Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимизация по прочности толстостенных оболочек. Монография
.pdf
3
′
ЕЕr
′
′
ν
−
==ν
′
E
)(
r
r
−=ψ
)(
r
Центрально-симметричная задача
Ход вывода разрешающего уравнения для данной задачи аналогичен рассмотренному выше. Из уравнения равновесия (1.4) выразим на-
пряжения :
выражения для деформаций, после подстановки которых в условие совместности (1.6) придем к уравнению, совпадающему по форме с (1.15).
Коэффициенты этого уравнения имеют вид:
σ
θ
r
=σ
θ
2
Подставив полученное равенство в соотношения (1.11), получим
;
−=ϕ
E
′
E
ν−
21
⋅
.
r
′
E
ν−
)1(
.
σ+σ
rr
(1.17)
(1.18)
4
()
r
()
r
=ψ
r
В итоге для всех трех рассматриваемых задач разрешающее уравнение имеет вид (1.15), а коэффициенты этого уравнения соответственно
выражаются формулами (1.16), (1.17) и (1.19).
1.2.2. Методы решения прямых задач
Если функция представляется простой зависимостью, то решение уравнения (1.15) может быть получено аналитически [1]. В каче-
стве примера приведем решения плоской задачи (ПДС) и центральносимметричной задачи для несжимаемого материала.
После подстановки в (1.17) и в (1.19)
()
фициентов и получаются следующие выражения:
плоское деформированное состояние
rϕ
()
rψ
)(rE
3
() ()
r
−=ϕ r
r
;
−=ϕ
(1.19)
)21(2
Е
.
⋅
)1(
Е
ν−
для коэф-
const
E
.0;
=ψ
5,0
(1.20)
E
11
′
(
(
=
В этих двух случаях удается понизить порядок уравнения (1.15), и
его ре
шение находится элементарно:
лоское деформированное состп
центрально-симметричная задача
о-симмецентральн тричная задача
4
() ()
r
r
r
E
−=ϕ r
E
r
ояние
+=σ
CC
+=σ .
.0;
=ψ
)
drrE
12
∫
CC
12
∫
3
r
)
drrE
4
r
;
(1.21)
(1.22)
(1.23)
Решения (1.22) и (1.23) содержат произвольные постоянные и
С
, одлежащие определению из граничных условий.
п
2
При относительно простых зависимостях
альная и др.) уравнение (1.15) приводится вестным классиче-
ненци
ским уравнениям, имеющим аналитическое решение [1, 21].
При более сложных зависимостях уравнение (1.15) решается численно.
виде
где и – соответственно радиусы внутренней и внешней границ тела,
представляет собой двухточечную краевую задачу.
краево
ленные усилия
н е условия записываются следующим образом:
Рассмотрим ход численного решения рассматриваемых задач.
Уравнение (1.15) с граничными условиями, записанными в об
;,
Aar
=σ′α+σα=
rr
а
b
Наиболее просто представляются граничны
й задаче, когда к границам тела приложены равномерно распреде-
p и bp (растягивающие или сжимающие). В этом случае
a
0
β=α
ичны
,и ус вия имеют вид: эти ло
22
Если же на одной или обеих границах заданы перемещения, то гра-
21
,,
Bbr
=σ′β+σβ=
21
rr
;,
par
±=σ=
ar
.,
pbr
±=σ=
br
(
степенная, экспо-
r)Е(
к из
е условия в первой
С
1
щем
(1.24)
(1.25)
12
;,
β
α
(
)
uuar
==
В этом случае коэффициенты
пользованием соотношений Коши, закона Гука и уравнений равновесия.
Для трех рассматриваемых задач эти коэффициенты имеют вид:
плоское напряженное состояние
()
1
a
=α
ское деформированное состояние
пло
a
=α
b
=β
центрально-симметричная задача
a
=α
b
=β
b
=β
)(
aE
)(
bE
)(
aE
)(
bE
ν−
()
aE
()
1
ν−
()
bE
)21)(1(
ν−ν−
;
)21)(1(
ν−ν−
;
)21)(1(
ν−ν−
;
)21)(1(
ν−ν−
;
21
21
a
=α
21
b
=β
21
a
=α
21
b
=β
21
uubr
==
2
a
()
aE
2
b
()
bE
ν−
)(
aE
ν−
)(
bE
ν−
)(
aE
ν−
)(
bE
a
.,
b
A
,,
и В определяются с ис-
ii
()
;;;
auA
==α
()
.;;
buB
==β
22
)1(
22
)1(
22
)1(
22
)1(
=
=
=
=
()
;;
auA
()
.;
buB
()
;;
auA
()
.;
buB
(1.26)
(1.27)
(1.28)
(1.29)
Уравнение (1.15) с граничными условиями (1.25) или (1.26) обычно
решается методом конечных разностей [8, 20].
