Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы творчества в математике интеграционной механики
.pdf
4.9. ВЗАИМОСВЯЗАННОСТЬ ВИДОВ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ 121
бруса в расчетном диапазоне (табл. 4.1). Для двух опытных пружин приведены подробные расчетные и экспериментальные данные (табл. 4.2, табл. 4.3).
Своеобразный «концевой эффект» [12] по основной частоте продольных колебаний подтверждает эффект взаимосвязанных колебаний.
Таблица 4.1
i H0/D
Эквивалентный брус Винтовой брус
0
Эксперимент
3 1 8 10 10
4 1,32 9 14 14
5 1,65 13 19 19
Таблица 4.2. Сравнение аналитических и экспериментальных значений собственных
частот (пружина №4), i =3, D
=96мм; P0=78Гц [12]
ср
Расчет Гц Эксперимент
m =0 m = −0, 3 m = −0,5 m =0 m = −0, 1 m = −0, 3 m = −0, 5
74,7 73,7 73,4 74,7 74,3 73,9 73,7
84,2 85,8 85,6 83,8 83,8 84,0 84,2
102,2 103,0 103,7 102,2 102,6 103,2 103,4
109,2 112,3 113,9 107,2 108,0 109,5 110,6
129,5 124,0 119,3 129,0 127,0 125,1 118,9
133,4 126,3 120,9 134,9 132,4 127,8 122,2
134,9 131,9 131,0 136,5 135,3 133,1 132,3
158,3 158,3 159,1 157,0 156,8 156,4 156,4
174,7 168,5 163,8 174,4 172,3 168,6 166,3
179,4 177,1 176,3 176,4 176,0 174,8 174,0
Контроль резонанса установки осуществлялся с помощью индукционного датчика. Для лучшего восприятия форм колебаний на пружинах
наклеивались метки в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.
4.9. Взаимосвязанность общей и местных видов потери
устойчивости тонкого винтового бруса
Единая трактовка различных видов упругой потери устойчивости получается на основе «порождающего» решения частотного уравнения (4.20),
где необходимо положить ω =0, из анализа свободного члена характери-
122 ГЛАВА 4
Таблица 4.3. Сравнение аналитических и экспериментальных значений собственных
частот (пружина №8), i =5, D
=95мм; P0=47, 2 Гц [12]
ср
m = −0, 1 m = −0, 5
ω
Γ
ω 3σ ωΓ− ω ω
Γ
ω 3σ ωΓ− ω
45,9 46,1 0,10 −0,2 45,5 45,7 0,13 −0,2
52,4 51,4 0,15 1,0 53,3 51,5 0,15 1,8
59,0 — — — 62,3 — — —
60,9 59,2 0,15 1,7 64,2 62,3 0,10 1,9
88,7 88,0 0,10 0,7 85,0 84,1 0,10 0,9
97,2 96,8 0,10 0,4 85,4 88,0 0,13 -2,6
98,6 98,3 0,3 0,3 87,8 89,2 0,25 -1,4
103,8 — — — 103,4 98,9 0,15 4,4
123,2 124,1 0,10 −0,9 121,8 122,9 0,15 −1,1
131,7 130,6 0,10 1,1 127,0 126,9 0,15 0,1
137,0 134,5 0,15 2,5 129,0 — — —
138,3 137,8 0,10 0,5 134,5 134,5 0,15 0
141,6 139,6 0,15 2,0 139,2 135,7 0,15 3,5
146,8 148,9 0,10 −2,1 145,3 147,8 0,15 −2,5
152,5 155,0 0,24 −2,5 151,0 152,4 0,10 −1,4
158,1 — — — 152,0 154,4 0,10 −1,6
165,6 165,8 0,24 −0,2 167,1 164,2 0,24 2,9
182,2 133,4 0,15 1,2 182,2 181,5 — 0,7
182,6 185,6 0,1 −3,0 182,7 184,2 0,24 −1,5
стического уравнения
=0. (4.39)
d
2
Ранее в параграфе 4.5 был рассмотрен метод для получения двух
уравнений продольной потери устойчивости цилиндрических пружин при
несвободном сжатии.
В работе [31] два уравнения продольной потери устойчивости получены аналитически.
Для понимания единства различных видов упругой потери устойчивости вернемся к рассмотрению характеристического уравнения (рис. 4.6).
Если существует переход продольных колебаний витков винтового бруса в поперечные колебания [12], то логично предполагать и обратный переход поперечных колебаний в продольные колебания. Это естественным образом обосновывает существование диапазона начальных параметров тон-
4.9. ВЗАИМОСВЯЗАННОСТЬ ВИДОВ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ 123
кого винтового бруса, при котором любое сжатие не приводит к продольной
потере устойчивости тонкого винтового бруса.
