Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многомерный статистический анализ в экономике. Учебное пособие
.pdf
Более привычной формой записи значений главных компонент
№ объекта
Х1
Х2
1
28,6
349,9
2
25,2
623,8
3
22,9
817,1
4
18,6
1171,8
…
[×]
:
…
…
…
… …
…
.
является транспонированная матрица
|
|
|
|
|
…
=
…
Рассмотрим пример.
Пусть на четырех объектах (товарах) исследовались два
признака: Х1 – спрос, кг/день и стоимость, руб. Результаты
исследования приведены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
Значения исходных (элементарных) признаков
по объектам исследования
Подготовительный этап.
1. Стандартизируем значения признаков. Для этого для
каждого признака найдем среднее и среднеквадратическое
отклонение:
28,6 + 25,2 + 22,9 + 18,6
=
(28,6 23,8)
=
= 3,6;
+ (25,2 23,8)+ (22,9 23,8)+ (18,6 23,8)
4
4
= 23,8;
349,9 + 623,8 + 817,1 + 1171,8
=
(349,9 740,7)
= 299,2;
=
+ (623,8 740,7)+ (817,1 740,7)+ (1171,8 740,7)
4
4
= 740,7;
31
28,6 23,8
№ объекта
Z1
Z2
1
1,314
-1,306
2
0,378
-0,391
3
-0,254
0,256
4
-1,437
1,441
=
3,6
= 1,314;
349,9 740,7
=
299,2
= 1,306;
25,2 23,8
=
3,6
= 0,378 и т. д.
Результаты стандартизации представлены в табл. 2.2.
Таблица 2.2
Значения стандартизированных признаков
2. Построим корреляционную матрицу R.
Сначала найдем среднее произведения пар признаков:
28,6 349,9 + 25,2 623,8 + 22,9 817,1 + 18,6 1171,8
=
4
66233,97
=
4
= 16558,49;
16558,49 3,6 740,7
=
=
3,6 299,2
Тогда матрица R имеет вид:
[×]
=
1 0,99997
0,99997 1
I этап:
1. Составим и решим характеристическое уравнение:
1 0,99997
0,99997 1
(1 )
(
1 0,99997)(1 + 0,99997
0,99997
= 1,99997;
= 0,00003.
= 0;
= 0;
Матрица собственных чисел имеет вид
1,9997 0
Λ =
0 0,0003
.
= 0,99997.
.
)
= 0;
32
и
2. Вычислим собственные векторы
Для λ
При
Для
При
= 1,99997 система уравнений примет вид
=1 получим
= 0,00003 система уравнений примет вид
=1 получим
(
1 1,9997)
0,9997
0,9997 0,9997
(
1 0,00003)
0,99997
0,99997 + 0,99997
+
+
0,9997
(
1 1,9997)
= 1
= 1
= 1.
0,99997
(
1 0,00003)
= 1
= 1
= 1.
.
= 0
= 0;
= 0;
= 0
= 0
.
= 0.
Тогда матрица собственных векторов примет вид
[×]
=
1 1
.
1 1
3. Получим матрицу нормированный собственных векторов.
=1
+ (1)
|
|
= 1,414;
|
|
=1
+ 1
= 1,414;
1
[×]
1,41411,414
=
1
1,41411,414
0,707 0,707
=
0,707 0,707
II этап. Вычислим матрицу нагрузок главных компонент на
исходные признаки по формуле
=
/
.
1,99997
=
0,707 1,414 + 0,707 0 0,707 0 + 0,707 0,005
0,707 1,414 + 0,707 0 0,707 0 + 0,707 0,005
0,707 0,707
0,707 0,707
0,9998 0,0039
=
0,9913 0,0039
0
.
0
0,00003
.
=
=
33
Анализируя матрицу факторных нагрузок, видим, что имеются
№ объекта
F1
F2
1
1,304
-0,408
2
0,383
-2,088
3
-0,254
0,536
4
-1,432
2,088
сильные связи первого и второго признака с первой главной
компонентой и слабые связи первого и второго признака со второй
главной компонентой.
