Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы численных методов. Практикум
.pdf
4. Добавив точку x
4неравноотс.
и y
4неравноотс.
достроить полученную
интерполяционную зависимость (пункт 1) с использованием полиномов
Ньютона для неравноотстоящих узлов. Составить таблицу разделенных
разностей.
X
X
4равноотс.
Y
4РАВНООТСТ.
Y
4НЕРАВНООТСТ.
1 3
6 24
2 4
4,5 10,5
3 5
9 21
4 6
8,5 22,5
5 7
50 100
6 8
22,5 66,5
7 9
51 111
8 10
99,5 200
9 11
200 333
10 12
225,5 450
1 4
10 50
2 4
-18,5 -50
3 5
-22 -66
4 6
5 25
5 7
-60 -120
6 8
-22,5 -55,5
7 9
-66 -125
8 10
-100,5 -200
9 11
-125 -250
Вариант
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
19
19
X
X
1
Y
Y
1
-5 -3 -1
X
2
Y
2
-64 -26 -4
-4 -2 0
-32,5 -9,5 1,5
-3 -1 1
-13 -1 3
-2 0 2
-2,5 2,5 3,5
-1 1 3
5 7 33
0 2 4
3,5 6,5 13,5
1 3 5
5 13 29
2 4 6
9,5 26,5 55,5
3 5 7
20 50 96
4 6 8
39,5 86,5 153,5
-5 -3 -1
55 19 -1
-4 -2 0
25,5 4,5 -4,5
-3 -1 1
8 -2 -4
-2 0 2
-0,5 -3,5 -2,5
-1 1 3
-6 -6 -30
0 2 4
-2,5 -3,5 -8,5
1 3 5
-2 -8 -22
2 4 6
-4,5 -19,5 -46,5
3 5 7
-13 -41 -85
3
3
X
расч
-2,2
-2,2
-1,6
-1,6
-1,8
-1,8
-0,6
-0,6
-0,2
-0,2
2,8
2,8
3,2
3,2
5,8
5,8
4,4
4,4
6,2
6,2
-2,1
-2,1
-1,8
-1,8
0,7
0,7
-1,4
-1,4
1,7
1,7
1,3
1,3
4,1
4,1
3,2
3,2
3,6
3,6
81
4неравноотст.
20
20
4 6 8
-30,5 -75,5 -140,5
4,5
4,5
10 12
-233,5 -400
8 АППРОКСИМАЦИЯ
Изучение очень большого количества различных процессов (в том числе и
экономических) сводится к получению зависимости некоторой величины Y
(например, объем деятельности предприятия или курс ценной бумаги) от одной
или нескольких величин X.
Связь между переменной Y и k независимыми факторами Х можно
охарактеризовать функцией регрессии Y = f(X
, X2, X3, … Xm), которая
1
показывает, каково будет в среднем значение переменной Yi , если переменные
Xi примут конкретные значения.
В зависимости от вида функции f(X1, X2, X3, … Xm) модели делятся на
линейные и нелинейные.
В зависимости от количества включенных в модель факторов Х модели
делятся на однофакторные (парная модель регрессии) и многофакторные
(модель множественной регрессии).
8.1 Парная регрессия
Если имеется набор значений двух переменных: Y = (Y1, Y2, … , Yn) –
объясняемая переменная и X= (X1, X2, … , Xn) – объясняющая переменная,
каждая из которых содержит n наблюдений, то можно предположить, что
между этими переменными может существовать, например, некоторая
линейная зависимость
y = f(x) = f(x1, x2, … , xn) = a0 + а1 * x.
Дня оценки параметров такого регрессионного уравнения часто
используют метод наименьших квадратов (МНК), который минимизирует
сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений Y
значений.
i
n
1
ii
расч
2
xaYYR
Подставив в этот критерий выбранный вид математической модели и
используя необходимые условия существования экстремума, можно вывести
формулы для определения коэффициентов выбранной математической модели.
