Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теоретико-числовые методы в криптографии и криптопротоколах. Учебное пособие.pdf
6)
(
)
{ }
( )
23
631
230 96 , 303,28 , 619, 217EC y x x P q d==++ = =
(
)
{
}
( )
23
883
259 880 , 775,750 , 37, 25EC y x x P q d==++ = =
( )
{ }
( )
23
743
201 559 , 439,171 , 773, 201EC y x x P q d==++ = =
(
)
{
}
(
)
23
881
484 782 , 83,354 , 919, 881
EC y x x P q d
==++ = =
(
)
{
}
( )
23
251
211 127 , 83,113 , 29, 4EC y x x P q d==++ = =
(
)
{
}
( )
23
983
600 883 , 913,809 , 499, 181EC y x x P q d
==++ = =
(
)
{
}
( )
23
523
138 212 , 169,345 , 67, 20EC y x x P q d
==++ = =
( )
{ }
( )
23
911
124 837 , 435,62 , 233, 91EC y x x P q d
==++ = =
( )
{ }
( )
23
631
386 438 , 102,340 , 647, 620EC y x x P q d
==++ = =
( )
{ }
( )
23
727
152 533 , 56,384 , 709, 221EC y x x P q d==++ = =
(
)
{ }
( )
23
653
161 545 , 212,519 , 31, 2EC y x x P q d
==++ = =
( )
{ }
( )
23
557
542 401 , 555,540 , 547, 363EC y x x P q d==++ = =
( )
{ }
( )
23
317
112 314 , 45,45 , 349, 71EC y x x P q d==++ = =
( )
{ }
( )
23
349
253 254 , 248,164 , 349, 336EC y x x P q d==++ = =
( )
{ }
( )
23
929
465 245 , 832,225 , 971, 702EC y x x P q d==++ = =
( )
ab p
EC
( )
ab p
P EC∈
( )
ab p
Q EC
∈
{ }
,rs
M
;
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
17)
18)
19)
20)
6.4.3. Электронная подпись (алгоритм ECDSA)
Заданы параметры подписи ECDSA:
вая над простым конечным полем характеристики p и точка кривой
простого порядка q. Известен также открытый ключ для про-
верки подписи
. Дана подпись
– эллиптическая кри-
сообщения
;
;
;
.
со зна-
чением хеш-функции m. Установить, действительна ли эта подпись.
141
1) a)
( ) ( )
( )
10,133 149
34,23 , 110,60 , 167, 25,
P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 90,32rs =
( ) ( )
( )
200,214 683
586,147 , 370,672 , 709, 269, P Q EC q m∈==
{
} {
}
, 237,75rs
=
(
) ( )
(
)
106,31 131
98,17 , 32,67 , 131, 86,P Q EC q m∈==
{ } { }
, 20,19rs =
( ) ( )
( )
305,459 839
688,523 , 18,169 , 277, 164,P Q EC q m∈==
{ } { }
, 105,168rs =
( )
( )
( )
321,336 953
553,859 , 349,625 , 1251, 184, P Q EC q m∈==
{ }
{ }
, 244,173rs =
( )
( )
( )
352,492 907
268,113 , 102,753 , 433, 394, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 284,214rs
=
( ) ( )
( )
393,237 523
263,329 , 423,344 , 137, 42, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 10,83rs =
( ) ( )
( )
139,155 283
0,116 , 57,98 , 313, 67, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 230, 233rs =
( )
( )
( )
282,472 929
154,332 , 466,265 , 229, 143, P Q EC q m
∈==
{ }
{ }
, 13,87
rs =
( ) ( )
( )
300,40 409
152,28 , 349,214 , 107, 59, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 10,53rs =
( ) ( )
( )
437,284 619
85,367 , 219,475 , 601, 252, P Q EC q m∈==
{ }
{ }
, 163,92
rs =
( ) ( )
( )
638,290 , 503,398 , 647, 366, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 351,571rs
=
b)
;
;
c)
d)
2) a)
b)
c)
;
;
;
;
;
d)
3) a)
b)
c)
d)
;
;
;
;
;
142
4) a)
( ) ( )
( )
287,71 379
197,18 , 320,375 , 379, 170, P Q EC q m∈==
{ }
{
}
, 165,186rs
=
( )
( )
( )
865,153 881
40,872 , 98,513 , 307, 80, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 143,80rs =
( ) ( )
( )
144,69 173
152,76 , 145,143 , 163, 15, P Q EC q m∈==
{ }
{ }
, 0,84rs
=
( )
( )
( )
388,943 983
277,103 , 25,908 , 479, 100, P Q EC q m
∈==
{
} {
}
, 455,318rs
=
( ) ( )
( )
518,125 523
484,10 , 113,447 , 251, 195, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 123,246rs =
( ) ( )
( )
163,158 211
