Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Основы математической обработки данных в психологии. Учебное пособие для студентов 3 курса факультета клинической психологии ОрГМА
.pdf
6. По информативности. Это деление базируется на качественно-количественной
нагрузке их содержания, позволяющей эти сведения соотносить друг с другом или с уже
имеющимися сведениями в данной области на том или ином уровне отчетности. Эта группировка согласуется с классификацией измерительных шкал по С. Стивенсу.
6.1 Неметрические – это те, которые не имеют метрики, т.е. единиц измерения.
Качественные (классификаторные, номинативные) – сведения, на основании которых
изучаемый объект (или его состояние) можно отнести к какому-либо множеству (классу)
сходных объектов. Эти данные указывают только на наличие или отсутствие какого-либо
признака, по которому объект можно отнести к тому или иному классу. Каждый класс сходных объектов имеет определенное наименование, поэтому система классов носит название
шкалы наименований (номинативной шкалы), а сами данные называются номинативными.
Порядковые (компаративные) – (от лат. – сравнительный) – это данные, на основа-
нии которых объекты можно сравнивать по степени выраженности их признаков в системе
оценок «больше-меньше». Это дает возможность упорядочивать объекты по определенному
изучаемому признаку в возрастающем (убывающем) порядке, т.е. ранжировать. Соответствующие шкалы называются порядковыми или ранговыми.
6.2 Метрические – количественные данные, имеющие единицы измерения.
Интервальные – это те данные, которые позволяют метрически оценить выражен-
ность признака и ответить на вопрос: «насколько» у одного объекта этот признак выражен
больше или меньше, чем у другого. Эта разница измеряемого признака (на шкале) представляется как некоторая сумма объективно равных интервалов, поэтому и данные называются
интервальными, а шкалы – шкалами интервалов, расстояний или разностей, где интервалы являются единицами измерения.
Пропорциональные – это те данные, которые дополнительно к интервальной ин-
формации дают ответ на вопрос, «во сколько раз» признак у одного объекта выражен сильнее или слабее, чем у другого. Для этого на шкале данных должна иметься опорная точка,
соответствующая естественному нулевому значению измеряемого признака. Такие шкалы
называются пропорциональными, или шкалами отношений. Точка отсчета называется абсолютным нулем, указывает на отсутствие данного качества. Для психологических характеристик обычно очень трудно указать нулевое значение, а значит, и получить пропорциональные данные.
Виды шкал
Номинативная шкала – это шкала, классифицирующая по названию. Название же не
измеряется количественно, оно лишь позволяет отличить один объект от другого или одного
субъекта от другого. Номинативная шкала – это способ классификации объектов или субъектов, распределения их по ячейкам классификации. В основе данной шкалы лежит процедура,
когда, пользуясь определенным правилом, объекты группируются по различным классам так,
чтобы внутри класса они были идентичны по измеряемому свойству. Каждому классу дается
наименование и обозначение, обычно числовое. Простейший случай номинативной шкалы –
дихотомическая шкала, состоящая всего лишь из двух ячеек, например: «имеет братьев и сестер – единственный ребенок в семье»; «иностранец – соотечественник»; «проголосовал «за»
– проголосовал «против»» и т.п. При сравнении объектов мы можем делать вывод только о
том, принадлежат они к одному или разным классам, тождественны или нет по измеряемому
свойству.
Порядковая, ранговая шкала – это шкала, классифицирующая по принципу «больше-меньше». Если в шкале наименований было безразлично, в каком порядке расположены
классификационные ячейки, то в порядковой шкале они образуют последовательность от
ячейки «самое малое значение» к ячейке «самое большое значение» (или наоборот). Это
полностью упорядоченная шкала наименований, она устанавливает отношения равенства
между явлениями в каждом классе и отношения последовательности в понятиях большеменьше между всеми без исключения классами.