Если отбросить вторую главную компоненту, то доля вариации
исходных признаков, объясненной за счет оставшейся первой главной
компоненты, будет равна
+
=
1,99997
1,99997 + 0,00003
1,99997
=
= 0,999985.
2
IV этап. Вычислим значения первой главной компоненты.
1
=
(+ + +
) =
1
k=1 (первая главная компонента).
i=1 (для первого объекта):
1
)
=
1,99997
0,9998 1,314 +(0,9913)(1,306
= 1,304;
i=2 (для второго объекта):
=
,
(0,9998 0,378 +(0,9913)(0,391
)
) =0,383;
i=3 (для третьего объекта):
1
=
1,99997
(
0,9998 (0,254
)+(
0,9913)0,256)= 0,254;
i=4 (для четвертого объекта):
1
=
1,99997
(
0,9998 (1,437
)+(
0,9913)1,441)= 1,432.
Аналогично можно вычислить значения второй компоненты.
Полная матрица значений главных компонент показана в табл. 2.3.
Таблица 2.3
Матрица главных компонент
первую главную компоненту, т.о. размерность задачи сократилась с
4 × 2 до 4 × 1.
В дальнейших исследованиях достаточно использовать только
34
Восстановление признаков:
(
0,536
(
2,088
)
)
(
0,536
(
2,088
= 1,299801;
= 0,374091;
)
= 0,2514;
)
= 1,42099;
)
= 0,253881;
)
= 1,427685.
= 0,998 1,304 + 0,0039 (0,408
= 0,998 0,383 + 0,0039 (2,088
= 0,998 (0,254)+ 0,0039
= 0,998 (1,432)+ 0,0039
= 0,9913 1,304 + 0,0039 (0,408)= 1,29435;
= 0,9913 0,383 + 0,0039 (2,088)= 0,38781;
= 0,9913 (0,254)+ 0,0039
= 0,9913 (1,432) + 0,0039
Вращение факторов. Задача вращения факторов (главных
компонент) решается с целью улучшения их интерпретируемости.
Если факторные нагрузки
в структуре фактора имеют более-менее
равномерное распределение, поиск названия этого фактора
затрудняется из-за неявности его особенностей. И, наоборот, простая
структура фактора, в которой несколько элементарных признаков
очевидно доминируют над другими по своей значимости, позволяет
определить его название и место в конкретном анализе легко и
достаточно надежно.
До вращения точки, соответствующие переменным,
расположены на удалении от осей факторов. После поворота осей
переменные оказываются вблизи осей, что соответствует
максимальной нагрузке каждой переменной только по одному
фактору. На практике строгая ориентация переменных вдоль осей
факторов обычно не достигается, однако операция поворота позволяет
приблизиться к желательному результату.
Вращение факторов не влияет на математическую строгость
анализа: взаимное положение точек (переменных) не меняется при
повороте осей.
Наиболее простым является ортогональное вращение (угол
между осями остается равным 90
о
). Оно производится умножением
матрицы факторных нагрузок на некоторую ортогональную матрицу
Т, задающую угол поворота, размерностью × по числу факторов.
Поворот может задаваться по или против часовой стрелки. Например,
для матрицы факторных нагрузок А с числом факторов = 2:
=
cos () sin ()
sin () cos ()
;
.
cos () sin ()
=
sin () cos ()
35
Если матрица факторных нагрузок содержит данные более чем
по двум факторам, строится несколько матриц преобразования для
всех парных комбинаций факторов. Для трехмерной матрицы А будут
использоваться три матрицы преобразования:
вращение против часовой стрелки
()
=
cos
0 1 0
sin
()
cos
=
sin
()
sin(
cos
()
)
0
;
0
0 0 1
()
0 sin(
0 cos
)
;
()
1 0 0
0 cos () sin ()
=
.
0 sin () cos ()
Полная матрица преобразования для трехмерного случая будет
=
× ×
.
Для четырехмерной матрицы А полная матрица преобразования
Т будет произведением уже шести матриц вращения: =
× × ×
При условии ортогонального вращения всегда
.
= .
