Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многомодельные методы в микропроцессорных системах неразрушающего контроля теплофизических характеристик материалов. Учебное пособие.pdf
Для учета теплоотдачи в материал зонда при больших τ решим сле-
()()(
)
(
)
()()(
)
(
)
()(
)
rRTr
τ
∂
τ
∂
дующую задачу.
Задача. Два полуограниченных тела при температуре Т(х, 0) = 0 находятся в контакте (см. рис. 4.7). Соприкасающиеся поверхности тел теплоизолированные. В области контакта действует сферический источник
тепла удельной поверхностной мощности q и радиуса R. Необходимо
найти распределение температурного поля в данной системе в любой
момент времени. В математической форме задача выглядит так:
∂
rT
1
=
∂τ
∂
2
∂τ
a
rT
=
a
2
1
2
, τ,
τ∂
rT
1
∂
r
2
2
∂
r
2
+
2
r
, τ,
τ∂
rT
2
+
2
r
,
τ∂
rT
1
,
∂
r
,
τ∂
rT
2
,
∂
r
0, ≥τ≥ Rr
;
0, ≥τ≥ Rr
;
начальные условия: Т1(r, 0) = T2(r, 0) = 0;
граничные условия: Т1(∞, τ) = Т2(∞, τ) = 0;
T1(R, τ) = T2(R, τ);
RT
1
λ−
1
∂
λ−
2
,,
2
∂
q
=
.
Решая данную задачу аналогично предыдущей, для одного тела
можно записать
RrqR
λ+λ
p
a
21
1
( )( )
R
,
ε+ε
21
( )
1
,
prT
=
( )
( )
+ε+ε
prp
−−
( )
exp
21
или переходя от изображения к оригиналу:
( )
1
2
−
qR
=τ
rT
( ) ( )
erfc
×
2
erfc,
λ+λ
r
21
−
Rr
+
R
τ
a
1
2
a
λ+λ
21
( )
ε+ε
21
Rr
τ
−
exp
.
τ
ε+ε
21
21
( )
+
R
2
Rr
a
11
λ+λ−
R
λ+λ
21
( )
ε+ε
21
2
×
τ
2
Температура поверхности полости (r = R) определяется выражением
( )
RT
qR
=τ
λ+λ
21
−
( )
2
R
λ+λ
21
( )
ε+ε
21
2
( )
R
λ+λ
ε+ε
τ
erfcexp1,
2
21
τ
.
21
61
Используя разложение erfc(x) в степенной ряд при больших значе-
(
)
τ
q
0
10
20
30
T, °C
0 24 48 72 96
, c
I II
IV V
2
λ+λ
ниях
R
2
( )
21
τ
, окончательно получаем
2
ε+ε
21
( )
RT
qR
=τ
λ+λ
21
( )
R
−
1,
( )
ε+ε
21
, (4.22)
λ+λπτ
21
где λ1, ε1 и λ2, ε2 – соответственно, теплопроводности и тепловые активности первого и второго из контактирующих тел.
На основании вышеизложенного можно сделать вывод о характере
теплового процесса, происходящего в системе зонд-нагреватель-образец,
и записать расчетные выражения для определения ТФХ исследуемого
материала.
Динамику теплового процесса в системе зонд-образец будет характеризоваться входным воздействием (мощностью, выделяющуюся на
единицу площади нагревателя – q), выходной переменной (T(τ)), переменными состояния системы (h1, h2, ..., hn). В качестве такой переменной
состояния можно выбрать отношение теплового потока qо, поступающего
в образец, к мощности, выделяющейся на единицу площади нагревателя
q или отношение теплового потока qз, поступающего в зонд, к мощности,
выделяющейся на единицу площади нагревателя q (рис. 4.8).
В общем случае на термограммах (рис. 4.9) на основании характера
поведения переменной состояния можно выделить пять участков, соответствующих различным состояниям функционирования системы
(рис. 4.8).