На рис. 4.11 два уравнения продольной потери устойчивости окаймляют уравнение продольной потери устойчивости по модели тонкого винтового бруса, данного Н.А. Чернышевым [32]. Предельные параметры m =1
и m =1+2μ соответствуют математическому решению обращения в нуль
нижней точки верхней ветви характеристического уравнения [33] использовался метод Адамара.
Рис. 4.11. Уравнения устойчивости при шарнирной заделке
Физическое значение предельной величины сжатия отличается от математического тем, что необходимо реально «вывернуть» винтовой брус,
а при этом происходит добавление к предельным величинам m =1.
Линеаризация уравнений нейтрального равновесия трехмерного тела [34] позволила уточнить продольную критическую силу сжатия для ортотропного стержня, получив наличие сдвиговой потери устойчивости при
нагрузке, равной модулю сдвига материала; рекомендация [34] отмечена
пунктиром на рис. 4.11.
В [32] отмечается, что в 1910 г. предпринималась попытка дать физическое объяснение второй ветви уравнения продольной устойчивости.
Второй ветви уравнения продольной потери устойчивости соответствует в
колебаниях верхняя ветвь характеристического уравнения, которая никак не
связана с продольной потерей устойчивости. Многолетняя дискуссия про-
124 ГЛАВА 4
должена работами [34, 35], реализовалась утверждением об обязательной
продольной потере устойчивости пружин в учебной литературе Алфутовым Н. А., но после личной беседы с автором во втором издании книги по
устойчивости упругих систем это положение уже отсутствует [36]. По верхней ветви уравнения устойчивости Голевым Р. В. [37] разработана гипотеза
перехода продольной потери устойчивости в известную местную потерю
устойчивости пружин с межвитковым давлением [38]. Утверждение Голева Р. В. о существенной ошибке решения Заседателева С. М., доходящей до
400 %, является прежде всего ошибкой в самой работе Голева Р. В. [39],
так как продольная потеря устойчивости зависит от поджатия и краевых
условий, а местная потеря устойчивости не зависит от числа рабочих витков и краевых условий. Математически очевидна невозможность перехода
продольной потери устойчивости в местную потерю устойчивости с формированием межвиткового давления.
Возможен ли переход продольной потери устойчивости в местную потерю устойчивости по нижней ветви характеристического уравнения. Для
получения этого результата необходимо обращение в нуль точки перегиба нижней ветви характеристического уравнения. Теоретическое «схлапывание» витка пружины в работе [40] объяснялось нелинейной характеристикой при несвободном сжатии для расчетных параметров: C · B
=0, 0384; α
=300; m =0, 482,чтосоответствуетb : a =1:6,гдеa —
0
ξ
−1
=
сторона витка, перпендикулярная геометрической оси пружины.
Для решения Чернышева Н. А. [40], как видно из примера, необходимы:
большой угол подъема винтовой линии пружины; специфическое поперечное сечение витка пружины (длинная сторона перпендикулярна геометрической оси пружины). При этих параметрах тонкого винтового бруса не
должна «работать» сама модель, так как в этом случае исходные уравнения должны быть изменены, не выполняются условия (4.3), а также нельзя
осуществить переход от уравнений (4.12) к уравнениям (4.15) — не удается
«сократить» на 28 членов уравнение (4.12).
Для получения качественной картины запишем d
=0из (4.33) с уче-
2
том некруглого поперечного сечения витка:
4
· (cos2α − k2)
k
×(C
+ C13) · (cos2α − k2)] + f [(C13+ C23) · (k2− cos4α +sin2α×
23
2
α)+cos2α(1 + C13) · (cos2α − k2)] + fd[C13· sin 2α − C13· C23×
× cos
2
α − k2)] + f2[C13(cos2α − k2) − C23· (cos2α(1 + C13) − C13]+
cos
2
fd
[−C13· C23] − C13· C23· f3+(cos2α − k2)2} =0; (4.40)
где C
= C · B
13
2
−1
; C23= C · B
χ
2
d[cos
α(1 + C13) · sin 2α − 0, 5 · sin 2α×
−1
ξ
.
4.9. ВЗАИМОСВЯЗАННОСТЬ ВИДОВ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ 125
В уравнении (4.40) при k =0, 5cosα и C · B
−1
C · B
=1,382; mкр=0,491. Этот вид потери устойчивости отличается
χ
−1
=0,0384 − α =36◦;
ξ
от [40], так как проявляется при любых краевых условиях и произвольном
поперечном сечении.
