Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многомодельные методы в микропроцессорных системах неразрушающего контроля теплофизических характеристик материалов. Учебное пособие.pdf
где λ, a, λо, aо – теплопроводности и температуропроводности исследуемого материала и образцовой меры ТФХ; b0, b1, b0o, b1o – коэффициенты,
определенные из термограмм (рис. 3.8), снятых на исследуемом материале и образцовой мере.
Теперь можно записать основные операции по определению ТФХ в
виде следующей последовательности действий.
I. Градуировка прибора:
– снятие термограммы на образце с известными ТФХ;
– определение рабочего участка термограммы;
– расчет по этому участку коэффициентов b0o, b1o;
– расчет постоянных прибора согласно выражениям (3.15), (3.16).
II. Определение ТФХ исследуемого материала:
– снятие термограммы на исследуемом образце;
– определение рабочего участка термограммы;
– расчет коэффициентов b0, b1;
– расчет ТФХ материала по выражениям (3.17), (3.18).
3.3. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ ИЗМЕРЕНИЯ ТФХ
С ЛИНЕЙНЫМ ИСТОЧНИКОМ ТЕПЛА
3.3.1. Оценка случайных погрешностей
Запишем выражения для оценки случайных погрешностей измерения теплопроводности и температуропроводности для разработанного
метода контроля ТФХ. Случайную составляющую погрешности измерения будем рассматривать как погрешность при косвенных измерениях:
2
( )
δ+δ=δ
0
2
2
( )
o
22
bδ+αδ=δλ
, (3.19)
1
2
b
2
0
bba
1
b
1
2
o
2
δ+δ+δ=β∆
o0
2
β∆+
2
bδ+λδ=δα
bba
, (3.20)
, (3.21)
o1
2
b
o0
o1
. (3.22)
b
o1
Проанализируем выражения (3.19) и (3.20) на предмет того, в каком
диапазоне можно проводить измерения ТФХ и каким образом его можно
расширить. Прежде всего, отметим, что погрешность расчета констант
31
прибора будет определяться погрешностью, связанной с неточностью
0,02
0,04
0,06
0,08
0 0,1 0,2 0,3 0,4
λ
, Вт/м⋅К
δ
⋅
⋅
информации о ТФХ образцовой меры. Нужно отметить, что абсолютную
погрешность определения коэффициентов b0, b1 можно в первом приближении принять постоянной, так как она будет определяться погрешностью измерения температуры (которую можно считать постоянной от
опыта к опыту).
Тогда из выражения (3.19), с учетом формулы (3.17), можем записать
2
2
λ∆
2
b
1
+αδ=δλ
. (3.23)
2
α
Как видно из уравнения (3.23), относительная погрешность δλ будет
зависеть от самой величины λ (рис. 3.9) и будет увеличиваться с возрастанием теплопроводности материала образца. Из выражения (3.23) также
следует, что погрешность можно снизить путем увеличения коэффициента α. Это можно сделать за счет увеличения количества тепла, которое
выделяется на нагревателе, за счет увеличения длительности импульсов и
мощности на нагревателе (α ∼ q, см. раздел 3.2).
Рассмотрим формулу (3.20), которую с учетом формул (3.17) и
(3.18), можем записать
2
λ
( )( )
β−∆+∆=δ
2
( )
0
ln abba
1
2
2
2
β∆+
2
α
. (3.24)
Из зависимости (3.24) видно, что относительная погрешность определения температуропроводности δa будет зависеть от a и λ образца
(рис. 3.10), причем определяющим будет коэффициент теплопроводности
λ. С его увеличением увеличивается относительная погрешность измерения температуропроводности δa. Из уравнения (3.24) также видно, что
уменьшения относительной погрешности измерения a можно добиться за
счет увеличения постоянной прибора – α.
δλ
а
Рис. 3.9. Зависимость δδδδλλλλ = f(λλλλ),
рассчитанная по формуле (3.23)
32
Вт/м⋅К
Рис. 3.10. Зависимость δδδδa = f(λλλλ, a),
рассчитанная по формуле (3.24)
а
107, м/с
На основании выражений (3.23) и (3.24) можно провести оценку погрешности определения ТФХ по диапазону их изменения. Результаты такой
оценки приведены на рис. 3.9 и 3.10.