0
,
q
h1h
q
3
q
h
2
3
h
4
h
5
III
q
q
0
3
q
q
Рис. 4.8. Изменение переменной
состояния в процессе эксперимента
при выполнении условий: εεεε < εεεε′′′′, λλλλ > λλλλ′′′′
Рис. 4.9. Участки термограммы для
композиционного материала (КМ) –
коксонаполненного фторопласта
τ
(марки Ф4К20)
62
Первому (I) участку термограммы (состояние h1) соответствует од-
′
номерное температурное поле в образце (тепло распространяется только
вдоль оси z). Тепловой поток, поступающий в образец, изменяется во
времени, так как нагреватель обладает инерционностью и присутствует
термическое сопротивление между нагревателем и образцом, т.е. h1:
2
∂
2
T ≠+=
≈∇
z
∂
2
T
T
∂
,
2
1
+
2
r
∂
∂
≈
rTr
∂
var0
qq, q, q
,
3oo
где z, r – координаты; qo, qз – тепловые потоки, поступающие в образец и
зонд соответственно.
Второму (II) участку термограммы (состояние h2) отвечает одномерное температурное поле в образце, но процесс проходит стадию регуляризации. Тепловые потоки, поступающие в образец и зонд, практически
становятся постоянным, т.е h2:
2
2
∂
∂
2
≈∇
T
∂
z
T
T
,
2
1
+
2
∂
r
∂
≈
∂
rTr
,const ,0
o33o
q
q qqq
q
′
ε
o
≈≈+=
,
ε
где ε, ε′ – тепловые активности исследуемого материала и материала зонда.
Термограмма на II участке описывается уравнением вида (см. (4.5),
(4.8), (4.16), (4.17))
( )
tT
′
=
( )
2
πε′+ε
−
( )
qctq
н
, (4.23)
2
ε′+ε
где
τ′=t
.
Как видно из выражения (4.23), на термограмме II участку будет соответствовать прямолинейный участок в координатах T = T(t′) (рис. 4.10).
Третьему (III) участку термограммы (состояние h3) соответствует
двухмерное температурное поле в образце, поскольку нельзя пренебречь
распространением тепла в радиальном направлении (вдоль оси r). Тепловой поток qо, поступающий в образец, снова становится переменным и
поэтому h3:
2
2
∂
2
T
+
≈∇ qq
T
2
∂
z
1
∂
∂
∂
T
+
2
∂
r
rTr
var var, ,
==
.
3o
Четвертому (IV) участку термограммы (состояние h4) соответствует
тепловой процесс в образце, который проходит стадию регуляризации.
Тепловой поток qо становится практически постоянным, т.е. h4:
2
2
∂
∂
2
T
≈∇
T
+
2
∂
∂
r
z
∂
1
T
+
2
∂
rTr
q
,const ,
qqqq
3oo
q
′
λ
o
≈≈+=
;
λ
3
здесь λ, λ′ – теплопроводности исследуемого материала и материала зонда.
63
6,5
8,2
11,6
13,3
2,2 2,4 2,6
22
25
28
31
T, °C
(
)
T, °C
9,9
t', c
Рис 4.10. Второй участок термограммы
в координатах T = T(t′′′′)
0,5
0,15 0,17 0,19 0,21
Рис. 4.11. Четвертый участок
термограммы в координатах
T = T(t′′′′′′′′)
Уравнение, описывающее этот участок термограммы, имеет вид
(см. (4.7), (4.7, б), (4.10), (4.21, б), (4.22))
t'', c
-0,5
ε′+ε
′′
t
, (4.24)
λ′+λπ
где
RqR
′′
( )
=
tT 1
1
′′
=
t
.
−
′
λ
( )
τ
Как видно из выражения (4.24), на термограмме IV участку будет соответствовать прямолинейный участок в координатах T = T(t′′) (рис. 4.11).
Пятому (V) участку термограммы соответствует тепловой процесс, в
котором нарушаются условия неограниченности образца или зонда. Тепловой поток qо опять становится переменным, т.е. h5:
.var var,3o== qq
4.1. РАСЧЕТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ
ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Основными расчетными соотношениями будут выражения (4.23) и
(4.24), согласно которым для определения ТФХ необходимо знать следующие величины: мощность на единицу площади нагревателя q, радиус
нагревателя R, поправки на теплопроводность (λ′) и тепловую активность
(ε′) зонда. Определить последние можно двумя способами.