186,9 , 132,3 , 101, 64, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 46,50rs =
(
) ( )
(
)
171,136 229
120,142 , 162,57 , 113, 72, P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 93,91rs =
( )
( )
( )
142,546 881
559,145 , 578,324 , 179, 102,
P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 12,76rs =
( ) ( )
( )
263,409 773
231,158 , 430,662 , 251, 156, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 86,126
rs =
( )
( )
( )
163,88 167
70,142 , 109,40 , 151, 31, P Q EC q m∈==
{ } {
}
, 44,46rs
=
( ) ( )
( )
85,310 503
417,475 , 360,105 , 523, 277, P Q EC q m∈==
{ } {
}
, 349,366rs =
( ) ( )
( )
113,167 191
147,113 , 25,89 , 179, 122, P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 76,155rs =
b)
;
;
c)
d)
5) a)
b)
c)
;
;
;
;
;
d)
6) a)
b)
c)
d)
;
;
;
;
;
143
7) a)
( ) ( )
( )
152,265 677
290,96 , 380,305 , 337, 163,
P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 130,40rs =
( ) ( )
( )
252,428 499
312,83 , 38,269 , 491, 339, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 348,211rs =
( ) ( )
( )
808,492 911
159,586 , 603,300 , 239, 24, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 25,23rs =
(
) ( )
( )
786,627 887
731,19 , 559,281 , 839, 440, P Q EC q m∈==
{
} {
}
, 812,355
rs
=
( ) ( )
( )
821,616 881
393,195 , 616,217 , 443, 70, P Q EC q m∈==
{
} { }
, 83,286rs =
( ) ( )
( )
522,395 739
119,713 , 23,211 , 367, 136, P Q EC q m∈==
{ }
{ }
, 344,251
rs =
( ) ( )
( )
599,186 701
55,73 , 212,543 , 677, 369, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 302,556rs =
( ) ( )
( )
69,300 641
313,96 , 473,139 , 619, 604, P Q EC q m∈==
{ } {
}
, 260,417rs
=
( ) ( )
( )
809,119 829
506,56 , 636,406 , 809, 699, P Q EC q m∈==
{ }
{ }
, 100,83rs =
( ) ( )
( )
423,263 641
454,386 , 502,248 , 659, 541, P Q EC q m∈==
{
} { }
, 401,12rs =
( ) ( )
( )
95,13 103
56,94 , 77,84 , 103, 96, P Q EC q m∈==
{ }
{ }
, 26,15rs =
( ) ( )
( )
15,272 719
105,51 , 76,557 , 367, 102, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 298,253rs =
b)
c)
d)
8) a)
;
;
;
;
;
b)
c)
d)
9) a)
b)
;
;
;
;
;
c)
;
d)
;
144
10) a)
( )
( )
( )
416,743 839
600,641 , 178,542 , 433, 291, P Q EC q m
∈==
{ }
{
}
, 402,174rs =
( ) ( )
( )
6,186 709
141,237 , 652,296 , 743, 273, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 326,383rs =
( )
( )
( )
230,237 337
318,265 , 254,326 , 311, 132, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 31,209rs =
(
) (
)
(
)
761,907 911
311,592 , 896,183 , 151, 14, P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 105,6rs =
( ) ( )
( )
50,88 271
197,153 , 122,153 , 89, 64, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 68,70rs =
( ) ( )
( )
246,349 421
307,258 , 60,233 , 139, 96, P Q EC q m∈==
{
} { }
, 29,101rs =
( ) ( )
( )
139,563 599
89,569 , 41,547 , 307, 191, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 245,107rs =
( ) ( )
( )
402,577 701
553,652 , 33,3 , 223, 185, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 112,124rs =
( ) ( )
(
)
28,124 139
32,17 , 103,89 , 127, 44, P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 57,46rs =
( ) ( )
( )
44,530 877
300,808 , 97,758 , 281, 25, P Q EC q m∈==
{
} { }
, 192,88rs =
( ) ( )
( )
131,299 379
299,9 , 358,6 , 43, 34, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 42,37
rs =
( ) ( )
( )
449,303 653
581,359 , 581,294 , 229, 2, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 217,105rs =
b)
c)
d)
;
;
;
;
11) a)
b)
c)
d)
12) a)
;
;
;
;
;
b)
;
c)
;
d)
;
145