13
Мы можем ранжировать всех испытуемых по интересующему нас свойству на основе
экспертной оценки или по результатам выполнения некоторого задания и приписать каждому испытуемому его ранг. Или предложить испытуемым самим определить выраженность
изучаемого свойства, пользуясь предложенной шкалой. Но суть остается общей: при сравнении испытуемых друг с другом мы можем сказать, больше или меньше выражено свойство,
но не можем сказать, насколько больше или насколько меньше оно выражено, а уже тем более – во сколько раз больше или меньше.
При ранжировании «вручную», а не при помощи компьютера, следует иметь в виду
два обстоятельства:
а) установите для себя и запомните порядок ранжирования. Вы можете ранжировать
испытуемых по их месту в группе: ранг 1 присваивается тому, у кого наименьшая выраженность признака, и далее – увеличение ранга по мере увеличения уровня признака. Или можно
ранг 1 присваивать тому, у кого первое место по выраженности данного признака (например,
самый быстрый). Строгих правил выбора здесь нет, но важно помнить, в каком направлении
производилось ранжирование;
б) соблюдайте правило ранжирования для связанных рангов, когда двое или более испытуемых имеют одинаковую выраженность измеряемого свойства. В этих случаях таким
испытуемым присваивается один и тот же, средний ранг. Например, если вы ранжируете испытуемых по «месту в группе» и двое имеют одинаковые самые высокие исходные оценки,
то обоим присваивается средний ранг 1,5:(1+2)/2=1,5. Следующему за этой парой испытуемому присваивается ранг 3 и т.д. В соответствии с этим правилом сумма всех присвоенных
рангов для группы численностью N должна равняться N(N+1)/2, вне зависимости от наличия
или отсутствия связи в рангах.
Интервальная шкала – это шкала, классифицирующая по принципу «больше на
определенное количество единиц – меньше на определенное количество единиц». Каждое из
возможных значений признака отстоит от другого на равном расстоянии. Равным разностям
между числами в этой шкале соответствуют равные разности в уровне выраженности измеренного свойства. Иначе говоря, измерение в этой шкале предполагает возможность применения единицы измерения (метрики). Объекту присваивается число единиц измерения, пропорциональное выраженности измеряемого свойства. Важная особенность интервальной
шкалы – произвольность выбора нулевой точки: ноль вовсе не соответствует полному отсутствию измеряемого свойства. Произвольность выбора нулевой точки отсчета означает, что
измерение в этой шкале не соответствует абсолютному количеству измеряемого свойства.
Операции с числами в интервальной метрической шкале богаче, чем в номинальных
шкалах. Классическим примером шкалы интервалов в физике является измерение температуры по Цельсию. Большинство специалистов считает, что тесты измеряют психические
свойства при помощи шкалы интервалов, прежде всего, это касается тестов интеллекта и достижений.
Шкала равных отношений – это шкала, классифицирующая объекты или субъектов
пропорционально степени выраженности измеряемого свойства. В шкалах отношений классы обозначаются числами, которые пропорциональны друг другу: 2 так относится к 4, как 4 к
8. Это предполагает наличие абсолютной нулевой точки отсчета. Считается, что в психологии примерами шкал равных отношений являются шкалы порогов абсолютной чувствительности, измерение роста, веса, времени выполнения задачи и т.п. (Стивенс С., 1960; Гайда
В.К., Захаров В.П., 1982), а в физике – температура по Кельвину. Возможности человеческой
психики столь велики, что трудно представить себе абсолютный нуль в какой-либо измеряемой психологической переменной. Абсолютная глупость и абсолютная честность – понятия скорее житейской психологии. Поэтому, в психологии шкалы отношений применяются редко.
Определение того, в какой шкале измерено явление – ключевой момент анализа
данных: любой последующий шаг, выбор любого метода зависит именно от этого.
Идентификация номинативной шкалы обычно не вызывает проблем. Значительно сложнее
определить различие между порядковой и метрической шкалами. Проблема связана с тем,
14
что измерения в психологии, как правило, косвенные. Непосредственно мы измеряем неко-
Количественная обработка
Качественная обработка
- Первичное выявление и упорядочивание каче-
статистических методов.
