Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оценка бизнеса и управление стоимостью фирмы. Учебное пособие
.pdf
висит от случайной ставки процентов.
Для годовой случайной ставки простых процентов r, принимающей на интервале [0, n] заранее неизвестное значение, функция распределения наращенной суммы (1.1.1) имеет вид [15]:
, (1.1.33)
где Fi(х) – функция распределения ставки процентов i.
Для годовой номинальной случайной ставки процентов, принимающей постоянное значение на интервале [0, n] с m-разовым начислениям процентов в
году функция распределения наращенной суммы
, (1.1.34)
где Fj.(x) – функция распределения номинальной ставки процентов j.
Используя формулы (1.1.33), (1.1.34), можно подсчитать все числовые характеристики наращенной суммы S.
Наращенная сумма для переменной ставки простых процентов определяется формулой (1.1.5). Будем считать, что ставки процентов i
независимыми в совокупности случайными величинами. Если i
, ..., im являются
1, i2
, ..., im - дис-
1, i2
кретные случайные величины, то и наращенная сумма S будет также дискретной случайной величиной и вычисление числовых характеристик S не представляет принципиальной трудности. Вычисление числовых характеристик S
для дискретных случайных ставок простых процентов i
, ..., im реализовано в
1, i2
ППП ФЭР.
Если ставки простых процентов i
, ..., im являются независимыми в сово-
1, i2
купности абсолютно-непрерывными случайными величинами, можно найти
плотность распределения наращенной суммы S, последовательно применяя
формулу свертки для плотностей [34], [35]. В частности, для двух интервалов
постоянства (т = 2) значений ставок простых процентов, распределенных по
равномерному закону, т. е. для
независимые
случайные величины, плотность распределения S имеет «трапецеидальный»
вид [15]:
где
(1.1.35)
21
I
2
r
1
r
2
…
r
S
P
p
1
p
2
…
p
S
Используя формулу (1.1.35), легко можно подсчитать вероятность попадания S в заданный интервал [S1, S2][t1, t4], среднее значение S и риск для S.
Рассмотрим теперь случай, когда среди ставок простых процентов i
im, определенных соответственно на интервалах длительностью n
1, n2
, ...,
1, i2
, ..., nm,
одна часть ставок процентов описывается абсолютно непрерывными распределениями, а другая – дискретными распределениями, и ставки i
, ..., im - неза-
1, i2
висимые в совокупности случайные величины. Последовательно используя
формулу свертки для плотностей, линейную комбинацию абсолютнонепрерывных случайных величин сведем к одной абсолютно-непрерывной случайной величине. А так как линейная комбинация дискретных случайных величин является дискретной случайной величиной, то, не ограничивая общности
рассуждений, можно рассмотреть случай двух интервалов постоянства ставок
процентов i1, i2. Для определенности рассуждений предположим, что i1 имеет
плотность распределения pi1(x), a i2 – дискретная случайная величина, имеющая
следующее распределение:
Используя формулу полной вероятности, получаем, что функция распределения наращенной суммы имеет вид [15]
(1.1.36)
Формула (1.1.36) позволяет легко вычислить вероятность P попадания
наращенной суммы в заданный интервал [S1; S2]:
P(S1 < S < S2) = Fs(S2) - Fs(S1).
Рассмотрим теперь ситуацию, когда ставки простых процентов i
определенные на интервалах длительностью n
, ..., nm, связаны цепной марков-
1, n2
ской зависимостью. Пусть интервал [0, п] разбит точками 0 = t1 < t2 < ...< t
на подинтервалы длиной пj = t
j+1
- t
, j =. На интервале [0, n] задан тренд
j
1, i2
, ..., im,
= п
m+1
f(t), определяющий общую тенденцию изменения процентных ставок. Ставка
простых процентов
t
), , складывается из значения f(t
j+1
маржи εξ, т. е. i
, принимающая постоянное значение на интервале (tj,
) тренда в начале интервала и
j
= f(tj) + εξj, где ξ
j
,
j
однородная цепь Маркова
с N состояниями {1, 2, ..., N}, начальным распределением вероятностей
и матрицей вероятностей одношаговых переходов
22
где заданные значения маржи.
Среднее значение наращенной суммы (1.1.5) равно [11]:
(1.1.37)
Можно также вычислить дисперсию S и вероятность попадания S в заданный интервал.
Для ставок сложных процентов i
, ..., im связанных цепной марковской
1, i2
зависимостью, среднее значение наращенной суммы (1.1.12) определяется
формулой, аналогичной формуле (1.1.37), если в ней множитель
заменить на множитель
…
Вычисление числовых характеристик S для ставок простых и сложных
процентов, связанных цепной зависимостью Маркова, реализовано в ППП
ФЭР.
