Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы численных методов. Практикум
.pdf
Вариант 9
1. Решить СЛАУ методом Гаусса. Привести матрицу после прямого хода.
- 1,48 * x1 – 3,03 * x2 + 2,84 * x3 – 4,10 * x4 = -4,27- 0,64 * x1 + 3,50 * x2 + 2,91 * x3 – 3,93 * x4
= 8,240,70 * x1 + 0,03 * x2 + 1,03 * x3 + 0,47 * x4 = -3,64- 1,53 * x1 – 1,50 * x2 + 2,22 * x3 +
1,47 * x4 = -16,96.
2. Решить СЛАУ методом простой итерации и методом Гаусса – Зейделя:
Привести приведенную матрицу. В качестве начального приближения взять
преобразованный вектор свободных членов.
Оформить три
сходящиеся итерации.
- 0,00 * x1 + 6,03 * x2 – 0,60 * x3 – 2,22 * x4 = -25,731,50 * x1 – 0,48 * x2 + 9,42 * x3 + 0,20 * x4
= 8,35- 1,44 * x1 + 2,48 * x2 + 1,57 * x3 – 11,74 * x4 = -49,79;
- 4,65 * x1 + 0,63 * x2 + 1,48 * x3 – 0,49 * x4 = -23,11.
3. Для данной СЛАУ провести уточнение полученного решения (x1 = -1,72; x2 = 0,76;
x3 = 0,31):
2,78 * x1 – 1,33 * x2 – 2,12 * x3 = -0,192,99 * x1 – 1,42 * x2 – 1,71 * x3 = -0,01;
0,15 * x1 + 1,97 * x2 – 1,79 * x3 = 0,60.
Вычислить обратную матрицу и число обусловленности.
Вариант 10
1. Решить СЛАУ методом Гаусса. Привести матрицу после прямого хода.
4,14 * x1 + 0,10 * x2 + 3,46 * x3 + 4,03 * x4 = -0,11;
2,49 * x1 + 4,13 * x2 + 1,03 * x3 + 1,70 * x4 = 19,23;
1,33 * x1 – 1,84 * x2 – 3,35 * x3 + 3,59 * x4 = 13,89;
- 3,41 * x1 + 4,12 * x2 – 4,65 * x3 + 2,09 * x4 = 52,63.
2. Решить СЛАУ методом простой итерации и методом Гаусса – Зейделя:
Привести приведенную матрицу. В качестве начального приближения взять
преобразованный вектор свободных членов.
Оформить три
сходящиеся итерации.
0,51 * x1 + 3,90 * x2 + 1,06 * x3 + 0,39 * x4 = 16,38- 2,38 * x1 + 0,29 * x2 – 1,87 * x3 –
10,18 * x4 = -17,529,41 * x1 + 2,19 * x2 + 1,80 * x3 – 1,43 * x4 = 10,200,35 * x1 + 0,83 * x2 –
9,07 * x3 – 0,60 * x4 = -31,073.
Для данной СЛАУ провести уточнение полученного решения (x1 = 1,09; x2 = 2,33;
x3 = 0,63):
- 0,29 * x1 + 0,86 * x2 – 1,68 * x3 = 0,83- 0,07 * x1 + 0,77 * x2 – 1,28 * x3 = 0,52- 2,91 * x1 – 2,84
* x2 – 1,36 * x3 = 3,23.
Вычислить обратную матрицу и число обусловленности.
Вариант 11
1. Решить СЛАУ методом Гаусса. Привести матрицу после прямого хода.
- 0,23 * x1 + 3,22 * x2 + 4,09 * x3 + 2,15 * x4 = -8,32- 4,39 * x1 + 4,75 * x2 – 0,84 * x3 – 2,68 * x4
= -28,201,95 * x1 – 3,72 * x2 + 2,28 * x3 – 3,28 * x4 = -2,13;
4,72 * x1 – 0,25 * x2 – 1,53 * x3 + 2,72 * x4 = 25,31.
2. Решить СЛАУ методом простой итерации и методом Гаусса – Зейделя:
Привести приведенную матрицу. В качестве начального приближения взять
преобразованный вектор свободных членов.
41
Оформить три
сходящиеся итерации.
0,66 * x1 – 0,11 * x2 + 4,99 * x3 + 0,97 * x4 = 17,831,68 * x1 – 1,90 * x2 – 0,30 * x3 – 8,61 * x4 =
-7,25;
- 11,32 * x1 + 2,07 * x2 + 1,09 * x3 + 0,12 * x4 = 51,64;
- 1,88 * x1 + 9,15 * x2 – 2,48 * x3 – 1,59 * x4 = 25,78.
