Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения научно-технических задач в строительстве. Учебное пособие.pdf
2.3. МЕТОД ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
(Кацикаделис Дж. Т. Граничные элементы: Теория и приложения / Пер.
с англ. – М.: АСВ, 2007. – 348 с.).
Метод граничных элементов (МГЭ) является современным средством
решения технических проблем. В ряде случаев метод конечных элементов
(МКЭ) может быть неэффективным и трудоёмким. При этом методе дискретизации подвергается вся область. В МГЭ только границы тела. Это облегчает
численное моделирование. Он позволяет получать решения в любой точке рассматриваемой области и в любой момент времени. Удобен для решения задач
в областях с геометрическими особенностями, например, с трещинами. Можно
оперировать сосредоточенными силами как в области, так и на границе.
Сущность МГЭ состоит в дискретизации границы Г области Ω конечным числом сегментов – конечных элементов. На каждом конечном элементе
выделяют крайние – узловые точки.
На рисунке 6 показаны три типа часто используемых граничных элементов.
МГЭ не применим к нелинейным задачам, для которых не выполняется
принцип независимости действия сил.
В настоящее время МГЭ широко используется для решения статических
и динамических задач, линейных и нелинейных задач теории упругости, пластин
и оболочек, оснований и фундаментов, механики разрушения и многих других.
Особое внимание следует уделять темам:
• формулировка физической проблемы;
• формулировка математической задачи, состоящей из определяющих
дифференциальных уравнений и граничных условий «краевая задача»;
• преобразование дифференциальных уравнений к граничным инте-
гральным;
• преобразование интегралов по области к граничным криволинейным
интегралам или их устранению для получения граничных интегральных
уравнений в чистом виде;
• численное решение граничных интегральных уравнений;
• использование компьютерных программ для решения поставленных
задач и изучение поведения физической системы.
Численное моделирование относительно недорого и может использоваться для изучения структур различной конфигурации, действий различных
нагрузок и для получения оптимальных проектных решений.
Приведены примеры применения МГЭ для различных задач:
• кручение стержня;
• прогибы мембран;
• изгиб пластин;
• течение жидкости.
31
В России широкую известность получила книга Алейникова С. М. Метод
узлы
элемент
элемент
элемент
узлы
узлы
концевая
точка
концевая
точка
узел
крайний
узел
крайний
узел
крайний
узел
крайний
узел
средний
узел
(а) Постоянные элементы
(b) Линейные элементы
(с) Параболические элементы
граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственных
неоднородных оснований: монография / С. М. Алейников. – М.: АСВ, 2000. –
754 с. В книге приведены примеры применения МГЭ для различных задач:
• кручение стержня;
• прогибы мембран;
• изгиб пластин;
• течение жидкости.
Рис. 6. Различные типы граничных элементов
32
Метод граничных элементов продолжает успешно развиваться. Так
в книге (Золотов А. Б., Акимов П. А., Сидоров В. Н., Мозгалева М. Л. Численные и аналитические методы расчёта строительных конструкций. – М.: АСВ,
2009. 336 с.) описан дискретно-континуальный метод граничных элементов
(ДКМГЭ). При этом возможно двукратное понижение размерности задачи.
Разработаны два варианта этого метода – непрямой (НДКМГЭ) и прямой (ПДКМГЭ).
2.4. МЕТОД НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ
Использование метода для обработки экспериментальных данных рассмотрено И. Н. Кузнецовым, В. В. Леденёвым, В. Г. Тихомировым.
Постановка задачи. Задача определения зависимостей между многими
изменяющимися в процессе эксперимента параметрами весьма сложна и трудоёмка, на это указывается в работах многих исследователей. В качестве выходной информации, в большинстве случаев, исследователи представляют
громоздкие таблицы или развёрнутые эмпирические формулы с коэффициентами. Величины их определяют по графикам или таблицам, что весьма трудоёмко. Такие экспериментальные зависимости с трудом внедряются в практику проектирования, что замедляет совершенствование методов расчёта
на основе научно-исследовательских работ.
