Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы творчества в математике интеграционной механики
.pdf
3.2. ТИПОВЫЕ ПРИЕМЫ В КЛАССИЧЕСКИХ РАЗДЕЛАХ МАТЕМАТИКИ 61
Об эффективности математики и взаимосвязанности ее основных задач
написано достаточно много. Рассмотрим только классификацию точки [8]:
бесконечно удаленная; ветвления; внутренняя; возврата; гиперболическая;
граничная; правильная; слабо особая; существенно особая; изолированная;
инвариантная; конденсации; накопления; омбилическая; особая; отображения критическая; параболическая; перегиба; пересечения кривых; пересечения прямых; покоя; предельная; равновесия; разветвления; разветвления
алгебраическая; разветвления бесконечного порядка; разветвления логарифмическая; разветвления трансцендентная; конечного порядка; разветвления
функции; разрыва первого рода; регулярная; самоприкосновения; седловая;
фазовой плоскости обыкновенная; фазовой плоскости особая; эллиптическая.
В этом примере классификации точки видим как геометрию пространства (бесконечно удаленная, пересечения кривых, перегиба), так и искусственно созданное фазовое пространство (обыкновенная, особая, седловая). Особенность физического процесса характеризуется точками: покоя;
разрыва первого рода (волновые процессы). Учет математической особенности типа уравнения дает точки гиперболические, эллиптические, параболические. Для оценки особенностей дифференциального уравнения потребовались точки: правильные, слабо особые, существенно особые, изолированные.
Мы сознательно показали пример с разнообразием понимания точки,
где ясно чувствуется необходимость создания подхода единства математики,
физики, философии.
В нелинейной статике тонкого винтового бруса используется интегральный метод построения фундаментальной матрицы решения с использованием аппарата функции Коши. Покажем, как этот аппарат функции
Коши используется в известной задаче удара груза о стержень, один конец
которого жестко закреплен. Одновременно рассмотрим применение комплекса типовых приемов интеграционной механики. На рис. 3.1 представлена схема задачи. Движение сечения стержня постоянной площади при
продольных колебаниях описывается известным уравнением
2
u
∂
−
2
=0, (3.51)
2
∂t
где a
2
= E · ρ−1.
∂2u
2
a
∂x
Решение ищем в виде суммы двух независимых функций
u = f(at − x)+ϕ(at + x). (3.52)
62 ГЛАВА 3
Рис. 3.1
Мы уже отмечали, что уравнение (3.51) не «реагирует» на сам вид
функции, а только на вид аргумента. Краевые условия:
x = l, u =0; (3.53)
x =0,EF
∂u
∂x
= M
∂
u
. (3.54)
2
∂t
2
Начальные условия:
t =0,u=0 (3.55)
∂u
= V
t =0,
∂t
. (3.56)
0
Особенность нашей задачи: при x = l имеем u =0, получаем
ϕ(at + l)+f(at − l)=0, (3.57)
откуда ϕ(z)=−f (z − 2l),поэтому
u = f(at − x) − f(at + x − 2l). (3.58)
Переход от (3.52) к (3.58) обоснован рассуждением: в точке x = l функции
ϕ(z) и f (z − 2l) взаимно противоположны с учетом смещения аргумента
на 2l; линейность задачи позволяет перенести эту информацию на весь
стержень, поэтому появляется выражение (3.58).
Условиенавторомконцеx =0
−M
∂
∂t
2
u
2
+ EF
∂u
=0. (3.59)
∂x
Преобразуем (3.59) с учетом выражения
EF
M
2
ρF
a
=
M
2
ρF l
a
=
Ml
2
χ
a
=
,
l
3.2. ТИПОВЫЕ ПРИЕМЫ В КЛАССИЧЕСКИХ РАЗДЕЛАХ МАТЕМАТИКИ 63
где χ = ρFl · M
−1
∂2u
∂t
2
∂u
a
·
− χ
2
l
=0. (3.60)
∂x
Мы видим, как можно, не задумываясь, использовать выражение
2
a
= Eρ−1,
которое в линейной механике для прямого бруса выражает сразу единство четырех физических процессов: распространение перемещения; распространение деформации (a — фазовая скорость деформации); энергии
(a — групповая скорость); ударного импульса (a — скорость волн Рэлея).
