, 12, 29
p q a xmk
= = = = = =
239, 17, 211, 6, 13, 16
p q a xm k= = = = = =
269, 67, 16, 65, 35, 57p qaxmk= = = = = =
307, 17, 81, 3, 12, 3p qaxmk= = = = = =
83, 41, 4, 7, 25, 26pqaxmk= = = = = =
( )
ab p
EC
q
qP O=
dq<
Q dP=
( )
{ }
( )
23
367
160 172 , 312,82 , 401, 13EC y x x P q d==++ = =
( )
{ }
( )
23
179
46 32 , 63,16 , 89, 43EC y x x P q d==++ = =
( )
{ }
( )
23
613
211 324 , 68,203 , 317, 297EC y x x P q d==++ = =
( )
{ }
( )
23
991
728 790 , 610,618 , 97, 26EC y x x P q d==++ = =
(
)
{
}
( )
23
227
41 76 , 114,69 , 239, 3EC y x x P q d==++ = =
;
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
20)
6.4.2. Электронная подпись (алгоритм ГОСТ 34.10-2018)
Определена эллиптическая кривая над простым конечным полем
и базовая точка P на этой кривой, имеющая простой порядок
:
ключ для подписи
1)
2)
3)
. По заданному секретному ключу
.
.
вычислить публичный
;
;
;
4)
5)
;
;
140