Первый способ предполагает определение поправок исходя из физического смысла величин. Однако, это связано с определенными трудно-
64
стями по расчету q и R (форма нагревателя не является абсолютно круг-
(
)
′=′
(
)
′
′=′
′
(
)
ε−ε
лой, размеры его небольшие), а также величин λ′ и ε′ (в тепловом отношении термоприемник может не являться малым, ТФХ материала подложки зонда известны приближенно). Кроме того, при получении расчетного соотношения (4.24) круглый нагреватель был заменен эквивалентным ему сферическим нагревателем, т.е. в выражение (4.24) входят не
собственно значения величин q и R, а эквивалентные им величины, соответствующие сферическому нагревателю (см. формулы (4.7), (4.7, б),
(4.10)).
Второй способ предполагает определение постоянных прибора с
помощью проведения градуировочных экспериментов на образцах с известными ТФХ. Для данного метода достаточно двух таких образцов.
Для расчета ТФХ по экспериментальным данным выражения (4.23)
и (4.24) преобразуем к виду:
dtdtT +
; (4.25)
01
btbtT +
, (4.26)
01
где
A
d
1
( )
ε′+ε
,
0
1
=
−=Bd
( )
1
,
b
1
2
ε′+ε
−=
2
B
2
( )
A
2
ε′+ε
,
2
λ′+λ
b
0
=
( )
B
2
λ′+λ
– пара-
метры моделей, описывающих термограмму на II и IV участках;
2
=qA
,
qcB =
1
π
,
’
1
π= qA
,
qRB =
2
– постоянные прибора, опреде-
2
ляемые конструктивными особенностями применяемого устройства и
1
режимами опыта,
′′
τ′=t
,
=
t
.
τ
Значения коэффициентов d1, d0, b1, b0 определяются по термограммам (рис. 4.10, 4.11), а значения A1, B1, A2, B2, ε′, λ′ – из градуировочных
экспериментов. Выражения для вычисления ε и постоянных прибора на
II участке термограммы (рис. 4.10) имеют вид:
dd
1211
( )
A
1
−=dd
1112
ε−ε
; (4.27)
21
′
=ε
A
d
122111
; (4.28)
dddd−
1112
1
ε′−=ε
, (4.29)
1
65
здесь ε, ε1, ε2 – тепловые активности исследуемого материала и образцовых мер ТФХ; d1, d11, d12 – коэффициенты, определенные из термограмм,
снятых на исследуемом материале и на образцовых мерах, согласно
уравнению (4.25); A1, ε′ – постоянные прибора.
Выражения для вычисления ε, λ и постоянных прибора на IV участке термограммы (рис. 4.11) имеют вид:
2012
bb
A
2
02
2
−=bbbb
0112
′
=ε
b
b
B
2
bb
−=bb
′
=λ
1
A
2
0
0201
0102
B
2
b
0
( )
ε−ε
; (4.30)
2
0211
ε−ε
−
2
( )
λ−λ
bbbb−
21
bbbb
112022122011
; (4.31)
bbbb
1220111202
ε′−=ε
; (4.32)
λ−λ
; (4.33)
21
022011
; (4.30)
0102
λ′−=λ
, (4.34)
где λ, λ1, λ2 – теплопроводности исследуемого материала и образцовых
мер ТФХ; b0, b01, b02, b1, b11, b12 – коэффициенты, определенные из термограмм, снятых на исследуемом материале и на образцовых мерах согласно уравнению (4.26); A2, B2, ε′, λ′ – константы прибора.
Теперь можно записать основные операции по определения ТФХ
в виде следующей последовательности действий.
I. Градуировка прибора:
– снятие термограммы на первом образце с известными ТФХ;
– определение рабочих участков термограммы (II и IV );
– расчет по ним коэффициентов d11, b01, b11;
– снятие термограммы на втором образце с известными ТФХ;
– определение рабочих участков термограммы (II и IV );
– расчет по ним коэффициентов d
66
, b02, b12;
12
– расчет постоянных прибора согласно выражениям (4.27), (4.28),
(
)
(
)
(4.30), (4.31), (4.33), (4.34).
