Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Оптимизация по прочности толстостенных оболочек. Монография
.pdf
Здесь – отношение величины внешнего давления к величине
(
d
odn
внутреннего давления . Величина расчетного сопротивления
p
a
odn
b
принимается постоянной:
)
0
RR =
b
.
b
(3.25,в)
Подставляя выражения
(3.25,а) и (3.25,в) в уравнение
(3.15), из полученного уравнения
выражаем величину давления
odn
p
.
a
Расчет по формуле (3.25)
0
, МПа
-75
-150
σ
θ
дает значение давления
odn
p
a
МПа. Выше была
0.195=
-225
определена величина нагрузки
для равнопрочной сферы
МПа. Таким образом,
4.431=ap
коэффициент эффективности
-300
-375
σ
r
работы равнопрочной сферы по
сравнению с однородной
составляет 2,21.
=β
Анализ влияния отношения
на величину показал,
pp
ba
β
что, как и в случае построения
-450
1,0 1,05 1 1,15 1,2 ,31, 1
Рис.3.9. Эпюры напряжений
σ
и в полимербетонной
=
r
равнопрочной сфере
r/a
модели равнопрочного цилиндра, это влияние невелико. При изменении
отношения
в пределах 1.1 ÷ 1,5 коэффициент эффективности
pp
ba
β
изменяется не более, чем на 5%.
3.3. Метод практической реализации путем создания
кусочно-однородных конструкций. Примеры
Создание конструкций, материал которых имеет непрерывно
изменяющиеся физико-механические характеристики, чрезвычайно
сложно. Попытка создания такой конструкции из полимера ЭДТ-1, наполненного стеклянным порошком разных фракций, была описана в работе [40]. Однако, при центрифугировании заготовки в процессе отверждения полимера получился цилиндр, состоящий из двух слоев. При этом
внутренний слой состоял практически из чистой смолы, а внешний – из
наполненного полимера. Возможно, такие попытки могут быть продолжены при использовании других материалов и другой технологии получения конструкций с непрерывной неоднородностью механических характеристик материала. В данной работе предлагается требуемые непре-
51
рывные зависимости аппроксимировать с помощью кусочно-постоянных
ϕ
E
функций. Это приводит к решению задач теории упругости для
многослойных тел. Ниже представлен расчет кусочно-однородного
цилиндра и сферы. Механические характеристики каждого слоя
назначаются исходя из решения задачи о равнопрочной конструкции.
Полученные таким образом конструкции можно назвать близкими к
равнопрочным.
3.3.1. Решение для цилиндра
Рассмотрим решение задачи об аппроксимации непрерывной функции
модуля упругости бетона, определенной в п. 3.2.3, на примере
трехслойного цилиндра. Стенку цилиндра разбиваем на три равные части.
Прежде чем получить решение для каждого слоя и для цилиндра в целом,
остановимся на способе выбора постоянных значений модуля упругости в
каждом слое (мы ограничиваемся назначением только модуля упругости,
поскольку он связан однозначной зависимостью (3.7) с расчетным сопро-
тивлением). На рис. 3.10 при-
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5
0
1,1
-5
-10
-15
-20
Рис. 3.10 Зависимости ( )
для различных отношений rp /p
1,2
1,4
1,5
Физико-механические характеристики материала трехс
толстостенного цилиндра из полимербетона
r/a
1,3
в цилиндре
ab
ведены зависимости ,
1,6
полученные на основании
численного решения уравнения (3.14). Из этих зависимостей можно найти значения
параметра
, соответствую-
щие границам слоев внутри
тела конструкции. Подстановка най-денных значений
(3
.12) позволяет определить
величину модуля упругости.
Значения
заны с
R однозначно свя-
b
равенств (3.7).
ом
Таблица 3.4
лойного
)(rϕ
ϕ в
№ i-го
слоя
Модуль упругости слоя Расчетное сопротивление слоя
4
МПаE
10,
b
i
МПаR
,
b
1 3.100 141.032
2 4.116 145.716
3 5.205 150.74
52
Значения
E
σ
=
ν
и внутри каждого слоя задаются по его левой
R
b
границе, так как наибольшее значение напряжения, определяющего
прочность материала по критерию П.П.Баландина, достигается на этой
границе слоя. Соответствующие значения механических характеристик
слоев приведены в табл. 3.4.
