Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Радиотехнические цепи и сигналы. Лабораторный практикум. Учебное пособие.pdf
31
3. Постройте графики нормальной и равномерной плотностей распре-
m
min
ax=
max
bx=
Вариант
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
,Bm
0.5
0.1
1.0
1.5
–1.0
0.5
1.0
1.2
–4.0
–0.5
,Bσ
1
0.2
2.0
1.5
2.0
0.5
1.5
0.5 1 0.7
Вид сигнала
М С М С М С М С М
С
,BA
2.0
3.0
0.5
1.2
1.5
1.0
2.5
0.4
3.5
0.2
, Гцf
100
50
300
20
150
70
110
220
120
25
()Xt
X
() ( )Fx PX x= ≤
()
()
dF x
wxdx=
()
x
w x dx
−∞
=
∫
() ()
x
F x w x dx
−∞
=
∫
()PX x≤
x
деления вероятностей мгновенных значений случайных процессов с параметрами
и σ. Значения этих параметров приведены в табл. 4.1.
4. Определите среднее, дисперсию, коэффициенты эксцесса и
асимметрии для ПРВ случайных процессов п. 2. Для равномерного
закона определите параметры
и
, характеризующие
диапазон изменения случайной величины Х.
5. Изобразите качественно ожидаемые графики автокорреляционной функции и спектральной плотности мощности белого шума. Определите интервал корреляции и эффективную ширину спектра аналогового и дискретного белого шума.
Таблица 4.1
Пояснения и расчетные соотношения
Стационарный случайный процесс (ССП)
сечении (в произвольный момент времени) случайную величину (СВ)
Для описания СВ используются функция распределения вероятностей (ФРВ) и плотность распределения вероятностей (ПРВ) или просто
функция распределения (ФР) и плотность вероятности (ПВ). Для непрерывной СВ
при этом
Здесь
некоторого значения (порога)
Основные параметры и характеристики СВ и ССП приведены в
табл. 4.2.
представляет собой в
,
,
.
– это вероятность того, что СВ X не превосходит
.
.
32
32
Таблица 4.2
Параметры
Дискретные алгоритмы оценивания
Начальные моменты
1
ni
mX
Математическое ожидание
1
()m m xw x dx
∞
−∞
= =
∫
1
0
1
*
N
i
i
mX
N
−
=
=
∑
Центральные моменты
( ) ()
n
n
x m w x dx
∞
−∞
µ= −
∫
ˆ
() ()
n
x w x dx
∞
−∞
=
∫
ˆ
x xm= −
( )
( )
11
00
11
ˆ
**
NN
n
n
ni i
ii
Xm X
NN
−−
= =
µ= − =
∑∑
Дисперсия (второй цен-
22 2
22
ˆ
() ()D x w x dx m m
∞
−∞
=µ=σ= = −
∫
Dσ=
( )
1
2
2
0
1
** *
1
N
i
i
D Xm
N
−
=
=µ= − =
−
∑
1
2
0
1
ˆ
()
1
N
i
i
X
N
−
=
=
−
∑
**D
Коэффициент асимметрии
3
a3
γ=µ σ
3
a3
* * ( *)γ=µ σ
Коэффициент эксцесса
2
э4
3Dγ=µ −
2
э4
* * ( *) 3Dγ=µ −
(первый начальный момент)
тральный момент)
и характеристики
Непрерывная СВ в сечении СП
∞
m x w x dx
n
=
n
∫
−∞
()
=
,
– центрированное значение
– среднеквадратическое от-
клонение (СКО)
параметров и характеристик СП
1
N
−
n
*
=
N
, N– объем выборки
∑
i
0
=
,
σ=
33
33
Автокорреляционная функ-
ция (АКФ)
ˆˆ
(τ) [ ( ) ( τ)]K MXtXt= −=
ωτ
0
1
Re (ω) ω
j
G ed
∞
=
π
∫
[]M ⋅
( )( )
1
1
*( ) * * ,
Nl
i il
i
Kl X m X m
Nl
−
+
−
= −−
−
∑
0,1,2,..., / 3l lN= ≤
Коэффициент корреляции
кэ
0
1
( ) ( / 2) / ω
(0)
Kd
K
∞
τ = τ τ= π ∆
∫
к
0
1
*( )
*
l
l Kl
D
=
∑
0
0
l
0,1, 2, ..., / 2k kN= ≤
эк
0
1
ω (ω) ω ( / 2) / τ
(0)
Gd
G
∞
∆= =π
∫
/ (4 )
kNl=
э
/4
k
kl N=
Спектральная плотность
мощности (СПМ), иначе
энергетический спектр
Эффективная (энергетическая) ширина спектра
,
– знак математического ожида-
ния
2
