Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы поддержки принятия решений в конструкторско-технологической подготовке машиностроительного производства. Учебное пособие
.pdf
61
появляются остатки продукции. В этом случае процесс решения
транспортной задачи немного усложняется, потребуется ввести
фиктивного поставщика или потребителя с нулевыми стоимостями
перевозки.
5.2. Пример постановки и решения транспортной задачи
Рассмотрим пример постановки простой транспортной задачи.
В следующей таблице приведены стоимости перевозок единицы
товара из определенного склада к определенному потребителю.
Таблица 5.1
Стоимость перевозок товара из склада потребителю
Например, число 7 в последней строке означает, что на перевозку
единицы товара из склада №3 к заводу С тратится семь условных
единиц денег. При этом 350+350+500=350+350+250+250=1200.
Следовательно, потребности заводов равны запасам всех складов – это
закрытая задача.
Для того чтобы решить транспортную задачу используется
множество методов. В зависимости от особенностей задачи
используются метод потенциалов, дифференциальных рент (для поиска
оптимального плана), метод северо-западного угла, метод наименьшего
элемента (для поиска опорного плана) и т.д. До сих пор одним из самых
популярных остается симплексный метод в силу его универсальности.
Этот метод хорошо реализован в надстройке «Поиск решения»,
доступной в стандартной программе Excel. Достаточно активировать
«Поиск решения» и ввести условия, и вы получите подробное решение.
5.3. Методы решения
Метод северо-западного угла
Метод минимального элемента
Метод аппроксимации Фогеля
Симплексный метод
Метод анализа иерархий
62
2
1
4
7
4
2
3
1
4
7
4
3
9
8
2
С
5.3.1. Метод «северо-западного угла»
Рассмотрим, например, так называемую, транспортную задачу
(табл.5.2), характерную для задач исследования операций.
Таблица 5.2
Стоимость перевозок товара из склада потребителю
Имеются предприятия и оптовые склады. Известны перечни заявок
каждого склада и мощности предприятий, кроме того, известны
транспортные расходы по доставке продукции с каждого предприятия
на каждый склад. требуется распределить поставляемую предприятиями
продукцию таким образом, чтобы минимизировать общие транспортные
расходы.
Эта модель отражает объективно существующую реальность;
критерий напрашивается сам собой (если, конечно, не учитывать
дополнительные факторы как, например, надежность поставок). То же
самое можно сказать про большинство моделей, применяющихся в
экономических задачах.
Успехи в применении исследования операций привели, в
частности, и к тому, что подобные модели стали использовать в
ситуациях, принципиально отличающихся от приведенной выше
транспортной задачи.
Рассмотрим решение транспортной задачи методом северозападного угла.
На 3 базы поступил однородный груз в количествах
соответственно 140, 160, 180 единиц. 5 предприятий подали заявки на
приобретение соответственно 60, 70, 120, 130, 100 единиц.
Стоимостная матрица:
.
63
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Запасы
А1
2 3 4 2 4
140
А2
8 4 1 4 1
180
А3
9 7 3 7 2
160
Потребление
60
70
120
130
100
480
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Запасы
А1
2
60 3 70 4 10
2 4
140
А2
8 4 1
110
4
70 1
180
А3
9 7 3 7
60 2 100
160
Потребление
60
70
120
130
100
480
Нужно составить такой план перевоза, чтобы общая суммарная
стоимость перевозок была минимальна. Составим таблицу перевозок:
Таблица 5.3
Таблица перевозок
Размерность полученной таблицы: (n·m)=3·5=15, где
n – число строк,
m – число столбцов.
Количество заполненных клеток: m+n-1=3+5-1=7.
Задача закрытая, т.к. А1+ А2+ А3= Б1+ Б2+ Б3+ Б4+ Б5 ,
140+180+160=60+70+120+130+100
480=480.
В противном случае задача открытая. При ее решении добавляют
еще один столбец (строку), в которые добавляется недостающие запасы
(потребление), причем тарифы перевозок для этого столбца (строки)
равны 0.