Для каждого
однородного слоя известно решение задачи Ляме для
плоского деформированного состояния [13], содержащее две константы.
Считая, что на границах слоев выполняются условия идеального контакта
(равенство напряжений
и радиальных перемещений и) для определе-
r
ния шести констант из граничных условий получается система алгебраических уравнений:
C
⎧
0
⎪
2
r
2
⎪
⎪
−
⎪
⎪
⎪
C
2
⎪
2
r
⎪
3
⎨
⎪
−
⎪
⎪
C
⎪
4
2
⎪
r
4
⎪
C
⎪
0
⎪
2
r
1
⎩
В системе (3.26) константы и относятся к первому слою, и
C
– ко второму, а и – к третьему. Эта система описывает
3
цилиндр, нагруженный относительными нагрузками
C
2
C
1
ν+
1
С
2
rE
21
C
3
ν+
1
С
2
rE
32
C
5
C
1
C
+=+
;
3
2
r
2
ν−
1
+
0
C
r
+
2
−=+
−=+
С
1
E
1
4
C
+=+
;
5
2
3
ν−
1
С
3
E
2
1
;
5,1
,1
C
C
4
5
−=
−=
C1C
0
ν+
1
С
2
rE
22
ν+
1
С
2
rE
33
ν−
1111
1
+
2
+
4
С
;
3
E
2
ν−
1111
1
С
;
5
E
3
р =1 и 5,1/1=bp .
а
(3.26)
C
2
Граничные условия в напряжениях представлены первым и третьим
уравнением, а условия в перемещениях – вторым и четвертым. Пятое
уравнение описывает граничное условие на внешней, а шестое – на
внутренней поверхности цилиндра. В системе (3.26) используются обозначения:
()
1
ν−ν=ν 1
; – радиусы границ слоев; – определяются по
r
i
E
i
табл. 3.4. Для сопоставления полученного ниже решения с результатами,
приведенными в п. 3.2.3, здесь также считается
.
5,0
Действующая нагрузка на цилиндр определяется выражением
53
()(
ii
−
(
(
(
(
)
ss
()
i
2
Rp
−=
a
i
R
где – прочность i-го слоя, определяемая по таблице 3.4, а
b
+
i
r
θ
b
() ()
()
−
r
,
2
ii
ss
θ
(3.27)
C
i
θ
22
−
i
2
r
i
.
+−=+=
C
12
−
i
(3.27,а)
n
Здесь
C
() ()
i
s
r
i
22
−
i
2
r
i
()()
−+= , – число слоев в цилиндре. Формула
,
sC
i
niabar
1
(3.27) выведена по аналогии с (3.24). При этом получаемые по формуле
()
i
(3.27) значения при
показывают расчеты, наименьшее значение давления
расчете третьего слоя
давления на кусочно-однородный цилиндр принимается равной ,
p
поскольку при
p
a
a
1
pp =
aa
1=i , 2=i и 3=i будут разными. Как
)
i
p
получается при
a
)
p
a
)
или
3
5,391
=
МПа. Таким образом, величина
)
2
pp =
в третьем слое наибольшее
aa
p
()
3
a
эквивалентное напряжение превышает расчетное сопротивление третьего
слоя.
Сравним полученную нагрузку на кусочно-однородный цилиндр с
нагрузкой для однородной конструкции. Используя равенство (3.24),
odn
можно найти величину внутреннего давления: МПа. Сопос-
p
a
5,213=
тавляя это давление с приведенным выше для кусочно-однородного ци-
()
линдра ( ), получим значение коэффициента эффективности 1,83.
3
odn
)3(
pp /
aa
5,391
==aapp
==β
Аналогичным образом можно решить задачу и для цилиндров,
состоящих из четырех и пяти слоёв. Ниже приводятся только лишь
конечные результаты расчетов.
