Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многомодельные методы в микропроцессорных системах неразрушающего контроля теплофизических характеристик материалов. Учебное пособие.pdf
Подставив (3.120), (3.121) в (3.119), получим решение краевой задачи (3.114) – (3.118):
5,0
Fo
)Fo,0,(
х
=Θ
π
erf
+
erf
+
erf
+
erf
′
)(1
−−
Fo2
′
)(1
++
Fo2
′
)(1
+−
Fo2
′
)(1
−+
−
Fo2
−
( )
π
−
( )
π
−
( )
π
( )
Fo2
π
′
)(1
−−
Ei
5,0,50
Fo2
Fo2
Fo2
′
)(1
++
Ei
5,05,0
′
)(1
+−
Ei
5,0,50
′
)(1
−+
Ei
5,05,05,0
( )
−
Fo4
( )
−
Fo4
( )
−
Fo4
( )
−
2
′
)(1
−−
xxxxxx
2
′
)(1
++
xxxxxx
2
′
)(1
+−
xxxxxx
′
)(1
−+
xxxxxx
Fo4
+
+
.
Подставив выражения (3.103) – (3.107) в (3.122), получим:
2
+
(3.122)
( )
xT
τ
=τ
erf
+
erf
+
erf
+
erf ,0,
λπ
2
2
2
2
′
−−
ххh
τ
а
′
++
ххh
τ
а
′
+−
ххh
τ
а
′
)(
−+
ххhqа
−
τ
а
)(
)(
)(
−
−
−
−−
2
а
++
2
а
+−
2
а
−+
2
а
′
)(
ххh
Ei
5,05,05,05,05,0
τπ
′
)(
ххh
Ei
5,05,05,05,05,0
τπ
′
)(
ххh
Ei
5,05,05,05,05,0
τπ
′
)(
ххh
Ei
5,05,05,05,05,05,0
τπ
( )
−
4
( )
−
4
( )
−
4
( )
−
4
2
′
)(
−−
ххh
τ
а
2
′
)(
++
ххh
τ
а
2
′
)(
+−
ххh
τ
а
−+
ххh
τ
а
+
+
.
5,05,0
Значение для температуры поверхности z = 0 в точке с координатой
x от действия двух нагревателей для больших значений τ:
2
′
−+
)(
ххh
−
′
−−
)()(
ххh
ln
2
′
)(
−+−
ххh
h
+γ−+
( )
xT
hq
0
=τ
πλ
−
2
τ
а
++
h
−
)2ln( ,0,
2
h
′
)(
ххh
ln
−
2
h
′
−+
)(
ххh
ln
2
h
++
h
′
)(
−−+
ххh
h
′
ххh
−
ln
2
h
+−
ххh
h
′
)(
′
)(
2
+
(3.123)
22
−
(3.124)
.ln(2)424
51
Безразмерная температура в любой точке поверхности от действия
двух нагревателей для больших значений Fo:
′
1
)Fo,0,(
х
=Θ
π
′
))(1(
++
−
−
xx
2
′
))(1(
+−
xx
2
++
)Foln(2)2ln(424
−++γ−
′
))(1ln(
−
xx
2
′
++−
.))(1ln(
xx
))(1(
−+
xx
2
′
))(1(
−−
xx
2
2
′
))(1ln(
−
−+
xx
22
′
))(1ln(
−
−+−
xx
(3.125)
Найденные решения (3.122) – (3.125) могут быть использованы для
нахождения теплофизических свойств материалов исследуемых объектов, а также для решения задач оптимизации измерительного устройства
при реализации метода неразрушающего определения ТФХ.
52
4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
r
z
z
R
С ИСПОЛЬЗОВАНИЯ КРУГЛОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА
4.1. МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА ОТ ПЛОСКОГО ИСТОЧНИКА ТЕПЛА В ВИДЕ КРУГА
Метод измерения ТФХ основан на физической модели, представленной на рис. 4.1. Тепловое воздействие на исследуемое тело, с равномерным начальным температурным распределением, осуществляется с
помощью нагревателя постоянной мощности, выполненного в виде круга
радиусом R. В эксперименте непосредственно фиксируется температура
нагревателя [62 – 66, 69, 72, 74 – 77].
Термоприемник
Изделие
Зонд
Нагреватель
q
r
Рис. 4.1. Схема тепловой системы
для метода с круглым нагревателем
(r, z – пространственные координаты)
Рис. 4.2. Схема теплопереноса
Проведем анализ данной системы. Для чего рассмотрим модель нестационарного теплопереноса от плоского источника тепла постоянной
мощности в виде круга. Получим выражение, определяющее развитие
температурного поля от круглого ограниченного плоского нагревателя в
полупространстве (рис. 4.2). Воспользуемся методом источников [2, 7].
