Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многомодельные методы в микропроцессорных системах неразрушающего контроля теплофизических характеристик материалов. Учебное пособие.pdf
процесс может быть представлен суперпозицией (взвешенной суммой)
~
()()(
)
[
]
′′′τ′
′
(
)
~
~
~
~
~
~
~
~
{
}
~
~
(
)
()(
)[)()
[
)
(
)
[
)
(
)
~
~
(
)
~
~
~
различных операторов, при этом "веса" этих операторов не остаются постоянными.
Например, модель в нечетком состоянии
жет быть записана в виде
h
в момент времени τ мо-
~
h
где
M
,
M
h
i
коэффициент, изменяющийся во времени.
Нечетким состояниям
характеризующие степень уверенности в том, что вместо модели
можно использовать одну из моделей четкого состояния
состояния
измерения, образуют множество переходных состояний
нечетких состояний
хода ИВС на рабочий режим, влиянием краевых эффектов и т.п.
Опр ед еле ние 3. Общее множество состояний функционирования
H для ИВС представляет собой объединение множеств четких
реходных
Опр ед еле ние 4. Модель процесса измерения на множестве H,
обозначим ее
~
, HhM
∈
h
Из состояний
изменения состояний функционирования тепловой системы на времен-
ном интервале измерения, например,
– модели в четких состояниях
h
j
h
соответствуют функции принадлежности,
h
, которые могут иметь место для ИВС на временных интервалах
H
обусловлено наличием временного интервала вы-
п
H
состояний, т.е.
п
M
, образуется совокупностью моделей
H
, т.е.
п
Hh∈
и
o
HhMM
∈= ,
hH
Hh ∈
MkMkM
hh
ji
HHH U=
.
пo
.
можно построить траекторию
п
τ
∈ττ−+τ= ,,1
,
h
и
h
;
τ
k
j
i
– весовой
M
M
. Все нечеткие
h
i
H
. Множество
п
H
и пе-
o
Hh,M
∈
и
h
o
~
h
⋅h
Опр ед еле ние 5. Траектория
ние состояний
типовой формой.
В зависимости от степени определенности факторы, вызывающие
изменения состояний функционирования, можно разбить на две группы.
Факторы первой группы вызывают предсказуемые изменения
Hh ∈
и
п
Hh∈
⋅η
, будем называть типовой, а ее запись
o
;,,;,,
, в которой происходит чередова-
K;,,
ττ∈ττττ∈ττττ∈ττ=⋅η hhh
. (2.1)
3232121o1
h
или
h
,
21
связанные с особенностями протекания процесса измерения, например,
[
]
(
)
~
~
τ
∆
(
)
(
)
(
)
~
~
~
~
отклонением размеров реального датчика от размеров теоретически идеального образца, используемого в аналитической модели. Вторая группа
факторов носит случайный характер, например, нарушение работоспособности отдельных элементов конструкции ИВС. Такие изменения состояний функционирования случайны, достаточно редки и их предсказать нельзя.
Утв ер жде ние 1. Если на временном интервале измерения
ττ ,
k
o
отсутствуют непредсказуемые изменения состояний функционирования,
то траектория
⋅η
может быть представлена в типовой форме (2.1).
Это следует, во-первых, из того, что время перехода из одного четкого состояния в другое конечно и на этом промежутке времени можно
ввести нечеткое состояние
h
. Во-вторых, несколько, следующих друг за
другом, нечетких состояний можно объединить в одно.
Для четких состояний
Hh∈
проверка адекватности моделей
o
M
h
производится аналогично тому, как это делается для традиционных моделей, не учитывающих изменение состояний функционирования. Однако исключительно важное значение здесь приобретают задачи идентифи-
кации состояний h и
h
.
Задача идентификации состояния функционирования заключается в
определении по измеренным с временным шагом
K,2,1,0,o=τ∆+τ iiy
и известным входным воздействиям
K,2,1,0,o=τ∆+τ iix
моментов смены состояний функционирования
τ
и значения нового состояния функционирования
j
h
значениям
.
1+j
Согласно утверждению 1 в отсутствии непредсказуемых изменений состояний функционирования модель процесса измерения на множестве H
представляет собой кортеж моделей вида
~
H
,
h
1
h
2
~
o2п1
,;,;
h
3
K;
HhMHhMHhMM
∈∈∈=
п3
. (2.2)
Опр ед еле ние 6. Идентифицируемые состояния функционирования
Hh∈
, в которых измеренные значения компонент вектора фазовых
o
координат можно использовать для расчета исследуемых характеристик
(свойств) материалов, будем называть рабочими, они образуют подмно-
жество рабочих состояний функционирования
Модели
, HhMh∈ используются при разработке математического
p
HH ⊂ .
op
обеспечения ИВС.