3. Для данной СЛАУ провести уточнение полученного решения (x1 = -1,10; x2 = -1,11;
x3 = 0,94):
- 3,35 * x1 + 3,05 * x2 – 1,25 * x3 = 2,68;
- 3,14 * x1 + 2,95 * x2 – 0,84 * x3 = 1,87;
1,03 * x1 – 0,65 * x2 – 0,92 * x3 = 0,81.
Вычислить обратную матрицу и число обусловленности.
Вариант 12
1. Решить СЛАУ методом Гаусса. Привести матрицу после прямого хода.
- 4,61 * x1 – 3,65 * x2 + 4,71 * x3 + 0,28 * x4 = -3,35- 1,26 * x1 – 4,62 * x2 – 2,72 * x3 +
2,95 * x4 = 3,822,58 * x1 + 4,41 * x2 – 2,10 * x3 – 0,16 * x4 = 3,972,84 * x1 – 4,63 * x2 + 1,60 *
x3 + 3,34 * x4 = -8,01.
2. Решить СЛАУ методом простой итерации и методом Гаусса – Зейделя:
Привести приведенную матрицу. В качестве начального приближения взять
преобразованный вектор свободных членов.
Оформить три
сходящиеся итерации.
- 1,36 * x1 + 7,02 * x2 – 0,81 * x3 + 1,02 * x4 = -4,05- 1,05 * x1 – 1,19 * x2 – 2,47 * x3 + 12,19 *
x4 = 36,512,14 * x1 + 1,59 * x2 + 6,10 * x3 – 1,88 * x4 = 6,75- 12,46 * x1 + 0,32 * x2 + 2,42 * x3 +
1,70 * x4 = -3,33.
x3 = -0,29):
0,45 * x1 – 0,16 * x2 + 1,31 * x3 = -2,531,28 * x1 + 1,76 * x2 – 1,97 * x3 = 3,330,59 * x1 – 1,76 *
x2 – 0,81 * x3 = 4,61.
Вычислить обратную матрицу и число обусловленности.
Вариант 13
1. Решить СЛАУ методом Гаусса. Привести матрицу после прямого хода.
1,02 * x1 – 0,53 * x2 – 4,66 * x3 – 1,60 * x4 = 6,351,86 * x1 – 4,00 * x2 – 4,59 * x3 – 1,43 * x4 = -5,36;
3,20 * x1 + 2,53 * x2 + 3,53 * x3 + 2,97 * x4 = 19,47;
0,97 * x1 + 1,00 * x2 + 4,72 * x3 + 3,97 * x4 = 2,21.
2. Решить СЛАУ методом простой итерации и методом Гаусса – Зейделя.
Привести приведенную матрицу. В качестве начального приближения взять
преобразованный вектор свободных членов.
Оформить три
сходящиеся итерации.
1,28 * x1 – 1,99 * x2 + 8,12 * x3 – 0,91 * x4 = -37,90;
0,77 * x1 – 1,87 * x2 + 1,45 * x3 + 6,22 * x4 = -9,55;
- 8,20 * x1 + 0,20 * x2 + 1,72 * x3 – 1,75 * x4 = 12,00;
1,25 * x1 + 12,28 * x2 + 0,65 * x3 – 0,97 * x4 = -13,33.
3. Для данной СЛАУ провести уточнение полученного решения (x1 = 1,36; x2 = -2,34;
x3 = -0,03):
42
- 1,78 * x1 – 3,05 * x2 – 1,54 * x3 = -4,07- 2,47 * x1 + 0,42 * x2 – 0,37 * x3 = 5,54- 2,26 * x1 +
0,33 * x2 + 0,04 * x3 = 5,65.
Вычислить обратную матрицу и число обусловленности.
Вариант 14
1. Решить СЛАУ методом Гаусса. Привести матрицу после прямого хода.
- 3,36 * x1 + 2,60 * x2 – 4,04 * x3 – 3,47 * x4 = 3,614,99 * x1 – 3,37 * x2 + 3,53 * x3 + 4,20 * x4 =
-3,883,83 * x1 + 0,66 * x2 – 0,85 * x3 – 3,91 * x4 = 7,05- 0,91 * x1 – 3,38 * x2 – 2,15 * x3 + 4,59 *
x4 = -2,35.
2. Решить СЛАУ методом простой итерации и методом Гаусса – Зейделя:
Привести приведенную матрицу. В качестве начального приближения взять
преобразованный вектор свободных членов.
Оформить три
сходящиеся итерации.