3.3.2. Анализ систематических погрешностей
Уравнения (3.19) и (3.20) учитывают случайную составляющую погрешности определения ТФХ по разработанному методу. Рассмотрим
влияние некоторых систематических погрешностей на определение ТФХ
исследуемых материалов по разработанному методу.
Отметим наиболее важные факторы: во-первых, нагреватель в действительности имеет конечные размеры; во-вторых, нагреватель обладает
теплоемкостью; в-третьих, между нагревателем и образцом, а также между образцом и термоприемниками существуют термические сопротивления; в-четвертых, часть тепла, выделяющегося на нагревателе, идет на
нагрев материала зонда. Предварительно отметим, что в главе 2 была
показана эквивалентность многоимпульсного линейного источника тепла
и линейного источника тепла постоянной мощности в той области термограммы, которая используется для измерения ТФХ исследуемых материалов. Поэтому, далее будем считать, что у нас не многоимпульсный
источник тепла, а эквивалентный ему источник тепла постоянной мощности. При этом выражение, приведенное в главе 2 и описывающее температурное поле при больших τ, имеет вид
( )
rT
q
=τ
,
πλ
2
4
a
0
ln
r
τ
γ−
, (3.25)
2
где q0 – мощность, выделяющаяся на единице длины нагревателя; τ –
время; r – координата; γ – число Эйлера.
3.3.2.1. Влияние конечности размеров нагревателя
Рассмотрим влияние конечности размеров нагревателя на точность
определения ТФХ. Для этого будем рассматривать: во-первых, нагреватель в виде бесконечного цилиндра радиуса R, через поверхность которо-
го в материал подается тепловой поток
q
(рис. 3.11); во-вторых, нагре-
0
ватель в виде полосы шириной 2h, через которую в материал подается
тепловой поток
q
(рис. 3.12).
0
Для нагревателя конечных размеров в виде цилиндра радиуса R, через поверхность которого в материал подается тепловой поток
q
0
(рис. 3.11), решение задачи в общем виде имеет следующий вид [2]:
33
[
]
∞
τ
R
z
,
a
2
h
x
2
q
0
( )
−=τ
, du
rT
( )
exp1
∫
πλ
0
au
( ) ( ) ( ) ( )
2
τ−−
202
( ) ( )
[ ]
−
+
uRJurYuRYurJ
1010
2
uRYuRJu
1
. (3.26)
При больших τ это выражение упрощается, т.е. [2]
Rq
4
0
( )
,
rT , (3.27)
=τ
ln
λ
2
r
τ
a
γ−
2
или, если переписать (3.27) через мощность на единицу длины нагревателя (
0
Rqq π=
, см. рис. 3.11), то
0
( )
,
rT
q
=τ
πλ
2
4
0
ln
r
τ
a
γ−
. (3.28)
2
Сравнив выражение (3.28) с выражением (3.25) для температурного
поля от линейного идеального источника тепла при больших τ, можем
отметить их идентичность.
Рассмотрим нагреватель конечных размеров в виде полосы, через
которую в материал подается тепловой поток
q
(рис. 3.12).
0
Температура T в точке с координатами (x,0) поверхности в момент
времени τ будет определяться из выражения [2]
1
( )
xT
где
Fo
2
Fo
hq
1
2
λπ
+
xh
( )
Fo2
π
erf
Ei
1
2
0
,0,
=τ
−
h
a
=
– число Фурье; h – ширина полосы; x – координата.
2
h
−
+
xh
1
Fo2
h
( )
+
xh
Fo4
h
2
erf
+
2
−
( )
π
h
−
xh
−
1
2
Fo2
h
( )
−
xh
Ei
12
2
Fo2
−
−
2
h
2
xh
,
Fo4
(3.29)
q
0
r
λ, a
Рис. 3.11. Схема для нагревателя
в виде цилиндра
34
Рис. 3.12. Схема для нагревателя
q
0
λ
в виде полосы
Используя известные соотношения [35, 52]
(
)
()(
)
2
+
12
++γ=−
n
∞
∑
=
n
n
x
( )
+
nn
−
x
nn
1
, (3.30)
12!
n
, (3.31)
!