82
от их расчетных
i
.min)),((
В случае линейной зависимости эти формулы имеют следующий вид:
n
n
i
a
1
i
n
ii
i
n
2
i
i
yxyxn
i
i
i
111
.
2
n
xxn
i
11
n
i
a
0
Пример 1. По имеющимся экспериментальным данным определить коэффициенты
уравнения регрессии вида y = а0 + a1*x:
n
xby
i
n
i
11
i
.
X Y
2 2,1
5 5,5
9 8,5
12 10,5
15 15,2
Решение. Добавляем в таблицу вспомогательные столбцы:
X Y X*Y X2
2 2,1 4,2 4
5 5,5 27,5 25
9 8,5 76,5 81
12 10,5 126 144
15 15,2 228 225
и находим необходимые данные:
Вычисление коэффициентов:
Если представить данные графически, то получим следующую картину:
5
x
i
1
n
a
i
1
a
0
5
43
i
n
i
n
i
i
1i
n
ii
i
n
2
i
i
11
i
n
5
8,41y
i
n
yxyxn
i
111
i
xxn
i
n
xby
i
11
i
yx
ii
1
i
5
2
2,462
1i
43941,08,41
5
479x
i
8,41432,4625
22
)43(4795
.941,0
.27,0
83
Пример 2. По имеющимся экспериментальным данным определить коэффициенты
уравнения регрессии вида y = a0 + a1*x:
X
Y
2 2,1
5 7,2
9 1,9
12 0,5
15 3,4
Решение. Добавляем в таблицу вспомогательные столбцы:
X Y X*Y X
2 2,1 4,2 4
5 7,2 36 25
9 1,9 17,1 81
12 0,5 6 144
15 3,4 51 225
и находим необходимые данные:
i
5
x
1
5
43
y
i
i
i
1
5
1,15
1i
Вычисление коэффициентов:
n
n
a
i
1
n
i
a
0
n
ii
i
n
2
i
i
n
i
i
n
yxyxn
i
i
i
111
xxn
i
11
n
xby
i
i
11
Если представить данные графически, то получим следующую картину:
2
5
2
3,114yx
x
ii
5
i
1
431425,01,15
.479
i
1,15433,1145
22
)43(4795
.1425,0
.2454,4
84
Если сравнить между собой эти два графика, то можно сказать, что если в
первом случае применение линейной зависимости оправдано, то во втором
случае существует совсем другая форма зависимости.
Для определения возможности использования линейной зависимости
вычисляют коэффициент корреляции. Он изменяется в пределах от –1 до +1.
Чем ближе по модулю коэффициент корреляции к единице
имеющаяся зависимость к линейной. Для зависимости y = a
, тем ближе
+ а1*x
0
применяется следующая формула:
n
n
r
n
i
i
n
2
i
i
11
i
n
yxyxn
i
ii
2
i
111
i
i
n
i
n
2
i
11
i
.
2
yynxxn
i
Для данных из примера 1
8,41432,4625
r
22
])8,41(2,4485[])43(4795[
.9892,0
а для примера 2
1,15433,1145
r
22
])1,15(67,715[])43(4795[
.2916,0
Если коэффициент корреляции по модулю далек от единицы, то либо
существует сильно нелинейная зависимость, либо нет никакой зависимости
между изучаемыми величинами.
Если зависимость нелинейная, то можно использовать более сложную
модель, например, модель второго порядка y = a
+ a1*x + a2*x2, но в этом
0
случае расчет коэффициентов более сложен.
8.2 Линеаризация модели
На практике поэтому часто используют линеаризацию модели, т. е.