Переходя к конечно-разностной аппроксимации производных, входящих в уравнение (1.15), можно воспользоваться формулами:
при постоянном шаге интегрирования
′
′′
()
при переменном шаге интегрирования
σ−σ=σ
h
1,1,,
iririr
−+
σ+σ−σ=σ
h
;2
2
;2
h
1,,1,,
iriririr
−+
(1.30)
13
(
)
(
+σ−
′
−
+
σ=σ
′′
[
(
h
где
той точки разбиени
алгебраического уравнения, которая вместе с двумя граничными условиями (2.45) дает
щие стандартные программы позволяют решать подобные системы
точно ысокого порядка практически с любой точностью, так что при
исполь в одномерных задачах принят термин
«реше
— соответственно шаги интегрирования слева и справа от i-
плhh,
Подставляя (1.30) или (1.31) в (1.15), приходим к системе из
в
зовании численных методов
ние близкое к точному».
1,,
irлir
+
)()
−σ=σ
(
=i N
я
1+N
уравнение для
1,1,,
−+
1,...3,2
)
;
hh
плiririr
]
1,,, плплirirпir
−
)
.
()
[]
,hhhhh +σ−σ−σ2
(1.31)
1−N
1
N
неизвестного. Существую-
доста-
1.3. Обратные задачи
Среди методов решения задач теории упругости неоднородных тел
особую группу составляют обратные методы, суть которых заключается в
определении таких функциональных зависимостей механических характеристик от координат, при которых напряженно-деформированное состояние тела либо совпадает с аналогичным в однородном теле, либо
позволяет относительно просто получить решение задачи [29, 35]. В настоящей книге рассматривается еще один обратный метод, в котором
разыскивается такая зависимость модуля упругости от радиуса, при которой напряженное состояние тела равно заданному. Идея такого метода
основана на многочисленных результатах расчетов неоднородных тел, в
которых показано, что если в некоторой области т
меньше, чем в однородном материале, то напряжения в этой области также уменьшаются, и наоборот. Проиллюстрируем это на примере задачи
Ляме для толстостенного полого цилиндра (рис.1).
ела модуль упругости
a
)
p
a
a
b
a
Рис. 1. Напряженное состояние в толстостенной трубе при внутреннем (а)
14
и внешнем (б) давлении.
неоднородный материал;
b
r
б
)
r
a
a
r
r
p
b
r
b
Е
r
b
a
r
b
Как видно из рисунка, и при внутреннем, и при внешнем давлении
σ
σ
σ
σ
наибольшие нормальные напряжения
в случае однородного материа-
θ
ла достигают максимальных значений вблизи внутреннего контура
ar=
(
упругости в этой зоне (рис. 1,а) напряжения
случаях уменьшаются. При этом радиальные напряжения
). В случае неоднородного материала при уменьшении модуля
в обоих рассматриваемых
θ
мало зави-
r
сят от неоднородности. Таким образом, в однородном цилиндре при достижении предельного состояния (если, например, использовать теорию
прочности максимальных нормальных напряжений) его большая часть
оказывается недогруженной. Приведенные рассуждения позволяют прийти к выводу, что если создать в цилиндре искусственную неоднородность,
то можно выровнять эпюру
, приблизив цилиндр к равнонапряженно-
θ
му. Как было отмечено в предисловии, если при изменении деформационных свойств прочностные характеристики материала остаются постоянными, то такой цилиндр будет одновременно и равнопрочным. Однако,
как правило, при изменении модуля упругости также изменяется и расчетное сопротивление материала. Более подробно способ построения
равнопрочных конструкций в этом случае будет рассмотрен в последующих главах.
15
σ
=σ=σ=
=
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ
КЛАССИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ ПРОЧНОСТИ
В данной главе на основе четырех классических теорий прочности
представлены решения обратных задач для получения математических
моделей равнонапряженных толстостенного цилиндра, кольца и толстостенной сферической оболочки.
2.1. Теория прочности максимальных нормальных
напряжений
2.1.1. Решение для цилиндра (диска)
Плоская задача теории упругости неоднородных тел для осесимметрично нагруженного цилиндра и кольца подробно рассмотрена в [1]. Будем
считать, что цилиндр имеет достаточно большую длину, и в нем осуществляется плоское деформированное состояние (ПДС). В свою очередь, в тонком кольце будем рассматривать плоское напряженное состояние (ПНС).