Известно, что температурное поле от мгновенного точечного источника
тепла, действующего в неограниченной среде, будет определяться следующим выражением [7]:
м
),,,(
( )
ac
2
Q
=τ
zyxT
−
exp
3
τπρ
2
1
2
1
τ
a
4
2
−+−+−
zzyyxx
)()()(
1
,
где Q – количество тепла; x, y, z – координаты точки тела; τ – время; x1,
y1, z1 – координаты точки действия мгновенного источника тепла; сρ –
объемная теплоемкость; a – температуропроводность.
В цилиндрических координатах, с учетом того, что z
= 0 и тело по-
1
луограниченное, это выражение записывается следующим образом:
53
м
(
)
),,,(
( )
ac
2
Q
2
=τϕ
zrT
−
exp
3
τπρ
22
1
τ
a
4
2
+ϕ−ϕ−+
zrrrr
)cos(2
11
, (4.1)
где r, ϕ – координаты точки тела; r1, ϕ1 – координаты точки действия
мгновенного источника тепла.
Решение задачи о распространении тепла от плоского нагревателя в
виде круга радиусом R, создающего на поверхности полуограниченного
тела тепловой поток q, можно найти интегрированием функции (4.1), перейдя предварительно к элементарному источнику:
q
,z,τr,dT
)(
=ϕ
2
( )
( )
uac
τπ2ρ
−
exp
−
3
22
1
cos2
−
( )
uτa
)(4
2
zrrrr
+ϕ−ϕ−+
11
ϕ
,
dudrdr
111
где u – параметр интегрирования.
Проинтегрировав это выражение, получим формулу, определяющую
закон распространения тепла от круглого нагревателя:
−
exp
τ π
R
2
=τ
),,(
zrT
q
( )
πρ
2
ac
3
∫ ∫ ∫
0 020
22
1
( )
4
−
cos2
( )
3
uτ
−
uτa
2
2
+ϕ−ϕ−+
zrrrr
11
ϕ
dudrdr
111
Выполнив замену переменных и с учетом того, что [85]
π012
( )
[ ]
∫
0
cosexp =ϕϕ−ϕ
1
( )
xIdx
,
можем записать
222
1
au
++
zrr
rr
1
I
0
au
2
dudrr
, (4.2)
11
( )
z,r,T
τ
=
q
π22
( )
ac
π2ρ
−
exp
τ R
∫∫
3
0 0
4
3
2
u
.
где I0[x] – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого
порядка.
Для точек, лежащих на оси z(r = 0), будем иметь
22
−
exp
τ R
∫∫
0 0
u
q
( )
=
τz,,T
0
54
π22
( )
ac
π2ρ
3
+
zr
1
au
4
dudrr
.
3
2
11
С учетом того, что
[
]
R
r
exp
1
∫
0
2
r
1
−
1
au
4
audr
exp12
2
R
−−=
,
au
4
можем записать
22
z
−
au
4
du
.
( )
τz,,T
0
=
aπq
222
( )
πacρ
2
τ
∫
3
0
−−
exp1
R
exp
au
4
1
2
u
Рассмотрим интеграл
k
=
y
1
X
0
exp
2
x
2
k
−
x
1
2
x
dx
=
2
k
=
x
2
y
dy
2
−=
kdx
2
3
y
<<
0
Xx
k
>>∞
y
∞
=
k
2
∫∫
k
X
exp
2
[ ]
−
y
2
y
dy
=
dv
v
exp
[ ]
−=
dy
=
y
exp2
−=
2
yu
2
[ ]
−−=
1
y
=
2
yydu
X
∞
2
−
y
exp
−=
k
2
y
π=
X
k
X
k
X
∞
∫
k
X
.ierfc2
2
[ ]
Xdyyk
2
k
−
−=−−
X
k
erfcπ2exp2exp4
k
=
X
С учетом последнего выражения можем окончательно записать
формулу, определяющую закономерности распространения тепла от
круглого плоского нагревателя в полупространстве по оси z [2, 32], т.е.