(ω)
X
= =
(ω) lim 2 (τ) cos(ωτ) τ
G Kd
→∞
T
T
∞
*( ) 2 ( )cos(2 / )
G k K l lk N
∫
,
э
при этом
max
l
max
= π
∑
=
max
,
k
,
34
4.4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
д
f
1000N =
д
f
1000N =
1000N =
д
1000f =
min
ax=
max
bx=
Наблюдение процессов
1. Запустите программу. В появившемся окне выберите режим
«Наблюдение случайных процессов». В поле «Тип сигнала» выберите детерминированный сигнал. Установите частоту дискретизации
равной 1000, объем выборки
; вид, частота и амплитуда
сигнала устанавливаются согласно предварительному заданию (см.
табл. 4.1). Зарисуйте осциллограммы аналогового и дискретного сиг-
налов.
2. В поле «Тип сигнала» выберите случайный сигнал. В поле
«Вид ПРВ» выберите гауссовскую плотность распределения вероятностей стационарного СП. Установите частоту дискретизации
1000, объем выборки
, параметры m и σ те же, что исполь-
равной
зовались при выполнении предварительного задания.
Охарактеризуйте различия между детерминированным сигналом и
случайным процессом.
3. Повторите п. 2 для случая равномерной ПРВ. Охарактеризуйте
различия между нормальным и равномерным случайными процессами.
4. Повторите пп. 2 и 3, но введите нестационарный СП. Охаракте-
ризуйте различия между стационарным и нестационарным случайными процессами.
Измерение параметров СП
5. Измерьте параметры гауссовского и равномерного стационарно-
го СП: математического ожидания, СКО, коэффициентов асимметрии
и эксцесса. Объем выборки
. Для равномерного СП измерьте также параметры
и частота дискретизации
и
, сравните их с расчетными в предварительном задании.
Объясните, как по результатам измерений отличить СП c равномерным распределением от нормального СП.
6. Проведите несколько (три-пять) циклов измерения параметров
стационарного СП. Вид ПРВ (гауссовский или равномерный) устанавливается по указанию преподавателя.
Запуск очередной реализации СП осуществляется нажатием клавиши «Новая реализация» (см. рис. 4.2). Результаты измерений занеси-
35
те в таблицу. Убедитесь в том, что измеренные параметры являются
10 000N =
100 000N =
1000N =
10k =
k
k =
k
k
k =
N
1000N =
10 000N =
X
()wx
()Xt
()wx
случайными величинами.
7. Повторите п. 6 для
и
. Результаты изме-
рений также занесите в таблицу и оцените качественно (по разбросу
значений параметров) влияние объема выборки на точность измерений.
Изучение характеристик СП
Вернитесь в исходное меню (см. рис. 4.1) и установите режим
«Изучение характеристик случайного процесса». Окно этого режима
показано на рис. 4.3.
8. Пронаблюдайте гистограммы стационарного СП с равномерной
и гауссовской ПРВ. Объем выборки
стограммы
.
, число интервалов ги-
Для одного из видов ПРВ исследуйте, как влияет на форму гистограммы число интервалов
. Наблюдая гистограммы для
20, 30, 50, определите рациональное значение
, удовлетворяющее как
5, 10, 15,
высокой точности оценивания ПРВ, так и высокой разрешающей способности гистограммы. Зарисуйте гистограмму.
9. При фиксированном значении
(например,
10) пронаблюдайте и охарактеризуйте влияние на форму гистограммы объема выборки
: 100, 1000, 10 000, 100 000.
