Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимизация по прочности толстостенных оболочек. Монография
.pdf
(
)
=σ=σ−−σ
(
σ−+
r
r
ν−=
(
k
(
r
=
=
(
=
ν
=
(
1 .
θ 0
r
constk
Подставляя
σ=σ
θ10
)
k
в уравнение равновесия (1.2), полу-
r
чим
′
+σ
k
r
Заметим, что в данном равенстве является некоторой константой и не равно ому напряжен . Здесь
ПДС и
σ
0
предельн ию
ν−=1k – для ПНС.
.
=
k для
σ
σ
0
r
го Решением это дифференциального уравнения будет следующая
функция
Константы
1
r
и можно определить, используя граничные усло-
A
σ
0
0
k
−
)
rA
⋅−σ⋅=σ
.
вия (2.4). Из них получаем:
kk −−
bpap
pp
−
ab
A
=
−
;k
⋅
=σ
kk
−−
ab
0
−
ba
k
⋅
kk
−−
ab
−
.
Подставляя функцию (2.18) в разрешающее уравнение (1.15) с учетом (1.17), получаем одноро ое линейное диффере иальное урав
для определения распределения модуля упругости
′
дн нц нение
)
rE :
A
()
1
+−
()
⋅−−
kE
k
σ
0
02
=⋅⋅
Er
.
(2.17)
)1/()21( ν−
(2.18)
(2.19)
(2.20)
Разделив переменные в уравнении (2.20) и проинтегрировав левую
и правую части, с учетом начального условия
комую зависимость
()
()
rE :
ErE
0
exp
⎡
⎢
σ k
0
kA
2
−
(
ar
⋅=
−⋅
На рис.2.5 представлены графики зависимости
плоского деформированного состояния при трех чениях коэффи
Пуассона
a
(
6=
МПа; 12=
; 25,0
=ν ; 4,0
1,01=ν
2
p МПа; p 2
b
ab .
) и следующих исходных данных:
3
;a
( ) найд
−− kk
EE
0
⎤
)
.
⎥
⎦⎣
)
rE ,
рассчитанные для
зн
а циента
ем ис-
(2.21)
Как видно из рис. 2.5, влияние коэффициента Пуассона на характер
распределен
по пер рии пр и. На . 2.6 представлено распределение на-
ия функции
вой тео очност рис
)
пр ется более сильно, чем при расчете
rE оявля
21
σ
σ
σ
Е/Е
(
(
σ
−
−=σ
=
(
rkr
σ
σ
2,4
2,0
1,8
1,6
0
3
2
пряжений
ных выше условий для неоднородно-
го цилиндра, а также распределение
тех же напряжений в аналогичных
условиях для одноро ой конструкции. Как можно видеть, распределение напряжений зависит от величины
коэффициента Пуассона. И чем
1,4
1
1,2
1,0
1,0 1,2 1,4 1,6 ,0 2
r/a
Рис.2.5. Распределение модуля
упругости в равнонапряженном
цилиндре. Обозначения
такие же, как на рис.2.1
00
МПа,
σ
-4 -4
-8 -8
-12 -12
-16 -16
σ
z
σ
r
σ
а
МПа,
σ
θ
больше величина этого коэффициента, тем значительнее напряжения в
неоднородной конструкции отличаются от соответствующих напряжений в однородном аналоге.
σ
z
σ
r
σ
θ
,
и
r
θ
для описан-
z
дн
0
б
МПа,
σ
-4
-8
-12
-16
σ
r
σ
z
σ
в
θ
-20 -20
-24 -24
1,0 1,2 1,4 1,6 ,02
Рис.2.6. Распределение напряжений в равнонапряженном цилиндре.
r/a
Обозначения такие же как на рис.2.2
1,0 1,2 1,4 1,6 ,02
r/a
-20
-24
1,0 1,2 1,4 1,6 ,02
r/a
2.2.2. Решение для сферы
Для теории максимальных линейных деформаций условие равно-
напряженности имеет вид:
[]
−σθ22
)( )
k
где
Подставляя получен
в уравнение равновесия (1.4), получим
σ
θ
22
ν−ν−= 1212 .
ное из последнего равенства выражение для
′
k
+
r
)
k
4 ,
r
r
()
4
)
k const
0
0
⋅−=σ
.
(2.22)
Решением этого дифференциального уравнения будет функция
(
k
σ
−
r
=
=
(
=
(
σ
σ
σ
σ
k−
rAk
⋅−σ−
.
