Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Психодидактика. Ч.7. Системно-логический подход к обучению и усвоению знаний по физике в средней школе. Учебно-методическое пособие
.pdf
2.4. Движение тела, брошенного под углом к горизонту
0
0
0
в
г
0
0 X
0Y
g
y0
sin00
y
cos
00x
Рассмотрим наиболее простой случай, когда тело брошено с по-
верхности Земли с некоторой скоростью
Более сложный случай, когда тело брошено с некоторой высоты под
углом к горизонту с начальной скоростью
положительным, так и отрицательным), учащиеся, интересующиеся
физикой, могут рассмотреть самостоятельно.
Здесь возникают следующие задачи:
1. Найти время полета тела.
2. Найти высоту подъема тела.
3. Найти дальность полета тела.
4. При каком угле полета дальность будет наибольшей.
5. При каком угле полета высота будет наибольшей.
6. Какова скорость в конце движения.
7. Какова скорость в любой точке траектории.
Для решения этих задач снова воспользуемся принципом незави-
симости движения. Разложим начальную скорость
ляющие: вертикальную и горизонтальную.
под углом к горизонту.
(причем, угол может как
на две состав-
Такое движение можно рассматривать как одновременное совер-
шение двух движений:
вертикальное движение вверх с ускорением
скоростью
горизонтальное движение (в горизонтальном направлении ни-
какие силы на тело не действуют, оно совершается согласно первому
закону Ньютона) с постоянной скоростью :
:
;
21
и начальной
.
Далее будем последовательно решать поставленные задачи.
y0
0
y
g
ttg
yy
yy
0
0
0
y
g
t
y
под
0
t t
полета под
2
g
t
y
по лета
0
2
g
t
по лета
sin20
y0
g
2
2
0
tg
th
y
Так как
0
y
g
t
y
под
0
tgyy
0
2
2
000
2 g
g
g
h
yyy
g
h
y
2
2
0
sin00
y
1. Найдем время полета.
Время полета равно удвоенному времени подъема (как это было
показано ранее на с. 17). Если бы тело просто поднималось вверх с
начальной скоростью
, то оно бы достигло наибольшей высоты, в
той точке, когда скорость
Время полета:
.
2. Найдем высоту подъема тела. В вертикальном направлении
тело движется равнозамедленно с начальной скоростью
нием
чим:
. Применив формулы равнозамедленного движения, полу-
.
, так как
, то
или
.
или
и ускоре-
22
gh2
sin
22
0
.
полетаx
tl
0
cos
00
x
g
t
y
по лета
0
2
sin00
y
g
l
sin2
cos
0
0
g
l
cossin2
2
0
g
l
2sin
2
0
.
2 2sin cos sin
90
0
2 90 45
0 0
sin0
cos
00x
3. Найдем дальность полета тела.
4. Проанализировав эту формулу, видим, что дальность полета за-
висит от начальной скорости и синуса угла. При данной конкретной
скорости дальность полета будет наибольшей тогда, когда будет
наибольшим синус угла, а он наибольший при угле
углом к горизонту, наибольшая дальность полета будет при угле
45.
5. Скорость в конце движения.
Для решения данной задачи воспользуемся формулой (с. 17), где
было показано, что конечная скорость вертикально движущегося вверх
тела равна начальной скорости бросания, то есть
меняется и остается равной
полета имеем:
. Значит, если
. Следовательно, для тела, брошенного под
. Горизонтальная составляющая в процессе полета не
. Таким образом, в конце
,
23
22
0
22
0
cossin
,
где
– результирующая скорость
222
0
cossin
0
.
sin cos
2 2
1
Модуль результирующей скорости в конечной точке траекто-
в
г
0
0 X
0Y
A
x
y
tg
x
cos
0
x
y
рии равен модулю начальной скорости, с которой тело было брошено под углом к горизонту.
Найдем направление результирующей скорости. Это направление
будет показывать, под каким углом тело войдет в Землю в конечной
точке траектории. Для ответа на вопрос воспользуемся рисунком.
угольника через тангенс угла. Тангенс равен отношению вертикальной составляющей скорости в точке А к ее горизонтальной со-
ставляющей
лась в процессе полета, и она равна:
составляющую
тельств (с. 16).
точку с той же скоростью, с которой она было брошено. Так как вертикальная составляющая начальной скорости движения
Искомый угол обозначим буквой . Его можно найти из тре-
. Горизонтальная составляющая
. Вертикальную
найдем на основании ранее выполненных доказа-
Тело, брошенное вертикально вверх, возвращается в исходную
24
не меня-
sin0
y
, то в конечной точке А траектории модуль вертикаль-
sin0
cos
sin
0
0
x
y
tg
cos
sin
cos
sin
0
0
sin
cos
tg
tg tg
ной составляющей будет также равен
будет в противоположную сторону, то есть вертикально вниз. Теперь
мы имеем возможность найти тангенс угла, под которым тело будет
входить в Землю,
есть тангенс начального угла к горизонту, под
которым тело было брошено,
есть тело войдет в Землю под тем же углом к горизонту, под кото-
рым оно брошено.
Кто хочет попробовать свои силы в решении таких аналитических
задач, предоставляем возможность вывести самостоятельно формулу
для нахождения (направления) скорости в любой момент времени для
любой точки траектории.
, но направлена она
. Но отношение
. Поэтому
. То
25
2.5. Кинетическая энергия
F m a
sa 2
2
F m a
sa2
2
s
m
F
2
2
A F s
s
sm
A
2
2
2
2
m
A
.
