Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Многомодельные методы в микропроцессорных системах неразрушающего контроля теплофизических характеристик материалов. Учебное пособие.pdf
(
)
τ∂
(
)
(
)
τ
∂
(
)
τ
∂
(
)
(
)
(
)
(
)
,0,
С учетом того, что
в тело 1,
( ) ( )
τ∂
S ,0,,0
1
λ− dx
1
∂
y
2
λ−
2
∞
λ−=
∫
∞−
1
λ−
1
τ∂
,0,
– тепловой поток, поступающий в тело 2, а
yxT∂
xT
1
1
∂
y
– есть тепловой поток, поступающий
yxT∂
τ∂
и
( ) ( )
S 0,0
2
λ− dx
2
∂
y
∞
τ∂
∂
−=
λ
2
∫
∞−
τ,x,T
2
∂
y
есть количество мощности, идущее на нагрев тела 1 и тела 2 соответственно, т.е. (см. (3.40, б)), можно записать:
,0
S
1
λ−
1
∂
q
=
,
λ−
y
10
,0
S
2
2
∂
q
=
. (3.66)
y
20
Таким образом, решив систему (3.59) – (3.65), и затем, найдя
τ∂λ−,0
1
1
и
yS∂
2
τ∂λ−,0
2
, мы получим условие, при выполнении ко-
yS∂
торого утечками тепла в материал зонда можно пренебречь. Заметим
также, что в эту систему не входит размер нагревателя, а в правую часть
выражения (3.65) входит величина q0 (мощность на единицу длины нагревателя). Отсюда можно сделать вывод о том, что система (3.59) –
(3.65) также будет описывать процессы и для идеального линейного источника тепла (2h → 0).
Задача (3.59) – (3.65) эквивалентна задаче о нагреве двух полуограниченных тел, в плоскости контакта которых действует плоский источник тепла постоянной мощности [7]. Решение такой задачи может быть
записано в следующем виде [7, 50]:
( )
yS
1
,
2
q
=τ
( )
τ
0
ierfc
ε+ε
21
y
;
( )
τ
2
a
1
yS
2
,
2
q
=τ
( )
0
ε+ε
τ
ierfc
21
y
. (3.67)
τ
2
a
2
Следовательно,
2
ε
=
( )
q
10
;
q
ε+ε
21
S
2
λ−=
220
∂
y
q
λ−=
110
∂
y
,0
τ∂
S
1
,0
τ∂
2
=
( )
q
ε
20
ε+ε
21
. (3.68)
С учетом (3.40, б), получим выражение, при выполнении которого
утечками тепла в материал зонда можно пренебречь,
q
ε
20
2
1
<<
=
ε
q
10
, (3.69)
1
где ε1, ε2 – тепловые активности исследуемого образца и материала зонда
соответственно.
При получении условия (3.69) предполагалось, что тела 1 и 2 находятся в идеальном тепловом контакте. Однако, в действительности между
зондом и исследуемым образцом в плоскости контакта всегда будут при-
41
сутствовать термические сопротивления. Причем, эти термические со-
(
)
rqr
τ
(
)
(
)
()(
)
0
противления в области нагревателя будут значительно ниже, чем в области соприкосновения материала зонда и исследуемого материала, т.е. условие (3.69) будет завышенным. В связи с этим представляет интерес
получить выражение (3.40, б) при условии, что тепловые потери в материал зонда происходят только в области нагревателя.
Прежде всего, отметим, что ТФХ материала определяются на участке термограммы, соответствующей установившемуся стационарному полю тепловых потоков в системе (регуляризация теплового режима опыта).
Действительно,
( )
rq
,
,
∂
( )
(3.25) см.
λ−=τ
0
==
(3.70)
π
rT
и, следовательно, не зависит от τ.
Найдем стационарное поле тепловых потоков в системе зонднагреватель-образец при условии, что тепловые потери в материал зонда
происходят только в области нагревателя (см. рис. 3.14).
