Оптимизация по прочности толстостенных оболочек. Монография

(

−⋅ν

ν

μ=μ+μ+μ

(

θ

=

μ

(

μ

−

ГЛАВА 4. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ТОЛСТОСТЕННОГО ЖЕЛЕЗОБЕТОННОГО ЦИЛИНДРА С УЧЕТОМ АНИЗОТРОПИИ

В данной главе представлено решение задачи оптимизации работы железобетонного цилиндра без возникновения в материале трещин. При этом под понятием неоднородность понимается изменение модуля упругости бетона вдоль радиуса. Поэтому решение задачи оптимизации заключается именно в подборе распределения характеристик бетона в теле конструкции. При решении задач используются основные идеи представленные в работе Н.И.Карпенко [27].

4.1. Общая модель железобетона. Прямые задачи

Используя физические соотношения (5.44) из работы [27], предварительно заменив в них индексы декартовых координат на индексы цилиндрических координат, получим

m

b

μ

θssz

s

m

θ

bmb

m

θθ

b

m

θ

b

⎤

μ

+

⎥

EEE

⎦

,

ccc

σ+σ+σ=ε

131211

bz

b

m

,

ccc

b

,

θ

σ+σ+σ=ε

232221

bz

b

m

,

σ+σ+σ=ε

333231

bz

μ

m

−=

c

b

12

E

b

m

,

szssrs

bj

. Остальные коэффициенты в

zrj ,,

1

()()

11

)

μ−σ=σ 1

sjbj

(4.1)

)

s

μ−μ−

θ

ssr

– при-

,

m

где

m

c

b

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

m

c

b

11

−=

13

E

1

=

1

()

⋅

()()

b

2

μ−

sr

()

1

μ−

11

br

m

br

b

m

br

bz

⎡

1

μ−

s

⎢ ⎣

s

+

b

,

μ−μ−

szsr

веденные напряжения в бетоне, а системе соотношений (4.1) получаются круговой перестановкой индексов.

В системе (4.1) составляющие коэффициентов имеют разный

порядок. Например, в составляющие собой величины меньшего порядка, чем

m

c

11

b

)

1

m

c

bjj

E

и

ssEθ

E

, поэтому при расчете

bs

представляют

ssz

61

эти малые величины можно не учитывать. С учетом изложенного выше

μ

=

ε

ν

(

)

=

ε

(

σ+σν=

σ

(

система (4.1) принимает вид:

где ,

brσθσb

⎧

=ε

⎪

r

⎪ ⎪

⎪

=ε

⎨

θ

⎪ ⎪

=ε

⎪

z

⎪

⎩

σ

и – действительные напряжения в бетоне.

bz

μ−

1

s

()

1

E

1

()

1

E

1

()

1

E

()

μ−

srb

μ−

s

(

μ−

θ

sb

μ−

s

()

μ−

szb

νσ−νσ−σ

θ

,

bzbbr

)

νσ−σ+νσ−

θ

,

bzbbr

σ+νσ−νσ−

,

bzbbr

(4.2)

Обычно при конструировании в цилиндрических трубах устанавливают кольцевую арматуру, а также арматуру, идущую параллельно оси вращения цилиндра, поэтому будем полагать

0=

sr

Кроме того, труба в общем случае представляет собой тело, имеющее большую протяженность в направлении оси , что позволяет

Oz

рассматривать напряженно-деформированное состояние трубы в условиях плоской деформации, т.е. в (4.2) можно положить

0

.

z

Учитывая приведенные упрощения, окончательно система (4.2) примет следующий вид:

1

μ−

s

=ε

r

=ε

θ

1

()

E

1

b

1

μ−

()

E

1

μ−

1

1 ν−=

EE . Из условия

bb

σν−σ

1

s

()

θ

sb

2

,

θ

bbr

,

σ+σν−

1

θ

bbr

0

напряжение

z

(4.3)

σ

bz

где

()

=ν 1

1

⎧ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

ν−

,

можно определить из равенства:

.

)

.