пытаются с помощью специальных преобразований нелинейную модель свести
к линейной. Некоторые варианты приведения нелинейных уравнений к
линейной форме путем замены переменных показаны ниже:
Функции y'
1
2
3 y = x/(a + b * x)
y = a + b/x y
y = 1/(a + b * x)
85
x' a' b'
1/x
1/y
x/y x a b
a b
x a b
4
x
x
x
x
/
x
5
y = a * b
y = a * e
b
lg(y)
ln(y)
x
x
lg(a) lg(b)
ln(a)
b
6 y = 1/(a + b * e
7
8 y = a + b * lg(x)
9 y = a/(b + x) 1/y
10 y = a * x/(b + x) 1/y 1/x 1/a
11
12 y = a + b * xn
y = a * x
y = a * e
-
b
b
) 1/y
lg(y) lg(x) lg(a)
y
ln(y) 1/x ln(a) b
y
-
a b
e
lg(x)
x
xn
a
b/a 1/a
b/a
a
b
b
b
После вычисления коэффициентов a' и b' в случае необходимости можно
выполнить обратные преобразования, т. е. определить коэффициенты a и b.
8.3 Общая формула метода наименьших квадратов
При построении аналитической зависимости y = y(a, x) обычно выбирают
наиболее простую для математической обработки зависимость, т. е. модель,
линейную относительно определяемых параметров.
Модель считается линейной относительно параметра a
зависит от параметра a
. В противном случае модель нелинейна относительно
j
этого параметра.
Если выбранная модель линейна относительно параметров, то метод
наименьших квадратов дает наилучшие оценки вычисляемых параметров с
помощью формулы
.
В этой формуле
– вектор вычисляемых значений параметров, [F] –
матрица, полученная на основе имеющихся экспериментальных данных и
зависящая от вида выбранной зависимости,
Для реализации этой формулы необходимо уметь использовать матричные
операции: транспонирование матрицы, умножение матрицы на матрицу и
матрицу на вектор, обращение матрицы.
Матрица [F] всегда имеет заранее определенное количество строк и
столбцов. Число строк этой матрицы равно числу экспериментов. Число
столбцов матрицы всегда совпадает с количеством определяемых
коэффициентов.
Например, пусть выбрана
линейная по параметрам модель в классе
полиномов, т. е. эта модель имеет вид:
86
, если Y/aj не
j
m
j
j
j
0
10
2
2
m
....),(
xaxaxaaxaxaY
m
Предположим, что всего проведено 7 опытов, а максимальная степень
полинома равна 3, т. е. необходимо определить коэффициенты а
, а1, а2 и а3.
0
Тогда матрица [F] будет иметь 7 строк и четыре столбца.
Содержимое каждого столбца определяется следующим образом:
первый столбец Y/a
второй столбец Y/a
третий столбец Y/a
четвертый столбец Y/a
0
= х;
1
= х2;
2
= 1;
3
= х3.
Матрица [F] в этом случае будет иметь вид:
3
2
1
1
1
1
1
1
Пример. По имеющимся экспериментальным данным определить коэффициенты
уравнения регрессии вида y = a0 + a1*X+а2*х2:+а3*х3
X
Y
2 2,1
5 7,2
9 1,9
12 0,5
15 3,4
Матрица [F] =
2
1
1
1
1
1
5
25 125
9
81 729
12
144 1728
15
225 3375
87
4 8
xxx
1
11
3
2
xxx
2
22
3
2
xxx
3
33
3
2
xxx
4
44
3
2
xxx
5
55
3
2
xxx
6
66
3
2
xxx
7
77
Т
Матрица [F
] =
1 1 1 1 1
2 5 9 12 15
4 25 81 144 225
8 125 729 1728 3375
Матрица [FТ*F] =
5,0 43,0 479,0 5965,0
43,0 479,0 5965,0 78563,0
479,0 5965,0 78563,0 1070413,0
5965,0 78563,0 1070413,0 14923739,0
Матрица [FТ*F] -1=
8,54834 -4,1108 0,51445 -0,01867568
-4,1108 2,2004 -0,288678 0,010765279
0,51445 -0,2887 0,039145 -0,0014936
-0,0187 0,0108 -0,001494 5,79895E-05
Вектор [FТ]*y =
15,1
114,3
1179,3
14640,9
Вектор определяемых параметров =
-7,5182025
6,604630262
-0,93221274
0,036080774
Таким образом, получена модель следующего вида:
Y = -7,5182 + 6,6046 * x – 0,9322 * x
2
+ 0,0361 *x3
Если нанести на график имеющиеся экспериментальные точки и провести полученную
зависимость, то видно, что наблюдается достаточно хорошая аппроксимация исходных
данных.