Ниже рассматриваются конструкции при отсутствии объемных нагрузок
0R =
( ). Обе рассматриваемые конструкции нагружены постоянными внут-
ренним ( ) и внешним ( ) давлениями, а и
сы внутренней и внешней поверхностей цилиндра или кольца.
напряжений) будем полагать, что эквивалентное напряжение
напряжению , и условие равнонапряженности конструкции можно записать в виде
16
р
а
На основе первой теории прочности (максимальных нормальных
σ
θ
Подставляя
, получим
0=R
р
b
σ
σ=σ
θ
θ
const
0
const
0max
в уравнение равновесия (1.2) с учетом
– соответственно радиу-
b
a
.
равно
0
(2.1)
r
r
σ
r
A
=
ν−=
ν−ν−=
(
r
=
=
σ
′
+σ
r
0
r
=
.
Решением этого дифференциального уравнения будет функция
A
σ+=σ
.
0
Константы
r
и можно определить, используя граничные усло-
σ
0
вия (1.25):
;
−=σ
,,brar=
ar
.
pp−=σ
br
Подставляя (2.3) в (2.4), найдем значения констант:
(2.2)
(2.3)
(2.4)
()
A
=
abpp
−
ab
;
=σ
ab
−
0
bpap
−
ba
.
ab
−
(2.5)
Прежде чем перейти к дальнейшему решению, объединим две плоских задачи (для ПДС и ПНС). Для этого перепишем разрешающее уравнение (1.15) в виде
′
E
⎛
′′
⎜
⎝
⎞
′
−+σ
⎟
E
r
⎠
′
Erk
⋅−σ
E
03=σ
,
rrr
(2.6)
где c учетом формул (1.16) и (1.17)
для ПНС;
1k
(2.7)
k для ПДС.
)1/()21(
Подставляя выражение (2.3) в разрешающее уравнение (2.6), получим однородное линейное дифференциальное уравнение для определения
)
распределения модуля упругости
′
E
−
()
[]
1
rE :
A
σ−−
rkkAr
0
0
=⋅
E
.
(2.8)
Разделив переменные в уравнении (2.8), интегрируем левую и пра-
;a
EE
вую части и, используя начальное условие (
комую зависимость :
()
rE
), получаем ис-
0
1
k
−
1
()
⎡
1
()
r
ErE
⋅=
⎢
0
a
1
()
⎣
⎤
kakA
σ−−
0
.
⎥
krkA
σ−−
0
⎦
(2.9)
17
На рис.2.1 показаны зависимости
(
=
=
Е
σ
σ
σ
σ
=
ε
0
0
)
rE , полученные для случая
ПДС при трех значениях коэффициента Пуассона, соотношении радиусов
2=ab и давлениях 6
1,75
Е/Е
0
1,60
1,45
1,30
1,15
1,00
1,0 1,2 1,4 1,6 ,02
Рис.2.1. Рапределение модуля упругости
в равнонапряженном цилиндре
1 0.1; 2 = 0.25; 3 = 0.4-- -ν = νν
p МПа, 12
a
3
2
1
r/a
p МПа.
b
Как видно из рис. 2.1, различия в значениях
смотренных значений коэффициента Пуассона лежат в пределах
20%.
На рис.2.2 представлено
распределение напряжений ,
θ
и
для описанных выше
z
условий, как для однородного,
так и для неоднородного цилиндров. При этом напряжения
определяются из уравнения равновесия (1.2), а напряжения –
из соотношения (1.8,а). Можно
заметить, что распределение на-
и
пряжений
r
практически
θ
для рас-
σ
σ
σ
z
r
θ
не зависит от величины коэффициента Пуассона. В то же время напряже-
σ 0
ния , вычисляемые при ПДС из условия
σ
z
(
МПа,
-4
-8
-12
-16
rz
σ
r
)
σ+σν=σ
, зависят от
θ
σ
z
σ
θ
ν.
0
а
σ
σ
МПа,
z
-4
-8
σ
r
-12
-16
б
σ
σ
θ
МПа,
-12
-16
по формуле
z
-4
-8
σ
в
σ
r
z
σ
θ
-20
-24
1 1,2 1,4 1,6 ,0 2,0
Рис.2.2. Распределение напряжений в цилиндре
однородный цилиндр, - неоднородный цилиндр
- - -
-20
r/a
-24
1 1,2 1,4 1,6 ,0 2,0
а = 0.1; б = 0.25; в = 0.4
- - -
ν νν
r/a
-20
-24
1 1,2 1,4 1,6 ,0 2,0
r/a
В то же время при рассмотрении конечного достаточно длинного
цилиндра, не подверженного действию осевых нагрузок, должно выполняться условие
0=σ
dF
z
∫
F
.