Метод северо-западного угла заключается в заполнении таблицы с
верхней, левой ячейки. Причем заполнение таблицы необходимо вести
так, что сумма по столбцам и строкам для отдельного предприятия и
базы отправления, равна общему потреблению и запасам
соответственно.
Таблица 5.4
Заполненная таблица перевозок методом северо-западного угла
После заполнения таблицы нужно посчитать общую стоимость
перевозок:
L=60·2+70·3+10·4+110·1+70·4+60·7+100·2=1380.
64
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Запасы
А1
2
60 3 70 4 10 2 4
140
А2
8 4 1
50 4 130 1
180
А3
9 7 3
60 7 2 100
160
Потребление
60
70
120
130
100
480
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Запасы
А1
2
60 3 70 4 2 10 4
140
А2
8 4 1
120 4 1 60
180
А3
9 7 3 7
120 2 40
160
Потребление
60
70
120
130
100
480
Далее, т.к. данный метод не позволяет получить оптимального варианта,
можно с помощью перестановок в таблице получить меньшие затраты
на перевозку.
Таблица 5.5
Оптимальный вариант перевозок товара
L=60·2+70·3+10·4+50·1+130·4+60·3+100·2=1320,
Т.е. сумма затрат на перевозку сократилась. Эти перестановки
продолжают до тех пор, пока сумма перевозок не достигнет
минимального значения.
5.3.2. Метод минимального элемента
Метод минимального элемента заключается в заполнении таблицы
с ячейки, где тариф перевозок минимальный. А далее заполнение
таблицы необходимо вести так, что сумма по столбцам и строкам для
отдельного предприятия и базы отправления, равна общему
потреблению и запасам соответственно.
Таблица 5.6
Стоимость перевозок товара из склада потребителю
L=60·2+70·3+10·2+120·1+120·7+60·1+40·2=1450.
Этот метод, как и метод северо-западного угла не позволяет
получить оптимального варианта. Поэтому можно с помощью
перестановок в таблице получить меньшие затраты на перевозку.
65
Б1
Б2
Б3
Б4
Б5
Запасы
А1
2
60 3 4 2 80 4
140 1 1 1 1
А2
8 4
10 1 120 4 50 1
180 3 3 3
А3
9 7
60 3 7 2 100
160 1 1 5
Потребление
60
70
120
130
100
480
6 1 2 2 1
1 2 2 1 1 2
1
1 2
5.3.3. Метод аппроксимации Фогеля
Для решения транспортной задачи может использоваться также
метод аппроксимации Фогеля.
Для этого, при заполнении таблицы, ставят напротив столбца и
строки разницу между минимальными тарифами (одинаковые тарифы
брать нельзя, т.е. разница между минимальными тарифами не должна
равняться 0). Далее, после определения вех разниц минимальных
значений тарифов, берут наибольшую и заполняют ячейку столбца или
строки, с минимальным тарифом, напротив которой стоит максимальная
разница минимальных тарифов. Это делают несколько раз пока это
возможно, а потом заполняют оставшиеся ячейки, причем заполнение
таблицы необходимо вести так, что сумма по столбцам и строкам для
отдельного предприятия и базы отправления, равна общему
потреблению и запасам соответственно
Таблица 5.7
Стоимость перевозок товара для метода аппроксимации Фогеля
северо-западного угла и методом минимального элемента, но также не
позволяет получить оптимального варианта. Поэтому можно с помощью
перестановок в таблице получить меньшие затраты на перевозку.
МАИ, опирающийся на многокритериальное описание проблемы, был
предложен и детально описан Саати Т. в своей работе "Принятие
L=60·2+80·2+10·4+120·1+50·4+60·7+100·2=1260.
Этот метод дает лучшие результаты по сравнению с методом
5.3.4. Метод анализа иерархий
Часто используемый в последнее время метод принятия решений -
66
решений: метод анализа иерархий". В методе используется дерево
критериев, в котором общие критерии разделяются на критерии
частного характера. Для каждой группы критериев определяются
коэффициенты важности. Альтернативы также сравниваются между
собой по отдельным критериям с целью определения каждой из них.