88
8.4 Задания по теме: аппроксимация (парная регрессия)
При проведении эксперимента были получены некоторые
экспериментальные данные, приведенные в таблице.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0,35 0,85 1,39 1,46 1,50 2,61 5,48 6,75 7,66 9,82
X
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
15
15
16
16
17
17
18
18
8,134 2,692 1,197 1,155 0,992 0,102 -0,530 -0,645 -0,710 -0,834
Y
0,03 0,48 0,79 0,90 3,11 4,58 4,82 4,88 5,08
X
0,596 0,692 0,808 0,802 3,536 -2,763 -2,233 -2,246 -1,862
Y
0,35 0,68 1,10 2,32 4,59 6,17 8,16 8,54 8,93 9,42
X
3,807 34,728 -14,721 -6,461 -5,197 -5,079 -5,139 -4,714 -5,084 -5,147
Y
1,07 1,91 2,29 2,68 3,17 3,34 4,85 9,10 9,43
X
-0,838 -0,912 -0,892 -0,831 -0,862 -0,921 -0,914 -0,883 -0,893
Y
0,95 1,24 2,78 3,70 5,08 5,45 7,21 7,88 8,85 9,78
X
-9,501 7,520 0,727 0,446 0,299 0,272 0,188 0,173 0,146 0,143
Y
0,16 2,90 3,80 4,02 4,99 5,93 7,41 9,00 9,22
X
-1,937 -5,534 -6,181 -6,034 -6,724 -6,488 -7,128 -7,433 -7,754
Y
0,47 4,25 4,37 5,64 5,97 6,00 7,97 8,76 8,97 9,72
X
-0,247 7,035 6,378 3,632 3,286 3,175 2,498 2,293 2,249 2,146
Y
0,61 2,32 3,07 4,16 7,15 7,82 8,22 9,09 9,75
X
-0,409 -3,402 -9,078 18,751 4,004 3,941 3,590 3,436 3,134
Y
0,22 0,62 1,65 1,72 2,77 2,97 5,01 5,97 6,89 9,68
X
-3,272 -6,227 4,679 4,314 1,547 1,365 0,668 0,552 0,504 0,304
Y
0,47 2,36 2,44 2,56 2,85 5,95 7,86 8,00 8,47
X
-0,621 1,599 1,460 1,247 0,808 0,218 0,154 0,140 0,138
Y
0,26 1,84 2,80 3,19 3,26 3,76 3,85 5,39 5,41 7,53
X
-0,168 31,356 2,835 2,348 2,142 1,761 1,752 1,526 1,394 1,327
Y
2,09 3,59 3,77 4,12 4,99 5,35 6,59 6,65 7,37
X
-0,875 -0,285 -0,276 -0,236 -0,179 -0,165 -0,121 -0,119 -0,106
Y
0,10 1,66 4,44 4,51 5,01 6,51 6,64 8,09 8,78 9,05
X
-2,167 -2,706 -3,236 -3,009 -2,967 -3,097 -3,385 -3,167 -3,385 -3,191
Y
0,13 0,63 2,17 4,78 5,07 6,22 8,22 9,40 9,64
X
0,432 2,821 -23,907 -7,603 -7,041 -7,097 -5,832 -5,745 -6,271
Y
X
0,28 1,20 2,58 2,95 4,71 5,38 6,35 7,28 8,45 8,74
Y
1,312 0,417 0,358 0,376 0,348 0,363 0,362 0,341 0,347 0,348
0,03 1,34 3,43 3,81 6,29 8,45 9,28 9,53 9,56
X
-6,167 -4,529 -4,237 -4,249 -3,973 -4,008 -4,055 -3,886 -3,951
Y
0,03 2,76 4,34 5,30 5,69 5,76 6,26 6,35 7,89 7,91
X
4,823 1,029 0,702 0,602 0,560 0,539 0,523 0,510 0,425 0,402
Y