На кафедре «Конструкции зданий и сооружений» Тамбовского государственного технического университета проводятся многолетние экспериментально-теоретические исследования напряжённо-деформированного состояния (НДС) стальных одноэтажных однопролетных рам. Целью исследований
является совершенствование инженерных методик расчёта стальных рам разной жёсткости на естественном грунтовом основании на базе экспериментально-теоретических исследований.
Рассматривается методика обработки и использования экспериментальных данных с помощью современного математического инструмента –
нейронных сетей.
Основы метода нейронных сетей. Важнейшее свойство нейронных
сетей, свидетельствующее об их огромном потенциале и широких прикладных возможностях, состоит в хорошем обучении на «зашумленных» данных.
Благодаря этой способности за счёт большого количества межнейронных
связей достигается значительное обобщение в процессе обработки числовой
информации. Большое количество межнейронных соединений приводит
к тому, что сеть становится не чувствительной к ошибкам, возникающим
в отдельных контактах. Функции поврежденных соединений принимают
на себя другие элементы, в результате в деятельности сети не наблюдаются
заметные нарушения.
Другое не менее важное свойство нейронной сети состоит в способности
к обучению и к обобщению полученных знаний. Сеть обладает чертами так
называемого искусственного интеллекта. Натренированная на ограниченном
33
множестве обучающих выборок, она обобщает накопленную информацию и
вырабатывает ожидаемую реакцию применительно к данным, не обрабатывавшимся в процессе обучения. Существует значительное количество практических приложений искусственных нейронных сетей. Возможности их
дальнейшего использования для обработки сигналов не изучены окончательно, однако существует богатая теория, позволяющая работать с этим инструментом в настоящее время.
Нейронные сети функционируют в двух режимах – обучения и тестирования. Из всего имеющегося многообразия архитектур нейронных сетей нами
был выбран тип многослойный персептрон. Его структурная схема представлена на рис. 7. Основным параметром, управляющим качеством обобщения
информации нейронной сетью, является количество нейронов в скрытом слое:
оно не должно быть слишком малым, потому что сеть не сможет аппроксимировать данные значения, и не должно быть слишком большим, так как сеть
просто запомнит данные и не будет обобщения. Указанный параметр мы
определили экспериментально. Первоначально выбрали простейший персептрон с одним нейроном в скрытом слое – результат оказался неудовлетворительным. Во втором приближении задали два нейрона, полученная нейронная
сеть уже лучше, но по-прежнему неадекватно приближала данные и выдавала
слишком большие ошибки обучения и тестирования. Следующим шагом был
выбор трёх нейронов, что привело к существенному уменьшению ошибки
обучения, увеличению коэффициента корреляции и, самое главное, к видимому обобщению: тестовые данные хорошо моделировались этой сетью.
Рис. 7. Структурная схема нейронной сети:
А – входной слой (исходные данные), В – скрытый слой (нейроны), С – выходной
слой, D – после скалярного перемножения сигнал поступает в нейрон, где подвергается
действию нелинейного преобразования, например, тангенс гиперболический (th(x)),
со смещением, рассчитываемым в процессе обучения, Е – полученный сигнал
рассматривается как вектор, размерность которого равняется числу нейронов,
далее этот вектор, скалярно умножается на матрицу весов выходного слоя
и подвергается действию нелинейного преобразования со смещением
34
Этапы работы с нейронной сетью.
Первый этап – создание исходной базы эксперимента.
Второй этап – ввод основных параметров нейронной сети: число скры-
тых слоёв; число нейронов скрытого слоя; метод и функция нелинейного
преобразования в нейроне; параметры выходного слоя; метод и функция
нелинейного преобразования в выходном слое.
Третий этап – обучение нейронов сети на экспериментальных данных.
Четвёртый этап – тестирование сети с определением адекватности её
функционирования на тестовой выборке (рис. 8). Анализ критериев оптимальности:
• MSE – среднеквадратическая ошибка обучения (должна стремится к 0);
• NMSE – нормализованная ошибка обучения (должна стремится к 0);
• MAE – средняя абсолютная ошибка;
• MinAbsError – минимальная из ошибок обучения;
• MaxAbsError – максимальная из ошибок обучения;
– коэффициент корреляции (показывает степень зависимости меж-
• k
r
ду «входами» и «выходами», должен стремиться к 1).