- Теоретическое проникновение в сущность изу-
торые наблюдаемые явления или события: количество ответов на вопросы, время решения
задачи и т.п. Но при этом выносим суждения о некотором скрытом, латентном свойстве, недоступном прямому наблюдению: агрессивность, общительность, способность и т.д.
Проще всего в подобных ситуациях согласиться с тем, что признак представлен в порядковой шкале. Но при этом мы существенно ограничиваем себя в выборе методов последующего анализа. Более того, переход к менее мощной шкале обрекает нас на утрату части
столь ценной для нас эмпирической информации об индивидуальных различиях испытуемых. Следствием этого может являться падение статистической достоверности результатов
исследования. Поэтому исследователь стремится все же найти свидетельства того, что используемая шкала – более мощная, метрическая. Обоснование метричности шкалы осуществляется при определении соответствия данных закону нормального распределения.
1.4 Виды математической обработки данных
Собрав совокупность данных, исследователь приступает к их обработке, получая сведения более высокого уровня, называемые результатами. Полученные на предыдущем этапе
данные путем их обработки приводят в определенную сбалансированную систему, которая
становится базой для дальнейшего содержательного анализа, интерпретации, научных выводов и практических рекомендаций. Если по обработке данных выявляются какие-либо ошибки, пробелы, несоответствия, препятствующие построению такой системы, то их можно ликвидировать и восполнить, проведя повторные замеры.
Обработка данных направлена на решение следующих задач:
1. Упорядочивание исходного материала, преобразование множества данных в це-
лостную систему сведений, на основе которой возможно дальнейшее описание и объяснение
изучаемых объекта и предмета.
2. Обнаружение и ликвидация ошибок и недочетов, пробелов в сведениях.
3. Выявление скрытых от непосредственного восприятия тенденций, закономерностей
и связей.
4. Обнаружение новых фактов, которые не ожидались и не были замечены в ходе эм-
пирического процесса.
5. Выяснение уровня достоверности собранных данных и получение на их базе научно
обоснованных результатов.
Количественная обработка – есть манипуляции с измененными характеристиками
изучаемого объекта (объектов), с его «объективизированными» во внешнем проявлении
свойствами.
Качественная обработка – способ предварительного проникновения в сущность
объекта путем выявления его неизмеряемых свойств на базе количественных данных
(табл.1).
Таблица 1
Сравнительная характеристика количественной и качественной
обработки данных в психологическом исследовании
ственных характеристик изучаемого объекта.
- Формальное, внешнее изучение объекта.
- Доминирует аналитическая составляющая по-
знания, включающая категорию «анализ» (корреляционный анализ, факторный анализ и др.).
- Основной итог - упорядоченная совокупность
«внешних» показателей объекта (объектов).
- Реализуется с помощью математико-
15
чаемого объекта.
- Содержательное, внутреннее изучение объекта.
- Доминирует синтетическая составляющая по-
знания и компонент обобщения.
- Основной итог - интегрированное представление
о множестве свойств объекта или множестве
объектов в форме классификаций и типологий.
- Апеллирует к методам логики.
Количественный анализ без последующей качественной обработки бессмыслен, так
как сам по себе он не в состоянии превратить эмпирические данные в систему знаний. Качественное изучение объекта без базовых количественных данных – это чисто умозрительная
процедура, не свойственная современной науке.
Наряду с этим также выделяются первичная и вторичная обработка данных.
Первичная обработка – группировка «сырых» сведений по тем или иным критериям,
отображение их в сводных таблицах, графиках, диаграммах и т.п. Первично обработанные
данные, представая в удобной для обозрения форме, дают исследователю в первом приближении представления о характере всей совокупности данных в целом: об их однородности –
неоднородности, четкости – нечеткости и т.п. Эта информация хорошо читается на наглядных формах представления и связана с понятием «распределение данных».