10. Объясните вид наблюдаемых графиков АКФ и СПМ (при
и
).
Зарисуйте графики АКФ для белого и окрашенного СП. Измерьте
интервалы корреляции.
4.5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Поясните коренное отличие случайных процессов (сигналов) от
детерминированных.
2. Какой сигнал (детерминированный или случайный) может быть
переносчиком информации и почему?
3. Дает ли полное описание случайной величины
распределения вероятностей
?
ее плотность
4. Достаточно ли для полного описания случайного процесса
указать плотность распределения вероятностей его мгновенного значения
?
36
5. Дайте определение стационарным процессам в «узком» и «ши-
роком» смыслах.
6. Если процесс стационарен в «узком» смысле, то можно ли
утверждать, что он стационарен также в «широком» смысле? Справедливо ли обратное?
7. Какой процесс называются эргодическим? При каких условиях
стационарный СП является эргодическим?
8. Что характеризует коэффициент эксцесса и как он определяется?
9. При положительном или отрицательном значении коэффициента
эксцесса вершина графика ПРВ более острая и более высокая, чем у
нормального (гауссовского) закона?
10. Что характеризует и как определяется коэффициент асиммет-
рии?
11. Если коэффициент асимметрии больше нуля, то левый или пра-
вый склон графика ПРВ более пологий?
12. Чем объясняется широкое применение модели гауссовского СП?
13. Может ли плотность вероятности быть отрицательной и, следо-
вательно, гистограмма пересекать ось абсцисс?
14. Как следует задавать рациональное количество интервалов для
гистограммы, чтобы добиться высокой точности оценивания ПРВ и
высокой разрешающей способности гистограммы?
15. Можно ли по виду гистограммы сказать что-либо о форме АКФ?
16. Какими свойствами обладает АКФ стационарного СП?
17. Приведите понятие интервала корреляции. Что он определяет?
18. Как связаны между собой АКФ и СПМ случайного процесса?
19. Спектральная плотность мощности (энергетический спектр) –
это действительная или комплексная функция частоты? Какими свойствами она обладает?
20. Чем меньше интервал корреляции СП, тем шире или уже его
энергетический спектр?
37
II. ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ
И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ В НИХ СИГНАЛОВ
Работа № 5
RC-ФИЛЬТРЫ НИЖНИХ И ВЕРХНИХ ЧАСТОТ
5.1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Исследование частотных и переходных характеристик RC-фильт-
ров.
5.2. ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОГО УСТРОЙСТВА
Виртуальная лабораторная установка собрана в среде «Multisim»
(рис. 5.1). Она включает в себя две RC-цепочки. Та, у которой напряжение снимается с емкости, может использоваться как фильтр нижних
частот (ФНЧ), та, у которой с сопротивления, – как фильтр верхних
частот (ФВЧ).
Ключом Кл1 и с помощью ключа Кл2 (ФНЧ-ФВЧ) на вход иссле-
дуемой схемы подается либо гармоническое напряжение от источника
V1, либо последовательность прямоугольных импульсов положительной полярности от источника V2.
Ключом Кл3 к выходу исследуемой схемы подключается индика-
торный блок, состоящий из осциллографа (XSC1) и построителя частотных характеристик (плоттера Боде) XBP1.
Действующие значения входного и выходного напряжения изме-
ряются вольтметрами: Uвх, Uвых.
Параметры фильтров для каждого рабочего места даны в табл. 5.1.
38
Рис. 5.1. Лабораторное устройство
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
C, нФ
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
R1, кОм
122
113
106
990
930
880
830
790
750
720
R2, кОм
6,1
5,6
5,3
4,9
4,6
4,4
4,2
3,9
3,7
3,6
12
( , )RRR=
Таблица 5.1
Параметры
5.3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Номер стенда
1. Изучите основные вопросы темы по конспекту лекций и литера-
туре [4, с. 60–63; 5, с. 30–41; 1, с. 174–177, 180–184].
Указание. Расчеты и построения по каждому фильтру проведите для двух
значений сопротивления
. Результаты расчетов занесите в табл. 5.2.