Четырехслойный цилиндр
Таблица 3.5
Физико-механические характеристики материала четырехслойного
толстостенного цилиндра из полимербетона
№
слоя
Модуль упругости
слоя
4
10,bE
МПа
Расчетное сопротивление
слоя
i
,
R
МПа
b
1 3.100 141.032
2 3.854 144.51
3 4.652 148.19
4 5.487 152.041
54
(
)
(
Из (3.27) находим наименьшее давление
4
aa
МПа. Соот-
ветствующее давление для однородного цилиндра не зависит от количе-
odn
ства слоев и было приведено выше ( МПа). Коэффициент
p
a
5,213=
эффективности работы четырехслойного кусочно-однородного цилиндра
odn
)4(
==β
pp /
1,99.
aa
Пятислойный цилиндр
Таблица 3.6
Физико-механические характеристики материала пятислойного
толстостенного цилиндра из полимербетона
№
слоя
Модуль упругости
слоя
4
МПаE
10,
b
Расчетное сопротивление
слоя
i
МПаR
,
b
1 3.100 141.032
2 3.699 143.797
3 4.328 146.696
4 4.982 149.712
5 5.658 152.829
Наименьшее давление
5
2,446
==aapp
МПа. Коэффициент
)
эффективности работы пятислойного кусочно-однородного цилиндра
odn
)5(
==β
pp /
2,09.
aa
На рис.3.10 и 3.11 показаны эпюры напряжений для трех рассмотрен-
ных многослойных цилиндров и графики эквивалентных напряжений.
Анализируя напряженное состояние кусочно-однородных цилиндров
0
σ
а
, МПа
-150
-300
-450
Рис.3.10. Эпюры напряжений в кусочно-однородном полимербетонном
θ
σ
z
σ
r
1,0 1, ,1,2 4 1 6 1,0 1, ,1,2 4 1 6
цилиндре, разбитом на три (а), четыре (б) и пять (в) слоев
r/a
0
б
, МПа , МПа
σ
σ
θ
-150
-300
-450
z
σ
r
r/a
0
в
-150
σ
z
-300
σ
r
-450
1,0 1, ,1,2 4 1 6
r/a
σ
θ
можно сделать следующие выводы. Коэффициент эффективности работы
цилиндров зависит от того, на сколько слоев происходит разбиение
стенки цилиндра. Чем слоев больше, тем выше этот коэффициент. При
этом величина этого коэффициента всегда меньше, чем у цилиндра,
55
имеющего непрерывную неоднородность. Очевидно, что увеличение
ϕ
ϕ
E
количества слоев приближает кусочно-однородный цилиндр к цилиндру с
непрерывной неоднородностью.
180
120
1
а
2
180
, МПа
120
1
б
2
180
, МПа, МПа
120
1
в
2
60
0
1,0 1, ,1,2 4 1 6 1,0 1, ,1,2 4 1 6
r/a r/a
60
0
60
0
1,0 1, ,1,2 4 1 6
r/a
Рис.3.11. Эпюры эквивалентных напряжений в кусочно-однородном
полимербетонном цилиндре, разбитом на три (а), четыре (б) и пять (в) слоев:
1 – расчетное сопротивление в равнопрочном цилиндре,
имеющем непрерывную неоднородность;
2 – эквивалентные напряжения в цилиндре, имеющем
кусочно-постоянную неоднородность.
3.3.2. Решение для сферы
Ход решения задачи об аппроксимации непрерывной функции, описывающей изменение модуля упругости бетона в равнопрочной толстостенной сферической оболочке кусочно-постоянной зависимостью,
аналогичен рассмотренному в п. 3.3.1 решению для толстостенного цилиндра.
1,0 1,05 1,1 1,15 1,2 1,25 3
0
-5
1,1
-10
-15
Рис. 3.12 Зависимости ( )
для различных отношений rp /p
1,2
1,3
1,4
в сфере
ab
r/a
1,5
1,
шения уравнения (3.23). Из этих зависимостей можно найти значения параметра
значений в (3.21) позволяет определить величину модуля упругости,
, соответствующие границам слоев. Подстановка найденных
ϕ
после чего по формуле (3.7) можно найти соответствующие значения расчетного сопротивления в слоях. Значения
задаются по его левой границе. Соответствующие значения механических
характеристик слоев приведены в табл. 3.7.