Пятый этап – описание программы, например, в Microsoft Office Excel
средствами Micrisoft VisualBasic для использования нейронной сети в диалоговом режиме с запросом исходных данных и выводом результатов.
Шестой этап – применение нейронной сети в практических целях,
например для уточнения НДС стальных рам производственных зданий.
Рис. 8. Графики тестирования нейронной сети для получения поправочных
коэффициентов влияния изгибающих моментов (k
в эксперименте при разной плотности грунтового основания под фундаментами.
Зависимости, полученные по экспериментальным данным
и по выходным данным нейронной сети
) в стойках стальной рамы
M
35
Выводы. Применение нейронных сетей для обработки эксперименталь-
(
)
кПа2,28смт 55,1
3
=°
=ϕ=ρ с
( )( )
γ+β+=
∑
=ni
iiik
VWxththy
1
1
,
zk ...1=
k
x
i
W
i
β
i
V
1
γ
ных данных позволяет:
• получить достаточно точные зависимости с саморегулированием
сети под особенности исходных баз данных;
• уменьшать значительно время на поиск оптимальных зависимостей
для описываемого процесса;
• применять для работы с ними широко распространённые программ-
ные продукты.
Практическая реализация метода нейронных сетей для исследования работы несущих стальных рам зданий на песчаном основании
с дефектами. Испытания моделей стальных рам проводили на послойно
в уплотнённом до
маловлажном мелкозер-
нистом песчаном основании. Установка для проведения испытаний состояла
из пространственного металлического лотка размерами 2×2×1,2 м, жёсткой
упорной и независимой реперной рам, системы связей из плоскости и испытуемой модели с фундаментами (рис. 9).
С целью изучения влияния на НДС стальных рам дефектов основания и
особенностей узловых соединений были проведены серии экспериментов.
Предварительно было выполнено математическое планирование, позволяющее разработать наиболее эффективную программу экспериментов и получить достаточный материал для статистической обработки.
Известно, что задача установления зависимостей между многими
изменяющимися в процессе эксперимента параметрами весьма сложна и
трудоёмка. Мы предлагаем применять современный математический метод
нейронных сетей для обработки экспериментальных данных с целью получения функциональных зависимостей, описывающих НДС строительных
конструкций, и дальнейшего внедрения в повседневную практику проектирования.
В результате анализа и обработки экспериментальных данных были
получены функциональные зависимости, реализованные нейронной сетью
по формуле:
, (*)
где i = 1...n – количество нейронов,
стирования;
коэффициентов скрытого слоя;
слоя;
– матрица весовых коэффициентов выходного слоя;
– входной вектор (вектор аргументов);
– вектор смещения для нейронов скрытого
– количество примеров для те-
– матрица весовых
– вектор сме-
щения для выходного слоя.
36
Рис. 9. Схема экспериментальной установки:
Md
k
1 – испытуемая модель; 2 – упорная конструкция; 3 – реперная рама;
4 – система связей из плоскости; 5 – песчаное основание; б – гидравлический домкрат;
7 – динамометр; 8 – шарнир; 9 – индикаторы часового типа (ИЧ-10)
С каждым экспериментом была связана нейронная сеть, которая выбиралась из нескольких в соответствии со следующими критериями оптимальности:
• адекватность функционирования сети на тестовой выборке;
• минимальные ошибки обучения сети (среднеквадратическая, норма-
лизованная);
• максимальное значение коэффициента корреляции, близкое к 1.
Нами усовершенствована методика расчёта стальных П-образных рам
с использованием экспериментально полученных коэффициентов влияния
дефектов основания
ется использовать для уточнения изгибающих моментов в сечениях стоек;
прогнозирования влияния дефектов грунтового основания на НДС несущих
рам эксплуатируемых одноэтажных зданий; оценки влияния неравномерности перемещений фундаментов на значения изгибающих моментов.