τ
2
=τ
zT
),,0(
ierfc
λ
zaq
τ
a
2
−
ierfc
2
22
+
zR
. (4.3)
τ
a
Температура центра нагревателя (r = 0, z = 0) будет определяться
выражением
τ
12
T
=τ
),0,0(
λ
π
−
ierfc
Raq
. (4.4)
τ
a
2
55
Рассмотрим поведение данной функции при больших и малых зна-
λ
x
R
чениях τ. При малых τ величина
ierfc
R
τ
2
a
1
<<
и ею можно пренеб-
π
речь. С учетом того, что
=ε
(ε – тепловая активность материала),
a
при малых значениях τ выражение (4.4) принимает вид
),0,0( . (4.5)
τ≈τqT2
πε
Для анализа выражения (4.4) при больших τ представим его в виде
τ
2
T
=τ
),0,0(
λ
π
exp1
2
RaqR
−−
τ
a
4
+
erfc
R
. (4.6)
τ
a
2
Тогда в области больших τ имеет место
T
≈τ
−
1),0,0( . (4.7)
λ
RqR
τπ
a
2
Зависимости средней по нагревателю температуры S при малых и
больших τ будут соответственно:
)( , (4.7, а)
τ≈τqS2
πε
42
≈τ
S
)( . (4.7, б)
−
πλ
3
RqR
τπ
a
4
Рассмотрим закономерности развития тепловых процессов в плоском (рис. 4.3) и в сферическом (рис. 4.4) полупространствах.
В случае плоского полупространства (рис. 4.3) температура ограничивающей поверхностности (x = 0) при действии источника тепла посто-
q
q
п
сф
сф
r
Рис. 4.3. Плоское Рис. 4.4. Сферическое
полупространство полупространство
56
янной мощности qпл будет определяться выражением [7]
q
н
x
λ
,а,
ε
пл
πε
τ
2
пл
=τ
),0(qT . (4.8)
В случае сферического полупространства (рис. 4.4) температура поверхности (r = Rсф), где действует источник тепла постоянной мощности,
определяется формулой [2, 8]
Rq
сфсф
=τ
RT
фсф
c
λ
a
−
R
сф
τ
erfcexp1),(
2
τ
a
. (4.9)
2
R
сф
При больших τ это выражение имеет вид
RRq
≈τ
RT
сфсф
−
1),(
λ
сфсфсф
. (4.10)
τπ
a
Сравнив выражения (4.5), (4.7, а), (4.8) и (4.7), (4.7, б), (4.10), можно
сделать вывод о том, что при малых τ развитие теплового процесса на
начальной стадии от ограниченного плоского нагревателя будет аналогично развитию теплового процесса в плоском полупространстве, а при
больших τ – аналогично процессам, протекающим в сферическом полупространстве.
В реальном эксперименте на тепловой процесс будут оказывать
влияние не только ТФХ исследуемого материала, но и некоторые другие
факторы. Отметим наиболее важные из них. Это – теплоотдача в материал зонда, теплоемкость нагревателя и термические сопротивления. Для
получения расчетных выражений при определении ТФХ исследуемых
материалов с учетом данных факторов воспользуемся приведенной выше
аналогией тепловых процессов, т.е., для учета теплоемкости нагревателя
и теплоотдачи в материал зонда на начальной стадии развития теплового
процесса будем рассматривать задачу о распространении тепла в плоском полупространстве, а
c
при больших τ будем считать, что нагреватель
представляет собой полусферу (или сферу).
С целью учета теплоемкости нагревателя на
начальной стадии решим следующую задачу.
Задача. Дано полуограниченное тело при
температуре Т(х, 0) = 0. На ограничивающей
поверхности постоянно действует источник тепла с удельной поверхностной мощностью q,
имеющий теплоемкость с
(рис. 4.5). Требуется
н
найти распределение температурного поля в
данной системе в любой момент времени.
Рис. 4.5. Схема
теплопереноса от
поверхностного
источника тепла
57
В математической форме эта задача записывается следующим образом:
()(
)
(
)
τ
∂
τ
∂
x
τ∂
x, T
∂τ
2
τ∂
x, T
=
a
∂
x
2
( )
00
≥τ≥
,x,
; (4.11)
начальные условия: Т(х, 0) = 0; (4.12)
граничные условия: Т(∞, τ) = 0; (4.13)
),0(,0
T
λ−
∂
T
−=
cq
н
. (4.14)
∂τ
Применив преобразование Лапласа к уравнению (4.11) с учетом
(4.12), получим дифференциальное уравнение
2
),(
),(
apxpT =
dx
pxTd
.
