Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы численных методов. Практикум
.pdf
МОСКОВСКИЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра информатики и математики
Н. С. Кондаков
ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Практикум
Рекомендуется для подготовки бакалавров
по направлению 230700.62 «Прикладная информатика»
Издательство Московского гуманитарного университета
2014
1
УДК 681.324
ББК 22.193
К 64
Автор
Н. С. Кондаков, кандидат технических наук, доцент.
Рецензенты:
А. П. Мацнев, кандидат технических наук, доцент,
декан, профессор факультета информатики Московского государственного
университета приборостроения и информатики;
С. Н. Буренин, доцент кафедры информатики и математики Московского
гуманитарного университета.
.
Кондаков, Н.С.
Основы численных методов : практикум / Н. С. Кондаков. — М. :
Издательство Московского гуманитарного университета, 2014. — 92 с.
ISBN 978-5-98079-981-6
В практикуме по курсу «Численные методы» излагаются основные разделы курса.
В начале каждого раздела приводится сводка основных теоретических положений,
определений и формул, затем подробно разбираются типовые примеры, приводится большое
количество заданий для самостоятельного решения.
Практикум предназначен для студентов, обучающихся по направлению 230700.62
«Прикладная информатика», а также для всех желающих познакомиться
численными методами решения различных задач.
с
УДК
681.324
ББК 22.193
ISBN 978-5-98079-981-6
© Кондаков, Н.С., 2014
© Московский гуманитарный университет, 2014
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
1.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ (f(x) = 0 ) ............. 4
1.1 МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ ...................................................................................................................... 4
1.2 СПОСОБ ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫХ ЧАСТЕЙ (МЕТОД ХОРД) ................................................................................... 5
1.3 МЕТОД НЬЮТОНА (МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ) ...................................................................................................... 7
1.4 МЕТОД ИТЕРАЦИИ (МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ) ................................................................. 8
1.5 ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ ............................................................ 11
2. ВЕКТОРА И МАТРИЦЫ ................................................................................ 12
2.1 СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ ................................................................................................ 12
2.2 УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ ..................................................................................................................................... 13
2.3 ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ МАТРИЦЫ .............................................................................................................................. 14
2.4 РАНГ МАТРИЦЫ, МИНОР, АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ ............................................................................ 15
2.5 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ........................................................................................................................ 16
2.6 МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ МАТРИЦ ....................................................................................................................... 16
2.7 ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: МАТРИЦЫ И ВЕКТОРА ...................................................................................................... 19
3. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ............... 27
3.1 ОБУСЛОВЛЕННОСТЬ СЛАУ ............................................................................................................................ 27
3.2 МЕТОД ГАУССА ............................................................................................................................................... 28
3.3 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ ................................................................................................... 32
3.4 УТОЧНЕНИЕ РЕШЕНИЯ .................................................................................................................................... 36
3.5 ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ................................................... 37
4. СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ................................................ 44
4.1 МЕТОД НЬЮТОНА ДЛЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ....................................................................... 44
4.2 МЕТОД ИТЕРАЦИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ........................................................................ 46
4.3 ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ............................................................................. 49
5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ............................................................. 50
5.1 МЕТОДЫ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ ........................................................................................................................ 51
5.2 МЕТОД ТРАПЕЦИЙ ........................................................................................................................................... 53
5.3 МЕТОД ПАРАБОЛ (МЕТОД СИМПСОНА) ........................................................................................................... 53
5.4 ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ .................................................................. 56
6. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ .................. 56
6.1 МЕТОД ЭЙЛЕРА ............................................................................................................................................... 58
6.2 МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА ......................................................................................................... 60
6.3 УСОВЕРШЕНСТВОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА .................................................................................................... 62
6.4 МЕТОД РУНГЕ – КУТТА ................................................................................................................................... 63
6.5 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ .................................................................................. 64
6.6 РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ............................................................................................................................ 65
6.7 ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ .......................................................................................................... 66
6.8 ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ..................................................... 68
6.9 ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ОБЫКНОВЕННЫЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ................................................................ 68
7. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ................................................................................ 71
7.1 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА............................................................................................. 72
7.2 КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ ..................................................................................................................................... 75
7.3 ПЕРВАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ РАВНООТСТОЯЩИХ УЗЛОВ ................................... 76
7.4 РАЗДЕЛЕННЫЕ РАЗНОСТИ ................................................................................................................................ 78
7.5 ПЕРВАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА ДЛЯ НЕРАВНООТСТОЯЩИХ УЗЛОВ ............................... 80
7.6 ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ...................................................................................................... 80
8. АППРОКСИМАЦИЯ ....................................................................................... 82
8.1 ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ ........................................................................................................................................ 82
8.2 ЛИНЕАРИЗАЦИЯ МОДЕЛИ ................................................................................................................................ 85
8.3 ОБЩАЯ ФОРМУЛА МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ................................................................................. 86
8.4 ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: АППРОКСИМАЦИЯ (ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ) ........................................................................ 89
8.5 ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ: АППРОКСИМАЦИЯ (ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ) ............................................ 90
3
1РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ (f(x) = 0)
1.1 Метод половинного деления
Метод основан на вычислении значений исследуемой функции f(x) на
концах исходного интервала [a, b] и в его середине.
