Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Психодидактика. Ч.7. Системно-логический подход к обучению и усвоению знаний по физике в средней школе. Учебно-методическое пособие
.pdf
путь такого движения можно находить по тем же формулам, в которых
ta
0
2
2
0
tats
231201
tttttt
231201
2
2
1
tas
появляется знак минус:
,
.
6. Перейдѐм к пятой задаче по отысканию простого и надежного
признака равноускоренного движения. Для этого проверим, как относятся пути, проходимые телом при равноускоренном движении за
равные последовательные промежутки времени.
Выведем это для трех точек, положения которых зафиксировано
через одинаковые последовательные промежутки времени. Найдем
пути, пройденные за эти три промежутка времени телом, скатываю-
щимся с наклонной плоскости.
Обозначим эти промежутки времени как
,
а соответствующие им изменения скорости обозначим как
.
Эти соотношения следуют из определения равноускоренного движения: скорость за любые одинаковые промежутки времени меняется на
одинаковую величину.
Найдем путь, пройденный телом за первый промежуток времени.
Так как движение начинается без начальной скорости, то
Найдем путь, пройденный телом за второй промежуток времени.
На втором промежутке времени движение было уже с начальной скоростью. Поэтому этот путь может быть найден по формуле
11
.
2
2
022
tats
. Конечная скорость на первом участке пути
ta
1
ta
02
2
2
2
ta
ttas
2
2
2
2
ta
tas
2
3
2
2
tas
2
2
022
tats
2
2
2
2
ta
tas
2
3
2
2
tas
.
ta
02
2
2
033
tats
ta
0203
02
ta
02
tatata 2
03
2
2
2
3
ta
ttas
2
2
2
2
3
ta
tas
2
5
2
3
tas
является начальной скоростью для второго участка пути.
Она равна, следовательно,
Компактно логическая схема нахождения пути на втором участке
может быть представлена в следующем виде:
Найдем путь, пройденный телом за третий промежуток времени,
по формуле
пути является начальной для третьего участка пути. Ее можно найти
по формуле
муле
. Тогда
,
. Тогда
.
. Конечная скорость на втором участке
в свою очередь находится по фор-
. Подставляем ее в
формулу пути
Рекомендуем этот вывод записать в виде краткой логической схе-
мы.
.
12
2
2
033
tats
2
2
2
2
3
ta
tas
2
5
2
3
tas
.
ta 2
03
Очевидно, на следующих участках пути мы получим
2
7
2
4
tas
2
9
2
5
tas
s
1
s
2
s
3
s
4
s
5
Пути, проходимые телом при равноускоренном движении за
равные последовательные промежутки времени относятся как ряд
последовательных нечетных чисел.
,
увидим, что
:
:
:
Вывод:
Это отношение и будет основным, экспериментально легко проверяемым признаком равноускоренного движения. Поэтому в слу-
чае хорошо проводимых измерений второй отрезок будет в 3 раза
больше первого, а третий в 5 раз больше первого. Таким образом, чтобы проверить экспериментально, является ли движение равноускоренным, ни скорость, ни ускорение мерить нет необходимости. Легче измерить отрезки пути, пройденные за первый, второй, третий и т. д.
промежуток времени. Если они относятся как 1: 3: 5 и т. д., то движение равноускоренное.
Существует и другой признак равноускоренного движения. В
случае, когда скорости в конце каждого промежутка времени известны, можно найти их отношения.
и т. д. Взяв отношение этих путей, мы
:
...относятся как 1: 3: 5: 7: 9…
13
Найдем скорость в конце первого промежутка времени
ta
1
ta
12
ta
02
tata
2
ta 2
2
аt
23
ta 2
03
tata 2
3
ta 3
3
ta 4
4
ta 5
5
1
2
3
4
5
00
ta
01
ta
1
ta
12
tatata 2
2
ta
23
tatata 32
3
ta 4
4
ta 5
5
Эта скорость будет начальной для второго промежутка времени (для
упрощения понимания, для второй секунды).
Скорость в конце второго промежутка времени равна
. На нем движение было с начальной скоростью, кото-
.
рую приобрело тело в конце первого промежутка времени,
Тогда
Таким же образом найдем скорость в конце третьего промежутка
времени:
скоростью будет служить скорость, приобретенная в конце второго
промежутка времени
.
Таким же образом,
Видим, что
Вывод: скорости, приобретаемые телом за равные последова-
тельные промежутки времени, относятся как ряд натуральных
чисел.
Логика получения этих формул может быть представлена следующим образом:
, или
. Для третьего промежутка времени начальной
:
:
:
:
.
. Тогда
,
:...=1 : 2 : 3 : 4 : 5 :...
и т. д.
, или
и т. д.
.
14
2.2. Движение по вертикали
0
h
g t
t
h
g
2
2
2
tg
t
h
g
2
При решении этих задач наибольший интерес представляет случай, связанный с поиском:
1. Времени падения тела с некоторой высоты.
2. Скорости, которую тело приобрело в момент падения на Землю.
3. Время, в течение которого будет подниматься тело до останов-
ки, если оно брошено с начальной скоростью
поверхности Земли.
4. Время, через которое тело, брошенное вертикально вверх, вер-
нется обратно в ту же точку.
5. Высоту, на которую поднимется тело, брошенное вертикально
вверх с поверхности Земли.
6. Скорость тела, возвратившегося на Землю, после бросания
вверх.
Если вы хорошо разберетесь в решении этих задач, то в дальнейшем сможете легко понять все математические выводы, связанные с
анализом:
1. Движение тела, брошенного горизонтально.
2. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.
3. Движение искусственных спутников Земли.