(2.10)
18
Чтобы удовлетворить этому равенству, к полученному напряжен-
=σ=
σ
r
r
A
(
r
=
=
ному состоянию согласно [35] нужн добавить постоянное напря
*
отивоположного знака, равное
пр
σ
z
*
о жение
1
F
F
.
σ−=σ
dF
zz
∫
(2.11)
При этом остальные напряжения изменятся. На рис.2.2 и
дующих рисунках, помещенных в книге, распределение напряжений
соотв
етствует напряженному состоянию, которое наблюдается в беско-
нечно длинном цилиндре (ПДС) или в длинном цилиндре, торцы котор
не после-
σ
ого
закреплены от смещений.
2.1.2. Решение для сферической оболочки
Ход решения задачи
стенной сфер отренному
выше
для толстостенного цилиндра. Приведем кратко решение рассмат-
ы для первой теории прочности аналогичен рассм
риваемого случая. Подставляя
(1.4), получим
Решением этого дифференциального авнения будет функцияур
Константы
дут равны
()
A
=
о создании модели равнонапряженной толсто-
const
0
θ
2
σ
σ
2
r
′
r
и определяемые граничных условий (2.
σ , из 4), бу-
0
⋅
−
ab
22
ab −
=
+σ
A
σ+=σ
r
22
bapp
0
2
r
;
=σ
0
в уравнение равновесия
0
.
.
22
bpapba−
.
22
ab −
(2.12)
.13)
(2
(2.14)
z
Подставляя функцию напряжений (2.13) в разреш ющее урав
(1.15) с коэффициентами (1.19), по чаем однородное инейное д
ренци
альное уравнение для определения зависимости
′
−
E .
()
Разделив переменные в уравнении (2.15) нтегрируем левую
вую части и, используя начальное условие
комую зависимость
()
rE :
лу л
2
A
E
2
]2[
σ−−
rkAkr
0
(
0
=⋅
, и и пра-
а
нение
иффе-
)
rE :
(2.15)
;a
EE
), получаем
0
ис-
19
()
(
ν−ν
(
(
ν
=
=
(
=
2
⎡
r
⎛
ErE
⎢
0
a
⎢
⎣
2
()
⋅
⎟⎞⎜
()
2
⎠⎝
kakA
krkA
1
2
2
k
−
2
⎤
σ−−
0
.
⎥
σ−−
⎥
0
⎦
(2.16)
()
Здесь
1,4
Е/Е
0
1,
3
1,2
1,1
1,0
1,0 1,1 1,2 1,3 1,5
Рис.2.3. Распределение модуля
упругости в равнонапряженной сфере.
Обозначения такие же, как на рис.2.1
−= 1212k
3
1
r/a
)
.
2
-5,0
МПа,
σ
-7,5
-10
-12,5
-15
-17,5
-20
1,0 1,1 1,2 1,3 1,5
Рис.2.4. Распределение напряжений
в равнонапряженной сфере.
- - - однородная сфера,
— неоднородная сфера
σ
r
σ
θ
r/a
Используя выражение (2.16), можно исследовать влияние коэффи-
)
деления функции циента Пуассона на характер распре
представлены графики зависимости
1,
; 25,0
=0=ν
; 4,0
1
2
=ν ; =ab 1,5, 6
3
)
rE , рассчитанные при значениях:
p МПа; 12
a
Как видно из рис. 2.3, влияние коэффициента Пуа на характер
распределения функции
напряженном цилиндре. с.2.4 ставле редел ряже-
ний
σ
и
σ для описанных выше условий для неоднородной конструк-
r
θ
ции, а также распределен казанных выше напряжений в аналогичных
)
rE пример акое же, как и в задаче о равно-
ри пред но расп ение нап
На
но т
ие у
rE
. На рис.2.3
p МПа.
b
ссона
условиях для однородной конструкции. Как показывают расчеты, так же
как и в случае с равнонапряженным цилиндром распределение напряже-
σ и θσ в равнонапряженной сферической оболочке практически не
ний
r
зависит от величины коэффициента Пуассона.
2.2. Теория прочности максимальных линейных
деформаций
2.2.1. Решение для цилиндра (диска)
торой теории про
Для в чности условие равнонапряженности имеет
следующий вид:
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]