Подставляем (3.58) в граничное уравнение (3.60):
2f
{a
(at − x) − a2f(at + x − 2l)−
χ
2
[−f(at − x) − f(at + x − 2l)] }
−
a
l
x=0
=0.
Получаем метод рекурсии, последовательного решения задачи:
f
(z)+
χ
f
(z)=f(z − 2l) −
l
χ
f
(z − 2l). (3.61)
l
В формуле (3.61) слева и справа функция f одна и та же, но аргументы
функции в ней разные. В формуле (3.61) сохраняется переменная часть
(z = at), меняется параметр — в левой части l =0, в правой части имеем
z − 2l. Прием учета особенности задачи: u =0при x = l —позволилотдвух
произвольных функций (3.52) перейти к двум одинаковым функциям (3.58),
но с различными аргументами.
Учет физической особенности задачи — z<0 f(z)=0,т.к.досо-
прикосновения груза со стержнем для всех точек стержня смещение равно
нулю. Поэтому для интервала 0 <z<2l правая часть (3.61) равна нулю —
(z)+
χ
f
(z)=0. (3.62)
l
f
Это уравнение первого порядка для искомой функции f
находим:
(z)=C
f
χ
z
−
l
(0) = C.
f
= f(0)
χ
z
−
l
;
(z), интегрируя,
64 ГЛАВА 3
Величину постоянной C определяем из равенства скоростей конца
стержня и ударяющего груза в месте x =0вначальный(t =0)момент
удара:
∂u
∂t
= V0. (3.63)
t=0
x=0
Подставим в (3.63) значение u (формула (3.58)) и, учитывая отсутствие
обратной волны, получим
C = f
(0) = V0· a−1.
Получаем функцию f
(z)
(z)=V0· a−1· e
f
χ
−
z
l
, (3.64)
которая непрерывна в диапазоне 0 <z<2l. Величина u определяется
только прямой волной
u = f(at − x). (3.65)
Перемещение сечения u позволяет перейти к двум новым величинам (V, ε),
которые определяются формулами
V =
∂u
∂t
= af
(at − x),
(3.66)
ε =
∂u
∂x
= −f
(at − x).
С учетом (3.64) получим для диапазона x − at < 2l − x
χ
z
−
V = V
ε = −V
e
0
· a−1· e
0
l
,
χ
z
−
l
.
(3.67)
На этом этапе удара (0 <z<2l) скорость перемещения сечения и деформация в любом сечении связаны простым соотношением
V = −aε.
Если рассмотрим начальный момент удара и сечение x =0, то деформация
сжатия, возникающая в стержне, не зависит от массы ударяемого груза.
3.2. ТИПОВЫЕ ПРИЕМЫ В КЛАССИЧЕСКИХ РАЗДЕЛАХ МАТЕМАТИКИ 65
Итак, данный пример показывает, что часть информации для конкретного
сечения оказалась избыточной. На рис. 3.2 показаны эпюры скоростей и
деформаций по длине стержня для момента, когда волна деформации не
дошла еще до закрепленного стержня. Эпюры являются разрывными: на
фронте волны деформации скорость движения данного сечения, к которому
подошла волна, изменяется скачкообразно от 0 до V
до −V
· a−1.
0
Рис. 3.2
, а деформация — от 0
0
Для интервала 2l<z<4l левая часть уравнения (3.61) не меняется
формально, физически оно изменено, т. к. имеем дело с другим диапазоном,
где решение будет качественно меняться. Правая часть представляет собой
найденные ранее значения функции f
(z) → f(z − 2l)=
f
f
(z − 2l)=−
f
(z − 2l) −
χ
l
χ
f
l
(z) и f(z) для диапазона 0 <z<2l:
χ
(z−2l)
−
V
0
l
e
a
(z − 2l)=−
V
a
0
= −
2 V
χ
(z−2l)
−
l
e
0
a
χ
f
l
χ
·
l
;
(z − 2 l),
χ
−
(z−2l)
l
e
.
Новое функциональное уравнение в диапазоне 2l<z<4l
χ
(z−2l)
−
f
(z)+
χ
f
l
(z)=−2
χ
V
0
l
e
a
l
. (3.68)
66 ГЛАВА 3
Производная постоянная при интегрировании уравнения (3.68) определяется из физической гипотезы, что скорость груза M,азначит,искорость
конца стержня x =0не может изменяться скачкообразно, т. е. что
∂u
∂t
= a[f(at) − f(at − 2l)] (3.69)
x=0
представляет собой непрерывную функцию. Если предположить, что скорость конца стержня представляет прерывистую функцию (это физически
более реально), то мы не имеем простого математического решения задачи.