(2.23)
Зна-
kk
−−
b
−
pap
a
b
k
k
−−
ab
−
k
.
⋅
k
−
4
(2.24)
Константы
этих постоянных:
чения
A
=
Подставив ф нкц
)
4
=σ
r
A
и
σ определяются из граничных условий (2.4).
0
pp
−
ab
;k
⋅
kk
−−
ab
−
у ию
0
=σ
0
из (2.23) в разрешающее уравнение (1.15) с
r
коэффициентами (1.19), получаем однородное линейное дифференциальное уравнение для определе распределения модуля упругостиния
kA
′
E
3
⋅−
σ k
4
0
−
()
1
+−
k
Er
0
=⋅⋅
.
()
rE :
(2.25)
Разделив переменные в уравнении (2.25), интегрируем левую и пра-
вую части и, используя начальное условие (
комую зависимость
()
На рис. 2.7 пр ав
()
rE :
kA 3
−
⋅
ErE
−= ar
exp
⎢
0
σ
⎣
0
()
−
kk
4
едст лены графики зависимости
при трех значениях коэффициента Пуассона для случая: (
5.1=ab ; 6=ap МПа; 12
Как видно из рис.2.7, коэффициента Пуассона на распределения функции
значительное. На рис.2.8 показано
распределение на ий
пряжен
как для однородной, так и для неоднородной конструкции. При этом
можно заметить, что, так же как и в
случае с равнонапряженным цилиндром, в сфере распределени нап жений
в малой степени, а
r
довольно существенно зависит от
величины коэффициента Пуассона.
p
b
влияние
характер
)
rE довольно
и
r
е ря
МПа.
θ
–
θ
2,0
Е/Е
1,6
1,4
1,2
1,0
Рис.2.7. Распределение модуля
упругости в равнонапряженной
сфере. Обозначения такие же,
,a
EE
), получ исаем -
0
⎤⎡
−− kk
−⋅
.
⎥
⎦
)
rE , рассчитанные
;
;
1,0
25,0
0
1,0 1,1 1,2 1,3 1,5
как на рис.2.1
)
4,0
3
2
1
r/a
(2.26)
23
σ
=
=σ=σ−
σ
r
σ
+σ=
σ
A
σ
-5,0
0
МПа,
σ
-7,5
-5,0
МПа,
σ
а
-7,5
-5,
МПа,
σ
б
-7,5
в
-10
-12,5
-15
-17,5
-20
σ
r
1,0 1,1 1,2 1,3 1,5
Рис.2.8. Распределение напряжений в равнонапряженной сфере
-10
-12,5
σ
θ
r/a
-15
-17,5
-20
а = 0.1; б = 0.25; в = 0.4
однородная сфера, - неоднородная сфера
- - -
- - -
σ
r
σ
θ
1,0 1,1 1,2 1,3 1,5
ν νν
r/a
-10
-12,5
-15
-17,5
-20
σ
r
σ
θ
1,0 1,1 1,2 1,3 1,5
r/a
2.3. Теория прочности максимальных касательных
напряжений
2.3.1. Решение
Для рассматриваемой теории условие прочности зависит от того,
какую конст т. Кроме того, в
зависи
несколько вариантов. Поэтому чтобы наиболее полно представить всю
картину, целесообразно рассмотреть отдельно расчет диска и цилиндра.
рукцию, диск или цилиндр, рассчитываю
мости от соотношения главных напряжений тоже возможно
Решение задачи оптимизации для диска (вариант 1)
для цилиндра (диска)
При действии в окружном направлении растягивающи
напряжени образом:
1 2σz
ности запишется в виде:
рассмотрено в рабо ].
выражение
й главные напряжения определяются следующим
, 0=σ=σ=σ
θ
θ 0
и
σ
те [1 одставляя в уравнение равновесия (1.3)
σ+σ=σ
, пол
r
. С учетом этого условие равнонапряжен-
r
3
const
r
θ 0
. Это условие также
П
учим
0
′
=σ
r
.
х
(2.27)
Решением этого дифференциального уравнения является функция
Ar
ln .
r
0
Из граничных условий (2.4) найде нстанты
м ко
и
:
0
(2.28)
24
lnln bpap −
σ
(
++σ
=
(
σ
r
=
=
=σ=
σ
σ=σ
σ
=
σ
+
σ
σ=σ
=σ=σ−
σ
σ+σ=σ
ν−=
ν−ν−=
ab
A
=
−
;
lnln
ab
=σ
pp −
ba
.
ab
lnln0−
(2.29)
Из уравнения (1.3) получим выражение для
)
σ ln1 .