22
Процедуру определения ТФХ можем представить в виде следующих
(
)
{
}
(){
}
{
}
~/~
(
)
{
}
~
(){
}
{
}
~
(
)
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
{
}
операторов:
: →τ∩τΨ
1
тальных данных
ся поиск участков термограмм
сывают тепловой процесс. Такие участки будем называть "рабочими".
2
ся параметры аналитических моделей
d
:
3
искомые теплофизические характеристики.
Расчетные уравнения, описывающие термограмму на рабочих участках, будем искать на основе анализа решений соответствующих краевых задач. Этому вопросу, в основном, и посвящены третья и четвертая
главы настоящего учебного пособия, где также представлены основные
операции при реализации способов определения ТФХ композитов и расчетные формулы, связывающие параметры моделей с искомыми ТФХ.
Для выделения рабочих участков термограмм, по мнению авторов, наиболее правильно использовать статистический критерий, и этому вопросу
посвящен один из разделов пятой главы. Там же приведен алгоритм
оценки параметров моделей. В пятой главе также приведены результаты
экспериментальных исследований ТФХ материалов [72].
T τ
dT →τΨ~:
ТФХ
→Ψ
j
k
TvTT
– на основе сопоставления эксперимен-
ikii
kр
,
и расчетных уравнений
i
T
, где эти уравнения адекватно опи-
i
k
р,
– по рабочим участкам термограмм определяют-
ji
k
d
.
j
k
– на основании параметров
k
vT /τ
осуществляет-
ki
d
определяются
j
k
23
3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Нагреватель
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА
3.1. МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА ОТ ЛИНЕЙНОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА
Измерения ТФХ основаны на физической модели, представленной на
рис. 3.1. Тепловое воздействие на исследуемое тело, с равномерным начальным температурным распределением, осуществляется с помощью линейного импульсного нагревателя. В эксперименте фиксируется температура на заданном расстоянии от нагревателя [53, 58, 67, 70, 71].
Проведем анализ данной системы. Рассмотрим модель нестационарного теплопереноса от линейного импульсного источника тепла, действующего на теплоизолированной поверхности полуограниченного тела.
Температурное поле в исследуемом материале от одного импульса
(при выполнении условия полуограниченности тела) будет описываться
уравнением [2, 7] (рис. 3.2) вида
2
=τ
rT
),(
πλτ
2
exp
rQ
−
, (3.1)
τ
a
4
где Q – количество тепла; выделившееся на единице длины нагревателя;
r – расстояние от нагревателя; τ – время; λ – теплопроводность; a – тем-
пературопроводность.
Термопары
Измерительный
зонд
r
r
Исследуемый
образец
Рис. 3.1. Схема тепловой системы для
метода c линейным импульсным
нагревателем
Рис. 3.2. Вид зависимости T(ττττ) при
единичном импульсном тепловом
воздействии
Если подается последовательность n + 1 тепловых импульсов с периодом ∆τ, то температурное поле в образце будет определяться выражением
24
°
τ,
q
(τ)
0
τ
0
exp
−
n
∑
i
1
=
им
rT
Q
),(
=τ
2
πλ
2
r
ia
)1(
i
))1((4
τ∆−−τ
τ∆−−τ
, (3.2)
))1((,
τ∆≤τ≤τ∆−
nn
которое мало подходит для вычисления ТФХ образца.
Если нагрев осуществляется с постоянной мощностью q, то температурное поле в полуограниченной среде будет определяться формулой [5]
τ
4
a
∞
−
]exp[
=τ
),(
rT
c
πλ
2
2
r
4
a
uq
=
du
u
τ
2
r
q
∫∫
πλ
2
0
exp[
1
−
]
u
du
u
, (3.3)
где q – мощность, выделяющаяся на единицу длины нагревателя.
Можно показать, что при выполнении условия
=Qq
(3.4)
τ∆
многоимпульсный источник тепла можно рассматривать (при больших τ)
как источник тепла постоянной мощности с
=Qq
(рис. 3.3).