Вторичная обработка – завершает анализ данных и подготавливает их к синтезиро-
ванию знаний на стадиях интерпретации и выводов. Вторичная обработка заключается в статистическом анализе итогов первичной обработки. При этом исследователь должен учитывать, что статистические методы – это вспомогательное оружие психолога, призванное лишь
усилить исследовательскую мысль. Поэтому не нужно втягивать себя в так называемую
«статистическую мясорубку», полагая, что пропустив через неё весь материал, можно получить какие-то зависимости, закономерности и факты; необходимо четко знать, что мы хотим
получить от применения статистики, и какие методы обработки подходят к условиям и задачам исследования.
Необходимым минимумом статистического анализа при вторичной обработке
являются описательная и корреляционная статистика. Всю совокупность полученных
данных можно охарактеризовать в сжатом виде, если удается ответить на три главных вопроса:
1. Какое значение наиболее характерно для выборки? – меры центральной тенденции
(среднее арифметическое, медиан, мода, среднее геометрическое, среднее гармоническое).
2. Велик ли разброс данных относительно этого характерного значения, т.е. какова
размытость данных? – меры изменчивости или рассеивания (размах, среднее отклонение,
дисперсия, стандартное отклонение, полуквартильное отклонение).
3. Существует ли взаимосвязь между отдельными данными в имеющейся совокупности, и каковы характер и сила этих связей? – меры связи, корреляции.
1.5 Интерпретация и обобщения результатов
За количественной и качественной обработкой данных следует решающая фаза науч-
ного исследования – интерпретация результатов. Часто эту фазу называют теоретической обработкой, подчеркивая её отличие от эмпирической статистической обработки. На этом этапе
особенно рельефно проявляется единство и взаимосвязь эмпирических и теоретических знаний. Эта фаза наиболее захватывающий этап исследования, на котором наиболее ярко проявляется творческий характер научного процесса.
Теоретическая обработка выполняет две главные функции:
1. Преобразование статистически подготовленных данных (вторичных данных, результатов) в эмпирические знания.
2. Получение на их базе теоретических знаний.
Цель теоретического проникновения в информационный материал – исходя из вы-
двинутых гипотез, научно обработать отдельные данные или их совокупность так, чтобы
можно было:
а) определить отношения между данными и гипотезами;
б) произвести проверку исходных гипотез;
в) уточнить, расширить, модифицировать и т.д. имеющиеся гипотезы и развить их до
уровня теоретических высказываний;
г) гипотетическое объяснение проблемы довести до уровня решения этой проблемы.
Чаще всего под интерпретацией понимают две процедуры: объяснение и обобщение.
16
Объяснение – выяснение сущности объекта.
В психологии спектр возможных объяснений одного и того же явления шире, чем в
других науках. Главная причина такого положения – в чрезвычайной сложности и объекта, и
предмета исследования психологии. Человек и его психика – системы многоуровневые и
многокомпонентные, выступающие одновременно в различных ипостасях. Неоднородность
психики, с одной стороны, и её целостность, с другой, предопределяют сложность и многофакторность связей в психических проявлениях.
Часто объяснение сводится к привязке к какой-нибудь модели. Многообразие таких
моделей в психологии чрезвычайно велико, что в конечном итоге также умножает вариативность объяснений в психологии. Каждый вариант объяснительной модели обусловлен теоретическими и методологическими позициями её автора, его компетентностью в данных и
смежных областях знания. Зачастую модели определяются и методом, используемым при
изучении данного явления.
Обобщение – выявление для группы объектов (явлений) наиболее существенных
черт, определяющих их важнейшие качественные характеристики. Специфические для отдельных объектов свойства отбраковываются. С логической точки зрения это процесс индуктивный: от частного к общему. На языке статистики это означает перенести результаты с выборки на всю популяцию, в пределе – на генеральную совокупность.
Завершает научное исследование формулировка выводов, к которым предъявляется
ряд общих требований:
1. Выводы должны отражать существо проблемы и быть краткими, лаконичными.
2. Выводы должны быть согласованы с целями и задачами исследования, в них указывается, решены ли задачи, достигнута ли цель исследования, разрешена ли проблема.
3. Оптимальное число выводов – 3-4 весомых вывода, вносящих вклад в знания в данной области. Рекомендуемое предельное число – 7-9.
