Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы численных методов. Практикум
.pdf
Вариант 4
Вычислить значение следующего матричного выражения:
T
BB
d
[] ,Ac
[][] [] ,
139 9
6572
17410
1611
5083
1285
T
T
c
701435
1107 1 4 2
[] ,Bd
785620
313134
Вариант 5
Вычислить значение следующего матричного выражения:
TT
ccd
[] []
T
AA
586 0
6520
153 9
[] ,Ac
4614
9378
1924
7
1
1
6
[] ,Bd
9881070
817425
255551
751211
21
A
d
где
2
9
0
1
6
5
3
6
6
6
d
,где
5
9
1
9
2
8
Вариант 6
Вычислить значение следующего матричного выражения:
[][] ,AB
3450
3853
4876
[] ,Ac
9614
0835
8279
cd
168653
811122
[] ,Bd
469762
694311
Вариант 7
Вычислить значение следующего матричного выражения:
[][] [][] ,AB
c
BAd
2541
115 6
9 9 10 2
[] ,Ac
4852
4583
9162
984727
737180
[] ,Bd
4334 77
668185
22
c
где
5
6
1
7
5
3
8
4
4
6
где
5
2
2
1
5
3
1
6
3
7
Вариант 8
Вычислить значение следующего матричного выражения:
T
BA
d
[] ,Ac
[] ([] ) ,
5 1 10 9
5776
10 2 6 8
6065
2121
9764
dcc
4883210
665211
[] ,Bd
0942810
127556
Вариант 9
Вычислить значение следующего матричного выражения:
([ ] ) [ ] ,A
T
dc
B
7136
114 9
5584
[] ,Ac
2353
6710
110 1 7
372979
2501012
[] ,Bd
314 2 83
338445
23
T
T
где
4
5
6
2
9
4
9
3
4
7
где
2
1
4
1
0
4
9
6
1
1
Вариант 10
Вычислить значение следующего матричного выражения:
([ ] ) [ ] ,B
[] ,Ac
2882
3616
5266
2999
8282
1082
T
cd
A
689835
12436 3
[] ,Bd
3584 81
1809 3 6
Вариант 11
Вычислить значение следующего матричного выражения:
() [][],
cd c
[] ,Ac
T
5564
5445
5782
5387
5921
3312
T
453208
[] ,Bd
595667
845306
942341
24
где
2
4
5
9
1
2
AB
7
6
2
1
8
5
где
3
6
1
6
1
5
1
6
Вариант 12
Вычислить значение следующего матричного выражения:
() [][],
dc d
[] ,Ac
T
410 3 7
6808
3373
3255
1421
8662
T
735222
409613
[] ,Bd
322495
335427
Вариант 13
Вычислить значение следующего матричного выражения:
(([ ] [ ] ) ) [ ] ,AB
[] ,Ac
4885
5712
1358
3235
4286
2719
TT
dc
501344
[] ,Bd
004582
544144
877228
25
AB
6
6
8
1
0
3
A
7
6
9
3
1
6
где
10
4
1
1
3
где
3
3
4
Вариант 14
Вычислить значение следующего матричного выражения:
(([ ] [ ] ) ) [ ] ,AB
[] ,Ac
[] ,Bd
Вариант 15
Вычислить значение следующего матричного выражения:
(([] []) ) [],BA
[] ,Ac
8237
7477
810 8 3
3788
3938
10 2 2 2
745393
319 2 3 3
411115
750254
4630
6436
0873
4009
114 3
8286
TT
TT
dc
cd
][ dB
26
A
2
5
6
0
3
4
9
7
2
6
1
5
121226
218171
781650
6241016
B
где
10
где
2
2
9
4
6
,
8
4
3 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
3.1 Обусловленность СЛАУ
Малые погрешности вычислений или исходных данных могут привести к
существенным погрешностям в решении. Такие системы уравнений называются
плохо обусловленными.
Для оценки качества полученного решения используют следующее
соотношение:
x
1
A
x
1
AA
Произведение
называется числом обусловленности матрицы A и
обозначается как cond(A).
По приведенной формуле оценить погрешность решения двух систем:
xx
а)
xx
11
A
В этом случае погрешность решения не превышает 10%.
xx
б)
A
1,02
21
21
11
24 b
21
0
.
5,05,0
1
A A 42
1,02
221210
xx
21
.
11
1
A A 246
1210
.
1,22488 b
5,05,0
x
1,001,0 b
x
5,00,6
5,00,5
21
x
.56,0
1,001,0 b
x
2
123
A
1,0
b
b
1
A
1,0
.1,0
1
1,22
11
cond(a) = 2.