∞
получим выражение для температуры поверхности z = 0 в точке с координатой x для больших значений τ
erf
[ ]
x
[ ]
2
( )
=
−
1
∑
π
=
0
n
( )
lnEi
xx
hq
( ) ( ) ( ) ( )
xT
Если переписать выражение (3.32) через мощность на единицу длины нагревателя (
( ) ( ) ( ) ( )
,0,
xT
Проанализируем более подробно выражения (3.28) и (3.33).
Как уже отмечалось выше, выражение (3.28) полностью идентично
выражению (3.25). Выражение (3.33) отличается от формулы (3.25). Заметим также, что
lim
0
→
h
Поэтому при выполнении условия x >> h выражение (3.33) принимает
вид
0
=τ 2ln
λπ
q
=τ 2ln
2
+
xh
2
h
lim
0
→
h
4ln,0,
=
0
0
0
4ln
πλ
( ) ( )
ln
xh
h
[ ]
( ) ( )
ln
2
h
+
xh
−τ
a
hqq 2
, см. рис. 3.12), получим
a
++
( )
rT
ln
xhxh
q
ln
πλ
xh
−
xh
x
22
+−+=
2
0
ln
2
h
+
xh
−τ
2
h
−
xh
ln
2
h
=τ
,
2
−
xh
−+
2
h
−
xh
−+
xh
2
h
22
=
h
τ
4
a
2
r
2
( )
+
xh
2
( )
−
xh
γ−
(3.34)
22
xh
22
xh
2
2
( )
x
γ−+−
γ−+−
−=
. (3.32)
. (3.33)
.2lnln
и будет полностью эквивалентно выражению (3.25).
Выражение (3.25) можно представить в виде
q
( ) ( )
rT
0
=τ
, ra
πλ
2
ln4ln
γ−−τ
. (3.35)
35
Тогда выражения (3.33) и (3.35) можно записать в единой форме
2
(
)
τ
∂
q
где C(r (или x)) – величина, не зависящая от времени и ТФХ исследуемого материала, а полностью определяющаяся конструктивными особенностями зонда (является, по сути дела, постоянной прибора).
В разработанном методе постоянные прибора определяются исходя
из градуировочных опытов на образцах с известными ТФХ, причем и
градуировка, и собственно определение ТФХ исследуемого образца, определяются на участке термограммы, где реально выполняются температурно-временные зависимости вида (3.25), (3.28), (3.33).
В результате можем сделать вывод о том, что систематическая погрешность, связанная с конечностью размеров нагревателя, не будет сказываться на точности определения ТФХ. Причем, как уже отмечалось
ранее, определение ТФХ на основе градуировочных опытов действительно позволяет частично учесть и систематическую составляющую погрешности измерений (см. (3.33), (3.35), (3.36)).
Так как в реальном эксперименте нагреватель обладает теплоемкостью, то часть тепла, выделяющаяся на нагревателе, пойдет на его разогрев, т.е., мощность, поступающая в образец, будет не q0, а q0 – q′0, где
q′0 – часть мощности, идущей на разогрев нагревателя. Примем, что нагреватель представляет собой бесконечный цилиндр, радиуса R и является идеальным проводником. Тогда q′0 будет определяться из выражения
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
3.3.2.2. Влияние теплоемкости нагревателя
xTrT или4ln
и теплоемкости термоприемников
0
,0, ,
=τ=τ
πλ
−τ
xrCa
, (3.36)
где Cн – теплоемкость единицы длины нагревателя.
В первом приближении T(R, τ) можно найти из выражения (3.28)
при r = R. Тогда изменение температуры в точке с координатой r описывается выражением
′
−
00
( )
или
36
=τ
,
rT
πλ
2
′
=
Cq
τ
4
aqq
ln
r
γ−
2
,н0RT
, (3.37)
∂τ
q
−
=
0
Cq
н0
πλ
2
2
πλτ
4
ln
r
τ
a
γ−
(3.38)
2
2
( )
q
=τ
,
rT
πλ
2
4
0
ln
r
τ
a
−
γ−
2
[ ]
qC
4
τ
ln
0н
22
τ
λπ
4
ln
r
+
a
γ−
2
τ
Из формулы (3.39) видно, что влияние теплоемкости нагревателя с
течением времени будет уменьшаться, так как
. (3.39)
a
γ−
2
τ
0
→
.
