Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретико-числовые методы в криптографии и криптопротоколах. Учебное пособие.pdf
5. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ
AB C+
( )
[ ]
( )
( )
3
p
GF p x xµ
29
p
=
( )
23
2 28 28x x xxµ=+ + +
{ }
2
29
4,16,24 4 16 24A xx= =++
{
}
2
29
6,12,3 6 12 3B xx= =++
{ }
2
29
7,19,19 7 19 19C xx
= =++
11p
=
( )
23
46x xx x
µ =+++
{ }
2
11
0,9,5 9 5A xx= = +
{ }
2
11
10,7,9 10 7 9B xx
= =++
{ }
2
11
4,8,4 4 8 4
C xx= =++
17p =
( )
3
3 14x xxµ=++
{
}
2
17
13,5,6 13 5 6
A xx= =++
{ }
2
17
12,2,6 12 2 6B xx= =++
{ }
2
17
9,11,13 9 11 13C xx= =++
17p =
( )
3
3 14x xxµ=++
{ }
2
17
4,9,5 4 9 5
A xx= =++
{
}
2
17
13,14,4 13 14 4B xx= =++
{ }
2
17
16,1,15 16 15C xx= = ++
11p =
( )
23
46x xx xµ =+++
{ }
2
11
1,0,7 1 7Ax= = +
{ }
2
11
9,7,9 9 7 9B xx= =++
{ }
2
11
5,4,1 5 4
C xx= =++
23p
=
( )
3
3 20
x xx
µ=+ +
{ }
2
23
9,1,12 9 12A xx= =++
{ }
2
23
15,8,18 15 8 18B xx= =++
{ }
2
23
11,9,2 11 9 2C xx= =++
11p =
( )
23
46
x xx xµ =+++
{ }
2
11
2,2,1 2 2A xx= =++
{ }
2
11
6,3,5 6 3 5B xx= =++
{ }
2
11
5,7,7 5 7 7
C xx
= =++
17p =
( )
3
3 14x xxµ=++
{ }
2
17
10,3,12 10 3 12A xx= =++
{ }
2
17
3,7,11 3 7 11B xx= =++
{ }
2
17
16,10,2 16 10 2C xx= =++
НАД КОНЕЧНЫМИ ПОЛЯМИ
5.1. ВЫЧИСЛЕНИЯ В ПОЛЕ ГАЛУА
5.1.1. Алгебраические вычисления в конечном поле
Вычислить выражение
1)
2)
,
,
в конечном поле
.
,
5)
.
,
;
,
6)
.
,
;
,
,
.
,
;
,
,
.
,
;
3)
4)
,
,
,
.
,
;
,
.
,
;
121
7)
8)
,
,
.
,
;
,
,
.
,
;
9)
17p =
(
)
3
3 14x xxµ=++
{
}
2
17
8,15,3 8 15 3A xx= =++
{
}
2
17
3,12,3 3 12 3B xx
= =++
{ }
2
17
15,13,3 15 13 3C xx= =++
23
p
=
( )
3
3 20x xxµ=+ +
{ }
2
23
0,7,14 7 14A xx= = +
{ }
2
23
18,13,20 18 13 20
B xx= =++
{ }
2
23
15,11,14 15 11 14C xx
= =++
19p
=
( )
23
16 8 14x x xxµ =++ +
{ }
2
19
10,5,2 10 5 2A xx= =++
2
19
11,0,18 11 18Bx= = +
{
}
2
19
5,6,6 5 6 6
C xx= =++
19p
=
( )
23
16 8 14x x xxµ =++ +
{ }
2
19
16,4,15 16 4 15A xx= =++
{ }
2
19
15,10,18 15 10 18B xx= =++
{ }
2
19
10,13,6 10 13 6
C xx= =++
13
p =
( )
23
29 2x xxxµ =++ +
{ }
2
13
12,4,4 12 4 4A xx= =++
{ }
2
13
12,0, 2 12 2Bx= = +
{ }
2
13
4,3,6 4 3 6C xx= =++
29p =
(
)
23
2 28 28x x xxµ=+ + +
{ }
2
29
23,7,5 23 7 5
A xx
= =++
{ }
2
29
11,26,12 11 26 12B xx= =++
{ }
2
29
24,3,5 24 3 5
C xx= =++
23p
=
(
)
3
3 20x xxµ=+ +
{ }
2
23
22,4,14 22 4 14A xx= =++
{
}
2
23
9,15,17 9 15 17B xx
= =++
{ }
2
23
22,2,7 22 2 7
C xx= =++
17p =
( )
3
3 14x xxµ=++
{ }
2
17
9,6,13 9 6 13A xx= =++
{ }
2
17
10,8,9 10 8 9B xx= =++
{ }
2
17
2,7,1 2 7C xx= =++
29
p =
( )
23
2 28 28x x xxµ=+ + +
{ }
2
29
13,0,23 13 23Ax= = +
{ }
2
29
16,4,12 16 4 12B xx= =++
{ }
2
29
1,11,14 1 11 14C xx= =++
13p =
( )
23
29 2x xxxµ =++ +
{ }
2
13
9,2,7 9 2 7A xx= =++
{ }
2
13
3,5,8 3 5 8B xx
= =++
{ }
2
13
5,6,12 5 6 12C xx= =++
,
,
14)
,
,
10)
11)
.
