Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы творчества в математике интеграционной механики
.pdf
3.2. ТИПОВЫЕ ПРИЕМЫ В КЛАССИЧЕСКИХ РАЗДЕЛАХ МАТЕМАТИКИ 71
Рис. 3.4. Линеаризация нелинейной характеристики сжатия двух тел; α0— участок
свободного движения двух тел; P
мальное смещение двух тел
— максимальная сила сжатия; α
max
max
— макси-
где x — продольная координата балки, y — перпендикулярное к направлению x перемещение сечения балки, y = f (x, t),F — площадь поперечного
сечения, EI
— изгибная жесткость балки.
x
Нам необходимо найти критическую силу сжатия балки при шарнирной заделке, не составляя уравнение движения с учетом продольной силы.
Разделяем переменные:
Y = X · T, (3.81)
получаем
1V
− k4X =0 (3.82)
X
2
¨
T + p
T =0, (3.83)
где
2
p
ρF
4
k
=
EI
.
x
При шарнирной заделке имеем граничное уравнение
sin kl =0,
откуда, внося дополнительную информацию
kl = πn,
72 ГЛАВА 3
имеем
2
p
πn
4n4
4
l
,
l
EI
x
·
. (3.83)
ρF
k =
π
=
Итак, нами решается задача с учетом силы P , но составлено уравнение
движения, где P =0.ЕслиP =0, то решение должно быть вида
4n4
EI
·
ρF
x
(1 − A),
π
2
=
p
4
l
где в значение A входит сила P .Знак«−» взят из физического понимания
задачи, при достижении критической силы P собственная частота равна нулю (динамический метод определения критической силы для оценки потери
устойчивости прямого бруса). Перепишем (3.83):
2
= k2· (k2· EIx)(1 − A),
ρF p
величина A — безразмерная, поэтому
A =
P
k2· EI
.
x
Из условия 1 − A =0получаем
2n2
π
EI
=
P
kp.
x
. (3.84)
2
l
Знание физики процесса, понимание, что A — величина безразмерная, и
необходимость получения опорной информации при P =0позволили получить решение (3.84), не составляя дифференциального уравнения поперечных колебаний балки с учетом продольной силы.
3.3. Системно-операторная математика и ее место в
интеграционной математике
Интеграционная математика входит составной частью в три уровня
интеграционной механики:
1. Классическая механика с типовыми приемами творчества.
2. Системно-операторная механика.
3.3. СИСТЕМНО-ОПЕРАТОРНАЯ МАТЕМАТИКА 73
3. Интеграционная механика объекта.
Кроме этих первых трех уровней, интеграционная механика имеет еще
три уровня. Интеграционная механика как синтез интеграционной математики (объектом является сама математика), интеграционной физики (объект — сама физика), интеграционной философии (объект — философия).
Эта интеграционная механика является четвертым уровнем развития нового подхода к единой науке математики, физики и философии.
Четвертый уровень интеграционной механики и входящую в нее интеграционную математику не будем рассматривать в данной работе. Математика интеграционной механики четвертого уровня включает: математику,
изучающую специфичные для математики проблемы (доказательства теорем, сходимость методов решения и т.д.); математическую физику; математизацию основных положений философии.
На пятом уровне интеграционной механики объектом являются различные физические объекты, поэтому продолжается специализация математики
для новых задач физики, философии и механики. На этом уровне появляются такие специфические науки, как математика синергетики, математика
«теории катастроф» и т.д.
Все новое, полученное в математике на всех пяти уровнях интеграционной механики, объединяется в математическую компоненту единой
физико-математической эвристики (шестой уровень) и поступает на вход
классической математики первого уровня интеграционной механики.
Одним из важных разделов математической науки являются нелинейные задачи с несамосопряженными операторами, для их решения затруднительно применять классический аппарат математики. Для технических задач
наибольшее затруднение представляет синтез нелинейных задач, некоторые
из которых являются нелинейными задачами с несамосопряженными операторами. По мнению автора, наиболее эффективными методами для этих
задач являются методы технического творчества, предусматривающие тщательный анализ исходной информации и специальные алгоритмы творчества.
