Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы творчества в математике интеграционной механики
.pdf
1.2. ПРОБЛЕМЫ ВЗАИМОСВЯЗАННОСТИ МАТЕМАТИКИ 11
1.2. Проблемы взаимосвязанности математики с задачами
механики, физики, техники
Какие задачи решает математика, а какие старательно избегает? Широкое внедрение вычислительной техники позволило рассчитать и табулировать стандартные методы многих технических и физических задач. Давайте возьмем два простых стальных шарика, которые до соударения имеют
известные скорости движения. Найти чисто математически скорости этих
двух шариков после соударения не удается. Имеем одно уравнение сохранения количества движения и две неизвестные скорости. Если подвесить
на стержне шарик и принять, что масса переменна, длина стержня меняется в процессе колебания стержня с шариком и угол колебания не мал,
то в задаче одновременно будут псевдогармонические, квазигармонические
колебания и механика с переменными массами. Как решить такую задачу?
Задача реальная начинает упрощаться под возможности современной математики. На наш взгляд, современная математика, в том числе и численные
методы, решают весьма ограниченный класс задач. Без знания физических
характеристик двух шаров и проведения дополнительных экспериментов
нам не удастся математически решить задачу удара двух шаров.
Физика, механика «работают» с математикой в партнерстве, но одновременно они и соперники. Построена сложная конструкция (самолет,
ракета, автомобиль и т. д.), которая тщательно рассчитана по современным
методам, но экспериментальные исследования обязательны. Можно по экспериментальным данным построить интерполяционные функции, применить методы подобия и обойтись без классических численных расчетов,
проведение которых по времени может быть значительно больше, дороже,
чем прямое экспериментальное исследование.
На парадоксы современной математики обратил внимание И. Ф. Образцов [11]. Современные численные методы предназначены, прежде всего, для решения линейных задач. Нелинейные задачи составляют более
95 % всех необходимых для реализации задач, но только очень узкий класс
нелинейных задач соответствует возможностям современной математики.
О классификации линейных и нелинейных задач будет сказано в главе 2.
Основной проблемой, препятствующей получению законченности решения
в технических и физических задачах, является применение самосопряженных операторов для решения сложных нелинейных задач.
Знаменитый эффект Паркинсона позволил развить математику в столь
обширную науку, где польза для практиков в 1 % считается даром божьим.
Такие дисциплины, как гидравлика, газовая динамика, внешняя баллистика, аэродинамика являются системными дисциплинами, в которых ма-
12 ГЛАВА 1
тематика дает коэффициенты согласования от реального эксперимента в
модельное представление об объекте.
Хорошая научная дисциплина должна быть «интеллигентной», выполнив свою задачу, она должна раствориться, исчезнуть, составив ясные рекомендации по ее реализации. Чтобы математика была «интеллигентной», она
должна раствориться в объекте, учитывать так особенности объекта, чтобы
знать все его закоулки, быть не «госпожой» объекта, а слугой. При этом
практические решения необходимо получить путем простых рассуждений,
используя богатый набор приемов технического творчества.
Мы перечислили несколько проблем взаимосвязанности математики
с физикой, механикой, техникой, чтобы подчеркнуть основную цель интеграционной математики — ее «незаметность». Для этого нужна специальная структура единства математики, физики, философии, механики. Такой информационной структурой является пирамида (рис. 1.1). В объекте
несколько пирамид: математическая; физическая аналитическая; физическая экспериментальная; «идеальная» философия объекта; конструкторскоэксплуатационная. Данный подход позволяет снять первородство какойлибо из фундаментальных наук (математика, физика, философия) и прочно
связать их с конкретными техническими задачами.
Математический аппарат в классической механике, анализирующий
нелинейные задачи [12], обладает низкой эффективностью. Качественный
анализ весьма затруднителен даже для систем с двумя степенями свободы,
описывающей обычные линейные колебания [12].
Механика на многообразиях Арнольда [12] имеет яркую геометрическую интерпретацию; не отрицая ее значение в качественном анализе процесса, необходимо признать ее низкую эффективность для сложных задач.
Новое направление математики — некорректные задачи и методы их
решения [13] — обладает достаточно сложным аппаратом, чтобы быть эффективным в реальных технических задачах.