Задача. Два полуограниченных
тела находятся в контакте. Соприкасающиеся поверхности тел теплоизолированы (см. рис. 3.14). В плоскости
q
λ
, a2,
2
ε
с
,
2ρ2
2
λ1, a1,
ε
с
,
1ρ1
1
Рис. 3.14 Схема для нагревателя,
действующего в плоскости
контакта двух
полуограниченных тел
2R
T
2
r
T
1
контакта действует линейный источник тепла постоянной мощности в
виде цилиндра радиуса R. Мощность,
выделяющаяся на единицу площади
нагревателя, равна
q
(или через
0
мощность на единицу длины нагрева-
q
теля –
qπ=
0
0
(см. рис. 3.14)). То-
R
2
гда температурное поле в любой момент времени в данной системе будет
определяться решением следующей
математической задачи:
rT
τ∂
r
∂
( )
yT
1
a ∂
∂τ
1
( )
yT
2
∂τ
a ∂
2
τ∂,,1
=
∂
r
τ∂,,1
=
1
r
∂
, τ ≥ 0, r ≥ R; (3.71)
rr
τ∂
rT
2
∂
r
, τ ≥ 0, r ≥ R; (3.72)
rr
00,0,
== rTrT
21
; (3.73)
42
()(
)
∞→=τ=τ rrTrT ,0,,
(
)
r
τ
∂
(
)
r
τ
∂
()(
)
()(
)
()(
)
21
,
RT
1
λ−
1
∂
RT
2
λ−
2
∂
q
=
10
,
q
=
20
qqRqR =π+π
02010
τ=τ ,,
RTRT
21
; (3.74)
; (3.75)
; (3.76)
; (3.77)
. (3.78)
Применив преобразование Лапласа к (3.71), (3.72), с учетом (3.73),
получим
2
,
prTd
1
2
dr
2
2
dr
1
r
r,pTd
1
2
r
,
prdT
1
LL
dr
2
LL
dr
p
( )
1
L
a
1
r,pdT
p
2
L
a
2
( )
0,
=−+ prT
, (3.79)
0
=−+ r,pT
. (3.80)
Общие решения дифференциальных уравнений (3.79) и (3.80) (урав-
нений Бесселя) имеют вид
( )
= r
,
L
p
IAprT
011
a
1
+
p
KBr
01
; (3.81)
a
1
( )
= r
,
L
p
IAprT
022
a
2
+
p
KBr
02
, (3.82)
a
2
где I0[x] – модифицированная функция Бесселя 1-го рода 0-го порядка,
K0[x] – модифицированная функция Бесселя 2-го рода 0-го порядка.
Из выражения (3.74) следует, что A1 = A2 = 0. Тогда выражения
(3.81), (3.82) принимают следующий вид:
( )
= r
,
L
( )
= r
,
L
p
KBprT
011
KBprT
022
; (3.83)
a
1
p
. (3.84)
a
2
43
Коэффициенты B1, B2 определим из условий (3.75) – (3.78):
p
BR
λπ
11
a
1
p
K
1
a
1
p
KB
01
a
1
BRr
λπ+
22
=
KBr
02
p
K
1
a
2
p
r
a
2
p
a
q
0
r
=
,
p
2
.