Как видно из структуры интеграционной математики, автор не отказывается от методик классической математики, но необходимость синтеза
нелинейных задач с определенной степенью деформации модульных задач
в синтезированной задаче требует особой методики. Математика с типовыми приемами творчества и системно-операторная математика являются
ступеньками к пониманию интеграционной математики объекта.
В классической математике часто решение линейной задачи является одним из решений нелинейной задачи, например классическая задача
определения собственных частот колебаний математического маятника при
74 ГЛАВА 3
большом угле отклонения от исходного состояния. Системно-нелинейные
задачи требуют умения сжимать математическую информацию, этому способствует и системно-операторная математика, ознакомление с элементами
которой мы начинаем в этой главе. Системно-операторная механика рассмотрена автором в трех книгах [13, 14, 15], где получены интересные
результаты по компоновке основных положений классической механики.
В данной работе рассматриваются идеи понимания математики в целом, прежде всего для самостоятельного изучения инженерами прикладной
математики.
3.4. Элементы системно-операторной математики
Диалектические координаты
Диалектические координаты строятся на принципе инверсии (да — нет).
Это типичный прием классической механики, в частности классификация
связей: идеальные — неидеальные; голономные — неголономные; стационарные — нестационарные; удерживающие — неудерживающие.
Оператор диалектических координат рассмотрим на примерах: число;
величина; промежуток; функция. На рис. 3.5 это условно представлено пересекающимися в одной точке прямыми, имеющими одинаковые обозначения.
Число представим через диалектические координаты: 1) целое — нецелое; 2) положительное — неположительное; 3) вещественное — мнимое;
4) рациональное — иррациональное; 5) философское — нефилософское. Пояснения требует только последнее понятие философского числа.
Под философским числом понимаем обычное комплексное число, где
осуществляется синтез действительной и мнимой части числа.
Понятию величины соответствует одна диалектическая координата (постоянная — непостоянная).
Промежуток дает три диалектические координаты (ограниченный —
неограниченный; без точек бифуркации — с точками бифуркации; идеальный — неидеальный). Идеальный промежуток гарантирует решение задачи
и отсутствие потери информации для искомой задачи. Понятие идеального промежутка включает в себя отрезок, где обязательно происходит смена
знака функции, но оно шире понятия отрезка, где определяется корень для
решения алгебраического уравнения.
Функция в диалектических координатах: 1) однозначная — многозначная; 2) явная — неявная; 3) простая — сложная; 4) линейная — нелинейная;
3.4. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМНО-ОПЕРАТОРНОЙ МАТЕМАТИКИ 75
Рис. 3.5. Диалектические координаты
5) возрастающая — убывающая; 6) однородная — неоднородная; 7) монотонная — немонотонная; 8) разрывная — неразрывная; 9) без точек бифуркации
— с точками бифуркации; 10) идеальная — неидеальная. В этом перечне
нетрадиционным является понятие идеальной и неидеальной функции. Понятие идеальной функции идет от оператора идеального решения. Идеальная функция должна быть простой, нести дополнительную информацию,
которую легко можно получить. Идеальная функция — более общее понятие
обобщенной функции. Идеальной функцией является однородная функция
любого числа переменных степени m, так как при умножении всех этих пе-
ременных на произвольную величину t функция умножается на t
m
[7, т. 1].
Для функции от двух переменных по определению однородной функции
имеем тождество
f(tx, ty)=t
m
· f(x, y). (3.85)
Очень важное следствие:
xf
(x, y)+yf
x
(x, y)=mf(x, y). (3.86)
y
Сумма произведений частных производных однородной функции на соответствующие переменные равна произведению самой функции на степень
ее однородности.
Базовые понятия простейших элементов системно-операторной
математики
Системно-операторная математика находится в стадии становления,
поэтому базовые понятия могут иметь разную интерпретацию, так как
в системно-операторной математике отсутствует классическая строгость,
присущая обычной математике.