Расчетная формула метода:
.
На новой итерации выбирают ту половину интервала, на концах которого
функция имеет разные знаки. Процесс деления отрезка продолжают до тех пор,
пока не будет выполнено условие окончания поиска (оно может быть записано
в одном из двух вариантов): а – в или f(x) .
Графическая иллюстрация метода
Блок-схема метода
Ввода,b,
Вычислениеf(a)
x=(a+b)/2
Вычислениеf(x)
abs(f(x))>
Нет
dx=(b‐a)/2
x,f(x),dx
f(x)
Да
b=x a=x
f(a)*f(x)>0
4
ДаНет
Пример. Уточнить корень уравнения
f(x) = x4 + 2x3 – x – 1 = 0, лежащий на отрезке [0,1] с точностью = 0,05.
N A B X F(a) F(b) F(x)
1 0 1 0,5 -1 1 -1,19 1
2 0,5 1 0,75 -1,19 1 -0,59 0,5
3 0,75 1 0,875 -0,59 1 0,05 0,25
4 0,75 0,875 0,8125 -0,59 0,05 -0,304 0,125
5 0,8125 0,875 0,8438 -0,304 0,05 -0,135 0,0625
6 0,8438 0,875 0,8594 -0,135 0,05 -0,043 0,031 25
Можно принять в качестве ответа либо последний интервал
1
2
либо его половину, на концах которого функция имеет разные знаки:
1
ξ
2
Как видно, во втором случае достигнутая точность гораздо выше.
1
8438,0875,0
2
1
8594,0875,0
2
1.2 Способ пропорциональных частей (метод хорд)
Графическая иллюстрация метода
b - a
,0156.08594,08438,0875,0
.0078,08672,08594,0875,0
Если на интервале [a,b] функция имеет разные знаки (f(a)*f(b) < 0 ), то
последующие приближения в этом методе находят по формуле
5
В методе хорд один из концов отрезка закреплен, т. е. вычисления
h
очередного приближения проводят по формулам
либо
При расчете предполагают, что f’’(x) сохраняет знак на исходном
интервале.
Блок-схема метода
Пример. Найти положительный корень уравнения
N A B H X F(a) F(b) F(x)
1 1 1,5 0,1481 1,1481 -0,6 1,425 -0,1799
2 1,1481 1,5 0,0390 1,1871 -0,1799 1,425 -0,0464
3 1,1871 1,5 0,0099 1,1970 -0,0464 1,425 -0,0109
4 1,1970 1,5 0,0023 1,1933 -0,0109 1,425 -0,0025
5 1,1993 1,5 0,0005 1,1998 -0,0025 1,425
b=x a=x
f(x) = x3 – 0,2x2 – 0,2x – 1,2 = 0 с точностью до 0,002.
Да Нет
Нет Да
a,b,
)(
h
af
f(a)*f(x)<0
x=a+h
afbf
)()(
f(x)
)(
ab
6
x,f(x)
1.3 Метод Ньютона (метод касательных)
h
В отличие от предыдущих методов, которые для поиска корня требуют
две точки, метод касательных принадлежит к группе одноточечных методов.