1,76 * x1 + 10,15 * x2 + 2,31 * x3 + 1,64 * x4 = -33,532,08 * x1 – 0,56 * x2 + 0,65 * x3 – 9,69 * x4
= 12,61- 9,34 * x1 – 1,56 * x2 – 1,95 * x3 – 0,18 * x4 = -21,26;
- 2,23 * x1 – 0,29 * x2 + 9,22 * x3 + 1,24 * x4 = 25,09.
3. Для данной СЛАУ провести уточнение полученного решения (x1 = 1,20; x2 = 1,80;
x3 = 0,34):
1,32 * x1 – 2,78 * x2 + 2,18 * x3 = -4,932,16 * x1 – 0,86 * x2 – 1,10 * x3 = -4,88;
1,46 * x1 + 2,61 * x2 + 0,07 * x3 = 3,20.
Вычислить обратную матрицу и число обусловленности.
Вариант 15
1. Решить СЛАУ методом Гаусса. Привести матрицу после прямого хода.
2,27 * x1 – 4,28 * x2 – 3,41 * x3 + 4,65 * x4 = -35,16;
- 1,89 * x1 – 2,75 * x2 + 1,66 * x3 – 0,18 * x4 = 8,87;
4,45 * x1 – 1,22 * x2 + 4,78 * x3 – 0,78 * x4 = -15,72;
- 2,78 * x1 + 2,25 * x2 + 0,97 * x3 – 4,78 * x4 = 35,76.
2. Решить СЛАУ методом простой итерации и методом Гаусса – Зейделя.
Привести приведенную матрицу. В качестве начального приближения взять
преобразованный вектор свободных членов.
Оформить три
сходящиеся итерации.
- 1,68 * x1 + 11,71 * x2 + 1,37 * x3 – 0,54 * x4 = -13,561,91 * x1 + 1,14 * x2 + 11,24 * x3 + 2,22 *
x4 = -51,01- 1,10 * x1 – 1,24 * x2 – 0,42 * x3 + 9,35 * x4 = -33,494,73 * x1 + 0,01 * x2 – 1,64 * x3
– 1,11 * x4 = 0,34.
3. Для данной СЛАУ провести уточнение полученного решения (x1 = 1,98; x2 = 0,78;
x3 = 0,59):
- 0,90 * x1 + 1,33 * x2 – 0,66 * x3 = -1,00- 1,60 * x1 – 2,20 * x2 + 0,50 * x3 = -1,11- 1,39 *
x1 – 2,30 * x2 + 0,91 * x3 = -0,93.
Вычислить обратную матрицу и число обусловленности.
43
4 СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Многие практические задачи сводятся к решению системы нелинейных
уравнений.
Пусть для вычисления неизвестных x
, x2, … , x
1
требуется решить
n
систему n нелинейных уравнений:
0),...,,(
xxxF
211
n
0),...,,(
xxxF
n
212
... ... ... ... ...
0),...,,(
xxxF
21
nn
В отличие от решения СЛАУ не существует прямых методов решения
систем нелинейных уравнений. Лишь в отдельных случаях эту систему можно
решить непосредственно. Например, для случая двух неизвестных иногда
удается выразить одно неизвестное через другое и таким образом свести задачу
к решению одного нелинейного уравнения относительно другого.
В общем случае для
используются итерационные методы.
решения систем нелинейных уравнений обычно
4.1 Метод Ньютона для системы нелинейных уравнений
В качестве примера можно рассмотреть использование метода Ньютона
для решения системы двух уравнений:
yxF
0),(
где F
и F2 – непрерывно дифференцируемые функции.
1
Пусть начальные значения неизвестных равны x
После разложения исходной системы в ряд Тейлора можно получить
x
x
x
yxF
x
yxF
Предположим, что определитель этой системы (якобиан) отличен от нуля:
x
J
x
Тогда значения x и y можно найти (используя правило Крамера)
следующим образом
:
1
0),(
yxF
2
yxF
yxF
44
, y0.
0
yxF
),(),(
001001
y
yxF
),(),(
002002
y
yxF
001001
y
yxF
002002
y
yxFy
),(
001
yxFy
),(
002
),(),(
0
),(),(
yxF
yxF
1
x
J
),(
001
),(
yxF
002
),(
001
y
y
1
),(
yxF
J
002
),(
yxF
002
),(
yxF
001
y
),(
yxF
001
y
1
y
J
),(
yxF
001
x
),(
yxF
002
x
),(
yxF
001
1
J
),(
yxF
002
yxF
),(
yxF
),(
001
002
x
yxF
),(
002
x
Вычислив значения x и y, можно найти следующие приближения
неизвестных:
X = х
+ x;
0
+ y.