39
2. Рассчитайте и постройте графики АЧХ
( ( ))Kf
( ( ))fϕ
11
RCτ=
22
RCτ=
1
τ
2
τ
1
τ
2
τ
( , )ff
( , )ϕϕ
с1 с2
( , )ττ
ФНЧ Ф ВЧ
( ( ), ( ))h th t
у
()t
гр1
f
гр2
f
ϕ
ϕ
1
τ
τ
t
t
с1
τ
с2
τ
ФНЧ
ϕω
ФВЧ
()
вых
ФВЧ ФВЧ
вх
( ) ()
1
j
U
j
Kj K e
Uj
ϕω
ωτ
ω= = = ω
+ ωτ
RCτ=
фильтров для
и
. Графики постройте на миллиметров-
и ФЧХ
ке или бумаге в клеточку. На них же в ходе практической работы изобразите и результаты эксперимента. Рекомендуемые размеры: 5 см – по
вертикали и 10 см – по горизонтали (по оси частот). Масштаб по оси
частот: от 0 до 100 кГц – для
графике для
ФВЧ, так же и для
можно совместить кривые, соответствующие ФНЧ и
.
и от 0 до 10 кГц – для
. При этом на
3. Для каждого фильтра определите граничную частоту полосы
пропускания
гр1 гр2
гармонического сигнала
, фазовый сдвиг
на этой частоте. Отметьте их на гра-
гр1 гр2
и временной сдвиг
фиках.
4. Рассчитайте и постройте переходные характеристики фильтров
, а также рассчитайте и отметьте на графиках время
окончания переходного процесса
.
Таблица 5.2
Фильтр
,
кГц
кГц
,
гр1
,
град
ФВЧ
Пояснения и расчетные соотношения
Передаточная характеристика (частотный коэффициент пере-
дачи) представляет собой зависимость отношения комплексных ам-
плитуд выходного и входного напряжений от частоты:
U
вых
Uj
вх
где
Kj K e
ω= = = ω
( ) () ,
ФНЧ ФНЧ
– постоянная времени цепи.
гр2
град
1
,
1
+ ωτ
мкс
,
ФНЧ
у2
мкс
()
,
,
,
мкс
мкс
,
,
у1
2
мкс
мкс
j
,
40
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – это зависимость
ФНЧ ФВЧ
22
12
() , ()
1 (2 ) 1 (2 )
f
Kf Kf
ff
πτ
= =
+ πτ + πτ
ФНЧ ФВЧ
( ) arctg(2 ), ( ) arctg(1/ 2 )f ff fϕ =− πτ ϕ = πτ
12
гр max
( ) 0.707Kf K=
ФНЧ ФВЧ
гр гр
11
22
ff
RC
= = =
π πτ
гр
c
( ) ( )4
ω=ω
τ = ϕ ω = πτ
()ht
вх 0
( ( ) 1 В)
t
Ut
>
=σ=
ФНЧ
( ) 1 exp( / )ht t=− −τ
ФВЧ
( ) exp( / )ht t= −τ
(exp( / ) 0,05)t− τ≈
у
3t ≈τ
11
RCτ=
22
RCτ=
модуля частотного коэффициента передачи от частоты:
.
Фазочастотная характеристика – это зависимость аргумента ча-
стотного коэффициента передачи от частоты:
.
На граничной частоте модуль коэффициента передачи равен
от своего максимального значения
= 0.707.
Отсюда граничная частота RC-фильтров
.
Временной сдвиг выходного гармонического сигнала на граничной
частоте
.
Переходная характеристика
ный скачок напряжения на входе
– это реакция цепи на единич-
.
,
.
Переходной процесс можно считать законченным, когда реакция
достигнет уровня 0,95 для ФНЧ и 0.05 для ФВЧ
Отсюда время установления
5.4. ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
Указание. По результатам эксперимента проводится расчет и заполняется
таблица, аналогичная табл. 5.2.
.
у
.
1. Снимите АЧХ ФНЧ для
«Rabota5_Var1…8.mc10» со своим номером стенда (Var). Сравните
установленные параметры R и C с заданными. При необходимости исправления, а также замены R1 на R2, дважды щелкните на нужном
и
. Откройте файл