4. По форме изложения выводы не обязательно должны представать в форме словесных высказываний. В некоторых случаях допускаются графические изображения, формулы и
т. п., но и они обычно сопровождаются краткими пояснениями.
5. Хорошо представленные выводы легче включить и в имеющуюся систему научных
знаний. При этом уточняются актуальность, теоретическая и практическая значимость, степень новизны полученных результатов. Производится перевод специфических знаний на философский язык, определяется их место в общей картине мира.
2. Первичные описательные статистики
2.1 Меры центральной тенденции
К первичным описательным статистикам обычно относят числовые характеристи-
ки распределения измеренного на выборке признака. Каждая такая характеристика отражает
в одном числовом значении свойство распределения множества результатов измерения: с
точки зрения их расположения на числовой оси либо с точки зрения их изменчивости. Основное назначение каждой из первичных описательных статистик – замена множества значений признака, измеренного на выборке, одним числом (например, средним арифметическим
значением). Компактное описание группы при помощи первичных описательных статистик
позволяет интерпретировать результаты измерений, в частности, путем сравнения первичных статистик разных групп.
Меры центральной тенденции
Меры центральной тенденции (МЦТ) – это число, характеризующее выборку по
уровню выраженности измеренного признака; это величины, вокруг которых группируются
остальные данные.
Среднее арифметическое (выборочное среднее, М) – это частное от деления всех
значений (Х) на их количество (N):
М=ΣХ/N.
17
Свойства среднего:
а) если к каждому значению переменной прибавить одно и то же число С, то среднее
увеличится на это число (уменьшится на это число, если оно отрицательное): М(
xj+c)
= Мx +с
б) если каждое значение переменной умножить на одно и то же число С, то среднее
увеличится в С раз: М(
xj·c)
= Мx ×с
в) отклонение от среднего – сумма всех отклонений от среднего равна нулю: Σ(xj-
Mx)=0.
Медиана (Ме) – это значение, которое делит упорядоченное (ранжированное) множе-
ство данных пополам так, что одна половина всех значений оказывается меньше медианы, а
другая больше. При этом количество отличающихся значений ниже и выше медианы одинаково. Таким образом, первым шагом при определении медианы является упорядочивание
(ранжирование) всех значений по возрастанию (убыванию). Далее медиана определяется
следующим образом:
а) если данные содержат нечетное число значений (8, 9, 10, 13, 15), то медиана есть
центральное значение, т.е. Ме=10;
б) если данные содержат четное число значений (5, 8, 9, 11), то медиана есть точка,
лежащая посредине между двумя центральными значениями, т. е. Ме=(8+9)/2=8,5.
Медиана не обязательно совпадает с имеющимся замером, это точка на шкале. Совпа-
дение происходит в случае нечетного числа значений (ответов) на шкале, совпадение – при
четном их числе.
Мода (Мо) – это значение, наиболее часто встречающееся в выборке, т.е. значение с
наибольшей частотой. Мода – это значение признака, а не его частота. Особенности:
а) если график распределения частот имеет одну вершину, то такое распределение
называют унимодальным; например: среди 8 значений признака (3, 7, 3. 5, 7, 8, 7, 6) Мо=7
как наиболее часто встречающееся значение;
б) если два соседних значения имеют одинаковую частоту и они больше частоты лю-
бого другого значения, мода есть среднее этих двух значений; например: в ряду значений (1,
2, 2, 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7) Мо=3;
в) если то же самое относится к двум не смежным значениям, то существует две мо-
ды, а группа оценок является бимодальной; например: в ряду значений (0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 4,
5, 7) Мо=1 и 4;
г) если все значения встречаются в группе одинаково часто, то считается, что моды
нет; например: 1, 1, 3, 3, 7, 7.
Правила выбора мер центральной тенденции.
1. Для номинативных данных единственной подходящей мерой ЦТ является Мо, или
модальная категория – та градация номинативной переменной, которая встречается наиболее
часто.