θ 0
Подставляя функцию напряжений ( 28) в разрешающее урав
(1.15)
с учетом (1.16), получаем уравнение для определения
распределения модуля упругости
2
′
−
E
()
[]
0
0
ln1
Ar
2. нение
)
rE :
=⋅
E
⋅+⋅+σ
kArkr
:
θ
(2.30)
0
.
(2.31)
После разделения переменных в уравнении (2.31), интегрирования
и использования начального условия (
симость
()
rE :
()
=
⎡
()()( )
ErE
⎢
0
()( )( )
⎣
;a
EE
), получаем зави-
0
2
k
⎤
bpapkrkpp
lnlnln1
−++−
abba
−++−
abba
.
⎥
bpapkakpp
lnlnln1
⎦
(2.32)
Решение задачи оптимизации для диска (вариант 2)
При пряжений
действии в окружном направлении сжимающих на
главн
ыми напряжениями будут:
учетом этого условие равнон иде:
const
σ=σ−
θ
σ−=σ
θ
прочност
0
,
0
и максимальных нормальных напряжений.
. Подставляя в уравнение равновесия (1.2) в ражение
чим решение, совпадающее с решением для теории
полу
1
апряженности запишется в в
0
,
z
и
r
2
σ=
. С
θ
3
ы
Решение задачи оптимизации для цилиндра
Пр вающих
и действии в окружном направлении растяги
напряжений а я
σ=σ
θ
1
напряженности запишется в е:
уравнение равновесия (1.2) выражение
совпадающее с решением для теор сти максимальных
касательных напр жений при решении задачи оптимизации для диска
(вариант 1) при замене коэффициента
состоянии на коэффициент
му деформированному состо
главные н пр жения определяются следующим образом:
,
()
σν=σ=
rz2
и
θ
вид
. С учетом этого условие равно-
r
3
θ 0
r
θ r
ии прочно
я
1k
k , соответствующий плоско-
21( )1/()
янию.
(вариант 1)
const
. Подставляя в
, п
олучим решение,
0
при плоском напряженном
25
Решение задачи оптимизации для цилиндра (вариант 2)
σ=σ
(
σ+σν=σ=
σ
σ
−
σ
=
σ
=
σ
=
σ=σ
(
[
σ−σ
−
σ
rkr
σ
σ
(
k
A
−
(
(
Пр яжений
и действии в окружном направлении сжимающих напр
главн
ые напряжения равны:
учетом этого условие равно н
const
. Подставляя в уравнение равновесия (1.2) выражение
им решение, совпадающее с решением для теории и
получ прочност
напряже ности примет вид:
,
r
1
)
и
θ
rz2
3
θr
θ r
σ=
. С
θ
σ
=σ
=
0
σ−σ
,
0
максимальных касательных напряжений при решении задачи
оптимизации для цилиндра (вариант 1).
Решение задачи оптимизации для
Пр яжений
и действии в окружном направлении сжимающих напр
главн
ые напряжения могут определяться также следующим образом:
()
σ=σ
σ+σν
,
σ и
θ
rz1
r2
3
е зов меет вид: напряженности посл преобра аний и
const=σ=
0
уравнение ра
. Выразив из этого равенства
вновесия (1.2) , получим
r
′
k
+σ
r
()
2
цилиндра (вариант 3)
. С учетом этого условие равно-
θ
)
r
и подставив его в
θ
0
⋅−−=
.
Решением этого дифференциального уравнения будет функция
k
−
=σ
r
и определим, используя граничные условия (2.4):
Константы
σ
0
pp
ba
;
kA
⋅=
kk
−−
ab
−
Подставляя функцию напряжений (2.34) в разрешаю уравнение
(1.15)
с учетом (1.17), получаем однородное линейное дифференциальное
)
krA
2 σ−−⋅
0
.
−−
kk
apbp
k
0
⋅
k
−=σ2
−
ba
.
kk
−−
ab
−
щее
уравнение для определения распределения модуля упругости
A
()
1
+−
′
− ErE
k
σ
0
0
=⋅⋅
.