,
;
,
,
15)
,
.
,
;
,
,
16)
,
.
.
,
;
,
.
,
;
,
.
12)
13)
,
;
,
,
17)
,
.
,
;
,
,
18)
,
.
,
,
;
,
.
,
;
,
.
,
;
122
;
19)
23p
=
( )
3
3 20x xxµ=+ +
{ }
2
23
8,11,17 8 11 17A xx= =++
{
}
2
23
4,20,3 4 20 3B xx
= =++
{ }
2
23
3,18,13 3 18 13C xx= =++
23p
=
( )
3
3 20x xxµ=+ +
{ }
2
23
8,22,9 8 22 9A xx= =++
{
}
2
23
13,17,18 13 17 18
B xx
= =++
{
}
2
23
22,13, 22 22 13 22C xx
= =++
( )
[ ]
( )
( )
3
p
GF p x xµ
Ord A
( )
2
GF p
1
m
A =
( )
2
GF p
{
}
2
17
7 12 , 17, 1,8
xx p Aµ= + + = =
{ }
2
13
6 11, 13, 7,10xx p Aµ= + + = =
{
}
2
29
18 2, 29, 0,27
x xp Aµ= + + = =
{ }
2
17
12 7, 17, 5,4x xp Aµ= + + = =
{ }
2
17
12 7, 17, 8,2x xp Aµ= + + = =
{ }
2
29
18 2, 29, 13,10x xp A
µ= + + = =
{
}
2
17
12 7, 17, 2,10x xp A
µ= + + = =
{ }
2
23
5 19 , 23, 4,5xxp Aµ= + + = =
{ }
2
11
6 3 , 11, 7,8xx p Aµ= + + = =
{ }
2
23
5 19 , 23, 11,0xx p Aµ= + + = =
{ }
2
23
19 5, 23, 21,1x xp A
µ= + + = =
{ }
2
13
6 11, 13, 11,0xx p Aµ= + + = =
{ }
2
17
7 12 , 17, 14,1xx p Aµ= + + = =
,
,
20)
,
,
5.1.2. Определение порядка элемента A
в мультипликативной группе поля Галуа
Найти порядок
шее натуральное m, т.ч.
1)
.
,
;
элемента A поля Галуа
в поле
.
;
.
,
.
, т. е. наимень-
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
12)
13)
;
;
123
14)
{ }
2
11
6 3 , 11, 10,2xx p Aµ= + + = =
{ }
2
23
19 5, 23, 6,20
x xp A
µ= + + = =
{ }
2
17
12 7, 17, 8,3x xp Aµ= + + = =
{ }
2
23
5 19 , 23, 3,14xx p A
µ= + + = =
{ }
2
11
3 6, 11, 9,7xx p A
µ= + + = =
{ }
2
13
6 11, 13, 1, 0xx p Aµ= + + = =
{ }
2
29
18 2, 29, 20,18x xp Aµ= + + = =
( )
,
ab p
P Q EC
∈
PQR⊕=
( )
{ }
23
5
34EC y x x= =++
( ) ( )
2,2 , 2,2PQ
( )
{ }
23
11
67EC y x x= =++
( )
1, 5 , P QO=
( )
{ }
23
23
12 17EC y x x==++
( ) ( )
17,4 , 2,10PQ
( )
{ }
23
11
13EC y x x
= =++
( ) ( )
3,9 , 1,7PQ
( )
{ }
23
5
3EC y x= = +
( )
( )
2,1 , 2,1PQ
( )
{ }
23
7
43EC y x x= =++
( ) (
)
5,5 , 0,5PQ
( )
{ }
23
5
4EC y x x= = +
( ) ( )
3,3 , 3, 3PQ
( )
{ }
23
13
46EC y x x= =++
( ) ( )
4,1 , 12,6PQ
;
15)
16)
17)
18)
19)
20)
5.2.
;
;
;
;
;
.