Естественно, здесь рассмотрены лишь простейшие постановки задач со
случайными параметрами, возникающих в финансовой математике.
Пример 1.12. Планируется в начале следующего года положить в банк
1200$ на два года. Ожидается, что годовая ставка сложных процентов с равной
вероятностью будет находиться в интервале [8 %, 9 %]. Вычислите вероятность
того, что наращенная сумма S будет лежать в интервале $1400–$1420, S
min
, S
max
E{S} и риск σ данной финансовой операции.
Наращенная сумма S = 1200(1+i)2. Очевидно, что S
= 1399,68 дол., S
= 1200(1 + 0,09)2 = 1425,72 дол. Используя формулу (1.1.33),
max
получаем функцию распределения наращенной суммы: FS(x) = Fi(
= 1200(1 + 0,08)2 =
min
, где
,
Fi(x) – функция распределения случайной величины i. Тогда
) = 0,76878.
Плотность распределения S равна
По-
скольку плотность распределения S определена, то, действуя по обычным пра-
23
вилам теории вероятностей, вычисляем E
Рис. 1.2.1. Схема платежей и начислений процентов ренты постнумерандо
ГЛАВА 2. ПОСТОЯННЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ
Поток платежей, все члены которого – постоянные положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют посто-
янной финансовой рентой, или просто рентой.
Рента характеризуется следующими параметрами:
– член ренты – размер отдельного платежа (R);
– период ренты – временной интервал между двумя соседними (последо-
вательными) платежами;
– срок ренты – время от начала первого периода ренты до конца послед-
него (n);
– ставка процентов, по которой производятся начисления на платежи (i).
По количеству выплат в году ренты делятся на годовые (выплаты один раз
в конце года, для рент постнумерандо) и р – срочные (где р – количество выплат в году) (рис. 1.2.1).
По количеству начислений процентов на протяжении года различают ренты с
ежегодным начислением, с начислением т раз в году, с непрерывным начислением.
Ренты с бесконечным числом выплат называются вечными рентами.
Если срок ренты начинается сразу же после подписания контракта, такая
рента называется немедленной; если устанавливается льготный период после
подписания контракта, в течение которого рента не выплачивается, такая рента
называется отложенной, или отсроченной.
Если платежи выплачиваются в конце периода, то такая рента называется
обыкновенной или постнумерандо, если в начале периода, то говорят о ренте
пренумерандо.
Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная
= $1412,68, σ =
= $7,51691.
24
сумма (amount of annuity) и современная стоимость (present value). Экономи-
ческий смысл и содержание названных характеристик легче понять, если рассмотреть модели накопления фонда и погашения долга.
2.1. Наращенная сумма ренты постнумерандо и модель накопления фонда
Предположим, что собираемся накопить за n лет некоторую сумму денег,
для чего в конце каждого года взносит в банк R денежных единиц, причём на
каждый взнос индивидуально начисляются сложные проценты по номинальной
годовой ставке j. В этом случае первый взнос к концу срока накопления возрас-
тёт до величины
, второй – до величины
наконец, k-й взнос к моменту завершения процесса накопления возрастёт до ве-
личины
.
Эта схема наращения представлена на рис. 1.2.2, а. Нетрудно заметить,
что последовательность наращённых величин образует геометрическую прогрессию, сумма членов которой (S) равняется
.
Размер накопленного через n лет фонда (отсюда и название модели) будет
равен S (рис. 1.2.2). Величину S =
называют множителем
наращения ренты. Напомним, что в рассмотренном случае взносы производятся
один раз в конце года (рента постнумерандо), проценты также начисляются
один раз в году. В общем случае, взносы могу производиться p раз в год
(например, ежеквартально в конце каждого квартала), а проценты начисляться
m раз в году: такая рента называется p-срочной m-кратной.
Наращенная сумма S для такой ренты определяется по формуле
,
, (1.2.1)
где R – годовой член ренты;
, (1.2.2)
множитель наращения ренты; j – годовая процентная ставка.
Приведем запись формулы (1.2.2), удобную для расчётов на инженерном
калькуляторе:
)/(p
.
25
а б
Рис. 1.2.2. Модели накопления фонда (а) и погашения долга (б)
Переходя в формулах (1.2.1), (1.2.2) к пределу при , получим нара-
щенную сумму р-срочной ренты с непрерывным начислением процентов по годовой ставке j = δ:
,
. (1.2.3)
2.2. Современная стоимость ренты и модель погашения долга
Рассмотрим ещё один способ оценивания ренты (потока платежей), используемый в ситуациях, которые условно можно назвать «погашение долга».