Решив эту систему относительно B1 и B2, получим
Kq
00
=
B
1
3
2
επ
KRp
11
p
KR
a
1
p
0
a
2
Kq
00
=
B
2
3
2
επ
KRp
11
p
KR
a
1
p
0
a
2
p
R
a
2
p
a
1
ε+
KR
12
R
ε+
KR
12
p
KR
0
a
2
p
a
2
a
p
KR
0
a
1
p
1
R
R
; (3.85)
. (3.86)
Подставив выражения (3.85), (3.86) в формулы (3.83), (3.84), полу-
чим решение задачи (3.71) – (3.78) в области преобразований Лапласа:
p
R
a
2
ε+
KR
12
p
KR
a
0
2
;
p
R
a
1
( )
1
p
Kq
00
=
prT
,
3
2
επ
p
KRp
11
a
KR
0
1
Kr
0
a
a
1
p
2
(3.87)
( )
2
p
Kq
00
=
prT
,
3
2
επ
KRp
11
p
KR
a
0
1
a
2
p
a
2
p
Kr
R
0
a
1
ε+
KR
12
p
KR
a
0
2
p
R
a
1
(3.88)
и выражения для определения поля тепловых потоков
44
()()()()(
)
p
R
a
2
KR
12
ε+
KR
p
a
2
p
R
a
1
p
12
a
2
p
KR
R
0
a
1
p
KR
0
a
1
( )
1
( )
2
ε
=
prq
,
prq
,
επ
KRp
11
=
3
2
επ
KRp
p
KR
a
1
p
11
a
1
p
Kq
110
0
ε
Kq
120
KR
0
Kr
0
a
p
a
2
a
1
ε+
p
Kr
0
a
2
p
2
Воспользовавшись предельной теоремой [7], определим стационар-
ное распределение тепловых потоков в рассматриваемой системе
,lim,lim
==τ=
prqprqrq
11
0p
→
επ
p
KR
11
a
1
1
0
→∞→τ
p
ε
KR
p
a
p
2
=
Kr
1
ε+
λ
q
( )
r
0
KR
10
λ+λπ
Kq
110
0
a
( )
rq
1
p
R
a
2
12
21
p
a
2
. (3.91)
p
KR
R
0
a
1
Аналогично, для выражения (3.90) можно записать
λ
q
( )
=
rq
2
20
( )
r
. (3.92)
λ+λπ
21
Мощности, поступающие на нагрев тела 1 тела 2, будут определять-
ся по формулам
λ
q
110
220
( )
RqRq
( )
RqRq
=π=
=π=
10
( )
λ+λπ
21
λ
q
20
( )
λ+λπ
21
, (3.93)
. (3.94)
Условие (3.40) принимает вид
q
λ
20
2
1
<<
=
λ
q
10
. (3.95)
1
R
;(3.89)
.
(3.90)
;lim=
45
Уравнения (3.91), (3.92) позволяют найти распределение температу-
()()(
)
(
)
r
τ
∂
(
)
′
C
тп
ры в образце и зонде относительно температуры нагревателя (в данной
системе нет установившегося стационарного температурного поля).
В случае r = R
,, TRTRT
τ=τ=τ
,
н21
где Tн(τ) – температура нагревателя.
С учетом того, что
rT
,
( )
rq
и
rq
определяется из (3.91), можем записать, предварительно проин-
1
1
λ−=
11
(3.96)
∂
тегрировав (3.96) от R до r, для тела 1
( ) ( )
TrT ln,
1
н
−τ=τ
( )
q
0
λ+λπ
r
, (3.97)
R
21
и для тела 2
( ) ( )
2
TrT ln,
н
( )
λ+λπ
q
0
−τ=τ
r
. (3.98)
R
21
Как видно из выражений (3.97) и (3.98), температуры 1-го и 2-го те-
ла в области контакта будут с течением времени сближаться.
3.3.2.4. Влияние термических сопротивлений
С учетом того, что измерения проводятся при установившемся стационарном поле тепловых потоков, а также считая, что выполняются условия (3.69), (3.95) (т.е. пренебрегаем тепловыми потерями в материал
зонда), можем записать для расчетной области термограммы [72]:
q
T ∆−
=
тп
2
πλ
4
a
0
ln
r
τ
T
γ−
2
, (3.99)
тс
где Tтп – температура термоприемни-
q
b
c
λ
0
тс
λ
r
, a
Рис. 3.15. Схема расположения
термоприемника и нагревателя
ка; ∆Tтс – разность между температурой термоприемника и температурой
поверхности образца (рис. 3.15).
Значение ∆Tтс можно предста-
вить в виде
RqT′=∆
,
тстс
где
q
– тепловой поток между тер-
моприемником и образцом; Rтс – термическое сопротивление между термоприемником и образцом, равное
46
R
′
(
)
(
)
∆
∂
2
′
∆
тс
;
λ
тс
c
=
здесь с – толщина слоя между термоприемником и образцом; λтс – теплопроводность материала слоя.