246 2A/
cond(a) = 123.
В этом случае погрешность решения может составить 56%.
Обусловленность матрицы характеризует чувствительность полученных результатов к
погрешностям исходных данных. Если задача плохо обусловлена, то правильный ответ
27
получить практически нельзя – может быть получено какое угодно решение, но правильное –
–
–
только случайно.
3.2 Метод Гаусса
Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду. Это
достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений
системы. Сначала с помощью первого уравнения исключается х
последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения
исключается х
из третьего и всех последующих уравнений. Этот процесс,
2
называемый прямым ходом метода Гаусса, продолжается до тех пор, пока в
левой части последнего (n-го) уравнения не останется лишь один член с
неизвестным x
, т. е. матрица системы будет приведена к треугольному виду.
n
Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении
искомых неизвестных: решая последнее уравнение, находят единственное
неизвестное x
вычисляют x
. Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения
n
и т. д. Последним находят значение х1 из первого уравнения.
n-1
Расчетные формулы метода Гаусса:
Прямой ход метода Гаусса
из всех
1
a
ik
aa
ijij
a
a
kk
kj
,
a
ik
bb
ii
b
k
a
kk
,
где k = 1,2,…,n-1; i = k + 1, k + 2,…,n; j = k + 1, k + 2,…,n.
В этих формулах k – номер неизвестного, которое исключается из
оставшихся n – k уравнений (а также номер того уравнения, с помощью
которого исключается xk); i – номер уравнения, из которого исключается
неизвестное xk; j – номер столбца.
Обратный ход метода Гаусса
n
xab
x
n
b
n
x
i
a
nn
;
jiji
ij
1
a
ii
, где i = n – 1, n – 2,…,1.
В этих формулах i-номер неизвестного, которое определяется из
i-го уравнения; j = I + 1, I + 2,… – номера уже найденных неизвестных.
28
Блок-схема метода
Вводn,{A},{b}
k=1,n‐1
i=k+1,n
a
bb
ii
a
j=k+1,n
aa
ijij
x
n
a
i=n–1,1
S=0
j=i+1,n
S=S+aij*x
xi=(bi–S)/a
(k = 1).
1
Вывод{x}
29
Решить методом Гаусса следующую СЛАУ:
Исключение неизвестного х
ik
b
k
kk
a
ik
a
kj
a
kk
b
n
nn
j
ii
23x5x3x2
321
8xx2x
321
9x5xx4
321
Для исключения х
на -а
(т. е. -1/2 = -0,5):
21/а11.
из второго уравнения (i = 2) прибавим к нему первое, умноженное
1
23532
8121
9514
9514
5.115.25.11
8121
9514
23532
5.35.15.00
.
Для исключения х
умноженное на -а
32
из третьего уравнения (i = 3) прибавим к нему первое,
1
(т. е. -4/2 = -2):
31/а11
235
5.35.15.00
9514
461064
5.35.15.00
9514
23532
5.35.15.00
551550
.
Исключение неизвестного х2 (k = 2).
Для исключения х
на -а
(т. е. – (-5/0,5) = 10):
.
32/а22
из третьего уравнения (i = 3) прибавим к нему второе, умноженное
2
23532
5.35.15.00
551550
23532
351550
551550
23532
5.35.15.00
903000
.
Матрица полученной системы имеет треугольный вид.
В процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на
коэффициенты а
, а22 и т. д. Поэтому они должны быть отличными от нуля. В противном
11
случае необходимо соответствующим образом переставить уравнения системы.
Диагональные элементы матрицы обычно называют ведущими или главными элементами.
Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (k = 3):
''
90
b
3
x
3
''
a
33
Используя это значение, можно найти х
xab
3'23'2
x
2
Зная х
и х2, можно найти х1 из первого уравнения (k = 1):
3
x
1
a
11
'
a
22
xaxab
3132121
5.0
5323
2
.3
30
из второго уравнения (k = 2):
2
)35.1(5.3
xx
32
5.45.3
2
.2
5.0
352323
15623
.1
2
Одной из модификаций метода Гаусса является схема с выбором
главного элемента. Она состоит в том, что требование неравенства нулю
диагональных элементов a
на которые происходит деление в процессе
kk,
исключения, заменяется более жестким: из всех оставшихся в k-м столбце
элементов нужно выбрать наибольший по модулю и переставить уравнение так,
чтобы этот элемент оказался на месте элемента a
30
.
kk
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]