Многомерный статистический анализ в экономике. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования

«Казанский национальный исследовательский

технологический университет»

Рассмотрены теоретические и практические вопросы многомерного

статистического анализа. Каждая тема наряду с теоретическим материалом содержит методические рекомендации по выполнению лабораторной работы.

2

Возможность использования компьютеров и современных информационных технологий анализа данных сделала доступными для пользователей широкий набор самых современных методов статистического анализа.

3

ТЕМА 1. МНОГОМЕРНЫЙ СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ:

которыми в значительной мере очевидны и регулируются на основах природного инстинкта или общественного договора, не требуя иных обоснований и доказательств.

видоизменения скрыты, последствия изменений неопределенны, риски развития или крушения велики и труднопредсказуемы, а представления о них ограниченны и требуют каждый раз новых обоснований и доказательств.

Многомерным статистическим анализом (МСА) называется раздел математической статистики, изучающий методы сбора и обработки многомерных статистических данных, их систематизации и обработки с целью выявления характера и структуры взаимосвязей между компонентами исследуемого многомерного признака, получения практических выводов.

4

Например, рассматривается некоторая совокупность, состоящая из n стран, для каждой из которых известны макроэкономические показатели: Х1 – валовой внутренний продукт, Х2 – площадь территории, Х3 – средняя продолжительность жизни населения и т.п. В результате имеем набор из n наблюдений над k-мерным случайным вектором Х=(Х1, Х2, …, Хk)

.

Такая структура данных естественна, если исследуется мировая экономика. Если же изучается национальная экономическая система, то естественно наблюдать значения вектора Х на одной и той же стране в различные моменты времени.

… 



… …

… 

,



5

курсах теории вероятности и математической статистики, эконометрики. В рамках данного курса будут рассмотрены две группы методов МСА:

позволяющие без существенной потери информации перейти от первоначальной системы большого числа наблюдаемых взаимосвязанных признаков перейти к системе существенно меньшего числа скрытых (ненаблюдаемых) факторов, определяющих вариацию первоначальных признаков. Методы компонентного и факторного анализа позволяют выявлять объективно существующие, но непосредственно ненаблюдаемые закономерности.

6

7

То же самое происходит, когда речь идет о решении некоторого класса специфических многомерных задач, эмпирическое распределение данных в которых сходится или хорошо согласуется с гауссовским распределением. Но допустим, наблюдаемые семь факторных признаков-показателей, детерминирующих один результативный, например рост ВВП, соответствуют семи типам разных распределений. Например, эмпирические данные о численности занятых соответствуют нормальному закону распределения Гаусса, производительность труда – биноминальному, фонды – распределению Парето, фондовооруженность – распределению Вальраса, фондоотдача – показательному распределению, издержки – распределению Пуассона, прибыль – распределению Байеса, а распределение ВВП на разных отрезках пространства и времени робастно, ассиметрично и разнонаправленно. Как в этом случае установить общий закон их распределения и, следовательно, общую их связь с законом распределения ВВП? Можно ли вывести закон распределения ВВП как гибрид из семи других представленных типов распределений, которым следуют приведенные факторы ВВП? Очевидно, что нельзя, любая попытка синтеза данных разнотипных распределений будет примитивной фикцией. Попытки же искусственно подгонять наблюдаемые данные, отсекая те массивы данных, которые не укладываются в стандартную схему, подмена так называемых ненормальных распределений и нелинейных связей нормальными распределениями и линейными связями, в сущности, не дает ничего: многомерный анализ остается лишенным ясных теоретических оснований, а получаемые результаты – необходимого содержательного смысла. Как быть? Разбивать сложные многомерные пространства на части, вводить их типы, соответствующие типам существующих теоретических допущений и распределений, т.е. решать задачу отдельно по каждому признаку или однородной группе признаков, применяя разные методы. Приходится накладывать своего рода ограничение на существующее множество методов многомерного анализа данных и на практике обращаться только к тем из них, которые адекватно аппроксимируют известные законы и гипотезы распределения данных и нашли широкое применение в статистической работе.

8

Предметом многомерного статистического анализа являются сложные системы, элементы которых характеризуются множеством зависимых между собой объектов и признаков, представляемые обычно в виде матрицы, строки которой соответствуют наблюдаемым объектам, а столбцы – характеризующим их признакам.

Т

Примечание: перемножить можно матрицы, число столбцов в первой из которых равно числу строк второй, в результирующей матрице

9

соответствующего собственному числу  есть нетривиальное решение