Сначала рассмотрим
решение задачи на примере
трехслойной сферы. Стенку
сферы разбиваем на три
равные части. По аналогии
с предыдущим разделом
рассмотрим способ назначения механических характеристик в слоях. На рис.
3.12 приведены зависимости
)(r
, полученные на
основании численного ре-
и внутри каждого слоя
R
b
56
Таблица 3.7
σ
Физико-механические характеристики материала трехслойной
толстостенной сферической оболочки из полимербетона
№
слоя
Модуль упругости
слоя
4
МПаE
10,
b
Расчетное сопротивление
слоя
i
МПаR
,
b
1 3.100 141.032
2 3.788 144.206
3 4.524 147.599
На основе известного решения о нагружении сферического сосуда постоянными внешним и внутренним давлениями [35] можно определить
напряжения и , а также перемещения . Например, если для
первого (внутреннего) слоя обозначить константы интегрирования и
С
, то указанные функции в этом слое имеют вид:
1
σ
r
C
0
C
+=σ ,
r
3
r
σ=σ
ϕθ
C
0
C
1
θ
+−=σ
1
3
2
r
r
⎡
u
,
⎢
E
⎣
u
С
0
C
0
3
2
r
C
1
⎤
ν−+ν+−= )21()1(
.
⎥
⎦
Считая, что на границах слоев выполняются условия идеального контакта (равенство напряжений
и радиальных перемещений и) для опре-
r
деления шести констант используется система алгебраических уравнений:
C
⎧
0
⎪
3
r
2
⎪
⎪
1
−
⎪
2
⎪
⎪
C
2
⎪
3
r
⎪
3
⎨
1
⎪
−
⎪
2
⎪
C
⎪
4
3
⎪
r
4
⎪
C
⎪
0
⎪
3
r
1
⎩
C
2
C
1
ν+
С
3
rE
21
C
3
ν+
С
3
rE
32
C
5
C
1
C
+=+
;
3
3
r
2
ν−
+
0
C
4
3
r
3
+
2
−=+
−=+
С
1
E
1
C
+=+
;
5
ν−
С
3
E
2
1
;
5,1
,1
ν+
121
−=
−=
С
2
3
rE
2
22
ν+
121
С
4
3
rE
2
33
ν−
21
+
+
С
;
3
E
2
ν−
21
С
;
5
E
3
(3.28)
где , , а – определяются по табл. 3.7. Граничные ус-
5.0=ν 31 ÷=i
E
i
ловия в напряжениях представлены первым и третьим соотношениями, а
условия в перемещениях – вторым и четвертым. Пятое равенство
57
описывает граничное условие на внешней поверхности цилиндра, а
=
=
()(
()(
)
−
(
(
шестое – на внутренней поверхности. При этом считая, по-прежнему, от-
5,1/
ношение давлений
тельные нагрузки
C
относятся к первому слою, и – ко второму, а и – к
1
pp , в последние два условия входят относи-
ba
1=ap и 5,11
p . В системе (3.28) константы и
b
C
C
2
3
C
C
0
C
4
5
третьему.
Действующая нагрузка на сферу определяется выражением
ii
)
2
ss
()
i
−=
a
i
R
где – прочность i-го слоя определяемая по табл.3.7, а
b
+
i
r
θ
Rp
b
() ()
()
−
r
,
2
ii
ss
θ
(3.29)
C
i
θ
i
−
22
3
2
r
i
.
+−=+=
C
12
−
i
(3.29,а)
n
Здесь
C
() ()
i
i
−
s
r
i
22
3
r
i
1
−+=
,
sC
i
, а – число слоев в сфере. Формула (3.29)
niabar
получена аналогично (3.25). При этом получаемые по формуле (3.29)
()
i
значения при ,
расчеты, наименьшее значение давления
третьего слоя МПа. Поэтому величина давления на
кусочно-однородный цилиндр принимается равной
p
a
()
1
pp =
или в третьем слое возникает напряженное состояние,
aa
1=i 2=i и 3=i будут разными. Как показывают
)
i
p
получается при расчете
a
()
3
p
a
=
pp =
()
2
aa
1.326
)
3
p
, поскольку при
a
p
a
которое дает наибольшее эквивалентное напряжение, превышающее
расчетное сопротивление третьего слоя.