θ

bbrbz

(4.4)

При решении задач о напряженно-деформированном состоянии необходимо знать, как связываются между собой общие напряжения в железобетоне с напряжениями, действующими в арматуре и бетоне. Ответ на этот вопрос также дается в работе [27]. Эти соотношения при соответствующих заменах выглядят так:

με+μ−σ=σ

E

⎧ ⎪

⎨ ⎪

⎩

)

()

E

;1

srrssrbrr

με+μ−σ=σ

E

;1

θθθθθ

sssb

με+μ−σ=σ

.1

szzsszbzz

(4.5)

Применяя к соотношениям (4.5) указанные выше предположения, получим

62

σ=σ

(

=εμ−μ−σ

−

μ

−

(

)

(

[

]

[

]

(

[

(

=

μ

=

ν

⎧ ⎪

⎨ ⎪

⎩

;

brr

()

μ−σ=σ

.1

szbzz

E

με+μ−σ=σ

;1

θθθθθ

sssb

(4.6)

Используя соотношения (4.3) и выражения (4.6), можно решить некоторые прямые задачи. Рассмотрим, каким образом можно получить решение для цилиндра.

Уравнение равновесия (1.2) с учетом (4.6) запишется в виде:

′

σ+σ

)

Er

01

.

θθθθ sssbrr

(4.7)

Из второго выражения (4.3) определяем действительное напряжение

в бетоне

θσb

1

θ

s

E

ε+σν=σ

θθ

11

brb

.

μ−

1

s

(4.8)

Под действительными напряжениями в бетоне понимаются напряжения, которые возникают в теле конструкции за вычетом объёма, занимаемого арматурой. Исключив с помощью равенства (4.8) напряжение из первого выражения (4.3), получим

θσb

2

()

1

)

111

EE

μ−εν−σμ−ν−=ε . (4.9)

111

bsbrsr

θθ

Подставляя выражение (4.8) в уравнение равновесия (4.7), а выражение (4.9) в уравнение совместности деформаций (1.4), получаем систему дифференциальных уравнений

⎧

1

′

⎪ ⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎩

⋅=σ

r

1

′

⋅=ε

θ

r

()()

1

2

()

() ( )

1

2

EE

μ−

1

s

[]

1111

E

1

b

E

1

εμ−ν+−σμ−ν−

θθ

11

bsrs

.

μ−μ−ν−σ−μ−μ+μ−ε

11111

)

]

θθθθ

)

ssrssssb

,

(4.10)

В общем случае система (4.10) решается численно, например, когда величина коэффициента армирования

при переменном модуле упругости .

зависит от координаты r, или

θμs

E

1b

Рассмотрим решение прямой задачи для железобетонного цилиндра на конкретных примерах. Пусть цилиндр имеет равномерное армирование вдоль кольцевого и осевого направления, т.е.

также коэффициент Пуассона

. Модули упругости и также

5.0

const

s

θ

и

=

sz

E

1b

, а

E

s

const

приняты постоянными. При таких условиях удается получить решение системы (4.10) аналитически. Решением второго уравнения системы (4.10), являющегося однородным линейным дифференциальным уравнением, будет зависимость

63

(

)

σμ−

σ

A

(

)

(

)

σ

()(

(

μ−μ

()(

где пока неизвестная величина. Подставляя (4.1 в первое урав

1

s

=ε

θ

σ

1) нение

0

() ()

1

0

2

EE

μ−μ+μ−

11

θθ

μ+−

2

θ

s

r

ssssb

,

системы (4.10), получим линейное дифференциальное уравнение

3

′

r

μ+σ

sr

θ

r

μ+−

θ

σ=

s

r

0

.

Решением уравнения (4.12) является функция

(4.11)

(4.12)

Константы результате

Напряжение определяем из уравнения равновесия (1.2)

Напряжения и выр

ажения

θ

b

bz

−=σ

r

и можно определить из гр ичных условий (

σ ан 2.4). В

0

находим

=

A

()

12

μ−=σ

θ

0

=σ

()

12

−=σ

()

12

s

σ

θ

σ

=

σ

θ

2

σ

θσb, bz

σ

⋅

μ−

θ

s

σ

0

⋅

μ−

s

θ

σ

()

12

()()

2

0

10

() ()

1

2

0

θμ−s

−

apbp

ab

1212

−

ba

μμ

ss

−

ab

() ()

−

μ+−

()

1

можно определ ь, используя следу

z

2

EE

2

EE

μ−μ+−

θθ

ss

+

Arr

.

μ−μ−

22

θθ

ss

,

μ−μ−

θθ

ss

μ−

12

θ

θθ

baapbp

1212

ba

μ−+

s

θ

s

)

μ−μ−

ss

rAr

.

θθ

μ−

θθ

ss

.

ит ющие

)

11

μ−μ−μ−

θθ

11

θθ

2

ssssb

μ−μ+μ−

ssssb

1

E

θ

() ()

1

2

)

sss

11

EE

θθ

2

μ−μ+μ−

ssssb

(4.13)

(4.14)

(4.15)

μ−μ+−

θθ

ss

+

Arr

,

(4.16)

(4.17)

μ−μ+−

θθ

ss

+

Arr

,

σ

0

−=σ

z

()

μ−

12

E

⋅

s

θ

() ()

1

()

μ−+

11

μ−μ−μ

)

2

EE

μ−

rA

sz

sszss

11

μ−μ+μ−

θθ

θ

s

.1

μ+−

θ

s

r

ssssb

+

(4.18)

64

Ниже приводится пример расчета, проведенный при следующих ис-

=

μ

=

μ

=

ε

=

μ

=

ξ

μ

ε

σ

ходных данных:

p

10=

b

МПа

; МПа1016.2

3.1=ab

;

4

×=bE ; МПа1025×=sE . .4 казано

01.0

θs

:

01.0

sz

На рис .1 по

;

5

p

МПа

a

распределение напряжений в железобетонном цилиндре при равномерном

ьцевом армировании.

кол

В качестве второго примера можно привести расчет железобетонного цилиндр , имеющег

а о неравномерное кольцевое армирование

ξ

μ=μ r

θ

s 0

, (4.19)

;

а осевое армирование, как упругости

E

и

1b

. Решая второе уравнение системы (4.10) имеем

5.0=ν

и в предыдущем примере равномерное. Модули

E

приняты постоянными, а коэффициент Пуассона

s

следующую

зависимость:

ξ

⎛

ε

0

⎜

exp ,

=ε

θ

2

⎜

r

⎝

ε

где ур системы (4.10), необходимо прибегнуть к численным методам,

напр , использовать метод Рунг четвертого по Неизвестную константу

(2.4 метод истрелки. Эти алгоритмы можно реализовать, используя

пока величина неизвестная. Для того чтобы решить первое

0

авнение

имер е-Кутта рядка.

определяют, льзуя граничные усл

0

) и пр

⎞

r

⎟

μ

0

⎟

ξ

⎠

(4.20)

испо овия

математический пакет MathCAD 13.

Используя изложенное выше решение для цилиндра с неравномерным кольцевым рмированием, ыл выполнен числово пример пр следующих исходных данн :

а б й и

ых

МПа1016.24×=bE ; МПа1025×=sE ;

3.1=ab

;

0

5

p

МПа;

a

01.0

;

p

b

;

187.4

10

sz

МПа;

01.0=

В табл. 4.1 представлен результат численного решения для указанного

E

=σ

примера, при этом

Распределение напр нер ном

ss

θθ

яжений при авномер кольцевом

а ца 4.1

Т бли

армировании

.

ar

МПr,σ

МПа,

θ

МПаа

,

z

s,θ

МПа

1.00 -5.000 -28.620 -16.017 -153.689

1.05 -6.104 -27.781 -16.087 -139.475

1.10 -7 4 .073 -27.087 -16.160 -127.16

1.15 -7.930 -2 -16.236 -116.432 6.513

1.20 -8.695 -26.040 -16.315 -107.021

1.25 -9.38 -25.653 -16.397 -98.724

1.30 -10.00 -25.338 -16.481 -91.375

65

На рис.4. показан деление ний в железобетон-

0

но индре равном и при

м цил как при ерном, так

-5

σ

МПа

,

-10

-15

-20

-25

-30

1 и 4.2 о распре напряже

МП

,

σ

z

σ

bz

θσb

σ

θ

1,0 1 1,2 ,3 1, 1

r/a

r

σ

-5

а

-10

σ

-15

z

σ

bz

-20

θσb

-25

σ

θ

-30 1,0 1 1,2 ,3 1, 1

Рис.4.2. Распределение напряжений

железобетонном цилиндре с

равномерным кольцевым армированием

в железобетонном цилиндре с неравно-

мерным кольцевым армированием

неравномерном кольцевом армировании распределения коэффициента армиро

. На рис.4.3 приведены эпюры

вания, а на рис.4.4 эпюра

напряжений в кольцевой арматуре.

σ

r

r/a

3,

θμs

2,0

1,0

,%

2

1

-175

МПа

σ

s,θ

2

1

-125

-100

-75

-50

0

1,0 1 1,2 ,31, 1

Рис.4.3. Равномерное (1) и неравномерное (2) распределение коэффициента

r/a

θμs

1,0 1, , 1,1 2 1 3

Рис.4.4. Эпюры напряжений

в кольцевой арматуре при

равномерном (1) и неравномерном

(2) кольцевом армировании

r/a

Можно заметить, что при изменении плотности кольцевого армиро вания вдоль радиуса в пределах от 1% до 3% приводит к общему сниж нию напряжений в арматуре, однако это снижение незначительно.

66

-

е-

4.2. Обратные задачи для равнопрочного цилиндра

ε=ε

ν

ε

=

ν

(

εμ−−=

ε

На примере решения прямых задач для железобетонного цилиндра стало , что форма решения сильно зависит от того, как армирована

ясно

конст

рукция, при этом зачастую решение возможно лишь численными

метод

ами. При решении задачи оптимизации будет использовано условие

обр

азования нормальных трещин в теле бетона

где

,

btu

1

ε

– наибольшая относительная деформация растяжения,

1

(4.21)

ε

btu

–

предельная относительная деформация растяжения бетона; и данные табл.3.3 монографии.

4.2.1

. Решение задачи при равномерном кольцевом

армировании

При решении обратных исходить из определенных предпосылок. Будем рассматривать такие нагру только

жений цилиндра, при которых в нем будут возникать

сжима я. При этом в радиальном направлении будут

ющие напряжени

возн

икать деформации растяжения. Коэффициент Пуассона для расчетов

примем

. В выражении (4.21) предельная деформация растяжения

5.0=

определяется выражением

где коэффициенты

ρ

данных, приведенных в табл.3.3.

Для определения зависимости между деформациями воспользуемся системой (4.3). Подставляя в систему значение

коэффициента Пуассона чим

задач для железобетонного цилиндра будем

виды

btu

b

⋅ρ=ε

1

ν−

,

ω+

2

(4.22)

E

и ω определяются на основе экспериментальных

ε

и

r

5,0

, после несложных преобразований полу-

θ

)

1 .

Учитывая, что в ради м направлении возникают растягивающие дефор

мации, условие (4.21) с учетом выражения (4.22) перепишется

ально

θθ

sr

(4.23)

следующим образом:

E

b

.

ω+

2

ν−

(4.24)

Подставив выраже

⋅ρ=ε

r

1

ние (4.24) в (4.23), можно получить соотношение

67

(

)

εμ−+ω

ε

r

()()()(

A

E

b

2

1

)

⋅ν−−=

θθs

ρ

.

(4.25)

Подставляя в систему (4.10) значение коэффициента Пуассон

выражение (4.25), приходим к следующей системе уравнений:

и

5.0=ν

⎧ ⎪

′ ⎪ ⎨

⎪

′

⎪

θ

⎩

⎛

1

⎜

E

⎢

⎜

r

⎢

⎝

⎣

2

μ−

s

θ

r

()()

−με⋅=σ

ssr

.

ε−=ε

θ

Приведенные уравнения позволяют получить решение обр

задачи для всевозможных вариантов армирования железобето

2

1

μ−

s

11

⋅

ρ

⎞

εμ−+ωμ−

θθθ

ss

⎟ ⎟

⎠

⎤⎡

,

σμ−

⎥

rs

θθθ

⎥

⎦

(4.26)

атной

нного цилиндра. В общем случае (неоднородный материал, неравномерное армирование) систему (4.26) можно решить, используя лишь численные мет

оды, например метод Рунге-Кутта.

При равномерном кольцевом и осевом армировании решение обратной задачи, сводящееся к системе (4.26), удается получить в аналитической форме. Для этого сначала необходимо решить второе уравнение системы. Полученное решение описывается выражением, аналогичным (4.11):

0

=ε

θ

ε

пока неизвестная величина. Подставляя выражение (4.27) в первое

где

0

,

μ−

2

θ

s

(4.27)

уравнение системы (4.26), получаем линейное дифференциальное уравнение

а

2

μ−

θ

⎡

μ

s

θ

′

σ

+

r

ε

0

=σ⋅

r

E

⎢

μ−

3

θ

s

⎢

⎣

() ()

1

μ−

s

θ

−μ

ssr

θ

1

⋅

μ−

s

r

1

2

μ−

θ

s

⋅ρ

r

⎤

εμ−+⋅ω

s

0

θ

.

(4.28)

⎥ ⎥

⎦

Интегралом уравнения (4.28) является функция

22

⎡

()

ε−=σ

r

θ

θμ−s

,

r

+

A

()

где – определяется выражением (4.27). Константы

rθε

μ

r

⎢

()

12

⎢

⎣

1

μ−

ss

θ

−

μ−

s

θ

s

1

⋅

μ−

s

()( )

1234

ss

3412

μ−μ−ρ

выражениях (4.27) и (4.29) определяются из граничных условий (

На основе данных табл.3.3 для определения коэффициентов и

⎤

)

εμ−+μ−ω

rE

θθθθ

+

⎥

(4.29)

⎥

ss

θθ

⎦

ε

и в

0

).

2.4

ω,

ρ

входящих в равенство (4.22), можно использовать стандартные процедуры математического пакета MathCAD 13, в результате чего получаем

68

-19

=

μ

=

μ

ε

=

μ

r

=

A

35.6−

рис.4.5 показана

МПа10−×=ρ и

4−

10603.5 . На

×=ω

4,5

4

−

10,

ε

btu

аппроксими- рующая зависимость вида (4.22), а также экспери-м данные, по ко м построен

а.

Можно з ить, что

амет

ьн е

ентал ы

торы она

предположение о линей-

3,5

3,0

2,5

ной зависимости между

ε

глядно п дтвержда тся рис

btu

и

. 4.5.

E

достаточно на-

b

о е

Ниже приводится ход аналитического решения

зада т е

чи оп имизации при сл дующих исходных данных:

3.1=ab

,

2=abpp

,

0 01.

θs

л нуСнача а определим величи

2,0

1,5 2,0 2 5 ·10 МПа 4,0 ,

4

Е

b

Рис.4.5. Аппроксимирующая

зависимость между и

,

01.0

sz

0

.

. Для этого подставим (4.23) и (4.27)

ε

btu

E

b

МПа1025×=sE ,

ния приходим к формуле: в (4.24) и после преобразова

2

μ−

θ

s

r

0

1

μ−

s

θ

Подставляя в (4.29,а) найденные значения

4− 4

×=ω , а также МПа

10603.5 106.1 ×=

, получим . Для определения значения

5.0=ν

0

E

b

E

⎛ ⎜

1

⎝

⎞

b

ν−

.

ω+⋅ρ⋅−=ε

⎟

2

⎠

1035.6−×−=ρ МПа

01.0

4

10291.4−×−=ε

θs

, a

(4.29,а

9

,

необхо-

-1

1=a

димо воспользоваться граничными условиями (2.4). Также необходимо

pp 2=

уче зации граничн

сть, что

вий (2.4), еобр ваний получаем му из линейных

после

уравнений с дву нымиp и

. Используя (4.29) при реали ых усло-

ab

пр азо систе двух

мя неизвест

:

a

)

и

,

μ−

θ

⎧

⎪ ⎨ ⎪

2 bAbp

⎩

s

bAap

=+

a

0

μ−

θ

s

=+

1

(4.29,б)

где

⎧

ε

b

0

=

0

μ−

2

a

μ

E

θ

⋅

ss

⎨

12

()

⎩

Т

μ−

θ

s

⎡

()()

⎢ ⎣

1234

2

⋅μ−+μ−ω⋅−

θθ

ss

a

⎫

ε

⎤

0

,

⎬

⎥

μ−

2

θθ

ss

⎦

⎭

69

⎧

(

−

=

σ

=

σ

ε

b

0

=

1

μ−

2

b

μ

E

θ

⋅

ss

⎨

12

()

⎩

Т

μ−

θ

s

⎡

()()

⎢ ⎣

1234

ε

2

⋅μ−+μ−ω⋅−

θθ

ss

⎤

0

⎥

μ−

2

θθ

ss

b

⎦

Здесь введено обозначение:

2

)

1

μ−

θ

Т

=

()( )( )

s

⋅

34112

μ−μ−μ−ρ

θθ

sss

Подставляя эти константы в систему (4.29,б), определяем значения

p

и А: МП

a

228.3=ap

а, а

A

. После этог можно вычислить

554.15

о

значения напряжений, деформаций и функцию модуля упругости.

p

Полученные значения давления пользовались для численного решения

и начальной деформации

a

системы (4.26) методом Рунге-

Кутта четвертого порядка в качестве начальных параметров:

−=σ

⎧

r

⎪ ⎨ ⎪

θ

⎩

М

Па,228.3

−

4

×−=ε

.10291.4

Результаты численного интегрирования представлены в табл.4.2.

Табли

Распределение напряжений и модуля упругости бетона пр

E

равномерном кольцевом армировании

⎫ ⎬ ⎭

b

.

ε

. ис-

0

(4.30)

ца 4.2

и

a

МПа

,σ

r

МПа,θσ

МПа

,r

z

МПаE

,

b

1.00 827 -3.228 -13.209 -7.773 16000 -85.

1.05 -3.75 -77.887 3 -15.214 -9.075 20640

1.10 -4.308 -16.653 -10.104 24670 -70.998

1.15 -4.868 -17.681 -10.926 28180 -64.988

1.20 -5.419 -18.410 -11.588 31270 -59.712

1.25 -5.949 -18.916 -12.128 33990 -55.051

1.30 -6.454 -19.260 -12.570 36410 -50.919

Вели да на

4,0

E

4

10 МПа

.

b

3,0

Е ,

b

ε

2,0

5,0

ε

r

4,0

r

3,0

цилин состави

−

4

10,

мод растягивающей дефо мации показаны на рис.4.6, а эпюры

напряжений

чины влений

др ли

. мости

p

b

уля упруго ти

аи М454.6 П

с

,

r

θ

,

– на рис.4.7. Распредел

кольцевой

рис .8.

и

z

bz

1,0

1,0 1 1,2 ,31, 1

Рис.4.6. Распределение и в

железобетонном цилиндре при

равномерном кольцевом армировании

r/a

E

2,0

ε

r

b

напряжений в арматуре приведено на .4

Из рис. 4.7 видно, что эпюры

напряжений совпадают. Это объясняется треть-

М а

П

s,θ

p

a

МПа227.3

Зависи

()

rE

b

, σ

θσb z

ε

и

р

ение

практически

r

()

r

σ

bz

и

70