Y = y
0
Блок-схема метода
В качестве исходных данных задаются начальные приближения
неизвестных x
, y
, погрешность решения и допустимое число итераций М.
0
0
Если итерации сойдутся, то выводятся значения x и y; в противном случае
происходит вывод x, y, M.
),(
yxF
002
yxF
),(
001
45
Пример. Методом Ньютона решить систему двух нелинейных уравнений:
2x2 + 3y2 – 6y = 4
x2 – 3y2 + 4x = 2
с точностью = 0,001.
1) Начальные приближения можно определить графическим способом. Для этого
перепишем систему в виде
2
2x
+ 3(y – 1)2 = 7;
2
(x + 2)
– 3 y2 = 6.
Первое из преобразованных уравнений определяет эллипс, а второе – гиперболу. Данная
система имеет два решения. Для уточнения выбирают одно из них, принадлежащее области 0,5 < x
< 0,6 и -0,48 < y <-0,44. За начальное приближение принимают x0 = 0,5 и y0 = -0,46.
2) Находим
F
(x,y) = 2x2 + 3y2 – 6y -4 : F2(x,y) = x2 + 4x -3y2 -2;
1
F
= 4x : F1'y = 6y – 6 : F2'x = 2x + 4 : F2'y = -6y.
1'x
n
n
0
0 -0,46 -0,3848 5 2,76 49,32 0,2436 0,0049
1
1 -0,4551 0,0052 5,1484 2,7306 51,2203 0,0467 0,0009
2
2 -0,4542 -0,00011 5,1454 2,7252 51,1375 0,0006 0,00001
3
3 -0,4542
F2(xn,yn)
y
n
0,5 -0,1052 2 -8,76
0,5742 0,0114 2,2968 -8,7306
0,5727 0,00006 2,2908 -8,7252
0,5727
F1(xn,yn)
x
n
F1'x(xn,yn) F1'y(xn,yn)
F2'x(xn,yn) F2'y(xn,yn)
J
J J
49,32
51,2203
51,1375
J
x
y
x
y
3,6612 0,0742
-0,0765 -0,0015
0,0008 0,00001
Окончательный ответ: x 0,573 и y -0,454.
4.2 Метод итерации для нелинейной системы уравнений
Пусть требуется найти действительные решения системы двух уравнений
0),(
yxF
1
с заданной точностью.
Для этого переписывают исходную систему в приведенном
(итерационном) виде
46
0),(
yxF
2
),(
yxx
1
),(
yxy
2
.
Имея x0 и y0 – начальные приближения корней, полученные графическим
или каким-либо другим способом, подставляют их в правые части приведенной
системы. Получают
),(
yxx
0011
),(
yxy
0021
.
Аналогично можно получить второе приближение
),(
yxx
1112
),(
yxy
1122
.
В общем случае
Если функции
x
, x2, … , xn, … и y1, y2, … , yn, … сходятся, то пределы их дают решение
1
(x,y) и 2(x,y) непрерывны и последовательности
1
),(
yxx
111
nnn
),(
yxy
112
nnn
.
приведенной, а следовательно, и исходной системы.
Теорема об условиях сходимости итерационного процесса в этом случае
выглядит следующим образом:
Пусть в некоторой замкнутой окрестности R (a
x A, b y B)
имеется одно и только одно решение x = x* и y = y* приведенной системы.
Тогда если:
1) функции
(x,y) и
1
(x,y) определены и непрерывно
2
дифференцируемы в R;
2) начальные приближения x
x
, yn (n = 1,2, …) принадлежат R;
n
, y0 и все последующие приближения
0
3) в R выполнены неравенства
21
1
q
1
xx
21
1
q
2
yy
или неравенства
11
1
q
1
yx
22
1
q
2
yx
,
то процесс последовательных приближений сходится к решению x = x*, y = y*.
47
Пример. Методом простой итерации решить систему двух нелинейных уравнений:
sin(x – 0,6) – y = 1,6
3x – cos(y) = 0,9
с точностью до = 0,001.
1) Приведем систему к приведенной форме:
(x,y)
1
(x,y)
2
;1)6,0cos(
x
:
1)sin(
y
.02
,121
yy
xn-x
yn-y
n-1
n-1
x = cos(y) / 3 + 0,3 =
y = sin(x – 0,6) – 1.6 =
2) Для нахождения начального приближения отделим корни. Самый простой способ –
графическое отделение корней. Построив два графика x = cos(y) / 3 + 0,3 и y = sin(x – 0,6) – 1,6 и
найдя их точку пересечения, можно увидеть, что система имеет единственное решение,
заключенное в области 0 < x < 0,3 и -2,2 < y < -1,8.