lim
4
ln
[ ]
ln
τ
→
τ
τ
r
limи 0
∞→τ∞→τ
Причем, условие, когда теплоемкостью нагревателя можем пренебречь (см. (3.38)), имеет вид
C
н
πλτ
1
<<
. (3.40, а)
Выражения (3.38) и (3.39) показывают, что там, где теплоемкость
нагревателя существенно влияет на ход развития теплового процесса, вид
зависимости температуры в точке измерения от времени (термограммы)
будет отличаться от вида выражений (3.25), (3.28), (3.33), (3.36). В методе
учитываются только те точки термограммы, где реально выполняются
эти функциональные зависимости температуры от времени (T(τ) =
aln[τ]+b). Отсюда можем сделать вывод, что теплоемкость нагревателя в
расчетной области термограммы не влияет на точность определения
ТФХ. Аналогично, это можно показать для нагревателя в виде полосы, а
также для теплоприемников.
3.3.2.3. Влияние оттоков тепла в материал зонда
Пусть q0 – мощность, выделяющаяся на единицу длины нагревателя,
q10, q20 – части мощности, идущие на нагрев исследуемого материала и
материала зонда соответственно. Условие, когда оттоки тепла в материал
зонда будут пренебрежимо малы, можно записать в виде
q
20
1
<<
q
10
. (3.40, б)
Найдем, чему равно данное соотношение, для чего рассмотрим следующую задачу [67].
37
h
2
()()(
)
()()(
)
()(
)
()(
)
()()()(
)
τ
∂
τ
∂
τ
∂
τ
∂
()(
)
()(
)
τ
∂
τ
∂
()(
)
τ
∂
τ
∂
xyTx
y
λ2, a2,
с2ρ
λ1, a1,
с1ρ
Рис. 3.13. Схема для нагревателя,
действующего в плоскости контакта
двух полуограниченных тел
a
a
∂
q
, ε2
2
, ε1
1
1
∂τ
1
2
∂τ
2
yxT
=
x
2h
0
T2
x
T1
2
yxTyxT
τ∂
=
τ∂
=
yxT
∂
y
xT
1
λ−
1
∂
τ∂
1
∂
2
2
=
y
+
2
x
yxTyxT
τ∂
2
x
∂
21
∂
x
λ−
2
Задача. Два полуограниченных
тела находятся в идеальном тепловом
контакте (см. рис. 3.13). В плоскости
контакта действует линейный источник тепла постоянной мощности в
виде полосы шириной 2h. Мощность,
выделяющаяся на единицу площади
нагревателя, равна
q
(или через мощ-
0
ность на единицу длины нагревателя –
q
0
q
=
(см. рис. 3.13)). Тогда тем-
0
пературное поле в любой момент
времени в данной системе будет определяться решением следующей
математической задачи:
2
,,,,,,1
yxT
τ∂
1
∂
2
+
21
yxT
=
21
xT
2
∂
, τ ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0; (3.41)
2
y
,,,,,,1
yxT
τ∂
2
y
∂
xTxT
y
, τ ≥ 0, x ≥ 0, y ≥ 0; (3.42)
2
00,,0,,
== yxTyxT
; (3.43)
22
,0,,,, yxyxTyxT
yxT
2211
∂
y
τ=τ ,0,,0,
; (3.46)
,0,,0,
=
∞→+=τ=τ
; (3.44)
,,,,,,,,
,0
( )
xf
; (3.47)
22
∞→+=
yx
;(3.45)
q
0
<
; ,
( )
xf
∂
2
h
=
yT
=
hx
(3.48)
>
, ,0
hx
,,0,,0
21
∂
0
=
. (3.49)
Проинтегрируем уравнения системы (3.41) – (3.49) по x ∈ (–∞, ∞).
