Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1327 вузов, 5493 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Основы численных методов. Практикум

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
08.09.2026
Размер:
2 Мб
Скачать
☆
1.5 Задания по теме: решение уравнения с одним неизвестным
Найти все корни нижеприведенного уравнения на интервале от -5 до +5 с
точностью 0,01.
№ варианта Вид уравнения
1 Y = 64,460 + 48,671 * x + 12,135 * x2 + x3 2 Y = 11,748 – 8,397 * x – 0,907 * x2 + x3 3 Y = 11,446 + 14,889 * x – 8,407 * x2 + x3 4 Y = -17,220 – 2,681 * x + 4,093 * x2 + x3 5 Y =24,353 – 2,962 * x – 4,657 * x2 + x3 6 Y = -0,564 – 4,394 * x – 3,407 * x2 + x3 7 Y = -6,302 + 13,759 * x + 7,843 * x2 + x3 8 Y = -24,608 + 26,028 * x – 8,950 * x2 + x3
9 Y = -12,770 – 8,318 * x + 1,675 * x2 + x3 10 Y = -1,372 + 15,069 * x – 7,700 * x2 + x3 11 Y = 3,092 + 11,453 * x – 7,075 * x2 + x3 12 Y = -79,411 – 22,112 * x + 3,550 * x2 + x3 13 Y = -2,505 – 2,802 * x + 4,175 * x2 + x3 14 Y = -35,197 – 5,637 * x + 4,800 * x2 + x3 15 Y = -33,065 – 2,823 * x + 5,425 * x2 + x3 16 Y = 6,785 + 11,529 * x + 6,050 * x2 + x3 17 Y = -0,725 + 3,093 * x + -3,637 * x2 + x3 18 Y = 14,970 – 4,928 * x – 3,325 * x2 + x3 19 Y = 40,890 – 13,413 * x – 3,012 * x2 + x3 20 Y = 6,477 + 13,070 * x + 7,300 * x2 + x3 21 Y = 24,664 – 11,772 * x – 2,387 * x2 + x3 22 Y = -7,724 – 11,199 * x – 2,075 * x2 + x3 23 Y = -2,312 – 11,091 * x – 1,762 * x2 + x3 24 Y = 0,150 + 0,029 * x – 1,450 * x2 + x3 25 Y = 46,323 – 21,078 * x – 1,137 * x2 + x3 26 Y = 6,040 – 17,650 * x – 0,825 * x2 + x3 27 Y = 20,222 + 26,998 * x + 9,488 * x2 + x3 28 Y = 3,802 – 4,680 * x – 0,200 * x2 + x3 29 Y = -13,957 – 17,193 * x + 0,113 * x2 + x3 30 Y = 3,132 – 5,171 * x + 0,425 * x2 + x3
11
Результаты вычислений свести в таблицы следующего вида:
Метод половинного деления
N A X B
F(A) F(X) F(B)
a‐b
Метод касательных
N X F(X) F’(X) H
Метод секущих (или хорд)
) F(X1) F(X2)
N X0 X
X
1
F(X
2
0
x
1 – x0
Метод простых итераций
N
X
X
i
x
– x
i+1
i+1
i
2 ВЕКТОРА И МАТРИЦЫ
2.1 Скалярное произведение двух векторов
Для получения скалярного произведения необходимо перемножить соответствующие элементы векторов-сомножителей и полученные произведения сложить:
n
i
Размерности векторов-сомножителей должны совпадать.
Пример. Найти скалярное произведение вектора
.
babac
ii
1
c = 0*2 + 1*3 + 2*4 + 3*5 + 4*6 + 5*7 = 85.
12
С помощью скалярного произведения можно определить угол между
двумя векторами в n-мерном пространстве
 
)θcos(
,
ba
 
ba
n
1
i
n
i
1
ba
ii
2
i
n
i
.
2
ba
i
1
Пример. Найти угол между этими векторами:
)cos(
Угол между этими векторами примерно 13,5
85
13955
85
0
.
756453423120
222222222222
765432543210
789,11416,7
24972,0
2.2 Умножение матриц
Две матрицы можно перемножить только в том случае, если число
столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.
Для вычисления значения элемента c найти скалярное произведение элементов i-й строки матрицы-множимого на соответствующие элементы j-го столбца матрицы-множителя
l
k
1
bac
kjikij
, (i = 1, 2, … , m: j = 1, 2, … , n).
Число строк матрицы-произведения равно числу строк матрицы­множимого, а число столбцов матрицы-произведения равно числу столбцов матрицы-множителя.
Пример. Найти произведение двух матриц.
432
 
][ BA
 
 
 