76 ГЛАВА 3
Главной особенностью системно-операторной математики является ее
единство с физикой и философией, поэтому базовые понятия классической
математики претерпевают изменения.
Понятие числа
Математическая составляющая — постоянная безразмерная величина
числа. Физическая составляющая — размерное число. Комплексное число
a + bi является философским понятием числа, так как объединяет действительную и мнимую части числа.
Постоянная величина
Математическая составляющая — постоянная безразмерная величина.
Физическая составляющая — постоянная размерная величина. Философским понятием постоянного числа является понятие аналогии.
Знак «+»
Математическая составляющая — сложение величин. Физическая составляющая — увеличение количества при сохранении качества. Философская составляющая изменяет знак «+» на «+− », так как предполагает пере-
ход за область применения.
Знак «−»
Математическая составляющая «−» — вычитание величин. Физическая
составляющая «−» — уменьшение физической величины при сохранении
качества. Философская составляющая изменяет знак «−»на«−+»—«натя-
гивание» уменьшающейся информации на качественно новую информацию.
Аналогом знака «−» является прием инверсии.
Производная
Математическая составляющая понятия производной совпадает с классическим понятием.
Физическая составляющая — оператор Лапласа
Δ=
∂
∂x
2
2
∂
+
2
∂y
2
∂
+
∂z
.
2
2
Философская составляющая — вариация.
3.4. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМНО-ОПЕРАТОРНОЙ МАТЕМАТИКИ 77
Произведение
Математическая составляющая — умножение безразмерных величин.
Физическая составляющая — качественное изменение от умножения тех же
физических величин. В системном подходе это многократное применение
одного и того же приема.
Деление
Математическая составляющая — деление безразмерных величин. Физическая составляющая — деление размерных величин. Философская составляющая — деление на подсистемы.
Ноль
Математически это число, равное нулю. Физическая составляющая —
условие равновесия, условие сохранения величины. Философская составляющая — точка бифуркации решения.
Координаты
Математическая составляющая — удобство для математического анализа, поэтому это декартовые координаты, криволинейные и т. д. Физическая
составляющая — это естественные координаты, гармонические координаты
Фока и т. д. Философская составляющая — диалектические координаты.
Для ввода базового понятия мы использовали общий оператор информации. Можно воспользоваться другими операторами, но пока ограничимся
только отмеченными, не претендуя на окончательную формулировку этих
понятий.
Итак, в математике интеграционной механики не допускается отрыв
математики от физики, при этом появляется объемное представление простейших элементов.
Информационные рупоры
Информационные рупоры используются для сжатия информации.
Геометрический рупор
Физическая грань: декартовые координаты, криволинейные координаты, гармонические и т.д.
Математическая грань геометрического рупора — дифференциальная
геометрия. Системная грань геометрического рупора — алгебры, кольца,
абстрактные пространства.
78 ГЛАВА 3
Системный рупор обработки информации
Грань сжатия информации — матричное, тензорное, векторное исчисления.
Грань преобразования информации — оператор Лапласа, конформное
отображение, ряды Фурье и т.д.
Грань оптимизации поиска решения — идеальная теория, принцип декомпозиции, типовые приемы и т.д.
Математический экспериментальный рупор
Грани: теория вероятности; математическая статистика; планирование
эксперимента.
Математический рупор реализации
Грани: численная математика; аналитическая (учет физики объекта);
экспериментальная (интерполяционные формулы по эксперименту).
Математический рупор физики объекта
Математическая (грань рупора) — уравнения математической физики.
Физическая составляющая (грань учета особенности физики объекта) — специальные функции. Системная составляющая — принцип аналитического продолжения, конформное отображение.
Рупор оптимизации
Математическая грань — чисто математическая оптимизация функции.
Физическая грань — оптимизация с вводом физических дополнительных явлений.
Системная грань — оптимизация с вводом целевых функций.
Особенность всех рупоров — это наличие в них математической, физической и системной информации. Под системной информацией нами, как и
ранее, понимается обработка информации по приемам прикладной философии.