ВЫЧИСЛЕНИЯ В ГРУППЕ ТОЧЕК ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ
НАД ПРОСТЫМ КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ
5.2.1. Сложение двух точек эллиптической кривой
Сложить две точки эллиптической кривой над простым конечном по-
лем:
1) а) , ;
b) , ;
c) , ;
d) , ;
2) a) , ;
b) , ;
,
.
c) , ;
d) , ;
124
3) a) , ;
( )
{ }
23
5
3EC y x= = +
( ) ( )
1,2 , 2,4PQ
( )
{ }
23
11
10 5EC y x x= =++
( ) ( )
8,10 , 6, 5PQ
( )
{ }
23
23
22EC y x
= = +
( ) ( )
15,4 , 15,19PQ
( )
{
}
23
13
4 10
EC y x x==++
( ) ( )
3,3 , 7,12PQ
( )
{ }
23
11
62EC y x x= =++
( ) ( )
9,4 , 10,5PQ
( )
{ }
23
5
2EC y x= = +
( ) ( )
2,0 , 2,0PQ
( )
{ }
23
13
10 12
EC y x x
==++
( ) ( )
1,7 , 2,9PQ
( )
{ }
23
7
3EC y x x= =++
(
) ( )
5,0 , 5, 0PQ
( )
{ }
23
17
9EC y x x= = +
(
) ( )
7,10 , 5,0PQ
( )
{ }
23
5
12EC y x x= =++
(
) ( )
3,2 , 0,4
PQ
( )
{ }
23
29
22 24 ,EC y x x==++
( )
( )
18,14 , 15,4PQ
(
)
{ }
23
17
12 6EC y x x
= =++
( ) ( )
6,14 , 6,14PQ
( )
{ }
23
29
26 2EC y x x= =++
( ) ( )
18,23 , 18,23PQ
( )
{
}
23
29
17 3EC y x x= =++
( ) ( )
3,16 , 22,28PQ
( )
{ }
23
5
4EC y x= = +
( ) ( )
0,3 , 0,3PQ
(
)
{ }
23
13
66EC y x x
= =++
( ) ( )
12,5 , 12,5PQ
( )
{ }
23
5
EC y x x= = +
( )
0,0 , P QO=
( )
{ }
23
7
15
EC y x x= =++
( ) ( )
0,6 , 1,0PQ
( )
{
}
23
13
4 12EC y x x==++
( )
( )
2,6 , 8,12PQ
( )
{ }
23
13
92EC y x x= =++
( ) ( )
1, 5 , 4, 4PQ
b) , ;
c) , ;
d) , ;
4) a) , ;
b) , ;
c) , ;
d) , ;
5) a) , ;
b) , ;
c) ;
d) , ;
6) a) , ;
b) , ;
c) , ;
d) , ;
7) a) , ;
b) , ;
c) , ;
d) , ;
125
8) a) , ;
( )
{ }
23
7
32EC y x x= =++
(
)
2,6 ,
P QO
=
( )
{ }
23
7
23EC y x x= =++
( ) ( )
0,3 , 5,3PQ
( )
{
}
23
29
14 18EC y x x
==++
( ) ( )
28,16 , 10,18PQ
( )
{ }
23
29
18 26EC y x x==++
( ) ( )
15,10 , 8,19PQ
(
)
{ }
23
5
EC y x x= = +
(
)
0,0 ,
P QO
=
(
)
{ }
23
7
15EC y x x= =++
( ) ( )
0,6 , 1,0PQ
(
)
{ }
23
13
4 12EC y x x==++
( ) ( )
2,6 , 8,12PQ
( )
{ }
23
13
92EC y x x= =++
( ) ( )
1, 5 , 4, 4PQ
( )
{ }
23
7
32EC y x x= =++
(
)
2,6 ,
P QO
=
( )
{
}
23
7
23EC y x x
= =++
( ) ( )
0,3 , 5,3PQ
( )
{ }
23
29
14 18EC y x x==++
( ) ( )
28,16 , 10,18PQ
( )
{ }
23
29
18 26EC y x x==++
( )
( )
15,10 , 8,19
PQ
( )
{ }
23
19
12
EC y x x= = ++
( ) ( )
9,16 , 12,17PQ
( )
{ }
23
17
46EC y x x= =++
( ) ( )
15,16 , 15,16PQ
( )
{ }
23
13
1EC y x= = +
( )
10,0 , P QO
=
( )
{
}
23
7
43EC y x x= =++
( )
6,0 ,
P QO=
( )
{ }
23
17
4 15EC y x x==++
( ) (
)
13,13 , 13,4PQ
( )
{ }
23
29
7 22EC y x x==++
( ) ( )
19,11 , 19,11PQ
( )
{ }
23
13
23EC y x x= =++
( ) ( )
2,9 , 4,0PQ
( )
{ }
23
7
5EC y x= = +