1.3. Проблемы изучения математики
Сложность изучения математики легко продемонстрировать по справочнику Г. Корн, Т. Корн [14]. Перечислим только главы этого справочника
по математике для научных работников: действительные и комплексные
числа, элементарная алгебра; аналитическая геометрия на плоскости; аналитическая геометрия в пространстве; функции и пределы, дифференциальное и интегральное исчисление; векторный анализ; системы криволинейных координат; функции комплексного переменного; преобразования
1.3. ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ 13
Рис. 1.1
Лапласа и другие интегральные преобразования; обыкновенные дифференциальные уравнения; дифференциальные уравнения с частными производными; максимумы и минимумы; современная (абстрактная) алгебра
и абстрактные пространства; матрицы, квадратичные и эрмитовы формы;
линейные векторные пространства и линейные преобразования (линейные
операторы), представление математических моделей матрицами; линейные
интегральные уравнения, краевые задачи о собственных значениях; представление математических моделей, тензорная алгебра и тензорный анализ;
дифференциальная геометрия; теория вероятностей и случайные процессы; математическая статистика; численные методы и конечные разности;
специальные функции. Классический курс математики В. И.Смирнова [15],
великолепная книга по теории матриц Ф. Р. Гантмахера [16], ясный по изложению курс по теории вероятности Е. С. Вентцель [17], добавим сюда книги
А. Н. Тихонова [18], И.Г.Петровского [19, 20], А. Г. Куроша [21] — все это
надо освоить и понять в системе. Если добавить классические книги по
численным методам решения задач, большое число книг по программированию, то изучение всей математики потребует такого количества времени
(к 50 годам человек проживает немногим более 18 000 дней), что у него
остается очень мало времени на применение математики. Где-то за горизонтом остаются учебники по теории упругости, колебаниям, устойчивости, инженерным дисциплинам. Возникает дилемма: много знать и ничего
не успевать сделать или, наоборот, мало знать, но много успеть сделать.
Очень важен совет писателя Анатоля Франса — «лучше знать мало, чем понимать плохо». На наш взгляд, возникает проблема изобретения математики
в процессе обучения. Интеграционная математика использует готовые приемы познания и должна скомпоновать математику, «сжать» информацию,
выделяя главные моменты и положения, проходящие через все разделы
математики.
14 ГЛАВА 1
Основной принцип обучения математике, как и дисциплинам механике,
биологии, химии, физике и т. д., в последовательном изучении дисциплины
от простых положений к сложным положениям дисциплины. Приемы «последовательной» педагогики удовлетворительны для слабых студентов. По
мнению автора, более эффективно изучение математики через «изобретение» известных знаний. Преподавание дисциплины в целом (от сложного
к простому и обратно) позволяет многократно повторить основные моменты дисциплины от 4 до 8 раз. Многолетний опыт автора преподавания
системно-операторной механики показал эффективность этой методики.
Список литературы к главе 1
1. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1990, 736 с.
2. Адамар Ж. Исследование психологии изобретения в области математики. М.: Сов. радио, 1970, 152 с.
3. Пойя Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975,
464 с.
4. Пойя Д. Математическое открытие. М.: Наука, 1976, 448 с.
5. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука,
1981, 448 с.
6. Альтшуллер Г. С. Алгоритм изобретения. М.: Моск. рабочий, 1973,
296 с.
7. Альтшуллер Г.С. Творчество как точная наука. М.: Сов. радио, 1979,
175 с.
8. Половинкин А. И. Основы инженерного творчества. М.: Машиностроение, 1988, 362 с.
9. Энгельс Ф. Диалектика природы. М., 1948, 330 с.
10. Полищук Д. Ф. Техническое творчество в механике. Системно-операторная
механика. Ижевск, Изд-во Удм. ун-та, 1993, 230 с.
11. Образцов И. Ф. О проблемах статики и динамики современных инженерных конструкций. Состояние вопроса, новые проблемы и перспективы // Проблемы прочности, 1982, N11, с. 3–11.
12. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1974, 432 с.
1.3. ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКИ 15
13. Тихонов А. Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.:
Наука, 1979, 288 с.
14. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968, 720 с.
15. Смирнов В. И. Курс высшей математики. М.: Гостехиздат, т. 1, 1951,
472 с.; т. 2, 1951, 627 с.; т. 3, часть I, 1951, 339 с.; часть II, 1950, 672 с.;
т. 4, 1951, 804 с.; т. 5, 1959, 655 с.
16. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966, 576 с.
17. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964, 576 с.
18. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.:
Наука, 1972, 735 с.
19. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений. М.: Гостехизд., 1952, 232 с.
20. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.:
Гостехиздат, 1953, 360 с.
21. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Гостехиздат, 1955, 379 с.
ГЛАВА 2
Методы творчества в интеграционной
механике
Внаукетупиковнет.
Тупики выдумывают бездельники.