Величину Rтс можно считать постоянной в течение всего опыта.
Найдем приближенное значение
q
. Если можно пренебречь утечками
тепла в материал зонда (условия (3.69), (3.95)), то все тепло, поступающее к термоприемнику, идет только на его разогрев. Тогда
′
=
q
b
∂τ
=
∂
C
q
CT
0
тптптп
πλτ
2
b
∆∂
T
тп
−
, (3.100)
∂τ
где Cтп – теплоемкость единицы длины термопары.
Tq
Очевидно, что
πλτ
тс0
>
, так как в противном случае проис-
∂τ
ходило бы не нагревание, а остывание термоприемника. С другой сторо-
q
ны, из выражения (3.100) видно, что
области термограммы
0≈
q
, и
q
0
=
T
тп
ln
πλ
2
lim
4
r
0
0
→
, т.е. в расчетной
∞→τ
2
πλτ
τ
a
γ−
2
при выполнении условия
T
( )
,
τ
rT
≈
Cc
тптп
4
τ
a
ln
τλ
b
тс
2
r
1
<<
. (3.101)
γ−
Отметим, что выражение (3.101) будет корректным только при малых значениях термических сопротивлений между образцом и термоприемником.
Из выражений (3.99) и (3.100) видно, что там, где условие (3.101) не
выполняется, вид зависимости температуры от времени в точке измерения (термограммы) будет отличен от вида уравнений (3.25), (3.28), (3.33).
В методе учитываются только те точки термограммы, где эти зависимости выполняются.
По результатам анализа точности измерения ТФХ разработанным
методом, можно сделать следующие выводы.
1. Расчет случайной составляющей погрешности определения ТФХ
следует проводить на основе формул (3.19) – (3.22).
47
2. Нижняя граница определения ТФХ по разработанному методу определяется тепловыми свойствами материала зонда. Условия, когда тепловыми потерями в зонд можно пренебречь, имеют вид (3.69), (3.95).
3. Теплоемкости нагревателя и термоприемников, а также термические сопротивления должны быть таковыми, чтобы выполнялись условия
(3.40), (3.101). В этом случае данными факторами в расчетной области
термограммы можно пренебречь.
4. Конечность размеров нагревателя не влияет на точность определения ТФХ в случае, если постоянные прибора определяются на основе
градуировочных экспериментов.
3.4. ОБОСНОВАНИЕ ПРОЦЕССА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ОТ ДВУХ ЛИНЕЙНЫХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА
Тепловая схема, в которой применены два нагревателя (рис. 3.16, а),
имеет ряд преимуществ по сравнению с тепловой схемой с одним нагревателем (рис. 3.16, б). В методе, использующем схему с двумя нагревателями, во-первых, существенно снимаются ограничения на толщину исследуемого образца; во-вторых, возможно увеличение сигнала на термоприемнике, располагающемся между нагревателями без значительного
увеличения напряжения на нагревателях [21, 25].
Известное решение задачи теплопроводности при распространении
тепла от одного линейного источника тепла постоянной мощности имеет
вид [2]:
( )
,0,
xT
−
2
qа
=τ
+
а
λπ
xh
−
5,05,05,0
τπ
+
xh
а
( ) ( )
+
4
а
+
erferf
π
2
xh
−
τ
2
−
xh
22
а
−
xh
τπ
а
−
5,05,05,05,05,0
π
−
−
EiEi
5,05,05,0
4
а
2
xh
(3.102)
,
τ
5,05,0
τ
а) б)
Рис. 3.16. Тепловые схемы метода при воздействии двух линейных
48
нагревателей (а) и одного линейного нагревателя (б)
в полуограниченном теле
где а – температуропроводность, м2/с; h – половина ширины полосы, м;
(
)
′
λ – теплопроводность, Вт/(м⋅К); q – плотность теплового потока, Вт/(м2);
)0, ,( τxТ
– температура в точки поверхности полуограниченного те-
ла, °С; τ – время, c; х – координата, м.