( ) ( )
3, 2 , 3, 5PQ
b) , ;
c) , ;
d) , ;
9) a) , ;
b) , ;
c) , ;
d) , ;
10) a) , ;
b) , ;
c) , ;
d) , ;
11) a) , ;
b) , ;
c) , ;
d) , ;
12) a) , ;
b) , ;
c) , ;
d) , ;
126
13) a) , ;
(
)
{
}
23
7
3EC y x
= = +
( ) ( )
1, 2 , 3, 3
PQ
( )
{ }
23
13
69EC y x x= =++
( ) ( )
6,4 , 9,7PQ
( )
{ }
23
29
16 28EC y x x==++
( )
( )
13,5 , 28,25PQ
(
)
{ }
23
13
6
EC y x x= =++
( ) ( )
11,10 , 4,10PQ
( )
{ }
23
29
20 18EC y x x==++
( )
19,0 , P QO=
(
)
{ }
23
19
12 17EC y x x
==++
( ) ( )
9,18 , 13,13PQ
( )
{ }
23
5
4EC y x x= = +
( ) ( )
3, 2 , 3, 2PQ
( )
{
}
23
29
3 21
EC y x x==++
( ) ( )
23,3 , 3, 21PQ
( )
{ }
23
17
10 14EC y x x==++
( ) ( )
13,14 , 11,4PQ
( )
{ }
23
17
16 15EC y x x==++
( ) ( )
1,10 , 0, 4PQ
( )
{ }
23
13
8EC y x x= = +
( ) ( )
8,2 , 8,11PQ
( )
{
}
23
11
55EC y x x= =++
( ) ( )
3,5 , 5,10PQ
( )
{ }
23
11
38EC y x x= =++
( ) ( )
10,7 , 9,1PQ
( )
{ }
23
11
17
EC y x x= =++
( ) ( )
3, 4 , 4, 7PQ
( )
{ }
23
11
37EC y x x= =++
(
)
2,5 ,
P QO=
( )
{ }
23
5
3EC y x x= = +
( ) ( )
4,4 , 4,1PQ
( )
{ }
23
23
13 11
EC y x x==++
( ) ( )
5,3 , 22,22PQ
( )
{ }
23
5
1
EC y x x= =++
( ) ( )
3,1 , 4, 3PQ
(
)
{
}
23
5
42EC y x x= =++
( ) ( )
4,1 , 0,2PQ
( )
{ }
23
7
35EC y x x= =++
( ) ( )
1, 4 , 1, 3PQ
b) , ;
c) , ;
d) , ;
14) a) , ;
b) , ;
c) , ;
d) , ;
15) a)
b)
c)
d)
16) a)
b)
c)
d)
17) a)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
;
;
;
;
;
;
;
;
b)
c)
d)
,
,
,
127
;
;
;
18) a)
( )
{ }
23
23
13 7EC y x x
= =++
( ) ( )
19,17 , 11,8PQ
(
)
{ }
23
17
64EC y x x= =++
( ) ( )
11,2 , 11,15PQ
( )
{
}
23
19
6 18EC y x x
==++
( )
17,0 , P QO=
(
)
{
}
23
29
4 12EC y x x==++
( ) ( )
28,22 , 28,22PQ
( )
{ }
23
7
56EC y x x= =++
( ) ( )
3,1 , 2, 2PQ
(
)
{
}
23
29
28 5EC y x x= =++
( ) ( )
10,18 , 19,15PQ
( )
{ }
23
7
3EC y x x= = +
(
) (
)
3,6 , 2,0
PQ
( )
{ }
23
11
5EC y x x= =++
(
) (
)
7,6 , 5,5
PQ
( )
{ }
23
23
13 4EC y x x= =++
( )
( )
18,12 , 18,11PQ
( )
{ }
23
17
10 10EC y x x==++
( )
(
)
13,12 , 9,8PQ
( )
{ }
23
11
36EC y x x= =++
(
) (
)
5,9 , 7,6PQ
( )
{ }
23
7
44EC y x x= =++
( )
1, 3 ,
P QO=
( )
( )
,
ab p
P x y EC∈
, ord nP O n P= =
( )
{ }
23
23
32EC y x x= =++
( )
17,8P
( )
{ }
23
11
3EC y x= = +
( )
0,5P
( )
{ }
23
7
4EC y x x= = +
( )
0,0P
( )
{ }
23
11
4EC y x x= =++
( )
3,1P
,
;
b)
c)
d)
19) a)
b)
c)
d)
20) a)
b)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
;
;
;
;
;
;
;
;
;
c)
d)
5.2.2. Вычисление порядка точки эллиптической кривой
над простым конечным полем
Вычислить порядок точки эллиптической кривой над простым конеч-
ным полем:
1) а)
;
,
,
,
,
2) а)
;
.