363
 
534
 
521
13
матрицы-результата необходимо
i j
45
 
][
 
 
72
 
75
CC
 
C
}[
 
 
1211
CC
2221
CC
3231
 
CC
4241
747)3()4(2)5(42)3(52

7)3(76)4(3)5()3(2653

7573)4(4)5(52354

7)5(7)2()4()1()5()5(2)2(5)1(

116
42
9
 
401
 
4516
2.3 Определитель матрицы
Определитель существует только для квадратных матриц. Выражения для
расчета определителя в общем виде записывается как
n
!
S
и представляет собой сумму всевозможных произведений элементов матрицы, расположенных в разных строках и разных столбцах ее. В этих произведениях элементы обычно располагаются в порядке возрастания первых индексов. Совокупность вторых индексов образует некоторую перестановку чисел от 1 до
, j2, … , jn.Так как количество таких перестановок равно n!, то сумма в
n – j
1
выражении для определителя имеет n! слагаемых.
Степень s определяется четностью перестановки: s = 1, если перестановка нечетная, и s = 2, если перестановка четная. Четность перестановки определяется числом инверсий в ней: четное число инверсий дает четную перестановку, нечетное – нечетную перестановку. Инверсией является каждое нарушение порядка следования
aa
D
1211
aa
2221
aaa
131211
D
aaa
aaa
чисел в перестановке по возрастанию.
aaaa
21122211
232221
333231
312312332211
)21,3,2(
322113
)22,1,3(
312213
)31,2,3(
Свойства определителя
1. Если в матрице есть нулевая строка или нулевой столбец, то ее
определитель равен нулю.
2. Если матрица содержит две одинаковые строки или два одинаковых
столбца, то ее определитель равен нулю.
3. Если в матрице поменять местами две строки или два столбца, то ее
определитель изменит знак на противоположный.
14
aaaAAD
...)1()det(
jnnjj
,2,21,1
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
332112
)13,1,2(
322311
)12,3,1(
инверсияинверсияинверсииинверсииинверсии
4. Если все элементы какой-либо строки или какого-либо столбца
матрицы увеличить в
раз, то определитель матрицы также увеличится враз.
5. Если к какой-либо из строк матрицы прибавить другую строку,
умноженную на константу, то определитель матрицы не изменится.
6. Определитель треугольной матрицы равен произведению ее
диагональных элементов:
n
....
aaaaD
i
ii
1
2211
nn
2.4 Ранг матрицы, минор, алгебраические дополнения
Ранг матрицы показывает число линейно независимых строк и столбцов
матрицы. Ранг существует как для квадратных, так и для прямоугольных матриц. Для вычисления ранга используется понятие минора.
Минором k-го порядка для любой прямоугольной матрицы А размером
m*n (k
полученной путем выделения из исходной матрицы А элементов, стоящих на пересечении любых k строк и k столбцов ее.
нуля минора.
Примеры. Рассчитать ранги следующих матриц:
равны нулю.
точностью до знака равно минору порядка n – 1, полученному из определителя исходной матрицы путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.
m, k  n) называется определителем квадратной подматрицы,
Ранг матрицы численно равен порядку наивысшего отличного от
421
1)
A
 
2)
A , R
 
3)
A
Алгебраическое дополнение A
 
, Ra = 3, так как det(A) 0.
975
 
610
4321
= 2, так как 0
a
7642
321
   
 
, Ra = 1, так как det(A) = 0 и все миноры второго порядка также
642
 
963
= (-1)
i j
15
43
)det( A .
76
i+j
* M
для элемента a
i j
i j
с
2.5 Вычисление определителя
Определитель матрицы равен сумме всех произведений элементов
какой-либо строки или столбца на соответствующие им алгебраические дополнения, т. е.
...
aaa
11211
n
...
aaa
22221
d
n
............
...
aaa
21
nnnn
22112211
,......
AaAaAaAaAaAa
njnjjjjjininiiii
где первая формула дает разложение определителя d по элементам i-й строки, а вторая формула – по элементам j-го столбца.
Пример. Вычислить определитель
321
456
d
разложив его по элементам второй строки.
Имеем d = a
6
d
Этот же ответ можно было получить, используя свойства определителя, так как его
вторая строка равна сумме третьей строки и первой, умноженной на -1.
737
,
+ a22A22 + a23A23, откуда
21A21
32
73
31
77
21
37
.0687013817414523)6(
2.6 Методы обращения матриц
Метод Крамера
1. Вычисляют определитель исходной матрицы A.
2. Составляют матрицу алгебраических дополнений – A
3. Транспонируют матрицу алгебраических дополнений – A
4. Делят каждый элемент последней матрицы A
исходной матрицы.
12
Пример. Обратить матрицу
1. Определитель исходной матрицы det(A) = 2*3 – 2*1 = 4.
2. Матрица алгебраических дополнений:
A .
32
16
*
.
*т.
*т
на определитель
= (-1)
11
= (-1)
21
1+1
*3 = 3 a12 = (-1)
2+1
*1 = -1 a22 = (-1)
1+2
*2 = -2;
2+2
*2 = 2.
3. Транспонированная матрица алгебраических дополнений
*T
A
13
 