]
()
=−
kk
21
θ
(2.33)
(2
.34)
)
rE :
(2.35)
После интегрирования уравнения (2.35), с учетом условия (
) получаем зависимость EE =
0
()
ErE
exp .
0
)
rE :
⎡
A
−=
⎢
⎣
()
k
σ
0
⎤
−− kk
ar
−⋅
⎥
⎦
ar=
(2.36)
;
26
(
)
=
ν
=
ν
=
=
ν
σ>σ
=
(
На рис.2.9 представлены графики зависимости
при значениях ;
p МПа
b
12=
.
Величина коэффициента k
плос ого деформированного
к
1,01=ν 25,0
2
для
; 4,0
3
Е/Е
состояния (цилиндр) равна
k ν−
−= 121 . При этом для
)()(
ii
значений коэффициента Пуассона
и зависимость
1,01=ν 25,02=ν
()
rE
определяется решением
задачи оптимизации для цилиндра
; 2
2,8
0
2,5
2,2
1,9
1,6
rE , вычисленные
ab ; 6
p МПа ;
a
3
2
(вариант 3), поскольку для
напряжений выполняется
соотношение
>σ
z r
θ
соответствующее этому варианту,
а для значения
4,0
ν –
3
решением задачи оптимизации для
цилиндра (вариант 1), так как
напряжения соотносятся как
σ>σ>σ
, что соответствует
θ
zr
,
1,3
1,0
1,0 1,2 1,4 1,6 ,0 2
Рис.2.9. Распределение модуля
упругости в равнонапряженном
цилиндре. Обозначения
такие же, как на рис.2.1
1
r/a
указанному решению с учетом поправки на знак эквивалентного
напряжения.
Как видно из рис.2.9, влияние коэффициента Пуассона на характер
)
распределения функции
rE значительно. На рис. 2.10 показано
распределение напряжений в неоднородном (равнонапряженном) цилиндре, а также в однородном при тех же размерах и нагрузках. Анализируя
0
МПа,
σ
-4
-8
-12
-16
σ
z
σ
r
σ
θ
0
а
σ
МПа,
-4
-8
-12
σ
z
σ
r
σ
-16
б
θ
0
МПа,
σ
-4
-8
-12
-16
σ
r
σ
z
σ
в
θ
-20
-24
1,0 1,2 1,4 1,6 ,02
r/a
-20
-24
1,0 1,2 1,4 1,6 ,02
r/a
-20
-24
1,0 1,2 1,4 1,6 ,02
r/a
Рис.2.10. Распределение напряжений в равнонапряженном цилиндре.
Обозначения такие же как на рис.2.2
27
рис. 2.10, можно сделать вывод, что величина коэффициента Пуассона
=
σ
=
=σ=σ−
σ
σ−σ=σ
r
+σ=
σ
A
σ
−
σ
r
=
A
σ
(
(
=
ν
=
ν
=
()(
ν−ν−=
оказывает значительное влияние на характер распределения напряжений.
2.3.2. Решение для сферы
При действии в окружном направлении растягивающих
напряжений главные напряжения определяются следующим образом:
, а
σ
σ=σ
21
σ=σ
ϕθ
сти запишется в виде:
равновесия (1.4) выражение
. С учетом этого условие равнонапряженно-
r
3
const
θ
θ r
′
r
0r
0
2σ=σ
.
. Подставляя в уравнение
, получим
0
(2.37)
Решением этого дифференциального уравнения будет функция
Ar
r
ln2
0
.
(2.38)
Определяя константы
A
=
−
−
и
из граничных условий (2.4), получим
0
lnln
bpap
ab
;
ab
lnln
=σ
pp
ba
()
.
ab
lnln20−
Подставляя (2.38) в уравнение (1.15) с коэффициентами (1.19), при-
ходим к дифференциальному уравнению:
6
′
−
E
[]
0
0
()
ln12
⋅+⋅+σ
kArkr
0
=⋅
E
.
Разделив переменные в уравнении (2.40) и проинтегрировав левую
и правую части с использованием начального условия (
выражений для констант
⎡
()()( )
ErE
=
()
⎢
0
()()( )
⎣
и
, находим зависимость
0
rE :
3
k
⎤
bpapkrkpp
lnlnln1
−++−
abba
−++−
abba
⎥
bpapkakpp
lnlnln1
⎦
Аналогичное решение получается, если в окружном направлении
действуют сжимающие напряжения.
На рис.2.11 представлены графики зависимости
ные при значениях ;
12=bp
МПа. Параметр
симметричной задаче.