13) a)
( ) ( )
( )
55,69 127
87,6 , 92,117 , 47, 8,
P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 32,24rs =
( ) ( )
( )
65,199 277
207,50 , 3,265 , 43, 7, P Q EC q m∈==
{
}
{ }
, 31,29
rs
=
( ) ( )
( )
25,55 359
96,176 , 69,356 , 59, 29, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 45,33
rs
=
( ) ( )
( )
556,101 953
400,28 , 821,110 , 983, 582, P Q EC q m∈==
{
} {
}
, 852,738
rs =
(
) (
)
( )
134,25 193
45,78 , 5,56 , 193, 146, P Q EC q m
∈==
{ } {
}
, 164,28rs =
(
) ( )
( )
430,594 983
971,564 , 645,786 , 127, 69, P Q EC q m
∈==
{ } {
}
, 105,44
rs =
( ) (
)
( )
80,311 373
210,286 , 323,165 , 367, 251, P Q EC q m∈==
{ } {
}
, 2,89rs =
( ) ( )
( )
361,124 389
169,119 , 253,311 , 197, 171, P Q EC q m∈==
{ }
{ }
, 114,183rs =
(
) ( )
( )
52,21 109
164,82 , 39,1 , 53, 12, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 8, 20rs
=
( ) ( )
( )
12,62 181
164,70 , 156,80 , 23, 4, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 17,8rs =
( ) ( )
( )
278,129 673
134,588 , 284,640 , 163, 126, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 49,55rs =
( ) ( )
( )
33,245 757
628,696 , 103,459 , 751, 634, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 607,368rs =
;
b)
c)
d)
14) a)
b)
;
;
;
;
;
c)
d)
15) a)
b)
c)
;
;
;
;
;
d)
;
146
16) a)
( ) ( )
( )
614,564 857
778,429 , 236,15 , 821, 307, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 424,352rs =
( )
( )
( )
307,414 571
200,220 , 360,483 , 269, 143, P Q EC q m∈==
{
}
{ }
, 135,101
rs
=
( ) (
)
( )
82,169 433
411,131 , 302,85 , 443, 381, P Q EC q m∈==
{ }
{ }
, 364,330rs =
( ) (
)
( )
56,585 709
86,150 , 122,467 , 359, 7, P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 343,222rs =
( ) (
)
( )
224,56 251
204,101 , 152,170 , 227, 160,
P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 112,176rs =
( ) ( )
( )
841,48 857
420,162 , 570,792 , 863, 41, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 593,579rs =
( ) ( )
( )
548,429 , 598,379 , 661, 376, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 562,217rs =
(
) ( )
( )
349,42 593
443,277 , 160,576 , 43, 31,
P Q EC q m∈==
{ } { }
, 25,14rs =
(
) ( )
( )
19,116 983
782,186 , 42,722 , 1039, 809, P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 709,433
rs =
( ) ( )
( )
254,262 569
471,199 , 478,125 , 199, 102, P Q EC q m∈==
{
} { }
, 173,48rs =
( ) ( )
( )
121,277 449
74,129 , 101,391 , 223, 117,
P Q EC q m∈==
{
} { }
, 220,7rs =
( ) ( )
(
)
289,22 331
274,70 , 110,164 , 307, 94, P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 63, 9
rs =
b)
c)
d)
17) a)
;
;
;
;
;
b)
c)
d)
18) a)
b)
;
;
;
;
;
c)
;
d)
;
147
19) a)
(
) (
)
(
)
68,4 251
155,36 , 116,234 , 47, 22,
P Q EC q m
∈==
{
} {
}
, 7,35rs =
( ) ( )
( )
423,644 709
288,649 , 606,526 , 709, 224, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 548,64rs =
( ) ( )
( )
576,396 599
24,566 , 435,199 , 97, 86, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 70,36rs
=
( )
( )
( )
209,56 313
181,207 , 77,184 , 331, 95, P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 159,82rs =
( )
( )
( )
247,664 887
196,341 , 863,241 , 463, 273, P Q EC q m
∈==
{ } { }
, 316,6rs =
( )
( )
( )
15,75 313
290,108 , 289,296 , 167, 15, P Q EC q m
∈==
{
} {
}
, 36,20rs
=
( ) ( )
( )
72,79 113
29,1 , 10,45 , 107, 53, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 27,85rs
=
( ) ( )
( )
643,78 647
188,132 , 467,128 , 107, 12, P Q EC q m∈==
{ } { }
, 29,64rs =
b)
;
;
c)
d)
20) a)
b)
c)
;
;
;
;
;
d)
.