τ∆
Т,
С
12
8
4
0
0 20 40 60 80 100
Рис. 3.3. Вид зависимостей T(ττττ) при
выполнении условия (3.4) в случае
действия: источника тепла постоян-
ной мощности (кривая 1) и
импульсного источника тепла
(кривая 2)
1
q
2
c
∆τ
τ
Рис. 3.4. Мощность на нагревателе
при многоимпульсном источнике
тепла
25
Нужно отметить, что, на практике, действие источника тепла не является мгновенным, а имеет определенную длительность τ0 (с мощностью на единицу длины нагревателя – q0). Мощность на нагревателе является периодической функцией времени (рис. 3.4), т.е
0,
q
)(
=τ qnq
q
,0
τ≤τ≤
00
0
τ∆<τ<τ
).()( ,
τ=τ∆+τ
. (3.5)
Условие (3.4) в этом случае выглядит следующим образом:
τ
q
q
00
=
. (3.6)
τ∆
Воспользовавшись методом источников [2, 7], запишем формулу, определяющую температурное поле в полупространстве от линейного источника
тепла с произвольным законом подачи мощности на нагревателе, в виде
2
−
exp)(
uq
τ
rT
1
=τ
),( du
∫
πλ
2
0
−τ
)(
u
r
−τ
)(4
ua
. (3.7)
Зависимость q(τ), определяемая из (3.5), является периодической
функцией с периодом ∆τ и ее можно разложить в ряд Фурье, т.е.
τ
q
00
)(
=τ
q
τ
q
+
τπ∆
∑
k
+
τ∆
∞
2
πτ
1
k
1
=
k
sin
τ∆
cos
2
πτ
k
τ∆
2
cos1
−+
πτ
k
0000
sin
τ∆
2
πτ
k
.
(3.8)
τ∆
Подставив выражение (3.8) в формулу (3.7), получим следующее
выражение:
4
τ
a
2
r
τ
q
∑
k
00
=τ
2
∞
1
=
∫
τ∆πλ
0
sin
τ
1
∫
k
0
),(
rT
им
q
0
+
2
2
λπ
26
exp
2
k
1
−
u
u
π
τ∆
+
du
sin)(
+
−τ
u
0
−τ
exp
τ∆
)(
u
2
π
2
ruk
−
−τ
)(4
ua
.
du
(3.9)
Заметим, что из формулы (3.9) также можно получить выражение
для температурного поля от мгновенного многоимпульсного источника
тепла, тождественное выражению (3.2).
Если уменьшать промежуток подачи импульса τ0 и одновременно
увеличивать мощность q0 так, чтобы q0τ0 = Q, то перейдя к пределу и учитывая что
πτ
k
0
τ∆
,0
→
lim
2
sin
τ
0
πτ
k
0
2
π
τ∆
0
k
→
τ∆
,
lim
0
→τ→τ
00
2
cos1
−
τ
0
можем записать
2
ruk
( )
ua
−τ
du
. (3.10)
им
( )
rT
,
π
2
∑
cos
τ
∞
∫∫
=
1
0
τ∆
exp
( )
−τ
−
4
u
a
τ
4
2
r
Q
=τ
τ∆πλ
2
0
exp
1
−
u
u
du
Q
+
τ∆πλ
k
Суммы, стоящие в правой части выражений (3.9) и (3.10), представляют собой ограниченные и периодические функции τ [82, 83]. И при
τ24
a
r
больших τ
при τ→∞,
∫
0
τ24
a
exp
r
∫
0
при больших τ с учетом условий
им
1
−
exp
u
u
1
−
u
u
( ) ( ) ( )
– есть монотонно возрастающая функция и
du
du
этими суммами можно пренебречь, т.е.
∞→
=
q
rTrTrT
c
c
τ
q
00
и
=Qq
τ∆
=τ≈τ≈τ
,,,
πλ
2
можно считать, что
τ∆
∞
−
uq
]exp[
∫
2
r
τ
a
4
du
u
.
Теперь обратимся к анализу уравнения (3.3). Известно, что [5, 57]
∞
−
]exp[
−
∫
u
u
x
]ln[
xdu
∞
+γ+=
∑
=
1
k
kk
−
)1(
x
,
!
kk
где γ ≈ 0,5772 – число Эйлера.
27
С учетом этого выражения можем записать
0
4
8
12
16
0 1 2 3 4
5
, °C
k
τ
4
aq
=τ
),(
rT
c
πλ
2
ln[
]
2
r
∞
−γ−
∑
=1
k
k
−
)1(
2
r
τ
4
a
, (3.11)
!
kk
и при больших τ (рис. 3.5)
2
τ
4
aq
),(
rT
c
≈τ ]
ln[
πλ
2
r
γ−
]
2
q
=
πλ
2
ln[]ln[]ln[
a
r
γ−−+τ
. (3.12)
4
На основании вышеизложенного можно сделать вывод о характере
теплового процесса, происходящего в системе зонд-нагреватель-образец,.