1,01=ν 25,0
k
)
rE , вычислен-
2
; 4,0
1212 соответствует центрально-
; 5.1
3
)
ii
ab ; МПа;
;a
) и
)
6=
p
a
(2.39)
(2.40)
EE =
0
(2.41)
28
σ
=
ν
σ
(
Как видно из рис.2.11, влияние коэффициента Пуассона на характер
()
функции невелико. На рис.2.12 представлено распределение
rE
напряжений и
σ
r
σ
для описанных выше условий для
ϕθ
неоднородной конструкции, а также распределение указанных выше
2,4
Е/Е
0
2,1
1,9
1,6
1,3
1,0
1,0 1,1 1,2 1,3 1,5
Рис.2.11. Распределение модуля
упругости в равнонапряженной
сфере. Обозначения
такие же, как на рис.2.1
3
1
r/a
2
-5,0
МПа,
σ
-7,5
-10
-12,5
-15
-17,5
-20
1,0 1,1 1,2 1,3 1,5
Рис.2.12. Распределение напряжений
в равнопрочной сфере.
Обозначения такие же, как на рис.2.4
σ
r
σ
θ
r/a
напряжений в аналогичных условиях для однородной конструкции. Поскольку выражение (2.38) и константы (2.39) не содержат ни коэффициент
, ни коэффициент Пуассона
k
, распределение напряжений в сфере не
зависит от коэффициента Пуассона.
2.4. Энергетическая теория прочности
2.4.1. Решение для цилиндра (диска)
Четвертая теория прочности в системе координат
представляет поверхность кругового цилиндра
2
1
3
2
2
2
2
)
σ=σσ+σσ+σσ−σ+σ+σ
.
0133221
Поэтому в зависимости от того, какую конструкцию (диск или
цилиндр) рассчитывают, конфигурация поверхности, определяющей
прочность материала конструкции, будет меняться. Поэтому чтобы
наиболее полно представить всю картину целесообразно рассмотреть
отдельно расчет диска и цилиндра.
, и
σ
1
2
(2.42)
σ
3
29
Решение задачи оптимизации для диска
=
=
σ
σ
σ
A
σ
ϕ
ϕ
σ
r
(
ϕ
ϕ
ϕ=ϕ
=
Если при находится в состоян
ии сжатия, главные напряжения определяются следующим образом:
σ=σ
1
z
(2.4 дится виду
2) приво к
Уравнение (2.43) описывает эллипс, этому явную пр
зависи
мость напряжения
решения данной задачи дем использоват параметрическое задание
функций напряжений
определенных граничных условиях диск
0
,
σ=σ
и
r
2
2
r
σσ
. При этом условие равнонапряженности
θ3
σ−σ
2
θθ
r
от напряжения
θ
2
=σ=σ+σ
const
0
бу ь
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
σ и
r
θ
:
θ
⎛
⎜
sin
0r
⎜
⎝
⎛
⎜
sin
0
⎜
⎝
1
ϕ−ϕσ=σ
3
1
ϕ+ϕσ=σ
3
.
по остую
получить не удается. Для
r
⎞
⎟
,cos
⎟
⎠
⎞
⎟
.cos
⎟
⎠
(2.43)
(2.44)
Подставляя в уравнение равновесия (1.2) выражения (2.44),
получим
dr
d
⎛
3
⎜
⎜
ϕ
2
⎝
⎞
1
⎟
0
=
ϕ+⋅−
tgr
2
.
⎟
⎠
(2.45)
Решением этого дифференциального уравнения будет функция
⎞
⎛
3
⎟
Константы
⎜
ϕ= cos
⎜
2
⎝
, а также параметры
и
expAr
0
⎟
⎠
ϕ
.
и
a
определяются
b
(2.46)
числе зо ем .4).нно с исполь вани граничных условий (2
Подставляя функцию напряжения
коорд
инаты
из (2.46) в разрешающее у нение (1.15) с учетом (1.16),
из (2.44) ажение для
r
и выр
рав
после преобразований получаем дифференциальное уравнение для
определения функции
dE
−
.
ϕ
d
E :
32
)
cos
cos2sin3
kk
()
0
=⋅
E
ϕ−+ϕ
.
(2.47)
Разделив переменные в уравнении (2.47), после интегрирования с
учетом начального условия (
;
EE
a
), находим зависимость
0
()
ϕE
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]