Введем следующие обозначения:
aτ
,Fo
=
(3.103)
2
h
,,
zxT
( )
Fo ,,
zx
=Θ
x =
z =
′
x′=
x
,
h
z
h
x
h
λ⋅τ
,
qh
(3.104)
(3.105)
,
(3.106)
.
(3.107)
Здесь Fo, ,х z – время и координаты в безразмерном представлении;
)Fo,0 ,(xΘ
– температура в безразмерном представлении;
x
– смещение
нагревателя относительно центра системы в безразмерном представлении.
Решение в безразмерном виде [3]:
5,0
Fo
)Fo,0 ,(
x
=Θ
π
1
−
+
( )
Fo2
π
1
+
erf
Ei
5,0
−
Fo2
( )
1
+
Fo4
1
−
xx
Fo2
1
−
( )
Fo2
π
−
,505,05,0
( )
1
−
Ei
−
5,0
2
xxxx
Fo4
(3.108)
.
erf
+
2
−
Распределение тепла в полуограниченном теле от действия двух линейных нагревателей может быть записано в виде прямой задачи теплопроводности:
τ∂
zхТ
τ∂
=
а
zхТ
2
∂
х
2
λ−
2
τ∂
+
τ∂
),,(
zхТ
∂
х
∂τ∂x
),,(),,(),,(
τ∂
zхТ
2
∂
z
; (3.110)
0)0,,( =zхT
<<
;0,0
=
),,0(
zТ
0
=
hx
=
(3.111)
;,
hxq
∞<<
;,0
хh
; (3.112)
>∞<<>τ
zх
0,00, ,
; (3.109)
49
∞→+=τ22,0)z, ,( zxxT
. (3.113)
Краевая задача (3.109) – (3.113) в безразмерном виде с учетом выражений (3.103) – (3.107):
2
)Fo, ,(
Θ∂
Fo
∂
Θ∂
=
zхzх
2
∂
х
Θ∂
−
2
)Fo, ,(
Θ∂
+
)Fo, ,(
zx
∂
=
z
)Fo, ,(
zх
2
∂
z
; (3.115)
0)0,,( =Θ zх
<<
;10,0
z
∂Θ∂х
x
=
;1,1
x
)Fo, ,0(
=
,0)Fo,,( zxzx
(3.116)
∞<<
;1,0
x
0
; (3.117)
22
∞→+=Θ
. (3.118)
>∞<<>
zх
По принципу суперпозиции решение краевой задачи (3.114) – (3.118):
+−
′
−Θ=Θ
′
+Θ+
)Fo,,()Fo,,()Fo,,( zххzххzх
, (3.119)
0,0 , 0Fo ,
; (3.114)
где
−
+
)Fo,,( zхх′−Θ
и
)Fo,,( zхх′+Θ
– значение безразмерной темпе-
ратуры в точках поверхности, расположенных относительно начала координат слева (–) и справа (+), соответственно.
Выражения для определения
−
)Fo,,( zхх′−Θ
и
+
)Fo,,( zхх′+Θ
получены из решения (3.108):
5,0
−
′
−Θ
хх
−+
−
( )
Fo2
π
)Fo,0,(
′
)(1
Ei
5,0
Fo
=
π
( )
−
erf
′
)(1
−+
Fo4
′
)(1
−+
Fo2
2
−
( )
erf
+
′
)(1
−−
Ei
5,0
Fo2
π
−−
xxxx
,505,05,0
Fo2
( )
−
′
)(1
−
−−
xxxxxxxx
Fo4
2
′
)(1
,
(3.120)
5,0
+
′
+Θ
хх
−
( )
Fo2
π
50
Fo
)Fo,0,(
=
π
′
)(1
++
Ei
−
5,0
erf
( )
++
Fo4
′
)(1
++
Fo2
2
′
)(1
−
erf
+
( )
Fo2
π
′
)(1
+−
5,0
Ei
+−
Fo2
−
′
)(1
xxxx
−
,505,05,0
( )
+−
xxxxxxxx
Fo4
2
′
)(1
.
(3.121)