 
22
.
4. Обратная матрица
1
A
25,0
13
 
22
25,075,0
 
50,050,0
.
Метод Гаусса – Жордана
К исходной матрице А справа приписывается единичная матрица того же
размера. В результате появляется так называемая расширенная матрица:
    
...
aaa
11211
n
...
aaa
22221
n
............
...
aaa
21
nnnn
0...01
0...10
 
............
1...00
 или [AE].
Над расширенной матрицей проводятся допустимые элементарные преобразования с целью приведения исходной матрицы к единичной. Преобразования состоят из k этапов (k = 1, 2, …, n), на каждом из которых выполняются следующие действия:
а) Обращается в единицу диагональный элемент исходной матрицы a
kk
Для этого все элементы k-й строки расширенной матрицы делятся на диагональный элемент
a
'
a
kj
kj
a
kk
, j = k, k + 1, … 2*n.
б) Обращаются в нуль остальные элементы k-го столбца исходной матрицы a
(i =1, 2, … , n , i k). Для этого к элементам i-й строки расширенной
ik
матрицы прибавляются элементы k-й строки, умноженные на коэффициент =
.
– a
ik
'
aaa
kjijij
k = 1,2, … , n ; i = 1,2 , …, n , i k ; j = k,k+1, … , 2n.
В результате таких преобразований на месте исходной матрицы
-1
появляется единичная, а на месте единичной – обратная матрица A
17
.
.
     
0...01
0...10
............
1...00
'12'
11
'22'
21
1
'
...
aaa
n
1
'
...
aaa
n
2
 
............
''2'
...
aaa
nnnn
или [EA – 1].
Пример. Обратить матрицу методом Гаусса – Жордана.
2
 
 
   
первую3наумножают
иматрицыстроку
второйсоскладывают
 
  
 
четвертойсскладывают
 
  
 
третьую2наумножают иматрицыстроку
второйсоскладывают
0001325
 
00104273
 
01000132
 
10000021
 

 
 
вторую1наумножают
иматрицыстроку


1
0000021
 
30104210
 
21000110
 
20013210
 
  
 
7
0208401
 
30104210
 
51104100
 
10111000
 
вторую1наумножают
иматрицыстроку
третьейсскладывают
третьую4наумножают
иматрицыстроку
первойсскладывают

  
 
18
10000021
 
строки4и1местамименяют

   
10000021
 
30104210
 
01000132
 
00013252
 

 
 
10000021
 
30104210
 
51104100
 
10111000
 
  
 
134208001
72104010
 
51104100
 
10111000
иматрицыроку
четвертойитретьейсскладывают
первойсскладывают
четвертую8наумножают
иматрицыстроку
первойсскладывают
 
00104273
 
01000132
 
00013252

10000021
 
30104210
 
51104100
 
20013210
вторую2наумножают
иматрицыстроку

134208001
 
30104210
 
51104100
 
10111000

54680001
 
 
0
  
четвертую1наумножают
матрицыстроку
 
 

 
 
 
 
 
72104010
 
5110410
 
10111000
54680001
 
32340010
 
11340100
 
10111000
2.7 Задания по теме: матрицы и вектора
Вариант 1
Вычислить значение следующего матричного выражения:
[][] ,AB
 
    
][ cA
     

182 4107
 

376714
[] ,Bd
 

6222103
5838 9 3
c

d
где
9324
 
9614
 
0819
 
10743
 
4744
  
2867
19
54680001
четвертую4наумножают
третьейсскладывают
 
иматрицыстроку

 
 
54680001
 
72104010
 
11340100
 
10111000
четвертую4наумножают
иматрицыстроку
второйсоскладывают

 
72104010
 
11340100
 
10111000
6
8
3
,
 
   
5
2
9
10
Вариант 2
Вычислить значение следующего матричного выражения:
([ ] [ ] [ ] [ ] ) ,AABB
TT

d
c
где

6153
 
2042
312 8
[] ,Ac
1110
 

4482
 
0363
373884
 
1 8 7 4 10 1

[] ,Bd
364129

 
5372 01

  

 
      
 
Вариант 3
Вычислить значение следующего матричного выражения:
T

  
AA
c
[] ,Ac
[][] []
 
      
 

2983
117 4

6971

5767
8448

3030

T
 
      
 
d
 
   
T
B
, где
734355
 
571244

[] ,Bd
755978
 
 
700135


20
 
   
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности