Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимизация по прочности толстостенных оболочек. Монография
.pdf
характер, и при разрушении прочность растянутой арматуры оказывается
недоиспользованной [8, 34].
Как и при расчете других конструкций, для железобетонных
конструкций исторически сложились три метода: метод расчета по
допускаемым напряжениям, метод расчета по разрушающим усилиям и
метод расчета по предельным состояниям. В силу специфических
особенностей железобетона эти методы приобретают дополнительные
особенности.
В основу метода расчета по допускаемым напряжениям взята вторая
стадия напряженно-деформированного состояния. Кроме того, приняты
допущения: бетон растянутой зоны не работает, а растягивающие
напряжения воспринимаются арматурой; работа бетона сжатой зоны
упругая и зависимость между напряжениями и деформациями
принимается линейной и описывается законом Гука; а также принимается
гипотеза плоских сечений. Главный недостаток данного метода
заключается в том, что бетон здесь рассматривается как упругий
материал.
Метод расчета по разрушающим усилиям базируется на третьей
стадии напряженно-деформированного состояния. Также как и в
предыдущем методе, работа бетона растянутой зоны не учитывается. В
расчетные формулы вводят предел прочности бетона при сжатии и предел
текучести арматуры. Распределение предельных напряжений в сжатой
зоне бетона принимается равномерное. Усилие, при котором допускается
эксплуатация конструкции, определяют путем деления разрушающего
усилия на общий коэффициент запаса прочности. Вместо гипотезы
плоских сечений используется принцип пластического разрушения,
который впервые был обоснован отечественным ученым А.Ф.Лолейтом.
Суть этого принципа состоит в том, что напряжения в бетоне и арматуре
достигают предельных величин одновременно. Все эти допущения
способствуют тому, что метод расчета по разрушающим усилиям более
адекватно отражает реальную работу конструкции под нагрузкой. Но при
этом и у этого метода имеются недостатки. Главный недостаток его
заключается в том, что один общий коэффициент запаса прочности не
может явно учесть возможные отклонения фактических нагрузок и
механических свойств материала.
Метод расчета по предельным состояниям, так же как и предыдущий
метод, основывается на третьей стадии напряженно-деформированного
состояния и является в своем роде модификацией метода расчета по
разрушающим нагрузкам. По этому методу четко разграничиваются
предельные состояния конструкций, а также используется система
расчетных коэффициентов. Введение этих коэффициентов гарантирует,
что предельное состояние не наступит при самых невыгодных сочетаниях
нагрузок при наименьших значениях прочностных характеристик
материалов.
41
3.2. Решение задачи оптимизации работы
σ
σ
(
=
(
=
ν
(
σ+σν=σ=
σ
σ
()(
(
конструкции на основе критерия
прочности П.П.Баландина
На основании статьи [16] условие прочности П.П.Баландина в
и
системе координат ,
1σ2
вращения. С учетом того, что сжимающие напряжения входят в него со
знаком минус это выражение записывается следующим образом:
2
1
3
2
2
2
()( )
представляет поверхность параболоида
3
)
+σσ+σσ+σσ−σ+σ+σ
133221
,
RRRR =σ+σ+σ−+
321
btbbtb
(3.3)
где
(призменная чность),
– расчетное сопротивление бетона при осевом сжатии
R
b
про
R – расчетное сопротивление бетона при
bt
осевом растяжении. Поскольку бетоны плохо работают на растяжение, то
можно принять положить в (3.3
)
bt
0
R . Применение данного положения
значительно упрощает решение задачи оптимизации. С учетом этого упрощения выражение (3.3) перепишется в виде:
2
2
1
()
3
R
b
)
0
=σ+σ+σ+σσ+σσ+σσ−σ+σ+σ
.
321133221
(3.4)
2
2
3.2.1. Решение для цилиндра
В бетоне, как следует из работы Н.И.Карпенко [27], при достижении
предельного состояния при действии сжимающих напряжений
коэффициент Пуассона может достигать значений, близких к 0,5. Поэтому
для дальнейших расчетов примем
находится в условиях плоской деформации, главные напряжения можно
определить следующим образом:
. С учетом этого условие прочности (3.4) примет вид:
σ=σ
θ
3
()
22
Уравнение (3.5) описывает параболу в неявном виде, поэтому для
решения необходимо перейти к параметрическому заданию напряжений
σθσ
и [21, 38]:
r
. Предполагая, что цилиндр
5,0
)
rz1
)
05.175.05.175.0
R .
=σ+σ+σ+σσ−σ
θθθ rbrr
,
θ
σ=
2
(3.5)
и
r
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
R
br
()
R
θ
b
2
)
,25.05.0
ϕ+ϕ−−=σ
2
.25.05.0
ϕ+ϕ−=σ
(3.6)
Зависимость между прочностными и жесткостными свойствами
материала задается выражением
42
ER
ω+ρ
=
ω
ε−=
ε
ε+ε
rdr
ε
ε
=
ν
(
ϕ
,
bb
(3.7)
где коэффициенты и
ρ
определяются на основе экспериментальных
данных. Для их определения можно воспользоваться стандартными
функциями математического пакета MathCAD 13.
При решении задачи воспользуемся тем условием, что коэффициент
Пуассона . Из этого следует, что в условиях плоского
5,0=ν
деформированного состояния
.
θ
r
(3.8)
Подставляя выражение (3.8) в условие совместности деформаций
(1.6), получим однородное линейное дифференциальное уравнение
d
θθ
02 =
,
(3.9)
которое решается путём разделения переменных с последующим интегрированием левой и правой части уравнения.
Решением уравнения (3.9) будет выражение
0
=ε
,
θ
2
r
ε
где пока неизвестная величина.
0
Для получения зависимости модуля упругости бетона от радиуса
воспользуемся выражением для деформаций
в условиях плоского
θ
E
b
(3.10)
деформированного состояния
1
=ε
E 1
2
ν−
b
ν
⎡
−⋅
⎢
ν−
⎣
⎤
σ+σ
.
θθ r
⎥
⎦
(3.11)
5.0
Подставляя в (3.11)
, а также выражения (3.10), (3.6) и (3.7),
после преобразований получаем
2
)
b
75.0
0
75.0
−=
E
ϕ⋅ϕ⋅ρ
r
2
r
.
ϕ⋅ϕ⋅ω+ε
()
После подстановки (3.7) и (3.12) в (3.6) найдем выражения для
напряжений через параметр
:
(3.12)
43
(
25.05.0
(
r
=
(
(
r
=
(
(
)
(
(
)
σ=σ
σ=σ=σ
()(
25.05.0
2
r
ϕ+ϕρε
2
r
2
)
ϕ+ϕ−ρε
;
()
ϕ⋅ϕ⋅ω+ε
2
.
()
ϕ⋅ϕ⋅ω+ε
(3.13)
⎧
⎪
r
⎪
⎨
⎪
θ
⎪
⎩
0
−=σ
−=σ
75.0
0
()
0
75.0
0
Подставляя (3.13) в уравнение равновесия (1.2), после
преобразований приходим к нелинейному дифференциальному уравнению
dr
=
ϕ
d
где – константа, пропорциональная относительной деформации в
ε
0
точке
Здесь , и
параметра , расчетного сопротивления на сжатие и модуля упругости
, которая определяется выражением
a
0
()
0
R
ϕ
a
b
ϕ
32
0
23
()
r
0
)
75.0
R
b
ϕ−=ε .
()
0
E
b
)
0
E
– начальные (в точке
b
)
−ϕε+ωϕ
183
rr
832
a
,
ϕε+ωϕ
0
2
a
a
(3.14)
ε
θ
(3.14,а)
) значения
бетона. Последнее равенство получено с помощью подстановки в (3.11)
следующих величин:
()
R ϕ+ϕ−−=σ ,
r
b
ε
5.0=ν
,
0
,
=ε
θ
2
a
20
25.05.0
aa
θ
b
EE = ,
R ϕ+ϕ−=σ
b
)
0
b
(3.14,б)
)
20
25.05.0
.
aa
Уравнение (3.14) в общем случае решается численными методами.
Приведенные ниже результаты получены методом Рунге-Кутта
четвертого порядка.
3.2.2. Решение для сферы
Главные напряжения при центральной симметрии задачи
определяются следующим образом:
и
r
1
этого условие прочности (3.4) перепишется следующим образом:
()
22
R .
)
022
=σ+σ+σ+σσ−σ
θθθ rbrr
Уравнение (3.15) описывает параболу в неявном виде, поэтому, как и
в предыдущем разделе, перейдем к параметрическому заданию напряже-
σθσ
ний и [21, 38]:
r
44
32
. С учетом
θ
(3.15)
(
R
ε=ε
ε−=
ε
ε+ε
rdr
ε
ε
()(
ϕ
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
b
r
12
R
b
θ
12
2
()
ϕ−=σ
2
)
ϕ−ϕ+−=σ
,4125
(3.16)
.41
Зависимость между прочностными и жесткостными свойствами
материала, как и для цилиндра, задается выражением (3.7).
При решении задачи воспользуемся тем условием, что при приближении на диаграмме к верхней точке коэффициент Пуассона
[27]. Так как в центрально-симметричной задаче
ε−σ 5,0=ν
, то
ϕθ
2
.
r
θ
(3.17)
Подставляя (3.17) в условие совместности деформаций (1.6), получим
однородное линейное дифференциальное уравнение
d
θθ
03 =
,
(3.18)
которое решается путём разделения переменных с последующим интегрированием левой и правой частей уравнения.
Решением уравнения (3.18) будет выражение
0
=ε
,
θ
3
r
где пока неизвестная величина.
ε
0
Для получения зависимости модуля упругости бетона от радиуса
1
()
[]
1
E
b
воспользуемся выражением для деформаций
νσ−σν−⋅=ε
.
r
θθ
θ
E
b
Подставив в (3.20) значение коэффициента Пуассона ,
(3.19)
(3.20)
5.0=ν
выражения (3.19), (3.16) и (3.7), после преобразований получаем
3
)
ϕϕ−ρ
21
=
E
b
0
r
()()
214
.
3
ϕ⋅ϕ−ω−ε
r
(3.21)
Подставляя выражение (3.7) и (3.21) в (3.16), получим выражения для
напряжений через параметр
:
45
(
⎧
()(
(
(
r
=
(
(
(
(
⎪
r
⎪
⎨
⎪
θ
⎪
⎩
0
=σ
()
=σ
()
()()
0
()
0
()()
0
2
)
ϕ−ϕ+−ρε
4125
;
3
2143
41
2143
ϕ⋅ϕ−ω−ε
r
2
ϕ−ρε
.
3
ϕ⋅ϕ−ω−ε
r
(3.22)
После подстановки (3.22) в уравнение равновесия (1.4) после
преобразований приходим к нелинейному дифференциальному уравнению
2
4
)
21238
rr
2
dr
d
ϕ
где - постоянная, определяемая выражением
ε
0
()
R
Здесь
раметра
па
ϕ ,
a
b
ϕ , расчетного сопротивления на сжатие и модуля упругости
0
⋅=
0
3
0
и
()
() ()
R
4aE
E
0
)
0
b
()
21
ϕ−=ε .
– начальные (в ке
b
b
)
0
0
()
ϕ−ω−ϕ−ε
,
2
3
211621
r
ϕ−ω+εϕ−
3
a
точ
a
(3.23)
(3.23,а)
) значения
бетона. Равенство (3.23,а) получено путем подстановки в (3.20) следующих величин:
0
()
R
b
r
()
12
Для решения ур
ε
5.0=ν ,
0
,
=ε
θ
3
a
2
ϕ−ϕ+−=σ
4125
,
aa
авнения (3.23) воспользовался метод Рунге-Кутта
)
0
EE = ,
b
b
0
)
R
b
θ
12
2
()
ϕ−=σ
41
a
(3.23,б)
четвертого порядка.
3.2.3. Полимербетон. Примеры решения
Ниже представлены конкретные решения для толстостенного
цилиндра и сферической оболочки по приведенн
осн опытных данных В.В.Патуроева [32].
овании
Решение для цилиндра
Ниже приводятся счета, о при с х
исходных нных:
да
результаты ра проведенног ледующи
)
E
b
101.3 ×=
40
МПа;
5.1=bapp , 5.0=ν ,. Для определения коэффициентов, входящих в
уравнение (3.7), применены стандартные функции математического
46
ым выше методикам на
)
0
R
b
0.141
=
МПа; 6.1=ab ,
пакета M 13, в резуль
=
5
=
ρ
r
−=σ
(
р
тате его получены следующие
значения:
позиций табл.3.2. На рис.3.2
показан аппроксимирующая
зависимость для полимербетона, а такж
ные
построена.
athCAD -
ч
7.126=ρ
МПа и
4
106.4−⋅=ω для пер ых трех
в
а
е эксперименталь-
точки, по которым она
R ,
b
16
МПа
160
155
150
145
Решение уравнения (3.14)
получено методом Рунге-Кутта
четвертого
начальном значен а
a
ние аргу
Величины влений на илиндр
порядка при
ии аргумент
071.3−=ϕ
. Конечное че-
ϕ
нта
ме
b
да ц
зна
222.2−=
.
соответственно. Значение давления
выражени д нормального ради о напряжения из .13)
подставляем значения
также значение
е ля ьног
констант
. В результате получаем 1.549
a
=
первое из соотношений (2.4) находим указанн ач ние
Значение давления
p можно получить, используя заданное соотнош
b
5.1=bapp . Графики распределения модуля уп угости
расчетного пр тивления
со о
140
3 4 5 8
Рис.3.2. Зависимость между
прочностными и деформационными
арактеристиками полимербетона
х
p МП и 0.366
a
p получено следующим образом. В
a
1.549
E ,
а
p Па
10 МПа
b
b
ал (3
и ω, значение параметра
r
МПа. И пользуя
ое выше зн е
р
)
rR
представлены на рис.3. 4 3 и 3.
b
4
с
М
ϕ=ϕ , а
a
p .
ение
()
rE и
a
7
4
10 МПа
6
b
E ,
5
4
3
1,0 1, 1, 1, ,11,2 3 4 16
Рис.3.3. Распределение модуля упругости
полимербетона в равнопрочном цилиндре
r/a
156
R ,
МПа
b
152
148
144
140
1,0 1, 1, 1, ,1 1,2 3 4 1 6
Рис.3.4. Распределение расчетного
сопротивления полимербетона в
авнопрочном цилиндре
r/a
47
соответственно, а распределение напряжений
σ
σ
σ
(
(
−
=
(
r
()(
)
(
)
r
=
(
0
, МПа
-100
σ
θ
Полученную нагрузку на
равнопрочный цилиндр можно
сравнить с нагрузкой для
однородной ко укции. По
-200
условию ( ) наибольшее
,
и
θ
– на рис.3.
z
r
нстр
3.5
5.
эквивалентное напряжение
-300
σ
z
достигается внутренней
у
поверхности цилиндра. Для
-400
σ
r
-500
-600
1,0 1, 1, 1, , 11,2 3 4 16
Рис.3.5. Распределение напряжений ,
и в полимербетонном
σ
σ
точке, где
z
θ
опр ном цилиндреравн оч
;
a
=
θ
r/a
2 abppbabs −−+= ,. Выражение (3.24)
σ
r
b
родной конструкции
одн
о
чину внутреннего давления
вели
odn
p
мо найти п формуле
жно о
a
0
)
)
+
2
odn
−=
p
a
где
()
s ,
r
расчетного
полим р етона на сжатие в
е б
a
sR
s
θ
r
b
s
− s
r
1
,
2
θ
)
0
R
- значение
b
(3.24)
сопротивления
22222
получено следующим образом. Напряжения в однородном цилиндре
представляем
odn
sp=σ
;
rar
odn
= sp
σ
,
θθ
a
(3.24,а)
где функции напряжений
толстостенного цилиндра при аничны условиях:
Здесь
отношени чины внешнего давления
– е вели
d
внутреннего давления
s и s получены из решения
r θ
гр х
a
sr−=
br
=
odn
p
.
a
,1
.ds −=
θ
Величина расчетного сопротивления
задачи Ляме для
(3.24,б)
odn
p
к величине
b
принимается постоянной
)
0
RR =
b
,
b
(3.24,в)
После подстановки выражений (3.24,а) и (3.24,в) в уравнение (3.5) из
odn
полученного соотношения можно найти величину давления
Расчет по (3.24) дает значение давления
формуле
p
.
a
odn
p
a
5.213=
МПа.
Выше была определена величина предельной нагрузки для равнопрочной
конструкции
эффект оптимизированной модели равнопро ородной конст-
1.549=ap МПа. Чтобы определить здесь в дальнейшем
чной неодн
и
48
рукции, введем коэффициент эффективности
=
β
β
(
(
=
ν
=
ρ
ϕ
−=ϕ
ω
ϕ=ϕ
r
=
=
=
(
odn
, указывающий,
aа
во сколько раз могут быть увеличены внешние нагрузки на тело по сравнению с однородным ана Длл гом.
равнопрочного цилиндра
Используя описан метод,
было исследовано яние
величины отношения
величину коэффициента эффектив-
о я рассмот данном разделе ренного в
57.2
.
н
ый
вли
pp на
ba
2,7
β
2,6
ности работы равнопрочного
цилиндра. Результат этих расчетов
представлен на рис.3.6.
2,5
Анализируя этот рисунок можно
сделать выв с увеличением
отношения
эффективности работы
равнопрочного цилиндра
увеличивается очень незначительно, оставаясь близким к постоянному значению. Отсюда можно
од, что
p коэффициент
p
ba
2,4
1,1 1,2 1,3 1,5
Рис.3.6. Влияние отношения
на величину коэффициента
эффективности работы
равнопрочного цилиндра
pp
ba
pp
ba
сделать вывод, что эффект оптимизации рассмотренной конструкции путем использования неоднородного мат
соотношения действующих
нагрузок.
ериала практически не зависит от
Решение для сферы
Решение задачи оптимизации ной сф о при
следующих исходных данны
3.1=ab ; 5.1=bp ; 5.0
p
a
и
цил
индра.
4−
106.4 ⋅=ω
определял расчете ого
х:
ась так же, как и при равнопрочн
Решение уравнения (3.23) было получено методом а
четвертого порядка при нача ачении аргумента
Конечное аргумента
значения кон
напряжение
значение
4.431=ap МПа и 5.2 7=
стант и
r
8p тств став
b
ρ
4.431−=σ
МПа. Испол уя первое из соотношений (2.4),
находим указанное выше значение чение ия
получить, используя соотношение
величины нешнего давлен я
Графики упругости
в и в
распределения модуля
для толстостен еры получен
)
E
b
. Величина коэффициентов
101.3 ×=
40
МПа;
)
0
R
b
0.141
=
7.126
Рунге-Кутт
льном зн
09.1
b
МПа соот енно. Под в в (3.22)
, параметра
. Величины давлений на сферу
ве и
, а также a
a
a
, получим
ьз
p . Зна ен
давл
a
dpp
, где 5.11
ab
p к еличине вну давления ap .
b
d – отноше е
треннего
)
rE и расчетного
p можно
b
МПа;
МПа
69.1−=
ни
.
49
сопротивления представлены на рис.3.7 и 3.8 соответственно, а
σ
(
(
=
(
)
(
)
(
r
−
=
=
−
=
эпюры напряжений и
5,5
5,0
4
10 МПа
b
4,5
E ,
4,0
3,5
()
rR
b
σ
θ
r
– на рис.3.9.
152
R ,
МПа
b
150
148
146
144
142
3,0
1,0 1 1,2 ,3 1, 1
Рис.3.7. Распределение модуля
упругости полимербетона
в равнопрочной сфере
r/a
140
1,0 1 1,2 ,3 1, 1
Рис.3.8. Распределение расчетного
сопротивления полимербетона в
равнопрочной сфере
r/a
Полученную предельную нагрузку на сферу можно сравнить с
нагрузкой для однородной конструкции. По условию (3.15) наибольшее
эквивалентное напряжение достигается у внутренней поверхности сферы.
odn
Для однородной конструкции величину внутреннего давления
p
a
можно найти по формуле
)
0
b
−=
−
()
r
где
1−
s ,
r
odn
p
a
θ
расчетного сопротивления полимербетона на сжатие в точке
)
2
+⋅
ssR
θ
r
ss
b
,
2
θ
2/32 abppbabs
a
33333
−−+=
)
0
R
,
– значение
b
(3.25)
ar=
Выражение (3.25) получено аналогично (3.24). Напряжения в однородном
цилиндре представляем в виде
odn
sp=σ
, ,
r
ar
где функции и получены из решения задачи Ляме для
s
s
r
θ
=σ sp
odn
a
θθ
(3.25,а)
толстостенной сферической оболочки при следующих граничных
условиях
.
;1
a
=
s
r
ds
br
.
θ
(3.25,б)
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]