Для уравнения (3.41) имеет место
38
()()(
)
+∞
()(
)
∂
1
a
1
∞−
+∞
∂
1
1
∞−
a
1
+∞
2
∂
∫
0
τyxT
1
( ) ( )
∂
1
dx
∂
τ
dxτyxT
τ
∂
x
1
a
=
τyxT
dx
2
+∞
∂
1
∞−
1
Аналогично получаем:
– для уравнения (3.42)
+∞
∂
2
1
∞−
a
2
– для выражения (3.43)
+∞
( ) ( )
∞−
– для выражения (3.44)
+∞
( ) ( )
∞−
– для выражения (3.45)
+∞
( ) ( )
∂
∞−
dxτy,x,T
∂
y
– для выражения (3.46)
+∞
( ) ( )
∞−
+∞
2
∂
=
( ) ( )
( ) ( )
1
2
∂
x
∞−
+∞
2
∂
∫∫
∞−
∂
=
τ
∂
τ
∂
+∞
∫∫
∞−
∂
=
1
+∞
,,,,
1
2
∂
y
,,,,
τyxT
∂
x
2
dxτyxT
∂
=
2
dxτy,x,T
∂
=
+∞
21
∫∫
∞−
21
21
∫∫
∞−
∂
y
+∞
= dxτ,x,Tdxτ,x,T 00
21
∫∫
∞−
τyxT
dxτyxT
∞
x
+∞
∫∫
+∞
+∞
∂
+
dx
∫∫∫
∞−
∞+
∂
+
2
∫
0
(3.73) см.
=
0
=
,,,,
1
∞−
2
y
∂
2
∫∫
∞−
2
y
∂
== 000
dxy,x,Tdxy,x,T
y, dxτy,x,Tdxτy,x,T 0
dxτy,x,T
0
2
2
1
(3.77)
,,,,,,
1
2
∂
y
( )
,,
2
∂
x
=
τyxT
dx
;
τyxT
dx
;
0
;
dxτyxT
. (3.50)
dxτy,x,T
; (3.51)
; (3.52)
∞→==
; (3.53)
∞→
y, =
; (3.54)
; (3.55)
– для выражений (3.47) и (3.48)
39
()(
)
+∞
()(
)
()(
)
()(
)
()(
)
()(
)
τ
∂
τ
∂
()(
)
()(
)
τ
∂
τ
∂
(
)
τ
∂
(
)
τ
∂
∂
1
− dxxfdx
λ
1
∞−
λ =
−
∂
y
+∞
( )
dxxf
∞−
+∞
( ) ( )
∂
1
∞−
1
y
∂
∂
τ,x,T
+
λ
2
+
h
q
dx
∫∫
h
−
h
dxτ,x,T
λ
−
2
τ,x,T
00
2
∂
y
h
q
00
h
22
+∞
∂
2
∫∫
∞−
y
∂
+∞
−=
hx
00
( )
=
∫∫
∞−
===
qx
0
,
,
dxτ,x,T
q
. (3.56)
0
Введем следующие интегральные характеристики:
+∞
( ) ( )
( ) ( )
∫
∞−
+∞
∫
∞−
τ=τ dxyxTyS ,,,
11
22
, (3.57)
τ=τ dxyxTyS ,,,
, (3.58)
т.е. S1(y, τ) и S2(y, τ) – представляют собой интегральные температуры
плоскостей, параллельных плоскости контакта двух тел и проходящих
через точки с координатой y. С учетом зависимостей (3.50) – (3.58) можем переписать систему (3.41) – (3.49) через новые функции S1(y, τ),
S2(y, τ) в следующем виде:
2
,,1
ySyS
τ∂
1
a
1
a
2
yS
∂
y
λ−
1
=
∂τ
τ∂
2
=
∂τ
21
21
=
∂
S
1
y
∂
τ∂
1
, τ ≥ 0, y ≥ 0; (3.59)
2
y
∂
2
,,1
ySyS
τ∂
2
, τ ≥ 0, y ≥ 0; (3.60)
2
y
∂
00,0,
== ySyS
21
yS
,,
y
SS
21
S
2
λ−
2
∂
; (3.61)
∞→=τ=τ yySyS ,0,,
; (3.62)
∞→=
y
,0
τ=τ ,0,0
,0,0
y
; (3.63)
; (3.64)
q
=
. (3.65)
0
Рассмотрим физический смысл выражений
λ−
1
и
yS∂
λ−
,0
1
,0
2
2
.
yS∂
40