Условие непрерывности функции (3.69) будет выполнено при повторении разрывов функции f (z) при изменении аргумента на 2 l,т.е.приz =0
функция f
будет повторяться и при z =2l; z =4l; z =6l и т.д. Функция f
(z) скачком увеличивается на величину V0·a−1,иэтотжескачок
(z) при
z =2l со значения
V
f
(2l)=
0
−2χ
e
a
скачком изменяется до
V
f
(2l)=
0
−2χ
(e
a
+1). (3.70)
Условие (3.70) есть начальное условие для интегрирования уравнения (3.68).
Ввод «скачка» функции f
(z) есть прием дополнительной информации, исходящей из особенности физики задачи. Интересна и философская подоплека решения: использование разрывных функций и необходимость непрерывности производных этих функций с включением периодичности процесса
разрыва. Продолжим решение далее. Несмотря на особенность правой части, целесообразнее использовать аппарат функции Коши. Итак, рассмотрим однородное уравнение
(z)+
χ
f
(z)=0, (3.71)
l
f
решение которого нам известно —
χ
z
f
(z)=C1· e
−
l
(прием — применение информации заранее известной). Нормируем решение
вточкеz =0:
(0) = 1 · C1;1· C1=1; C1=1.
f
3.2. ТИПОВЫЕ ПРИЕМЫ В КЛАССИЧЕСКИХ РАЗДЕЛАХ МАТЕМАТИКИ 67
Нормированная фундаментальная матрица решения уравнения (3.71)
χ
z
Y (z)=f
(z)=e
−
l
.
Учет особенности нашей задачи (в данном случае математическая особенность) — система с постоянными коэффициентами, поэтому функция
Коши:
K = Y (s − τ);
χ
(z−τ )
−
2χ
2χ
·
· e
l
.
(z):
χ
(z−2l
−
χ
2V
0
a
z
χ
τ
−
e
0
χ
−
l
−
l
· e
z
· z.
·
χ
l
e
l
(z−τ )
l
dτ =
dτ =
K = e
Общее решение уравнения (3.68) относительно f
z
2V
2V
0
χ
0
·
a
l
χ
0
·
a
l
K(z − τ) ·−
· e
· e
f
(z)=C1· Y (z)+
χ
z
−
= C
= C
l
· e
1
· e
1
−
χ
z
−
l
−
При z =2l
f
(2l)=
C
1
(z)=e
f
2V
−
V
=
V
=
V
=
= e
0
a
0
a
0
a
0
a
V
0
−2χ
+1)=C1e
(e
a
2V
0
2χ
a
χz
−
l
· e
χ
−
χ
l
ze
·
l
χ
z
−
l
e
+−
χ
z
−
e
−
e
2V
l
+
a
χ
z
V
l
+
a
· 2χ +
2χ
(z−2l)
2V
a
0
0
1 −
V
2V
a
=
0
·
1
−
2
0
−2χ
(e
a
0
· 2χ +
χ
z +
l
χ
(z − 2l)e
l
2χ
(z − 2l)e
l
−2χ
+1).
V
2V
0
a
−
0
a
(2χ +
χ
2V
0
· 1 · 2l
·
a
l
1
2
· e
)e
−2χ
.
−
=
−
χ
(z−2l)
l
=
V
0
+
a
χ
(z−2l)
−
l
χ
−
(z−2l)
l
68 ГЛАВА 3
Окончательно
f
(z)=
χ
z
−
V
0
l
e
a
V
0
+
a
1 − 2χ ·
z − 2l
l
χ
(z−2l)
−
l
· e
. (3.72)
В существующей литературе [10] дается решение для диапазонов
4l<z<6l, 6l<z<8l,
но отсутствует вывод, данный в этой работе для диапазона 2l<z<4l.
Типичным приемом в линейной классической интеграционной механике является выделение «гена» информации и использование его для получения простых синтезированных теорий.
Объединим решение по энергетической теории и волновой теории. Задача относится к модели эквивалентного бруса для удара груза по пружине.
Используем информацию, что максимальные напряжения в месте заделки стержня (рис. 3.1), что естественно, так как в этом месте складывается
прямая и обратная волна деформации. Энергетическая теория позволяет для
данной задачи определять максимальные напряжения по простым формулам, используя величину
˙x
X
max
0
; P
=
p
max
= CX
; C = M
max
· p2. (3.73)
гр.