Любая задача может быть решена
не тем, так другим путем.
Н.Е. Жуковский.
2.1. Типовые приемы творчества
Типовые приемы технического творчества оставим без изменения [1].
В технических задачах классификация приемов творчества проведена Повилейко Р.П. [2] в виде десятичной матрицы поиска, где из 428 приемов и
129 показателей выбраны 223 не дублированных приема и 95 показателей,
которые затем были скомпонованы по десяти основным группам. Основные
изобретательские приемы [2]:
• перенос (показателей, геометрических параметров и т.д.);
• адаптация (приспособление известных процессов, материалов и т.д.);
• мультипликация (умножение функций, умноженные системы остаются
подобными друг другу);
• дифференциация (разделение функций и элементов системы, повышается степень свободы взаимодействия);
• интеграция (объединение, совмещение, сокращение и упрощение функций и форм элементов);
• инверсия (обращение функций, форм и расположения элементов);
• импульсация (группа конструкторско-изобретательских приемов, кото-
рые связаны с прерывностью протекания процессов);
• динамизация (параметры элементов системы или всей системы должны
быть изменяющимися и оптимальными на каждом этапе);
2.1. ТИПОВЫЕ ПРИЕМЫ ТВОРЧЕСТВА 17
• аналогия (использование сходства, подобия в отношении каких-либо
систем, в целом различных);
• идеализация (представление идеального решения, от которого необходимо отталкиваться).
В механике рекомендации по организации математических задач приве-
дены в [3]: влияние не учитываемых факторов; простота и оптимальность;
определяющие параметры и число степеней свободы; иерархия переменных; контроль модели; внешнее и внутреннее правдоподобие. В работе [3]
наиболее интересными являются рассуждения в области устойчивости, где
не учитываемые факторы существенно влияют на устойчивость объекта.
Многочисленные ошибки в механике на конкретных примерах колебаний и
устойчивости балок и конструкций рассмотрены в [4, 5], но при этом целью
являются ошибки моделей, а не сами приемы. В работах по техническому
творчеству [6, 7] есть интересные приемы по организации «идеального решения».
Приемы, использующие в явном виде законы диалектики, разработаны
автором в аналитико-конструкторском алгоритме, который нашел применение в конкретных задачах динамики пружинных механизмов.
Опыт чтения курсов по интеграционной механике и методам творче-
ства в математике позволил выделить, дополнительно к приемам [1], прием
«решить задачу, не решая задачи». На это постоянно обращает внимание в
своих книгах [8, 9] Д. Пойя. Итак, типовые приемы творчества в математике
интеграционной механики:
1. Учет особенности каждой задачи.
2. Применение информации, заранее известной.
3. Управление решением с помощью дополнительной информации.
4. Использование аналогий.
5. Прием «вилки».
6. Принцип суперпозиции.
7. Принцип декомпозиции (деление сложных задач на ряд простых).
8. Инверсия (сделать наоборот, превратить «вред в пользу»).
9. Решить задачу, не решая задачи.
10. Многократное применение одного и того же приема, позволяющего
переносить комплекс решений.
11. Решение разных задач с различной степенью математической стро-
гости, с различными физическими моделями.
12. Разработка оптимальных методов на каждом этапе, которые каче-
ственно отличаются друг от друга.
18 ГЛАВА 2
13. Разработка модернизированных решений в механике, в математи-
ке — приближенных решений.
14. Разработка модуля управления решением сложной задачи.
15. Разработка модели «идеальной» теории.
16. Комплексный прием интеграционной механики.
Ранее в интеграционной механике [1] было 13 приемов, но приемы ис-
пользования известных отдельных приемов (принцип суперпозиции, принцип декомпозиции, прием вилки) записаны как отдельные приемы 5, 6, 7.
Прием учета особенности каждой задачи — это и есть классическая
классификация математических задач (алгебраические, дифференциальные,
интегральные и т.д.).
Применение приема информации, заранее известной, широко исполь-
зуется в решении уравнений математической физики. В частности, метод
Фурье для волнового уравнения с правой частью сводит решение к двум
независимым обыкновенным дифференциальным уравнениям, решение которых заранее известно.
Прием «управление решением с помощью дополнительной информа-
ции» включает в себя такие разделы прикладной механики, как газовая
динамика, гидравлика, теплотехника, термодинамика, теория удара в деформируемых и абсолютно твердых телах и т.д. Этот прием используется
для построения законченности модели. В этом смысл математики Декарта. Под математикой Декарта будем понимать математически замкнутую
задачу. Схема Декарта [9]:
1. Задача любого вида сводится к математической задаче.