Получить это решение при допустимом угле винтовой линии (15
◦
)и
реальном поджатии пружины (m = −0, 5), число рабочих витков 5, удалось только недавно Полищуку А. Д. [30], с учетом совместного действия
поджатия и закрутки. Предварительная закрутка связана с поджатием специальным коэффициентом, который для данного примера — m
=2,56.
2
«Отрицание» продольной потери устойчивости — при определенных
параметрах начального деформированного состояния основная частота поперечных колебаний не зависит от относительного поджатия.
Известны три диапазона изменения низших основных частот поперечных колебаний от поджатия [11]: низшие частоты поперечных колебаний
возрастают с поджатием, например клапанные пружины, буферные пружины железнодорожных вагонов; низшая частота поперечных колебаний возрастает, а истинная основная частота поперечных колебаний не зависит от
поджатия; наблюдается постепенное уменьшение низшей частоты поперечных колебаний от поджатия. Для истинной основной частоты поперечных
колебаний появляется своеобразный эффект: сначала частота уменьшается,
а потом возрастает [41]. Это приводит к временной бочкообразной форме
пружины.
При растяжении этот эффект проявляется в слабой форме и является
теоретическим решением [12]. Существование диапазона по упрощенной
модели эквивалентного бруса дано в [12], экспериментальное обнаружение — в [41]. Соотношение H
· D−1=3, 3 при жесткой заделке концевых
0
витков создает нечувствительность бруса к поперечному возмущению, что
положительно должно сказываться на долговечности.
К единой трактовке видов потери устойчивости относятся и местные
виды потери устойчивости для пружин растяжения с межвитковым давлением, но подробнее их рассмотрим в следующем параграфе, так как эти
виды требуют специальную технологию изготовления пружин.
Из практики известно существование цилиндрических пружин, теряющих продольную потерю устойчивости при нулевом поджатии. Например,
возвратная пружина в автомате Калашникова, где число рабочих витков в
пределах 90. Аналитически этот результат получен А.Д. Полищуком [30]
для шарнирной заделки при числе рабочих витков 60 и α =6
0
.
Очень интересен местный вид потери устойчивости, связанный с обращением при поджатии в нуль частоты, определяемой нижней точкой перегиба характеристического уравнения нижней его ветви [30]. Уже при отно-
126 ГЛАВА 4
сительном поджатии 0,1 происходит обращение в нуль этой «точки» характеристического уравнения. Полного понимания физики этого явления еще
не получено, автором этого явления Полищуком А. Д. оно названо «нулевой
частотой».
4.10. Прием «превращения вреда в пользу» в нелинейной
статике тонкого винтового бруса
Статическая задача обладает нелинейностью в исходных уравнениях
равновесия (4.22).
Прием превратить вред в пользу покажем на примере интегрального
метода построения фундаментальной матрицы решения. Исходная матрица A системы (4.22) имеет вырождение, так как уравнения сил не зависят от
уравнений моментов, последние, в свою очередь, не связаны с уравнениями, описывающими геометрию винтового тонкого бруса. Но обратная связь
существует, уравнения, описывающие геометрию тонкого винтового бруса,
связаны с уравнениями равновесия моментов, а последние — с уравнениями равновесия сил. Получается нелинейная задача, которая усложняется
гармоническими функциями (sin α, sin α
нелинейными функциями.
Используем прием инверсии, т. е. делаем наоборот стандартному методу применения аппарата функций Коши (поиск решения фундаментальной
матрицы решения, нормирование решения, построение функции Коши).
В этом методе просматривается и прием аналогии, так как матрицы B
отличаются только углом подъема винтовой линии, в уравнениях рав-
и B
0
новесия сил и моментов в матрице B угол подъема винтовой линии деформированного состояния, в матрице B
По записи математическое решение одинаковое, а по физике — различное.
Дополнительной информацией является зависимость от краевых условий
радиуса и угла подъема винтовой линии после деформации с аналогичными
параметрами недеформированного состояния. После отмеченной обработки исходной информации можно рассматривать систему равновесия сил и
моментов как систему с «замороженными» коэффициентами. В этом случае
резко упрощается построение функции Коши [42]
и т.д.), которые также являются
0
— недеформированного состояния.
0
K(s, τ )=Y (s − τ),
где Y (s − τ ) — нормированная фундаментальная матрица, в которой переменная s заменена разностью s−τ. Снова подошли к приему использования
заранее известной информации.