Средством определения коэффициентов важности критериев либо
критериальной ценности альтернатив является попарное сравнение.
Результат сравнения оценивается по бальной шкале. На основе таких
сравнений вычисляются коэффициенты важности критериев, оценки
альтернатив и находится общая оценка как взвешенная сумма оценок
критериев.
Несмотря на то, что МАИ не имеет строгого научного обоснования
и больше примыкает к эвристическим методам, этот метод нашел
широкое практическое применение из-за своей простоты и наглядности.
В ходе детального исследования МАИ были выявлены следующие
существенные недостатки, такие как:
Рассогласование оценок, связанное с трудностями оценки
отношений сложных элементов - 1-й вид рассогласования.
Рассогласование 2-го вида, связанное с предложенной дискретной
шкалой для оценки элементов.
Резкое увеличение количества оценок с увеличением набора
элементов. Не рекомендуется набор элементов больше 9.
Пересчет отношений значимости элементов в их важность
осуществляется приближенным методом.
Описание метода выполним на конкретном примере выбора
автомобиля.
Альтернативы:
Жигули
Москвич
Иж
Волга
Критерии:
стиль
надежность
экономия топлива
В основе АНР все та же линейная свертка, но оценки альтернатив и
веса критериев получаются особым образом. Его мы сейчас и
рассмотрим.
В модели АНР вместо критериальной таблицы принята
иерархия. Представим ее следующим образом:
Уровень 0 : Цель - выбрать автомобиль.
Уровень 1:
67
Альтернативы
Максимальная скорость
(км/час)
Нормированное
значение
Жигули
140
0,259
Москвич
130
0,241
Иж
120
0,222
Волга
150
0,278
Сумма
1,000
1
- равноценность
3
- умеренное превосходство
5
- сильное превосходство
7
- очень сильное превосходство
9
- высшее (крайнее) превосходство
Критерии -
– стиль
– надежность
– экономичность
Уровней может быть сколько угодно. Например, критерий 1-го
уровня "надежность" можно раскрыть уровнем 2 как: 1) надежность
двигателя, 2) надежность кузова, 3) надежность ходовой части.
Надежность ходовой части можно далее раскрыть уровнем 3, например,
как а) надежность тормозной системы, б) надежность подвески и т.д.
Мы же, для простоты объяснения, ограничимся Уровнем 1.
Теперь нужно получить оценки каждой альтернативы по каждому
критерию. Если существуют объективные оценки, то они просто
выписываются и нормируются таким образом, чтобы их сумма была
равна единице. Например, если бы нас интересовал критерий
"максимальная скорость" и имелись бы соответствующие данные по
каждому автомобилю, то нужно было бы составить следующую
таблицу.
Таблица 5.8
Выбор автомобиля по критерию "максимальная скорость"
А как быть с таким критерием как "стиль", для которого не
существует объективных оценок? В этом случае процедура Саати
рекомендует использовать парные сравнения. Для фиксации результата
сравнения пары альтернатив может использоваться, например, шкала
следующего типа:
68
Жигули
Москвич
Иж
Волга
Жигули
1/1
1/4
4/1
1/6
Москвич
4/1
1/1
4/1
1/4
Иж
1/4
1/4
1/1
1/5
Волга
6/1
4/1
5/1
1/1
Жигули
Москвич
Иж
Волга
Жигули
1,00
0,25
4,00
0,17
Москвич
4,00
1,00
4,00
0,25
Иж
0,25
0,25
1,00
0,20
Волга
6,00
4,00
5,00
1,00
Лицо, принимающее решение (ЛПР), просят попарно сравнить
альтернативы. Результат парных сравнений альтернатив для критерия
"стиль" записывается в виде табл. 5.9.
Таблица 5.9
Результат парных сравнений альтернатив для критерия «стиль»
Простые дроби в клетках трактуются следующим образом.