II. Определение ТФХ исследуемого материала:
– снятие термограммы на исследуемом образце;
– определение рабочих участков термограммы (II и IV);
– расчет по ним коэффициентов d1, b0, b1;
– расчет ТФХ материала согласно выражениям (4.29), (4.32), (4.35).
4.3. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ ТФХ
4.3.1. Оценка случайных погрешностей
Проведем оценку случайных погрешностей измерения ТФХ материалов. Для этого запишем уравнения, связывающие погрешность определения параметров моделей с погрешностью определения ТФХ. Применив основные результаты теории погрешности измерения физических
величин, получим следующие выражения.
– для II-го участка:
2
2
( )
2
1
2
2
=ε′δ
1
2
ddA
11
( )
11111
( ) ( )
δ+δ=ε∆
1
2
+δ+δ=δ
12
( ) ( )
2
2
dd
ε−ε
122111
1
dA
1
d
1
2
ε∆+ε∆
1
2
ε−ε
21
2
2
2
A
2
2
+
( )
dddd
2
ε′∆+
; (4.36)
2
εδ+εδ+εδ+εδ
2
dd
∆+∆
12
21212
11
; (4.37)
2
dd
−
1112
2
2
12
+
−
2
dd
∆+∆
11
.
2
dd
1112
(4.38)
– для IV-го участка:
2
A
2
2
2
( )
2
( )
4
01
2
( )( ) ( )( )
01
+
2
1
2
bbA
+δ+δ=δ
02
( )
2
( )
δ+δ+δ=ε∆
A4
bb
0
2
2
ε∆+ε∆
1
ε−ε
21
44
011212
2
−
0112
b
12
2
2
b
0
2
+
2
222
δ+δ+δ+δ
02
22
bbbb
0211
2
ε′∆+
; (4.39)
; (4.40)
2
22
bbbbbbbb
021111
67
()(
)
()(
)
2
(
)
(
)
(
)
=ε′δ
01
1
( )
2
2
( )( ) ( )( )
02
+
εδ+δεδ
bbbb
ε−ε
112022122011
1120211
2
2
( )
2
( )
2
2
2
bbB
01
2
bbbb+
12201112
+
2
22
44
01
2
bbbb
−
1220111202
2
δ+δ=λ∆
bB
0
2
2
02
+δ+δ=δ
02
( ) ( )
2
2
44
02
2
( )
2
δ+δ+δ+δ
B
b
−
bb
bbbbbbbb
1220112
2
2
0
∆+∆
0102
2
λ′∆+
2
bb
01
+
2
2
εδ+δεδ
bbbb
ε−ε
112022122011
2
2
bbbb+
11202211
2
(4.41)
, (4.42)
2
2
λ∆+λ∆
2
1
λ−λ
21
, (4.43)
2
+
2
2
=λ′δ
1
2
( )
10101
( ) ( )
λ−λ
2
2
2
2
bb
022011
( )
bbbb
λδ+λδ+λδ+λδ
20202
2
2
+
2
bb
∆+∆
02
01
.
2
bb
−
0102
(4.44)
Сравнив формулы (4.36), (4.37), (4.38) с формулами (4.39) – (4.44),
можем видеть, что структура погрешности определения ТФХ по II и IV
участкам термограмм аналогичны. Поэтому, результаты анализа влияния
различных факторов на погрешность определения ТФХ по II и IV участкам термограммы будут также аналогичны.
Проведем анализ того, как будут влиять на погрешность измерения
тепловой активности по II участку термограммы погрешности величин,
необходимых для расчета тепловой активности, а именно: погрешность
определения коэффициента d1 (∆d1); погрешность расчета констант прибора A1, ε′ (∆A1, ∆ε′) (погрешность градуировки), которые в свою очередь
будут складываться из погрешности определения коэффициентов d11, d12
(∆d11, ∆d11) и неточности информации о значениях ε1, ε2 (δε1, δε2) образцовых мер ТФХ.