Предположим, что в начальный («нулевой») момент времени у нас образовался
долг размера А, который мы намерены погасить с помощью потока платежей
(или «в рассрочку»), платя в конце каждого года одну и ту же величину R. Каждая из таких выплат будет являться погашением некоторой части долга Аj, и на
каждую эту часть будут начисляться сложные проценты по ставке i за период
n–j, тогда
,
,
………………., (1.2.4)
,
………………,
.
Перечисленные равенства можно записать так, чтобы A1, A2,…Aj,…An оказались в левой части:
,
,
…………………, (1.2.5)
,
…………………,
.
Вновь мы можем заметить, что последовательность чисел в правых частях
выражений (1.2.4) представляет собой геометрическую прогрессию, а количество членов равно n. Просуммировав все равенства (1.2.5), слева мы получим
размер погашаемого долга А, а справа – сумму членов геометрической прогрес-
26
сии; таким образом,
.
Современная величина А р-срочной ренты с m-разовым S начислением
процентов в году по номинальной ставке j определяется по формуле
, (1.2.6)
где R – годовой член ренты;
(1.2.7)
коэффициент приведения ренты. Для расчётов на калькуляторе удобнее записать формулу (1.2.5) в строку:
.
Переходя в формулах (1.2.4), (1.2.5) к пределу при , получим формулы
для современной величины р-срочной ренты с непрерывным начислением процентов по годовой ставке j = δ:
,
. (1.2.8)
Пример 2.1. Какую сумму необходимо 40-летнему мужчине вносить на
протяжении 20 лет в конце года на счет под 8 % годовых, чтобы затем, после
достижения пенсионного возраста в 60 лет, на протяжении 20 лет в конце каждого месяца снимать по $200? На остаток на счете начисляется 8 % годовых,
счет должен быть исчерпан за 20 лет.
Определим современную величину пенсионных выплат (R = 200·12; n = 20,
=24 415,55 дол.
p = 12, m = 1):
Эту сумму мужчина должен накопить в течение 20 лет, внося на счет в конце каждого года сумму R: 24 415,55 = Rs
= (24 415,55·0,08)/(1,08
1/12
-1) = 24 415,55 дол.
. Таким образом, R = 24 425,55/s
20;8
20;8 =
2.3. Определение параметров рент постнумерандо
Один из неизвестных параметров ренты R, п, j или δ можно определить,
если формулы для наращенной суммы (1.2.1), (1.2.3) или современной величины (1.2.4), (1.2.6) разрешить относительно неизвестного параметра.
При расчете срока ренты п следует принимать во внимание следующие обстоятельства. Расчетное значение п, как правило, будет дробным числом.
27
Округлению до ближайшего меньшего числа подлежит число периодов ренты
пр. В результате такого округления будет возникать недоплата, которую ком-
пенсируют либо увеличением первого взноса, либо увеличением размера члена
ренты. Если заданной является современная величина А, то положительное зна-
чение п существует лишь для
.
или для
Ставку процентов j или δ находят как результат приближенного решения
соответствующего уравнения одним из методов: дихотомии, линейной интер-
поляции, Ньютона - Рафсона [40].
Пример 2.2. За какой срок можно накопить $100 тыс., если в конце каждо-
го года на счет вносится $15 тыс. и на собственные средства начисляются раз в
конце года сложные проценты по ставке 8,75 % годовых? На сколько нужно
увеличить годовые выплаты, чтобы не было недоплаты?
Наращенная сумма S = 100 тыс., R = 15 тыс., i = 0,0875. Срок финансовой
операции n определим из соотношения 100 = 15(0,0875n-1)/0,0875. Отсюда получаем n = ln(1+100·0,0875/15)/ln(1,0875) = 5,478 года. Если требуется накопить
указанную сумму за целое число лет, то округляем найденное значение п до
ближайшего меньшего целого числа п1 = 5 лет. В этом случае годовой платеж
R1 = = 100/s
= 16 792,69 дол., т. е. годовые выплаты нужно увеличить на 1
5;8,75
792,69 дол.
Пример 2.3. Долг в сумме $370 тыс. погашается в течение пяти лет равны-
ми платежами с годовой выплатой по $85 тыс. Чему будет равна эффективность
займа в виде годовой ставки сложных процентов, если платежи производятся:
а) в конце года; б) в начале года; в) в конце каждого месяца?