В 7-м классе мы на качественном уровне рассуждали, что кинетическая энергия – это энергия движущегося тела, что движущееся тело
может совершать работу, а также отмечали, что значение кинетической энергии зависит от массы и скорости тела. Но нам необходимо
выйти на количественный уровень и найти зависимости, позволяющие
вычислить эту энергию.
Представим себе идеальный случай, что к телу массой m в горизонтальном направлении приложена сила F. Под действием этой си-
лы тело из состояния покоя движется без трения и, пройдя некоторое
расстояние, приобретает скорость. Следовательно, оно двигалось с
ускорением a. Тогда по второму закону Ньютона сила
можно найти работу этой силы
В результате работы силы, тело приобрело скорость, а следовательно, и энергию. Покоящееся тело энергии не имело. Энергию оно
приобрело вследствие движения под действием силы, совершившей
работу. Теперь само тело, обладая энергией, может действовать на
другие тела и совершать соответствующую работу, воздействуя на них
и теряя свою скорость. Можно предположить, что кинетическая энергия, которой обладает тело, равна той механической работе, которая
была совершена для сообщения ему скорости и соответствует той ме-
26
ханической работе, которую теперь может совершить это движущееся
2
2
m
E
1
2
F m a
sa 2
2
1
2
2
sa
2
2
1
2
2
smF
2
2
1
2
2
A F s
s
sm
A
2
2
1
2
2
22
2
1
2
2
mmA
.
ДжмНм
с
мкг
с
мкгm
E
22
22
2
тело при взаимодействии до полной остановки.
Значит, кинетическая энергия
та кинетической энергии).
Из нее видно (как мы предполагали ранее), что кинетическая
энергия зависит от массы и скорости движущегося тела. Она прямо
пропорциональна массе и прямо пропорциональна квадрату скорости.
Мы рассмотрели случай, когда тело под действием силы начинало
двигаться из состояния покоя и приобретало некоторую скорость. В
общем случае сила может быть приложена к уже движущемуся со ско-
ростью
телу и менять его скорость до
(формула для подсче-
. Тогда рассуждения дают:
Это выражение получило название «теорема о кинетической энергии». Она формулируется следующим образом: работа силы равна
изменению кинетической энергии тела.
В случае, если на тело действуют несколько сил, то при выводе
формулы надо брать их равнодействующую.
Найдем наименование единицы кинетической энергии:
.
27
2.6. Период колебаний пружинного маятника
R
X
s
t
t
s
l
T
l R 2
RT2
22
22
xkm
Rx
Для вывода формулы периода колебаний пружинного маятника
воспользуемся аналогией, рассматривая проекцию вращающегося на
круге шарика в качестве маятника.
Период обращения шарика, вращающегося на диске (смотри ри-
сунок), может быть найден как отношение пути, пройденного за один
оборот, к скорости движения. Так как
движения проекции вращающегося шарика равен
длина окружности, – линейная скорость движения шарика.
Подставив в полученную формулу периода значение длины
окружности
движения шарика по окружности равна максимальной скорости пружинного маятника в точке равновесия. Найдем ее, приравняв максимальную кинетическую и потенциальную энергию пружинного маят-
ника:
, получим:
, где
. Линейная скорость
(x – максимальное смещение от
28
, то период
, где l –
положения равновесия колеблющейся точки, которое равно радиусу
m
RkRkm
2
2
22
22
m
k
R
RT2
T
R
R
k
m
2
T
m
k
2
окружности). Тогда
Подставляя значение скорости в формулу периода
получаем
Полученная формула позволяют видеть, отчего и как зависит период колебания пружинного маятника.
Период колебаний пружинного маятника зависит от массы и
жесткости пружины.
Период колебаний пружинного маятника прямо пропорционален
корню квадратному из массы и обратно пропорционален корню квадратному из жесткости пружины.
Кроме того, из формулы видно, что период колебаний не зависит
от амплитуды колебания маятника. Как при малых, так и при больших
отклонениях период будет одинаковым.
.
.
;
.
,
29
2.7. Период колебаний математического маятника
RT2
mg
F m g sin
OAB
sin
A
l
F
m g A
l
l
R
m
F
ц
2
l
Agm
R
m
2
A
B
L
F
mg
O
L
O
R
A
B
L
F
mg
L
O
R
Для вывода формулы воспользуемся аналогией между движением
шарика на нити, запущенного по окружности, и колебаниями математического маятника, у которого амплитуда колебаний равна радиусу
окружности вращения первого шарика.
Математический маятник движется по дуге окружности, но при небольших отклонениях эта дуга мало чем
отличается от прямой линии – хорды,
соединяющей данное положение шарика с положением равновесия. Период
колебаний найдем из условия движения шарика, запущенного по окружности. Период – это время одного оборота шарика. Чтобы найти это время,
надо длину окружности разделить на
линейную скорость движения по
треугольника, образованного разложением силы тяжести
равновесия
Найдем из него синус угла :
движется по окружности под действием центростремительной силы,
равной
нение, из которого затем найдем скорость:
окружности:
найдем из уравнения, приравняв силу,
найденную дважды: из условий движения вращающегося и колеблющегося
шариков.
Сначала найдем силу, возвращающую
маятник в положение равновесия, из
. При малых отклонениях маятника от положения
можно считать близким к прямоугольному.
. Тогда
– длина нити, а A – амплитуда колебаний маятника. Второй шарик
. Приравнивая оба значения силы, получим урав-
30
. Скорость
, где
.
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]