Например, на пересечении строки "Москвич" и столбца "Жигули"
записана дробь 4/1. Это выражает мнение ЛПР о том, что "стильность"
Москвича" в 4 раза выше, чем "стильность" Жигулей. Здесь вместо
приведенной выше шкалы превосходства использовалось понятие "быть
лучше в N раз", что также допустимо. Далее простые дроби переводятся
в десятичные. Получается такая табл.5.10.
Таблица 5.10
Результат парных сравнений альтернатив для критерия «стиль» в
виде десятичных дробей
Эта таблица есть не что иное, как таблица результатов парных
сравнений (см. раздел "Некритериальное структурирование множества
альтернатив"). Поступим с ней так же, как мы поступали в указанном
разделе - посчитаем строчные суммы.
69
Жигули
Москвич
Иж
Волга
Сумма по
строке
Жигули
1,00
0,25
4,00
0,17
5,42
Москвич
4,00
1,00
4,00
0,25
9,25
Иж
0,25
0,25
1,00
0,20
1,70
Волга
6,00
4,00
5,00
1,00
16,00
Сумма
32,37
Жигули
Москвич
Иж
Волга
Сумма
Жигули
1,00
0,25
4,00
0,17
0,116
Москвич
4,00
1,00
4,00
0,25
0,247
Иж
0,25
0,25
1,00
0,20
0,060
Волга
6,00
4,00
5,00
1,00
0,577
Сумма
1,00
Таблица 5.11
Просчитанные строчные суммы
Теперь, в отличие от прежнего, нормируем суммы таким образом,
чтобы их сумма в свою очередь была равна 1. Для этого просто
разделим сумму каждой строки на 32,37 (сумма последнего столбца, т.е.
сумма самих строчных сумм). Получим:
Таблица 5.12
Результат парных сравнений альтернатив после преобразования
В методе Саати полученные таким образом нормированные суммы
принимаются в качестве оценок альтернатив по критерию
"стильность". Отметим, что полученные оценки отражают
исключительно точку зрения конкретного ЛПР. На самом деле, вместо
строчных сумм Саати рекомендует использовать собственный вектор
матрицы парных сравнений, считая его более точной оценкой. Мы же
для простоты ограничимся строчными суммами, которые допустимы,
но, с точки зрения Саати, менее точны.
Аналогичным образом получаются веса критериев. Предположим,
конкретное ЛПР сравнило попарно критерии с точки зрения их
сравнительной важности. Запишем результаты сравнений в виде
таблицы.
70
Стиль
Надежность
Экономичность
Стиль
1/1
1/2
3/1
Надежность
2/1
1/1
4/1
Экономичность
1/3
1/4
1/1
Стиль
Надежность
Экономичность
Жигули
0,116
0,379
0,301
Москвич
0,247
0,290
0,239
Иж
0,060
0,074
0,212
Волга
0,577
0,257
0,248
Таблица 5.13
Результаты сравнений по трем критериям при выборе автомобиля
Как и прежде, утверждение типа "надежность в 2 раза важнее
стиля" записывается в виде дроби 2/1.
Применяя к этой таблице описанную выше процедуру, получим
веса критериев:
w1 = 0,32 (стиль), w2 = 0,56 (надежность), w3 = 0,12
(экономичность).
Таким образом, мы можем получить как веса критериев, так и
оценки альтернатив по критериям:
Таблица 5.14
Оценки альтернатив по критериям
следующие интегральные оценки альтернатив (функция полезности):
Используется отношение полученной интегральной оценки к
нормированной стоимости. Наилучшей считается альтернатива, для
которой указанное отношение максимально.
следующую таблицу:
Далее, применяя линейную свертку (взвешенную сумму), получим
Жигули - 0,306;
Москвич - 0,272;
Иж - 0,094;
Волга - 0,328.
Затем производится анализ отношения стоимость/эффективность.
В рамках нашего примера, сведем все необходимые данные в
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]