2
Решение его можно записать в виде
= x
ApxT expexp),(
p
a
−+
Bx
p
.
a
С учетом условия (4.13) постоянная A = 0. Постоянную B найдем из
условия (4.14), которое в области преобразования Лапласа примет вид
)0(
q
dx
p,dT
н
p
λ −=−
)0(
p,pTc
.
В результате получим решение задачи, преобразованное по Лапласу:
x
p
a
.
ε
+
pp
c
н
( )
,
pxT
−
exp
q
=
c
н
2/3
Выполнив обратное преобразование Лапласа, получим следующее
выражение:
( )
,
xT
+
τ
ierfc
ε
н
xq
−
2
τ
a
ε
2
ε
xqc
ac
erfcexp
τ
+
2
c
н
2
=τ
ε
н
2
ε
erfc
xqc
+
2
τ
a
ε
x
+
c
τ
a
,
τ
н
н
2
2
или для поверхностного слоя (х = 0):
2
τ
T
( )
2
=τ
,0
−
πε
58
qcqcq
н
+
2
ε
ε
ε
н
2
τ
erfcexp
2
c
н
ε
τ
. (4.15)
c
н
В области больших значений
ε
()(
)
τ
∂
τ
∂
r
q
r
R
λ
,а,
ε
τ
зависимость (4.15) преобразу-
c
н
ется к виду
2
τ=τqcq
( )
,0
T . (4.16)
н
−
2
πε
ε
Для учета теплоотдачи в материал зонда воспользуемся известной
формулой о распределении тепла в системе, состоящей из двух полуограниченных тел, находящихся в идеальном тепловом контакте, и на границе раздела которых действует источник тепла постоянной мощности
[7]. Температура границы раздела такой системы будет определяться выражением [7]
=τ
( )
q
, (4.17)
πε+ε
21
( )
,0T
τ
2
где ε1, ε2 – тепловые активности соответственно первого и второго из
контактирующих тел.
Таким образом, теплоемкость нагревателя и
теплоотдача в материал зонда на начальной ста-
c
н
дии учитываются уравнениями (4.15) и (4.17).
Рассмотрим влияние теплоемкости нагревателя на ход развития теплового процесса при
больших τ с помощью следующей задачи.
Задача. Тепловая система (рис. 4.6) представляет собой полуограниченное тело при температуре Т(х, 0) = 0, на полусферической поверхности (радиуса R) которого постоянно действует
источник тепла с удельной поверхностной мощностью q и теплоемкостью сн. Требуется найти
распределение температурного поля в данной
системе в любой момент времени. Математически
Рис. 4.6. Схема
теплопереноса от
полусферического
источника тепла
задача может быть записана в следующем виде:
2
( ) ( )
τ∂
r,T
∂τ
начальные условия: Т(r, 0) = 0; (4.19)
=
a
τ∂
rT
+
2
∂
r
r
,2,)(
τ∂
rT
( )
∂
r
Rr
0,,
≥τ≥
; (4.18)
граничные условия: Т(∞, τ)=0; (4.20)
,,
RT
λ−
∂
−=
RT
cq
н
. (4.21)
∂τ
59
Для решения задачи также используем метод преобразования Лап-
(
)
[
]
(
)
[
]
[
]
λ
ε
λ
ε
ласа. Представим (4.18) в виде
rrT
τ∂
∂τ
и преобразуем его по Лапласу, т.е.
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
A
prT expexp),(
r
2
,,
rrT
a
=
),(
aprprT =
p
−= r
r
a
τ∂
2
r
∂
2
+
dr
B
r
),(
prrTd
. (4.21, а)
2
p
a
.
Постоянная B = 0 (по условию (4.20)), а постоянную A найдем из
выражения (4.21), которое в области преобразований Лапласа имеет вид
),(
q
pRdT
dr
В результате получаем решение дифференциального уравнения (4.21, а)
−=λ−
н
p
( )
exp
( )
=
,
prT
r
н
−−
RrqR
ε
+
prpc
+
p
c
Переходя от изображения к оригина-
p
a
Rc
),(
pRpTc
.
.
λ
нн
лу, запишем выражение для температуры
поверхности полусферической полости
, а2,
2
2
2R
q
, а1,
1
1
Рис. 4.7. Схема теплопереноса
от сферического источника
тепла
(r = R), используя разложение erfc(x) в
степенной ряд для больших τ:
( )
RT 1,
Отсюда можно сделать вывод о том
(см. (4.7) и (4.10)), что теплоемкостью
=τ
−
λ
RqR
τπ
a
нагревателя при больших τ можно пренебречь.
. (4.21, б)
60