4.10. ПРИЕМ «ПРЕВРАЩЕНИЯ ВРЕДА В ПОЛЬЗУ» 127
Решение уравнений равновесия сил находятся обычным методом —
строится нормированное решение в точке s =0. Остальные три уравнения
(уравнения равновесия моментов) решаются как система дифференциальных уравнений с правой частью, для чего и используется аппарат функции
Коши, —
= Y (s) · Cj+
Y
i
s
K(s, γ) ·
0
−Y
Y
2
· dγ ,
1
0
(4.41)
(i, j =4,5, 6),
где Y (s) — фундаментальная нормированная матрица решения, определяю-
щая искомые компоненты силы. В Y
компонуем зависимости при C
, Y2входят коэффициенты решения Cj;
1
и получаем запись решения для фундамен-
j
тальной матрицы решения уравнений равновесия моментов. Итак, фундаментальная нормированная матрица решения, определяющая компоненты
силы и момента, имеет вид:
= F(s)Cj(i, j =1, 2,...,6), (4.42)
Y
i
где
Y (s)=
D(s)=
F (s)=
cos bs;sinα· sin bs; − cosα· sin bs;
− sin α· sin bs;cos
cos α· sin bs;sinα· cosα(1 − cos bs); sin
− sin α · s · sin bs; R · cos α · sin bs+ R · sin α · sin bs−
−R · cos α · sin bs−−2R · sin α · cos α× R · cos 2α(1− cos bs)+
−s · sin
−R· sin α · sin bs+ R · cos 2α(1− cos bs)+ R · sin 2α(1− cos bs)−
2
α · cos bs; ×(1− cos bs) − s× +s · sin2α×
+s· sin α· cosα× +s · sin
× cos bs; × cos α· sin bs; × cos
Y (s)0
D(s) Y (s)
2
α+sin2α · cos bs;sinα· cos α·(1− cos bs);
2
+s · sin
× sin
α · cos bs; −s· sin α· cos α· cos bs;
3
α· sin bs; × cos α· sin bs;
, (4.43)
2
α+cos2α · cos bs
2
α×−s· sin α×
2
α· sin bs
Аналогичным методом находится решение для значений углов и перемещений. Общее фундаментальное решение системы (4.42)
= |N(s)|·Cj(i, j =1,2...12), (4.44)
Y
i
;
.
128 ГЛАВА 4
где
В формуле (4.45) F
N(S)=
совпадает с (4.43), но радиус и угол подъема вин-
0
F 0
MF
. (4.45)
0
товой линии соответствует недеформированному состоянию. В явном виде
матрица F
из формулы (4.43) в [16] не приводится, но она использовалась
0
Карповой М.Ю. в качестве нулевого приближения при нахождении углов и
перемещений винтовой цилиндрической пружины. Принцип вложения одной задачи в другую используется в единой постановке задачи колебаний
и устойчивости. Важным в этой постановке оказалось решение Чернышева Н. А. [18], где нелинейная теория упругих деформаций цилиндрических
пружин получена из статики больших перемещений с учетом конечного
деформированного состояния, отражением приема Чернышева Н. А. и является формула (4.19). В работе Карповой М. Ю. дано сравнение характеристики пружин решения Чернышева Н. А. и решения, полученного ею без
упрощения углов поворота [16]. Разница в характеристиках не превосходила 3 %.
4.11. Особенности нелинейной статики тонкого винтового
бруса
Интегральный метод построения фундаментальной матрицы решения
для нелинейной статики тонкого винтового бруса позволяет избежать вырождения исходной матрицы при решении задачи статики.
На основании одной фундаментальной матрицы решения должны быть
получены два противоположных результата: общепринятое решение при
равномерном напряженном состоянии по длине пружины и решение с учетом искажения винтовой линии по длине пружины, дающее неравномерное
напряженное состояние по длине пружины. В связи с этим уравнения равновесия используются без линеаризации, как это отмечалось в 4.4.
Общее решение задачи статики записываются в виде (4.44) и (4.45).
Подробный вывод фундаментальной матрицы решения статистической задачи дан в [12]. Идеальными краевыми условиями при статике винтовой
цилиндрической пружины являются общепринятые динамические краевые
условия такие, которые дают наиболее простое аналитическое решение:
S =0:Q
=0; Mρ= −P · R · cos α; Mξ= −P · R · sin α.