2. Для порядковых метрических переменных, распределение которых унимодальное и
симметричное, мода, медиана и среднее совпадают. Чем больше отклонение от симметричности, тем больше расхождение между значениями этих МЦТ. По этому расхождению можно судить о том, насколько симметрично или асимметрично распределение.
3. Наиболее очевидной и часто используемой МЦТ является среднее значение. Оно
применяется при стремлении к наибольшей точности, и когда впоследствии нужно будет вычислять стандартное отклонение. Но его использование ограничивается тем, что на величину
среднего влияет каждое отдельное значение. Таким образом, среднее значение весьма чувствительно к «выбросам» - экстремально малым или большим значениям переменной.
4. На величину моды или медианы величина каждого отдельного значения не влияет.
Иначе говоря, мода и медиана не чувствительны к «выбросам». Например: если 9 человек
имеют месячный доход от 5000 до 6000 рублей, со средним 5600 рублей, а доход 10 человека
составляет 15000 рублей, то средний доход для этих 10 человек составит 6540 рублей. Эта
цифра не позволяет судить обо всей группе, и в качестве меры центральной тенденции следует избрать медиану или моду.
18
5. Медиана используется, когда в серии есть «нетипичные» данные, резко влияющие
на среднее, например: 1, 3, 5, 7, 9, 24, 6.
6. Мода используется тогда, когда не нужна высокая точность, но важна быстрота
распределения МЦТ.
Помимо МЦТ в психологии широко используются меры положения, которые называ-
ются квантилями распределения.
Квантиль – это точка на числовой оси измеренного признака, которая делит всю со-
вокупность упорядоченных измерений на две группы с известным соотношением их численности.
Виды квантилей:
Медиана (Ме) – значение признака, которое делит всю совокупность измерений на две
группы с равной численностью;
Процентиль – (Р) – это 99 точек значений признака (Р1, …….Р99), которые делят упо-
рядоченное (по возрастанию) множество наблюдений на 100 частей, равных по численности.
Определение конкретного значения процентиля аналогично определению медианы. Например: при определении 1- процентиля, Р10, сначала все значения признака упорядочиваются
по возрастанию. Затем отсчитывается 10% испытуемых, имеющих наименьшую выраженность признака. Р10 будет соответствовать тому значению признака, который отделяет эти
10% испытуемых от остальных 90%;
Квартиль – это 3 точки – значения признака (Р25, Р50, Р75), которые делят упорядо-
ченное (по возрастанию) множество наблюдений на 4 равные по численности части. Первый
квартиль соответствует 25-му процентилю, второй – 50-му процентилю или медиане, третий
квартиль – 75-му процентилю.
Процентили и квартили используются для определения частоты встречаемости тех или
иных значений (или интервалов) измеренного признака или для выделения подгрупп и отдельных испытуемых, наиболее типичных или нетипичных для данного множества наблюдений.
2.2 Меры изменчивости
Меры изменчивости – статистические показатели, характеризующие различия меж-
ду отдельными значениями выборки. Они позволяют судить о степени однородности полученного множества, о его компактности, а косвенно – и о надежности полученных данных и
вытекающих из них результатов. Если меры центральной тенденции отражают уровень выраженности измеренного признака, то меры изменчивости, отражающие индивидуальные
различия испытуемых по измеренному признаку, применяются в психологии для численного
выражения величины межиндивидуальной вариации признака.
Наиболее используемые в психологических исследованиях результаты: размах, сред-
нее отклонение, дисперсия, стандартное отклонение, полуквартильное отклонение.
Размах (R) – интервал между максимальным и минимальным значениями признака.
Определяется легко и быстро, но чувствителен к случайностям, особенно при малом числе
данных.
R= X
max-Xmin
Среднее отклонение (МД) – это среднеарифметическое разницы (по абсолютной ве-
личине) между каждым значением в выборке и её средним. МД показывает скученность данных вокруг среднего:
МД= Σd/N,
где d= (Х-М); М – среднее выборки, Х – конкретное значение, N – число значений.