Итак, приступим к решению поставленных задач (можете проверить свои силы и попробовать решить их самостоятельно). Приведем
их решение, с которым вы можете сравнить свое собственное решение
либо научиться решать в случае, если не справитесь самостоятельно.
1. Найдем время падения тела с некоторой высоты h.
Пусть тело, выпущенное из рук, свободно падает без начальной
, вертикально вверх с
скорости. Найдем время падения.
2. Найдем скорость, которую тело приобрело в момент пада-
ния на Землю.
15
.
g
hg2
hg 2
.
g
ttg
tt0
0
0
t
g
t
g
t
00
2
2
0
tgth
g
t
0
2
2
2
0
0
0
g
g
g
h
gg
h
2
2
0
2
0
gh2
2
0
.
3. Найдем время подъема тела, брошенного вертикально вверх,
на максимальную высоту.
В наивысшей точке подъема скорость тела будет равна нулю.
4. Найдем максимальную высоту подъема тела.
, так как
(время подъема тела).
16
, то
5. Найдем время полета тела.
2
2
0
tgth
h 0
g
t
tg
t
0
2
0
2
2
tg
0
g
t
0
2
g
g
0
0
2
00
.
, так как
Следовательно, время полета равно удвоенному времени подъ-
ема.
6. Найдем скорость, с которой тело, брошенное вертикально
вверх, вернется на Землю.
Следовательно, тело, брошенное вертикально вверх, после
подъема и падения вернется на Землю с той же скоростью, с которой оно было брошено.
, то
.
17
2.3. Движение тела, брошенного горизонтально
0
0
t
h
g
2
0
t
h
g
2
g
hs2
0
Пусть тело брошено с некоторой высоты h горизонтально с
начальной скорость
ного случая решить четыре задачи.
1. Найти время полета.
2. Дальность полета.
3. Модуль и направление скорости в конечной точке траектории.
4. Модуль и направление скорости в любой точке траектории.
Для решения задачи воспользуемся принципом независимости
движения. Вспомним, что принцип гласит: если тело одновременно
участвует в нескольких движениях, то каждое из них совершается
независимо от другого. Движение тела, брошенного горизонтально,
рассмотрим как состоящее из двух движений:
свободное падение тела без начальной скорости с высоты h
под действием силы тяжести (вертикальное движение);
равномерное горизонтальное движение тела со скоростью
1. Чтобы найти время полета тела, надо найти время его сво-
бодного падения с высотыh. Для этого воспользуемся формулой
.
. Представляет практический интерес для дан-
.
2. Чтобы найти дальность полета, найдем путь горизонтально-
го равномерного движения, который пройдет тело, имеющее скорость
за время
3. Найдем модуль и направление скорости в конечной точке
траектории в момент падения тела на Землю.
В конечной точке тело будет иметь две составляющие скорости:
вертикальную в результате падения с высоты h и горизонтальную,
которую тело сохраняет с начала движения по инерции в соответствии
с первым законом Ньютона, так как в горизонтальном направлении во
время полета никакие силы на тело не действуют (силой трения мы
пренебрегаем). Модуль горизонтальной скорости остается тем же, что
;
.
18
и в начале движения –
0
gt
t
h
g
2
g
hg2
hg 2
0
hgв 2
0
h
0
в
г
22
2
2
0
2 hg
hg 2
2
0
0
2
hg
tgtg
hghg
2
2
sinsin
2
0
момент падения на Землю найдем по формуле
. Вертикальную составляющую скорости в
. Так как время
падения
Таким образом, в конечной точке траектории тело имеет две составляющие скорости, направленные под углом 90 друг к другу: гори-
зонтальную скорость
и вертикальную составляющую
может быть найдена как результат сложения этих двух скоростей.
Результирующую скорость найдем по теореме Пифагора:
Так как скорость – величина векторная, то чтобы ответить на вопрос задачи, недостаточно найти модуль, надо найти еще и направление скорости. Направление можно определить углом между осью X и
результирующей скоростью. Найдем тангенс угла
, то
, которую тело сохраняет с начала движения,
или
.
. Конечная скорость
.
.
При выполнении конкретного примера с заданной начальной скоростью и высотой тангенс угла определяется по тригонометрической
таблице.
Можно найти угол и по-другому; через синус или косинус угла:
,
19
hg
2
coscos
2
0
0
.
0
tg
t
h
g t
1
2
2
t
h
g
2
1
g
h
gtg
1
2
1
2 hg
22
2
1
2
0
2 hg
1
2
0
2 hg
0
1
2
gh
tgtg
в
г
0
h
0
Угол можно найти по любой из этих формул.
4. Найдем скорость в любой точке траектории, в которой окажется тело через заданное время. Задача может быть решена на основе
тех же рассуждений, которые приведены в пункте 3. В любой точке
траектории тело будет иметь две составляющих скорости: горизон-
тальную, которая не меняется с начала движения и всегда равна
вертикальную, которая приобретается телом в результате свободного
падения
рии. Выразим это время движения через расстояние, равное потери
высоты телом. Вертикальное движение есть свободное падение, поэтому через время
сти в точке А будет равна
щей скорости найдем по теореме Пифагора
Поскольку скорость – величина векторная, то необходимо найти не
только ее модуль, но и направление. Для этого определим тангенс угла
между горизонтальной составляющей и результирующей скоростью.
, где t – время движения до данной точки траекто-
тело пройдет путь, равный
. Тогда вертикальная составляющая скоро-
. Модуль результирую-
, и
.
. В случае решения конкретной задачи
найдем угол по тригонометрической таблице, подсчитав его тангенс.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]