M
χ
=0; Qξ= −P · cos α; Qρ= −P · sin α;
χ
(4.46)
4.11. ОСОБЕННОСТИ НЕЛИНЕЙНОЙ СТАТИКИ ТОНКОГО ВИНТОВОГО БРУСА 129
На основании фундаментальной матрицы решения имеем следующие постоянные:
= C4=0; C2= −P · cos α; C3= −P · sin α;
C
1
= P · R · sin α; C6= −P · R · cos α.
C
5
Крутящий момент принимает вид
M
= C2·R · cos 2α · (1 − cosbS)+sin2α · cos α · S · sin bS+
ρ
R · sin 2α · (1 − cos bS) − sin α · cos
+C
3
2
α · S · sin bS+
(4.47)
+C
[sin α · cos α (1 − cos bS)] +
5
+C
2
α +cos2α · cos bS= −P · R · cos α.
sin
6
Решение статики цилиндрических пружин (4.47) совпадает с общепринятым решением [43]. Необычайно громоздкое решение должно получиться
при краевых условиях несвободного сжатия, в частности жесткой заделки
витков, —
S =0:
θ(0) = γ(0) = ϕ(0) = U(0) = 0;
V (0) = −δ cos α
S = S
:
0
θ(S
)=γ(S0)=ϕ(S0)=U(S0)=V (S0)=W (S0)=0.
0
; W (0) = −δ · sin α0,
0
(4.48)
На основании фундаментальной матрицы решения имеем
= C8= C9= C10=0;
C
7
= −δ · cos α0; C12= −δ · sin α0.
C
11
Из двенадцати постоянных в решении шесть получены аналитически,
чему способствовала нормируемость решения в точке S=0. Если в теории
колебаний тонкого винтового бруса начало координат было в середине бруса при условии жесткой заделки, то в статике — в начале координат, что
позволяет сохранить физическую симметричность решения относительно
середины бруса для контроля решения задачи статики.
130 ГЛАВА 4
Остальные шесть постоянных находим из системы:
· m(S0)
C
1
· m(S0)
−C
12
...............................................
· m(S0)
C
1
−C
· m(S0)
12
+ ... + C6· m(S0)
7,1
;
7,12
+ ... + C6· m(S0)
12,1
.
12,12
= −C11· m(S0)
7,6
= −C11· m(S0)
12,6
7,11
−
12,11
(4.49)
−
Уравнения (4.43) определяют в явном виде только фундаментальную матрицу решения для уравнений равновесия сил и моментов. Остальные шесть
уравнений в неявном виде запишутся так:
s
Y
i+6
= F0(S)
i,j
· C
j+6
+
0
F0(S − γ)
Интересующие нас элементы матрицы m
−C
1
−C
2
−C
3
·
i,j
0
0
0
даются частью выражения (4.50),
ij
· Y4(γ)
· Y5(γ)
· Y6(γ)
· dγ. (4.50)
т. е. его интегральным выражением. Подробный вывод всего решения дан
в [12]. Ограничимся самым простым выражением m
),позволяющим
ij(S0
применить и ручной счет, которое получается при строго целом числе рабочих витков и без учета поджатия:
2
= C1R
2
0
2
0
2
0
· sin α0· (2πi) · 0, 75μ;
0
· 0, 25 · tg2α0(2 + μ · cos2α0) · (2πi)2;
(2πi)2· 0, 25 · tg α0· (2 + μ · cos2α0);
(2πi) · (2 · cosα0)−1· (2 + μ · cos2α0);
= m(S0)
7,6
2
(2πi)2· 0, 25 · tg2α0(2 + μ · cos2α0);
0
= m(S0)
8,4
9,4
=0;
· 0, 5μ · sin α0· (cos2α0− 2sin2α0)2πi;
2
· 0, 25 · tg α0(2 + μ · cos2α0) · (2πi)2;
0
m(S
m(S
m(S
m(S
m(S
m(S
0)8,3
0)8,5
m(S
m(S
0)7,2
0)7,3
0)7,4
m(S
m(S
0)8,1
= −C1· R
0)8,2
= −C1· R
=+C1· R
0)8,6
0)9,1
m(S
0)7,1
= −C1· R
=+C1· R
= −C1· R
= m(S0)
0)7,5
=+C1· R
2
(2πi) · 0, 75 · μ · sin α0(2 cos2α0− 3sin2α0);
0
2
· 0, 25 · (cos α0)−1· (4 + 15μ · cos2α0· sin2α0) · 2πi;
0
2
· 0, 5 · (cos α0)−1· (2 + 3μ · cos2α0· sin2α0) · 2πi;
0
= C1· R
2
0
= −C1· R
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]