Рассмотрим влияние погрешности ∆d1 на определение ε. Примем
δA1 = 0 и ∆ε′ = 0. Тогда из выражения (4.36) с учетом формулы (4.29) следует
2
ε′+ε∆
d
1
=δε
A
1
. (4.45)
ε
68
Анализ данного выражения показывает, что погрешность определе-
0
0,05
0,10
δε
1
2
0 500 1000 1500
ε, Вт⋅с
0,5/м2
⋅
К
ния ε можно снизить:
– во-первых, за счет уменьшения ∆d1, путем уменьшения интервала
∆τ между измерениями температуры T (для расчета d1 используется ме-
тод наименьших квадратов и d1 будет определено тем точнее, чем больше
точек экспериментальной кривой будет использоваться);
– во-вторых, за счет увеличения мощности на нагревателе (в разумных пределах), так как A1 ~ q1;
– в-третьих, из выражения (4.45) видно, что относительная погрешность определения ε зависит от значения ε. Минимум δε будет соответствовать ε = ε′, а увеличение δε при ε < ε′ будет значительно больше, чем
при ε > ε′ (рис. 4.12, кривая 1).
Это объясняется следующим. При нагреве часть тепла пойдет на нагрев исследуемого образца, а часть тепла – на нагрев зонда. Причем, чем
больше тепловая активность материала зонда по сравнению с тепловой
активностью исследуемого материала, тем больше тепла пойдет на нагрев зонда и тем больше именно тепловые свойства зонда будут определять ход термограммы (ε′ – суть тепловая активность материала зонда) и,
соответственно, тем менее точным окажется расчет тепловой активности
зонда. С другой стороны, чем больше выделяется тепла на единицу площади нагревателя (величина A1, как указывалось выше, пропорциональна
3
Рис. 4.12. Зависимость δδδδεεεε = f(εεεε) для II участка:
1 – с учетом ∆d1 по формуле (4.45); 2 – с учетом градуировки по формуле (4.46);
3 – общая, по формуле (4.36)
69
мощности на единицу площади нагревателя), тем быстрее будет расти
(
)
(
)
температура нагревателя и тем "ярче" будут выражены на термограмме теплофизические характеристики исследуемого материала (а, заодно, и материала зонда).
Для анализа погрешности градуировки, связанной с неточностью
информации о ТФХ образцовых мер, будем считать, что в выражениях
(4.36), (4.37), (4.38) – ∆d
= 0, ∆d
11
= 0, ∆d1 = 0. Тогда из формулы (4.38) с
12
учетом (4.29) имеем
2
2
( ) ( )
=ε′δ
21
2
′
ε−εε
21
2
ε′+εε∆+ε′+εε∆
12
,
а из выражения (4.37)
2
2
=δA
1
ε∆+ε∆
2
1
.
ε−ε
21
Подставив δA1 в формулу (4.36), получим следующее выражение:
2
2
2
=ε∆
1
( ) ( ) ( )
2
2
ε−ε
21
2
21
2
2
ε′+εε∆+ε′+εε∆+ε′+εε∆+ε∆
12
. (4.46)
Будем считать, что δε1 ≈ δε2 и ε1 < ε2, тогда ∆ε1 < ∆ε2. После упрощений имеет место неравенство
ε
ε+ε
21
. (4.47)
ε∆
1
ε−ε
12
ε′+ε
ε
ε∆
21
<δε<
ε−ε
+
2
12
′
ε
+
22
+
ε
Проанализировав неравенство (4.47) (рис. 4.12, кривая 2) и сравнив
его с равенством (4.36) (рис. 4.12, кривая 3), можно сделать следующие
выводы (на рис. 4.13, 4.14 представлены аналогичные графики распределения погрешности измерения в зависимости от диапазона изменения
ТФХ для IV участка термограммы).
1. Для увеличения точности измерений необходимо выбирать об-
разцовые меры, как можно более отличающиеся друг от друга по ТФХ.
2. Образцы не должны обладать слишком большими ε и λ.
3. Желательно выбирать образцовые меры такими, чтобы значения
ТФХ образцовых мер перекрывали требуемый диапазон измерения ТФХ
исследуемых материалов.
4. Относительная погрешность возрастает с уменьшением ε и λ.
70