а) Годовую ставку i сложных процентов найдем из соотношения: 370 = 85a
5;i
= = 85(1-(1 + i)-5)/i. Это уравнение нелинейное относительно i и разрешить его
относительно неизвестного параметра i можно только лишь численно, используя известные методы приближенного решения уравнений. В итоге получаем i
= = 0,048 047 7 = 4,804 77%.
б) Так как выплаты производятся в начале каждого года, то, используя
формулу (2.12), найдем годовую ставку процентов i из уравнения 370 = 85(1 +
i)(1 - - (1 + i)-5)/i. Численное решение данного уравнения дает следующий ре-
зультат: i = 0,074 516 3 = 7,451 63 %.
в) В данном случае аналогичное уравнение трансформируется к виду 370 =
= 85
= 85(1 - (1 + i)
-5
)/(12((1 + i)
1/12
- 1)). Результат численного решения это-
го уравнения следующий: i = 0,057 386 9 = 5,738 69 %.
2.4. Наращенная сумма и современная стоимость других видов постоянных
рент
Рассмотрим ренты, которые отличаются от рассмотренных ранее по применяемым процентным ставкам, срокам платежей, способу начисления процен-
28
тов, моменту производства платежей.
Рента с простыми процентами. Современную величину А и наращенную сумму р-срочной ренты продолжительностью п лет с годовой ставкой простых процентов i и годовым членом R определяют по формулам
, (1.2.9)
Смешанные ренты. Срочные ренты (р > 1), у которых на платежи в пределах года начисляют простые проценты, а за годовые периоды – сложные,
называют смешанными рентами. Современную величину А и наращенную
сумму S таких рент определяют по формулам
где R – годовой член ренты; а
n;i, sn;i
– коэффициенты приведения и наращения
, (1.2.10)
обычных годовых рент (р = т = 1); i – годовая ставка процентов.
Рента с периодом, превышающим год. Пусть период ренты r > 1, процен-
ты начисляются раз в конце года по ставке r годовых, платеж в конце периода
равен Rr срок ренты п кратен r. Тогда наращенная сумма S и современная величина А равны
. (1.2.11)
Вечная рента. Рента, число выплат которой бесконечно, называется веч-
ной. Современная величина
, вечной р-срочной ренты, с m-разовым начис-
лением процентов в году по номинальной ставке j с годовым членом R
. (1.2.12)
Отложенная рента. Начало действия отложенной, или отсроченной,
ренты начинается спустя t лет после подписания финансового контракта. Очевидно, что запаздывание на t лет в выплате платежей по сравнению с обычной
рентой не влияет на величину наращенной суммы отложенной (отсроченной)
ренты. По иному обстоит дело с современной величиной отложенной ренты:
она равна дисконтированному значению современной величины немедленной
ренты (период дисконтирования равен величине (отсрочки платежей). Дисконтный множитель должен соответствовать применяемым процентным ставкам и способу начисления процентов. Например, наращенная сумма St и современная величина At отложенной р-срочной ренты постнумерандо с m-разовым
начислением процентов в году равны
, (1.2.13)
где S и А – наращенная сумма и современная величина соответствующей немедленной ренты постнумерандо.
29
Рента пренумерандо. Ренты с выплатами в начале периода называются
Рис. 1.2.3. Схема платежей годовой ренты пренумерандо
Рис. 1.2.4. Схема платежей годовой ренты с выплатами в середине
периодов
рентами пренумерандо (рис. 1.2.3). При вычислении наращенной суммы и современной величины ренты пренумерандо можно использовать следующий
прием.
Все выплаты путем наращения вывести на конец соответствующих периодов и к вновь полученной ренте постнумерандо применить обычные формулы
для вычисления наращенной суммы и современной величины ренты.
Например, наращенная сумма S и современная величинаА р-срочной ренты
пренумерандо с m-разовым начислением процентов в году равны
, (1.2.14)
где S и А – наращенная сумма и современная величина соответствующей ренты
постнумерандо.
Из этих формул следует, что наращенная сумма и современная величина
рент пренумерандо больше соответствующих величин рент постнумерандо.
Ренты с платежами в середине периодов (рис. 1.2.4). Если поступления
от произведенных инвестиций распределяются более или менее равномерно на
протяжении периода, используют ренты с выплатами в середине периодов. В
подобных ситуациях для уменьшения погрешности вычислений рекомендуется
суммы поступлений за период относить к середине этого периода.
Наращенная сумма S
и современная величина A
1/2
р-срочной ренты c m-
1/2
разовым начислением процентов в году равны
30
, (1.2.15)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]