2. Математическая задача любого вида сводится к алгебраической за-
даче.
3. Любая алгебраическая задача сводится к решению одного-единствен-
ного уравнения.
Можно оспаривать первое положение схемы Декарта, но замыкание
реальной математической задачи за счет физических допущений, гипотез,
экспериментальных явлений мы можем с достаточным основанием считать
математикой Декарта интеграционной механики.
Прием использования аналогии является одним из главных и наиболее
сильных средств математики. Лаплас в книге «Опыт философии теории вероятностей» утверждает: «В самой математике главные средства достигнуть
истины — индукция и аналогия» [8]. Но одновременно этот прием является
источником и серьезных ошибок. Прежде всего, из-за неучета особенности
задачи, когда внешне существует математическая аналогия, а физической
аналогии нет. Примеры этих ошибок приведены автором в монографии
[10].
2.2. СИСТЕМНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 19
Прием вилки широко используется в алгебраических уравнениях, в
приближенных методах решения задач на собственные значения, в теории
колебаний это методы Рэлея (оценка с плюсом) и метод Донкерлея (оценка
с минусом). Варианты приема вилки в математике разнообразны.
Прием «принципа суперпозиции» характерен для линейной механики,
в решении обыкновенных дифференциальных уравнений это соответствует
сложению решения однородного уравнения с частным решением неоднородного уравнения.
Прием «декомпозиции» часто используется в математической физи-
ке — это переход от уравнений математической физики к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Принцип «декомпозиции» предложен
Р. Декартом: «Расчлените каждую изучаемую вами задачу на столько частей,
на сколько сможете и на сколько это потребуется вам, чтобы их было легко
решать» [8, 11].
Прием инверсии очень разнообразен в математике. Есть метод Гибб-
са [8] составления плана в обратном направлении. Знаменитый математический метод рекурсии, когда члены ряда последовательно находятся один
за другим, поворачиваясь вспять, т. е. возвращаясь каждый раз к ранее найденным членам. Этот метод принадлежит Паскалю.
Прием «решить задачу, не решая задачи». По Декарту необходимо
«приучать наши глаза видеть истину ясно и четко» [8, 11]. По Пойя, «чтобы
решить задачу, надо знать ответ». В основе этого приема — создание образа
задачи, когда по части информации решается задача. Например, по знакам
коэффициентов алгебраического уравнения можно узнать число действительных и мнимых корней (теорема Штурма).
Все первые девять приемов интеграционной механики имеют прямые
аналогии в классической математике. Остальные семь приемов являются
более сложными и представляют элементы специфического комплексного приема, которые более подробно рассмотрим в прикладной философии
объекта. Этому посвящен отдельный параграф данной главы.
2.2. Системные операторы
Основные группы системных операторов
Системные операторы и приемы интеграционной механики можно раз-
бить на шесть групп:
— операторы информации общего анализа (общий оператор информа-
ции, оператор информации нулевого действия, оператор информации периодического нулевого действия);
20 ГЛАВА 2
— системные операторы количественной оценки (основной оператор
теоретической механики и ему подобные);
— операторы информационного канала (диалектическая система коор-
динат, информационная плоскость, информационная матрица, блок информационных матриц);
— операторы формирования информации (идеальная информация,
основная информация, информационный рупор, пирамида информации, нулевой вектор информации, обратный вектор информации, вектор информации в диалектическом противоречии, бифуркационные координаты, квантовый вектор информации, ген информации);
— комбинированные системные операторы (блок информационного по-
иска, модуль управления);
— оператор комплексного анализа объекта с учетом реальных конструк-
торских особенностей объекта (аналитико-конструкторский алгоритм).
Операторы информации общего анализа
Первая группа операторов информации общего анализа характеризует
качественный подход системного анализа. В этой группе операторов информации два: оператор информации общего плана, где не конкретизируется
сам объект, а предлагается рассмотреть формулу, закон, явление на основе трех компонент: математической, физической, системной (диалектическая логика, методы поиска новых идей на основе системного подхода). На
рис. 2.1 представлен данный оператор с его тремя компонентами.
Рис. 2.1. Оператор информации общего анализа
Второй оператор этой группы незначительно конкретизирован, т. е. опе-
ратор информации нулевого действия (рис. 2.2) имеет те же три компоненты,
но условия по каждой компоненте — равенство и равенство нулю. В каждом явлении, объекте, естественно, своя информация по условию равенства
и равенства нулю. Математическая компонента в теоретической механике:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]