Дисперсия (Д) – (от лат. рассыпанный) – мера изменчивости для метрических дан-
ных, пропорциональная сумме квадратов отклонений измеренных значений от их арифметического среднего. Дисперсия – величина, название которой в науке является синонимом изменчивости:
D=Σd2/N, для больших выборок; где d= (Х-М);
D=Σd2/(N-1), для малых выборок; где d= (Х-М);
19
Чем больше изменчивость в данных, тем больше отклонения значений от среднего,
тем больше величина дисперсии.
Свойства дисперсии:
а) если значения измеренного признака не отличаются друг от друга (равны между
собой) – дисперсия равна нулю;
б) прибавление одного и того же числа к каждому значению переменной не меняет
дисперсию;
в) прибавление константы к каждому значению переменной изменяет среднее (М), но
дисперсия при этом остается неизменной;
г) умножение каждого значения переменной на константу С изменяет дисперсию в С2
раз: D
= Dх С2
х×c
Стандартное отклонение (σ) – положительное значение квадратного корня из дис-
персии.
Из-за возведения в квадрат отдельных отклонений d при вычислении дисперсии полу-
чается величина, далекая от самих отклонений. Чтобы этого избежать и получить характеристику, сопоставимую со средним отклонением, проделывают обратную математическую
операцию – из дисперсии извлекают квадратный корень. Его положительное значение и принимается за меру изменчивости, именуемую среднеквадратическим или стандартным отклонением.
(1.1)
3. Закон нормального распределения
3.1 История применения закона нормального распределения
История ЗНР в социальных и биологических науках начинается, по-видимому, с рабо-
ты бельгийского ученого А. Кетле «Опыт социальной физики» (1835). В ней он доказывал,
что такие явления, как продолжительность жизни, возраст вступления в брак и появление
первого ребёнка и т.д., подчиняются строгой закономерности. Она проявляется в том, что
чаще всего встречаются средние значения соответствующих показателей, и чем больше отклонение от этой средней величины, тем реже встречаемость таких отклонений. Одинаковые
отклонения от среднего в меньшую и в большую сторону встречаются одинаково реже, чем
среднее значение. Эту закономерность он назвал «законом уклонения от средней величины».
В его исследованиях, и позднее – в исследованиях англичанина Ф. Гальтона, было до-
казано, что распределение частот встречаемости любого демографического (продолжительность жизни и др.) или антропометрического (рост, вес и др.) показателя, измеренного на
большой выборке людей, имеет одну и ту же «колоколообразную» форму (рис.1).
Рис. 1 Полигон частот для роста 8585 взрослых людей, родившихся в Англии в ХIХ
веке (по Ф. Гальтону).
20
Форма таких распределений может быть описана математической формулой, которую
предложил еще в ХVIII веке математик де Муар, решавший следующую задачу: «Предположим, монета в азартной игре подбрасывается 10 раз, и каждый раз она может с равным успехом выпасть «орлом» или «решкой». Какова вероятность того, что в результате этой игры
выпадает 0 «орлов», или 1 «орел», …., 10 «орлов»?» А если игра состоит из 100 подбрасывания монеты, или 1000? Де Муавру, в результате сложных математических вычислений, удалось доказать, что уравнение кривой, соединяющей вершины отрезков для данного случая
или для любой другой подобной задачи имеет формулу, где f(х) – высота подъема кривой
(плотность вероятности для значения х, е – основание натурального логарифма, примерно
2,718), π – число «пи» (примерно 3,14) М и σ – среднее и стандартное отклонение от переменной х, которые определяют положение кривой на числовой оси и задают её размах:
(1.2)
Эта формула и соответствующая ей кривая впоследствии получили название закона
нормального распределения (ЗНР).
Таким образом, начиная со второй половины ХIХ века, измерительные и вычисли-
тельные методы в психологии разрабатываются на основе следующего принципа: если индивидуальная изменчивость некоторого свойства есть следствие действия множества причин,
то распределение частот для всего многообразия проявлений этого свойства в генеральной
совокупности соответствует ЗНР. Это и есть закон нормального распределения.