Сравним полученную предельную нагрузку на кусочно-однородную
сферу с нагрузкой для однородной конструкции. Для последней величина
максимального внутреннего давления , определяемая выражением
odn
(3.25), равна . Таким образом, коэффициент эффективности
p
a
0.195=
p
a
работы кусочно-однородной сферы по сравнению с однородной
odn
составляет 1,67.
)3(
==β
pp /
aa
Аналогичным образом решается задача для сферы, состоящей из
четырех и пяти слоёв. Ниже приводятся только лишь конечные
результаты расчетов.
58
Четырехслойная сферическая оболочка
(
(
Таблица 3.8
Физико-механические характеристики материала четырёхслойной
толстостенной сферической оболочки из полимербетона
№
слоя
Модуль упругости
слоя
4
МПаE
10,
b
Расчетное сопротивление
слоя
i
МПаR
,
b
1 3.100 141.032
2 3.611 143.391
3 4.151 145.878
4 4.714 148.477
Из (3.29) находим наименьшее давление
4
3.349
==aapp
МПа. Соот-
)
ветствующее давление для однородного цилиндра не зависит от количе-
odn
195=
ства слоев и было приведено выше ( МПа). Коэффициент
p
a
эффективности работы четырехслойного кусочно-однородного цилиндра
odn
)4(
==β
pp /
1,79.
aa
Пятислойная сферическая оболочка
Из (3.29) находим наименьшее давление
5
3.364
==aapp
МПа. Раз-
)
делив эту величину на соответствующее давление для однородного ци-
odn
195=
линдра ( МПа), получим 1,87МПа.
p ==β
a
odn
)5(
pp /
aa
Таблица 3.9
Физико-механические характеристики материала пятислойной
толстостенной сферической оболочки из полимербетона
№
слоя
Модуль упругости
слоя
4
МПаE
10,
b
Расчетное сопротивление
слоя
i
МПаR
,
b
1 3.100 141.032
2 3.507 142.908
3 3.932 144.869
4 4.373 146.905
5 4.83 149.008
На рис.3.12 и 3.13 показаны эпюры напряжений в многослойных сферических оболочках сфер и графики эквивалентных напряжений.
59
, МПа
-100
0
σ
а
θ
0
, МПа
-100
б
σ
θ
0
, МПа
-100
в
σ
θ
-200
-300
-400
σ
r
1,0 1 1,2 ,31, 1
r/a
-200
-300
-400
σ
1,0 1 1,2 ,31, 1
r
r/a
-200
-300
-400
1,0 1 1,2 ,31, 1
σ
r
r/a
Рис.3.12. Эпюры напряжений в кусочно-однородной полимербетонной
сфере, разбитой на три (а), четыре (б) и пять (в) слоев
180
, МПа
120
1
а
180
, МПа
2
120
1
б
2
180
, МПа
120
в
1
2
60
0
1,0 1 1,2 ,31, 1
r/a
60
0
1,0 1 1,2 ,31, 1
r/a
60
0
1,0 1 1,2 ,31, 1
r/a
Рис.3.13. Эпюры эквивалентных напряжений в кусочно-однородной
полимербетонной сфере, разбитой на три (а), четыре (б) и пять (в) слоев:
1 – расчетное сопротивление в равнопрочной сфере, имеющей
непрерывную неоднородность;
2 – эквивалентные напряжения в сфере, имеющей
кусочно-постоянную неоднородность.
Анализируя напряженное состояние кусочно-однородных сфер,
можно сделать вывод, что также, как и у кусочно-однородных цилиндров,
коэффициент эффективности работы кусочно-однородной сферической
оболочки зависит количества слоев, на которые происходит разбиение
стенки оболочки.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]