3) Проверим приведенную систему на сходимость итерационного процесса:
2
:
01
x
1
y
x
1
y
3
Следовательно,
и
121
xx
т. е. условия сходимости выполняются.
4) Для поиска последовательных приближений используют формулы:
x = cos(y) / 3 + 0,3;
y = sin(x – 0,6) – 1,6.
Выбирают следующие начальные значения: x0 = 0,15 , y0 = -2.
n
x
y
n
x
n
-0,6 sin(xn-0,6) cos(yn) cos(yn)/3
n
0 0,15 -2 -0,45 -0,4350 -0,4161 -0,1384
1 0,1616 -2,035 -0,4384 -0,4245 -0,4477 -0,1492 0,0116 0,035
2 0,1508 -2,0245 -0,4492 -0,4342 -0,4382 -0,1461 0,0108 0,0105
3 0,1539 -2,0342 -0,4461 -0,4313 -0,4470 -0,1490 0,0031 0,0097
4 0,1510 -2,0313 -0,4490 -0,4341 -0,4444 -0,1481 0,0039 0,0029
5 0,1519 -2,0341 -0,4481 -0,4333 -0,4469 -0,1490 0,0009 0,0028
6 0,1510 -2,0333 0,0009 0,0008
Таким образом, x 0,151 и y -2,033.
48
4.3 Задания по теме: системы нелинейных уравнений
Точность решения составляет 0,05.
№ варианта Метод итерации Метод Ньютона
1
cos( ) .
yx
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
cos( )
yx
sin( )
yx
cos( ) .
xy
cos( ) .
yx
sin( . )
yx
2051
sin( . )
yx
cos( )
xy
cos( . ) .
yx
sin( ) .
xy
sin( ) .
yx
sin( ) .
yx
210
xy
yx
sin( ) .
cos( . )
yx
sin( )
xy
sin( ) .
yx
cos( ) .
yx
sin( )
xy
22
cos( ) .
xy
cos( )
xy
sin( ) .
cos( )
2.1)1sin(
xy
2)cos(2
xy
105
3
22
107
15
05 1
20
05 08
216
113
108
cos( )
04
05 2
21
215
205
xy
11
cos( )
108
2
xy
216
49
yx
11
22
yx
1
xytg
22
yx
1
22
yx
1
22
yx
1
22
yx
22
yx
22
yx
22
yx
1
)(
2
)2.0(
xxytg
22
126.0
yx
xyx
1.05.1)sin(
2
)4.0(
x
22
yx
128.0
xyx
1.02.1)sin(
2
xxytg
)1.0(
22
yx
129.0
xyx
04.1)sin(
2
xxytg
)1.0(
22
yx
125.0
xyx
1.01.1)sin(
xyyxtg
0)(
75.0
xxytg
yx
12
xyyx
1)sin(
2
xxytg
)2.0(
12
xyx
05.1)sin(
2
22
125.0
xyx
14
15
16
17
18
19
20
21
cos( ) .
xy
sin( . )
xy
2052
sin( . ) .
xy
cos( )
yx
cos( . )
xy
sin( )
yx
sin( ) .
xy
sin( )
xy
sin( )
yx
22
cos( ) .
yx
cos( )
yx
cos( )
sin( ) .
sin( ) .
xy
cos( ) .
xy
12
05 12
20
05 1
22
115
11
yx
11
cos( )
108
2
xy
11
yx
216
215
205
22
yx
1
)1.0(
22
yx
22
yx
1
xxytg
)(
yx
22
yx
1
)3.0(
22
yx
22
yx
1
22
yx
1
2.02.1)sin(
2
xxytg
127.0
xyx
2.05.1)sin(
2
22
126.0
xyx
02.1)sin(
2
xxytg
125.0
xyx
1.01.1)sin(
xyx
1.02.1)sin(
5. ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Во многих случаях, когда подынтегральная функция задана в
аналитическом виде, определенный интеграл удается вычислить
непосредственно с помощью неопределенного интеграла (вернее,
первообразной) по
определенный интеграл равен приращению первообразной F(x) на отрезке
интегрирования:
Однако на практике этой формулой часто нельзя воспользоваться по двум
основным причинам:
1) вид функции f(x) может не допускать непосредственного
интегрирования, т. е. первообразную нельзя выразить в элементарных
функциях;
формуле Ньютона – Лейбница. Она состоит в том, что
b
a
50
b
a
.)()()()(
aFbFxFdxxf
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]