ЗНР имеет целый ряд очень важных следствий. Одно из них состоит в том, что если
при изучении некоторого свойства мы произвели его измерение на выборке испытуемых и
получили отличающееся от нормального распределение, то это значит, что либо выборка нерепрезентативна генеральной совокупности, либо измерения произведены не в шкале равных
интервалов.
3.2 Закон нормального распределения как стандарт
Нормальный закон распределения проявляется в том, что чаще всего встречаются средние значения соответствующих показателей, и чем больше отклонение от
этой средней величины, тем реже встречаемость таких отклонений. Одинаковые откло-
нения от среднего в меньшую и большую сторону встречаются одинаково реже, чем среднее
значение.
Нормальное распределение характеризуется своими параметрами: средним (М) и
стандартным отклонением (σ). Только эти два значения отличают друг от друга бесконечное
множество нормальных кривых одинаковой формы. Среднее (М) задает положение кривой
на числовой оси и выступает как некоторая исходная, нормативная величина измерения.
Стандартное отклонение (σ) задает ширину этой кривой, зависит от единиц измерения и выступает как масштаб измерения. На рисунке 2 построен график нормального распределения
для М=0 и σ=1. Это и есть единичное нормальное распределение, которое используется
как стандарт – эталон.
Свойства единичного нормального распределения:
а) единицей измерения единичного нормального распределения является стандартное
отклонение;
б) кривая приближается к оси Z по краям асимптоматически – никогда не касаясь её;
в) кривая симметрична относительно М=0; её асимметрия и эксцесс равны 0;
г) кривая имеет характерный изгиб: точка перегиба лежит точно на расстоянии в одну
σ от М.;
д) площадь между кривой и осью Z равна 1.
21
Рис. 2 Кривая нормального распределения как стандарт
Последнее свойство имеет исключительно важное значение. Благодаря ему площадь
под кривой интерпретируется как вероятность, или относительная частота. Действительно,
вся площадь под кривой соответствует вероятности того, что признак примет любое значение из всего диапазона его изменчивости (от -∞ до +∞). Площадь под единичной нормальной
кривой слева ли справа от нулевой точки равна 0,5. Это соответствует тому, что половина
генеральной совокупности имеет значение признака больше 0, а половина – меньше 0.
Итак, наиболее важным общим свойством разных кривых нормального распределения
является одинаковая доля площади под кривой между одними и теми же двумя значениями
признака, выраженными в единицах стандартного отклонения.
Полезно помнить, что для любого нормального распределения существуют следу-
ющие соответствия между диапазонами значений и площадью под кривой:
М±σ соответствует ≈68% (точно – 68,26%) площади;
М±2σ соответствует ≈95% (точно – 95,44%) площади;
М±3σ соответствует ≈100% (точно – 99,72%) площади.
Также полезно знать, что если распределение является нормальным, то:
90% всех случаев располагается в диапазоне значений М±1,64σ
95% всех случаев располагается в диапазоне значений М±1,96σ
99% всех случаев располагается в диапазоне значений М±2,58σ
Существует специальная таблица, позволяющая определять площадь под кривой
справа от любого положительного Z (приложение 1). Пользуясь ею, можно определить вероятность встречаемости значений признака из любого диапазона. Это широко используется
при интерпретации данных тестирования.
Несмотря на исходный постулат, в соответствии с которым свойства в генеральной
совокупности имеют нормальное распределение, реальные данные, полученные на выборке,
нечасто распределены нормально. Более того, разработано множество методов, позволяющих анализировать данные без всякого предположения о характере их распределения как в
выборке, так и в генеральной совокупности. Эти обстоятельства иногда приводят к ложному
убеждению, что нормальное распределение – пустая математическая абстракция, не имеющая отношения к психологии. Тем не менее, можно указать по крайне мере на три важных
аспекта применения нормального распределения:
1. Разработка тестовых шкал.
2. Проверка нормальности выборочного распределения для принятия решения о том, в
какой шкале измерен признак – в метрической или порядковой.
3. Статистическая проверка гипотез, в частности – при определении риска принятия
неверного решения.
22
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]