×
×
Пример. Выполним однократный поворот двумерной матрицы
факторных нагрузок, полученной методом главных компонент:
0,776 0,130
0,904 0,210
=
0,616 0,902
Пусть угол поворота будет равен 30
стрелке. Тогда =
cos (30
sin (30
) sin (30)
) cos (30)
.
о
, поворот по часовой
.
Вращение матрицы факторных нагрузок:
= × =
0,776 0,130
0,904 0,210
0,616 0,902
0,866 0,5
×
0,5 0,866
0,776 0,866 + 0,13 0,5 0,776 0,5 0,13 0,866
0,904 0,866 + 0,21 0,5
=
0,616 0,866 0,902 0,5
0,904 0,5 0,21 0,866
0,616 0,5 + 0,902 0,866
0,737 0,275
=
0,888 0,270
.
0,082 1,089
36
В результате вращения получена матрица факторных нагрузок,
интерпретируемая проще исходной. В составе первой главной
переменной заметно определяющее значение признаков
второй -
.
, во
После перемножения нормированное пространство искажено,
т.е. появляются элементы, большие единицы, и может не выполняться
равенство
=
. Чтобы вернуться к принятым пространственным
соотношениям, достаточно нормировать матрицу факторного
отображения после поворота W:
=
.
Вопрос достаточности числа поворотов пространства решается с
использованием специальных критериев для оценки структуры
факторов. Все критерии базируются на представлении величины
дисперсии факторных нагрузок как меры сложности структуры
факторов. Дисперсия рассчитывается по формуле:
где
1
)
(
=
- элементы матрицы факторного отображения, величины
,
факторных нагрузок; - число факторов.
Величина дисперсии будет максимальной, когда одно из
значений квадратов нагрузки равно общности (в методе главных
компонент единице), и все остальные элементы в строке нулевые.
В зависимости от выбранного критерия различают следующие
наиболее популярные методы ортогонального вращения:
Варимакс – критерий вычисляется по формуле
=
;
Квартимакс – критерий вычисляется по формуле
=
.
Иногда можно получить лучшую структуру факторов, если
изменить угол между осями.
Очевидно, после поворота против часовой стрелке примерно на
о
20
ось
осевой конструкции (90
займет более рациональное положение, но из-за жесткости
о
между осями) положение
удалится от
37
оптимального. В таких случаях к оптимизации положения сразу обеих
Рекламные
руб. (Х2)
1
80
25
15
2
100
40
18
3
90 0 10
4
75
10
17
5
120
60
14
6
85
80
26 7 100
10
11
8
70 0 25
9
120
15
6
10
75 5 12
осей
и приводит косоугольное вращение (90
).
Наличие непрямого угла между осями факторов означает, что
они не являются полностью независимыми друг от друга. В реальных
исследованиях факторы действительно не являются абсолютно
независимыми друг от друга, поэтому отклонение угла между осями
факторов от прямого при вращении вполне допустимо.
Если в анализе используется косоугольное вращение
пространства факторов, то наиболее часто используются методы
(критерии) облимакс, квартимин, облимин, промакс.
Лабораторная работа № 2
Ф
АКТОРНЫЙ АНАЛИЗ (МЕТОД ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ)
Цель работы: освоение вычислительных процедур метода
главных компонент средствами табличного процессора Excel. Анализ
полученных результатов вычислений. Экономическая интерпретация
построенных главных компонент.
Задача 1. Данные исследования однотипной продукции десяти
производителей по трем характерным признакам представлены в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Исходные данные компонентного анализа
Объекты Цена, руб (Х1
вложения, тыс.
Объем продаж,
тыс. шт. (Х3)
38
Необходимо провести компонентный анализ с целью снижения
размерности задачи и исключения мультиколинеарности исследуемых
показателей.
1. В табличном процессоре Excel создать таблицу исходных
данных (табл. 2.5), вычислить среднее и стандартное отклонение для
каждого элементарного признака.
Таблица 2.5
Макет таблицы исходных данных в Excel
2. Выполнить подготовительный этап (табл. 2.6):
стандартизировать элементарные признаки и построить
корреляционную матрицу:
=
.
39
Таблица 2.6
Макет таблицы подготовительного этапа компонентного анализа
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]