0,57 1,66 4,65 5,32 5,72 6,59 7,25 8,11 9,82
X
0,331 0,309 0,262 0,254 0,261 0,260 0,286 0,272 0,269
Y
89
19
x
x
x
x
19
20
20
0,528 0,700 0,736 0,879 1,276 2,544 5,580 7,605 -5,390 -0,894
Y
0,72 1,90 2,14 2,63 3,13 4,67 7,28 7,57 8,72 9,77
X
0,924 7,805 16,426 -24,873 -8,875 -4,293 -3,018 -2,979 -2,797 -2,689
Y
2,60 3,53 3,83 4,20 4,99 5,96 6,53 6,63 7,45 9,70
X
Используя метод наименьших квадратов, необходимо:
определить коэффициенты уравнения регрессии вида y = a
+ а1 * x;
0
вычислить коэффициент корреляции для этого уравнения;
найти остаточную дисперсию;
построить графики имеющихся экспериментальных данных и полученной
прямолинейной зависимости.
8.5 Задания по теме: аппроксимация
(линеаризация исходных данных)
При проведении эксперимента были получены некоторые
экспериментальные данные, приведенные в таблице.
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0,32 0,86 1,64 1,80 4,03 5,11 5,73 6,70
X
1
-13,246 -4,307 -3,969 -4,033 -3,425 -3,577 -3,270 -3,498
Y
1
0,35 0,85 1,39 1,46 1,50 2,61 5,48 6,75 7,66 9,82
X
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
10
11
11
8,134 2,692 1,197 1,155 0,992 0,102 -0,530 -0,645 -0,710 -0,834
Y
0,16 0,83 2,32 2,85 3,89 3,96 4,00 5,11 6,33 7,98 9,25
X
-2,136 -0,802 0,105 0,283 0,570 0,557 0,619 0,847 1,030 1,222 1,413
Y
0,67 0,84 2,35 6,60 6,93 8,57 9,41 9,79
X
-0,493 -0,491 -0,685 -19,679 16,090 1,580 1,114 0,962
Y
0,03 0,48 0,79 0,90 3,11 4,58 4,82 4,88 5,08
X
0,596 0,692 0,808 0,802 3,536 -2,763 -2,233 -2,246 -1,862
Y
1,07 1,91 2,29 2,68 3,17 3,34 4,85 9,10 9,43
X
-0,838 -0,912 -0,892 -0,831 -0,862 -0,921 -0,914 -0,883 -0,893
Y
0,35 0,68 1,10 2,32 4,59 6,17 8,16 8,54 8,93 9,42
X
3,807 34,728 -14,721 -6,461 -5,197 -5,079 -5,139 -4,714 -5,084 -5,147
Y
0,95 1,24 2,78 3,70 5,08 5,45 7,21 7,88 8,85 9,78
X
-9,501 7,520 0,727 0,446 0,299 0,272 0,188 0,173 0,146 0,143
Y
0,16 2,90 3,80 4,02 4,99 5,93 7,41 9,00 9,22
X
-1,937 -5,534 -6,181 -6,034 -6,724 -6,488 -7,128 -7,433 -7,754
Y
0,35 1,59 2,15 2,37 4,85 7,09 8,59 8,77 9,12 9,39 9,99
X
1,990 0,890 0,682 0,661 0,371 0,275 0,224 0,231 0,202 0,195 0,203
Y
0,61 2,32 3,07 4,16 7,15 7,82 8,22 9,09 9,75
X
-0,409 -3,402 -9,078 18,751 4,004 3,941 3,590 3,436 3,134
Y
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]