Динамика теплового процесса в системе зонд-образец будет характеризоваться входным воздействием (законом подачи мощности на нагреватель), выходной переменной (T(τ)), переменными состояния системы (h1, h2, ..., hn). В качестве такой переменной состояния можно выбрать
тепловой поток, проходящий через точку измерения q′ (рис. 3.6).
В общем случае на термограммах (рис. 3.7) на основании характера
поведения переменной состояния можно выделить три участка, соответствующих различным состояниям функционирования системы (рис. 3.6).
с
q h
1
h
2
h
3
q(τ)
Рис. 3.5. График Tc = f(ln[
28
ln[n]
ττττ
])
Рис. 3.6. Изменение переменной
состояния в процессе эксперимента:
q′ – тепловой поток через точку
измерения при импульсном тепловом
воздействии; q – тепловой поток
через точку измерения при постоянном
тепловом воздействии
q'(τ)
τ
0
2,5
7,5
5,0
T
6 12 18 24 n
I
4
5
6
7
T
′
≠
′
′
′
′
II
III
Рипор
Рис. 3.7. Участки термограммы для
Рипора
1,5 2,0 2,5 tл
Рис. 3.8. Второй участок
термограммы в координатах
Рипор
T = T(tл)
Первый (I) участок термограммы (состояние h1) характеризуется тем,
что тепловой поток, проходящий через точку измерения, является переменным во времени и соответствует начальной стадии теплового процесса, h1:
=τ qqq
Второй (II) участок термограммы (состояние h2) характеризуется регуляризацией тепловых потоков (тепловой поток, проходящий через точку измерения, становится практически постоянным), h2:
τ qqq
Для этого участка будет справедливо выражение (3.12) (рис. 3.8).
Причем (это показано в третьей главе) уравнение (3.12) будет справедливо для II участка и в случае, если учесть реальные размеры и теплоемкости нагревателя и термоприемников.
Третий (III) участок термограммы характеризуется тем, что нарушается условие неограниченности исследуемого образца и тепловой поток,
проходящий через точку измерения, становится переменным, h3:
τ qqq
),()()( τ∆+τ
∆ qqq
q
)(+)(=)( τ∆τ
,
≈∆q
q
)(+)(=)( τ∆τ
,
var= ,0
.
′
const ,0 ≈
.
var= q
.
Таким образом выражение (3.12) является расчетным для II (рабочего) участка термограммы (рис. 3.8). С учетом того, что в процессе проведения эксперимента температура фиксируется через определенные промежутки времени ∆τ, т.е. τ = n⋅∆τ, n = 1, 2, 3..., можем записать выражение (3.12) в виде
29
2
[
]
(
)
α
α
γ−
, (3.13)
τ∆
где
q
nt lnл=
.
( )
tT
= ]
πλ
2
at
лл
r
−+
ln[]ln[
4
3.2. РАСЧЕТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ОПЕРАЦИИ
ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
Основным расчетным соотношением для определения ТФХ будет
выражение (3.13). Согласно уравнению (3.13), для определения ТФХ необходимо знать ряд величин, определяемых режимными (q, ∆τ) и конструктивными (r) особенностями применяемого устройства. Поэтому при
заданных режимах эксперимента можем считать эти величины постоянными прибора. Их значения будем определять на основе градуировочных
экспериментов на образце с известными ТФХ (здесь достаточно одного
образца) [72].
Для расчета ТФХ по экспериментальным данным представим выражение (3.13) в следующем виде:
где
α
= b
;
= ab
1
0
λ
λ
β−
грамму на рабочем участке;
)][ln(
– параметры модели; описывающей термо-
q
=α
π
2
btbtT +=
, (3.14)
0л1л
2
;
r
=β
ln
4
γ+
– постоянные при-
τ∆
бора; определяемые конструктивными особенностями применяемого
устройства и режимами опыта;
][ln
n=t
л
; n – номер точки на термограмме
(τ = n∆τ).
Выражения для расчета ТФХ и постоянных прибора имеют следующий вид:
30
a
exp
bλ=α
; (3.15)
o1o
b
ln
[ ]
a −=β
=λ
o0
o
b
b
0
b
1
; (3.16)
b
o1
; (3.17)
1
β+=
, (3.18)