На рис. 3.3 показана идея этой методики: энергетическая теория соединяет
средние точки скачка деформации по волновой теории, решение по синтезированной теории весьма простое, имеем максимальное напряжение в
точке A в месте заделки. В [11] рассмотрены различные теории удара, использующие эту известную идею синтеза по максимальным напряжениям.
В классической линейной механике мы ограничились примером из теории удара. Математически нелинейные задачи возникают (без точек бифуркации) в статике больших перемещений, в статике классической теоретической механики при отсутствии линеаризации гармонических функций, в задачах устойчивости, связанной с искажением форм (примеры даны
в [11]), в задачах колебаний (псевдогармонические колебания), в задачах
удара (классическая теория удара Герца).
Наиболее яркой с математической нелинейностью является классическая теория удара двух тел. Герц перенес созданную им теорию сжатия двух
цилиндров на область удара. При этом были выдвинуты физические гипотезы: отсутствие общей деформации шаров; в месте контакта существует
упругая деформация, аналогичная как статическому, так и динамическому сжатию. При этих двух гипотезах задача математически резко изменилась и свелась к исследованию движения двух жестких тел, соединенных
3.2. ТИПОВЫЕ ПРИЕМЫ В КЛАССИЧЕСКИХ РАЗДЕЛАХ МАТЕМАТИКИ 69
Рис. 3.3. Синтезированная теория удара груза по балке
нелинейной пружиной. Зависимость контактной силы P от сближения двух
тел α [12]:
P = Kα
3
/
2
, (3.74)
где K — коэффициент пропорциональности, определяемый конкретными
параметрами соударяющихся тел и физическими свойствами материала тел.
При максимальном сближении
— начальная скорость удара двух тел. Продолжительность удара τ:
где V
0
a
τ =2
0
dα
=0определяем α
dt
α max
2
m
m
(V
P (α)αα = V
0
2
2
−
0
m
α
P (α)dα)
0
2
, (3.75)
0
−
из равенства
max
1
2
· dα. (3.76)
Уравнение (3.76) еще можно решить аналитически:
−1
· V
τ =2,9432 α
=(
α
max
m = m
1
max
5
−1
· K
4
· mV
· m2· (m1+ m2)−1.
;(3.77)
0
2
2
5
)
,
0
(3.78)
70 ГЛАВА 3
Рассмотрим типичную методику создания линеаризованной теории
удара. На рис. 3.4 представлена схема линеаризованной теории удара [12].
Основные положения модернизированного решения:
1) равенство P
max
и α
по точной и приближенной зависимости;
max
2) равенство энергии деформации по точной и приближенной зависимостям. Это приемы метода коллокации в решении краевых задач, поэтому
назовем эти два условия своеобразными точками «коллокации»:
3
/
P
max
α
max
0
= Kα
P (α )dα=
2
max
= C(α
2
Kα
5
max
5
/
2
max
− α0),
= C
(α
max
− α)
2
2
,
после простых выкладок получаем
α
0
=0, 2α
max
; C =
1
/
5
P
max
4
2
/
5
· K
3
.
Продолжительность удара определяется с использованием приема декомпозиции на основе двух простейших теорий: свободное движение тел на
участке α
со скоростью V0; колебание эквивалентной массы m (линейный
0
осциллятор, жесткость c, масса m)—
τ = π
m
α
0
+2
c
. (3.79)
V
0
Результаты, полученные по формуле (3.79), не более чем на 1 % отличаются от расчета по формуле (3.77). В этом и есть смысл «идеальной»
теории — аналитические выкладки простые, а искомая информация получается достаточно точная.
Предыдущие примеры из теории удара касались линейной классической механики с математической нелинейностью. Интеграционная механика с физической нелинейностью соответствует большому классу нелинейной механики. Для более подробного понимания в дальнейшем системнонелинейных задач рассмотрим в классе задач с физической нелинейностью
задачу продольной потери устойчивости прямого бруса и прием «решить
задачу, не решая задачи».
Поперечные колебания балок с постоянной жесткостью по длине балки
описываются дифференциальным уравнением в частных производных:
2
EI
x
∂4y
∂x
4
+ ρF
∂
y
=0, (3.80)
2
∂t
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]