.
,
;
b)
,
;
128
b)
,
;
3) а)
( )
{ }
23
5
23EC y x x= =++
(
)
1,1
P
( )
{
}
23
13
1 10
EC y x x==++
( )
9,1P
( )
{ }
23
5
12EC y x x= =++
(
)
1, 2P
( )
{ }
23
19
19
EC y x x= =++
( )
0,18P
( )
{ }
23
7
23EC y x x= =++
( )
5,3
P
( )
{ }
23
5
24EC y x x
= =++
(
)
3,1P
(
)
{
}
23
29
4 23EC y x x
==++
( )
14,24P
( )
{ }
23
7
2EC y x x= = +
( )
6,5P
( )
{ }
23
17
16 11
EC y x x= =++
( )
16,5P
( )
{ }
23
5
12EC y x x= =++
( )
1, 2P
( )
{ }
23
19
5 10EC y x x==++
( )
5,3P
( )
{ }
23
29
11 10EC y x x==++
( )
4,17P
( )
{ }
23
17
79EC y x x= =++
( )
2,4P
(
)
{ }
23
17
16EC y x x= = ++
( )
8,3
P
(
)
{
}
23
19
10 5
EC y x x= =++
( )
18,2P
( )
{
}
23
13
74
EC y x x
= =++
( )
4,3P
( )
{ }
23
17
5 14EC y x x==++
(
)
7,15
P
( )
{ }
23
17
4EC y x= = +
( )
6,13P
( )
{ }
23
5
42EC y x x
= =++
( )
0,2P
( )
{ }
23
29
17 5EC y x x
= =++
( )
18,9P
( )
{ }
23
13
3EC y x x= = +
( )
11, 5P
( )
{ }
23
13
1EC y x x= =++
( )
5,12P
( )
{ }
23
23
4EC y x x= = +
( )
9,11P
(
)
{ }
23
23
77EC y x x= =++
(
)
12,5P
,
9) а)
,
b)
4) а)
b)
5) а)
b)
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
b)
10) а)
,
b)
11) а)
,
b)
;
,
;
;
,
;
;
,
6) а)
b)
7) а)
b)
8) а)
;
,
12) а)
;
,
;
,
;
,
;
,
b)
13) а)
b)
14) а)
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;
b)
;
,
129
b)
;
,
;
15) а)
( )
{ }
23
19
34EC y x x= =++
( )
3,17P
( )
{ }
23
5
1EC y x x= =++
( )
4,3P
(
)
{
}
23
19
8EC y x x
= = +
( )
14,14P
(
)
{ }
23
23
18 13EC y x x==++
( )
17,0P
( )
{
}
23
29
16 26
EC y x x==++
( )
16,27P
(
)
{
}
23
5
4EC y x x
= =++
( )
2,3P
( )
{
}
23
13
22EC y x x
= =++
( )
11, 9P
(
)
{ }
23
19
10 18EC y x x
==++
( )
8,18P
( )
{
}
23
19
66EC y x x= =++
( )
2,11P
( )
{ }
23
29
2EC y x= = +
(
)
14,22P
( )
{ }
23
29
7 14EC y x x==++
( )
0,23P
( )
{ }
23
23
6 17EC y x x==++
( )
4,0P
,
PQ
( )
8ab
EC
[
]
( )
3
82
/1xxx
++
RPQ= ⊕
23 2
22
001 010xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
001 ,101 , 000 ,110PQ
23 2
22
111 111xy y x x+=+ +
( ) ( )
22 22
111 ,100 , 111 ,100PQ
,
18) а)
,
b)
16) а)
b)
17) а)
b)
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
b)
19) а)
b)
20) а)
b)
;
,
;
,
;
,
;
,
;
,
5.3.
1) а)
ВЫЧИСЛЕНИЯ В ГРУППЕ ТОЧЕК ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ
5.3.1. Сложение точек эллиптической кривой
Даны две точки
,
;
НАД ПОЛЕМ
над полем Галуа характеристики 2
ГАЛУА ХАРАКТЕРИСТИКИ 2
не суперсингулярной эллиптической кривой
. Вычислить координаты точки
,
.
.
;
b)
,
130
;