148
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Криптография – это, прежде всего, математическая дисциплина, хотя
и имеющая чрезвычайно важное прикладное значение. Именно поэтому
в настоящем учебном пособии уделено столь много внимания различным
алгебраическим структурам – группам, кольца и полям. Хочется верить,
что изложенный в пособии математический материал поможет студентам
технических специальностей не только успешно ориентироваться в «терминологических дебрях» науки о шифрах, но и послужит неким трамплином для последующего углубленного изучения данного предмета.
Следует отметить, что круг вопросов, освещённый авторами в настоящем пособии, составляет лишь вершину айсберга современной криптографии. В настоящее время эта область исследований существенно расширилась и переплелась с множеством других смежных дисциплин. Так,
например, на стыке криптографии и квантовой кибернетики появилась
квантовая криптография, т. е. наука о методах защиты коммуникаций,
основанных на принципах квантовой механики. Существуют также подходы к шифрованию и криптоанализу, использующие нейронные сети, –
нейрокриптография. Имеются исследования об использовании хаотических детерминированных систем в задачах криптографии. Эти и другие
направления в криптографии в настоящий момент переживают стадию активного развития, о чём можно судить по постоянно растущему потоку
соответствующих научных публикаций. Чтобы получить некоторое представление о наиболее актуальных проблемах, стоящих перед исследователями в этих областях, мы рекомендуем обратиться к ресурсу
https://arxiv.org (разделы quantum physics, number theory, cryptography and
security). Кроме того, для тех кто хочет углубить и расширить свои знания
по классической криптографии, в конце учебного пособия приведён библиографический список.
149
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Ван дер Варден, Б. Л. Алгебра / Б. Л. Ван дер Варден. – Москва :
Наука, 1976. – 623 с.
2. Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Основы алгебры / А. И. Ко-
стрикин. – Москва : Физматлит, 1994. – 320 с.
3. Курош, А. Г. Лекции по общей алгебре / А. Г. Курош. – Москва :
Наука, 1973. – 399 с.
4. Черемушкин, А. В. Лекции по арифметическим алгоритмам в криптографии : учеб. пособие / А. В. Черемушкин. – Москва : МЦНМО, 2002. –
103 с. – ISBN 5-94057-060-7.
5. Василенко, О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии /
О. Н. Василенко. – Москва : МЦНМО, 2006. – 333 с. – ISBN 5-94057-103-4.
6. Лидл, Р. Конечные поля : в 2 т. / Р. Лидл, Г. Нидеррайтер ; пер.
с англ. А. Е. Жукова, В. И. Петрова ; под ред. В. И. Нечаева. – Москва :
Мир, 1988. – Т. 1. – 428 с. – ISBN 5-03-00 0065-8.
7. Лидл, Р. Конечные поля : в 2 т. / Р. Лидл, Г. Нидеррайтер ; пер.
с англ. А. Е. Жукова, В. И. Петрова ; под ред. В. И. Нечаева. – Москва :
Мир, 1988. – Т. 2. – 818 с. – ISBN 5-03-000066-6.
8. Кнэпп, Э. Эллиптические кривые / Э. Кнэпп ; пер. с англ. Ф. Ю. Попеленского ; под ред. Ю. П. Соловьева. – Москва : Факториал Пресс, 2004. –
488 с. – ISBN 5-88688-069-0.
9. Основы криптографии : учеб. пособие / А. П. Алферов, А. Ю. Зубов, А. С. Кузьмин, А. В. Черемушкин. – 2-е изд., испр. и доп. – Москва :
Гелиос АРВ, 2002. – 480 с. – ISBN 5-85438-025-0.
10. Коблиц, Н. Курс теории чисел и криптографии / Н. Коблиц. –
Москва : ТВП, 2001. – 254 с.
11. Шнайер, Б. Прикладная криптография. Протоколы, алгоритмы,
исходные тексты на языке Си / Б. Шнайер. – Москва : Триумф, 2002. –
815 с. – ISBN 5-89392-055-4.
150