Квантовый вектор информации
Как ранее было отмечено, квантовый вектор информации сжимает и
компонует информацию и передает ее без изменения в виде импульса информации на задачи объекта исследования.
3.4. ЭЛЕМЕНТЫ СИСТЕМНО-ОПЕРАТОРНОЙ МАТЕМАТИКИ 79
Ограничимся двумя примерами, так как этого будет достаточно для
понимания идеи квантового вектора информации.
Основная теорема алгебры. Ограничимся теоремой Виета для кубического уравнения:
3
+ rx2+ sx + t =0 (3.87)
x
⎫
+ x2+ x3= −r
x
1
x
· x2+ x1· x3+ x2· x3= s
1
· x2· x3= −t
x
1
⎪
⎬
. (3.88)
⎪
⎭
Уравнение (3.87) представляет исходную информацию, ей эквивалентна система (3.88), но она представлена в виде своеобразных генов информации: выделенные искомые корни x
1,x2,x3
; система трех уравнений; в правой части исходных уравнений известная информация (r, s, t). Комбинация
генов информации создает квант вектора информации. Различие гена информации от кванта информации в том, что квант вектора информации не
изменяет саму общую информацию, но происходит «вспышка» понимания
импульса взаимосвязи внутренних «генов» информации.
Пример из вариационного исчисления. Рассмотрим простейший функ-
ционал [7]
J =
x
1
F (x, y, y)dx (3.89)
x
0
и заданные значения функции y(x) на концах промежутка интегрирования
y(x
)=y0; y(x1)=y1. (3.90)
0
Кривая y(x), дающая экстремум интегралу (3.89), должна удовлетво-
рять дифференциальному уравнению
d
F
−
y
=0. (3.91)
F
y
dx
Уравнение (3.91) в математике — уравнение Эйлера, в механике — уравнение Лагранжа второго рода, в электротехнике — уравнение Максвелла. Итак,
математически сжатая информация по аналогии передается на любой объект информации. Это может быть биологический, физический, химический
объект и т.д.
Для системно-операторной математики квантовый вектор информации
представляет основную суть математического сжатия и переработки информации, удобной для понимания физических задач.
80 ГЛАВА 3
Общий оператор информации нулевого действия и его варианты
Общий оператор нулевого действия имеет три компоненты: математическую, физическую и системную (прикладная философия). Если этот
оператор применяется в системно-операторной математике, то действие,
имеющее также три компоненты (математическая, физическая, системная),
позволяет учитывать объект применения оператора. На рис. 3.6 показано
формирование нулевого действия: математика — это постоянство соотношения; физика — сохранение состояния объекта; философия — сохранение действия в системном подходе. Общий оператор информации нулевого
действия единый для интеграционной механики, но когда рассматривается
системно-операторная математика, то он используется как общий оператор
информации при постоянстве соотношения количественной информации,
но при анализе уравнений математической физики он имеет и вариант физического постоянства действия — сохранение состояния объекта. Надо особо
ясно представить, что системно-операторная математика — это не классическая строго доказуемая математика, а наука изобретательства в математике
как часть физико-математической эвристики.
Физическая составляющая общего оператора информации нулевого
действия имеет в системно-операторной математике понятие сохранения
процесса, чаще всего физического. Общий оператор информации нулевого
действия может относиться как к внешней информации, так и к внутренней
информации (рис. 3.7).
Само действие может быть малым, и его сохранение создает новый
оператор информации малого действия. Сумма внутренних операторов малого действия создает общий внешний оператор малого действия (рис. 3.8).
Аналог оператора информации нулевого действия можно получить,
применив прием инверсии к оператору постоянства избирательной информации при изменении действия.
Сжатие информации в системно-операторной математике выполняется
специальными операторами:
Общий оператор информации нулевого действия выполняет сохранение действия:
— постоянство математического соотношения;
— постоянство физического действия и физического процесса;
— принятых принципов в системном подходе (аналогично принципу
освобождения от связей в классической механике).
— Внешний общий оператор информации нулевого действия.
— Внутренний общий оператор информации нулевого действия.
— Внутренний общий оператор информации малого действия.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]