Если х
последовательное приближение находят по формуле:
– начальное приближение корня уравнения f(x) = 0, то очередное
0
.
Графическая иллюстрация метода
Блок-схема метода
Нет
Да Нет
Да
x,f(x)
a,b,x,
h=‐f(x)/f‘(x)
x=x+h
axb
7
Сокращениеинтервала,выбор
f(x)
новогох
f'(x)
Пример. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения
f(x) = x4 – 3x2 + 75x – 10 000 = 0.
N X
0 -11 3453 -5183 0,6662
1 -10,3336 307,3 4276,8 0,0718
2 -10,2618 3,496 4185,9 0,0008
3 -10,261 0,1477
F(x0) F’(x0) H0 = f(x0) / f’(x0)
0
Если вычисление производной достаточно трудоемко, то можно
использовать модификацию этого метода. В ней производная вычисляется
только один раз в начальной точке, и затем это значение используется на всех
последующих итерациях.
1.4 Метод итерации (метод последовательных приближений)
Исходное уравнение приводится к итерационной форме
x = (x).
Условие сходимости метода
'(x) < 1.
Графическая иллюстрация метода
f(x)
y=(x)
X
0
y=x
f(x)=0
X
1
8
X
Блок-схема метода
Пример. Решить линейное уравнение 2x – 1 = 0 с точностью 0,01.
Для этого уравнения возможны, например, следующие итерационные формы:
2,5x – 0,5x – 1 = 0.
x = 5x – 2 '(x) = 5 > 1.
x = 0,2x + 0,4 '(x) = 0,2 < 1.
1,3x + 0,7x – 1 = 0.
x = -1,857x+.1,428 '(x) = 1,857 > 1.
x = -0,538x + 0,769 '(x) = 0,538 < 1.
10x – 8x – 1 = 0.
x = 1,125x – 0,125 '(x) = 1,125 > 1.
x = 0,8x + 0,1 '(x) = 0,8 < 1.
Если выбрать подходящие итерационные
то получатся различные результаты
(x)
n x
0 1,000 0,600 1,000 0,231 1,000 0,900
1 0,600 0,520 0,231 0,645 0,900 0,820
2 0,520 0,504 0,645 0,422 0,820 0,756
3 0,504 0,501 0,422 0,542 0,756 0,705
4 0,542 0,477 0,705 0,664
5 0,477 0,512 0,664 0,631
6 0,512 0,494 0,631 0,605
7 0,494 0,503 0,605 0,584
8 0,503 0,498 0,584 0,567
x‐c<
Да
Выводх
0,2x + 0,4 -0,54x + 0,769 0,8x + 0,1
(x)
Вводс,
x=(c)
Нет
формы и провести решение этого уравнения,
x
9
c=x
(x)
(x)
x
(x)
9 0,567 0,554
10 0,554 0,543
11 0,543 0,534
12 0,534 0,527
13 0,527 0,522
Как видно, в третьем случае точное решение не попадает в найденный интервал.
Кроме этого, следует обратить внимание на характер сходимости – в первом и третьем
случаях она монотонная, а во втором случае – колебательная.
Приведение уравнения f(x) = 0 к виду x = (x) для обеспечения
выполнения неравенства '(x) < 1
В этом случае можно выбрать итерационную форму
(x) = x + * f(x),
причем
1
M
1
,
где M
– наибольшее значение производной f‘(x) на отрезке [a; b].
1
Пример. Решить методом простой итерации уравнение
f(x) = x2 – 0.6 на отрезке [0; 1] с точностью 0,025.
Для решения исходное уравнение приводится к виду
x = x +
* (x2 – 0,6).
Для выбора величины
используют приведенную выше формулу
= – 1 / max{f '(x)} = -1/ (2x) = -1/2.
Тогда расчетная формула имеет вид
x
i+1
= -0,5x
+ xi + 0,3.
i
2
В качестве начального приближения можно выбрать верхнюю границу заданного
отрезка х
= 1.
0
N X
X
i
i+1
x
– x
i+1
i
0 1 0,8 0,2
1 0,8 0,78 0,02
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]