Для каждой серии экспериментов приведены эмпирические зависимости
и матрицы весовых коэффициентов, определяющие структуру нейронной
сети. В формуле (*) матрицы весовых коэффициентов представлены в виде:
на величины изгибающих моментов. Их рекоменду-
37
,
34333231
24232221
14131211
=
wwww
wwww
wwww
W
,
31
21
11
β
β
β
=β
[ ]
,
131211
VVVV =
[ ]
.
111
γ=γ
[ ]
43
21
xxx
xx =
( )
[
+β++
++==
1111144133122111
V
w
x
wx
wx
wxththky
Md
( )
+β+++++
1221244233222211
Vwxwxwxwxth
( )
]
,
111331344
333322311
γ+β
+++
++ Vwxw
xwx
wxth
Md
k
mMdse
kkMM =
δ
= kkM
M
Mds
t
e
M
t
M
Mds
k
m
k
δ
k
С учётом входного вектора
нение:
где
– величина поправочного коэффициента влияния изгибающего
момента для любого сечения стойки, определяемая по данным экспериментально-теоретических исследований. Входным вектором х вводятся основные
характеристики и особенности системы «стальная рама–фундамент–
грунтовое основание»: расположение дефекта в системе; жёсткость узловых
сопряжений ригеля со стойками; уровень нагрузки для рамы и основания;
жёсткостные характеристики элементов рамы.
Величины изгибающих моментов в общем виде предложено определять
по формулам:
где
и
– величины изгибающих моментов, определённых эксперимен-
тально и решением стандартных расчётных схем строительной механики;
,
,
– коэффициенты, учитывающие влияние дефектов основания «d»
или рамы «s», масштабного фактора «m» и условности расчётных схем «δ».
Результатом проведённых нами экспериментально-теоретических исследований явилось:
• определение действительных условий эксплуатации зданий с основ-
ной несущей конструкцией в виде стальной П-образной рамы, установленной
на заглублённые фундаменты, и выявление наиболее характерных дефектов
основания;
• разработка методики проведения крупномасштабных испытаний
в соответствии с которой исследовали НДС стальных П-образных рам
на грунтовом основании с дефектами;
• определение степени влияния разных дефектов грунтового основа-
ния на НДС стальных П-образных рам и действительных перемещений фундаментов;
• применение современного математического метода нейронных сетей
для обработки экспериментальных данных, получения функциональных
зависимостей и внедрения в практику проектирования;
• получение функциональных зависимостей величин изгибающих
моментов в элементах стальных П-образных рам от параметров дефектов
грунтового основания и жёсткостей узлов сопряжения;
38
(*) преобразуется в урав-
;
,
• усовершенствование методики расчёта стальных П-образных рам
( )
( )
(
)
.0...,,,
..................................
,0...,,,
,0...,,,
21
212
211
=
=
=
nn
n
n
XXXf
XXXf
XXXf
с дефектами основания;
• решение задач оценки НДС одноэтажных однопролетных стальных
рам на деформируемом грунтовом основании с дефектами.
2.5. РАСЧЁТ НА ПРОГРЕССИРУЮЩЕЕ ОБРУШЕНИЕ. ЗАЩИТА
Прогрессирующее обрушение (progressive collapse) – последовательное
разрушение зданий или сооружений, обусловленное начальным локальным
разрушением отдельных конструктивных элементов.
Термин появился в ходе анализа разрушения 22-этажного панельного
дома Roman Point в Лондоне. Затем произошло разрушение по такой же схеме ряда зданий, в том числе, башни Центра мировой торговли в Нью-Йорке.
Леденёв В. В. вместе с Богоявленским Д. С. обследовали и анализировали прогрессирующее обрушение тепличного комбината в г. Липецке. Был
выявлен ряд грубых ошибок, особенно при устройстве фундаментов и рам.
Очаг разрушения возник при случайном стечении обстоятельств и привёл
к полному разрушению смонтированных конструкций.
При проектировании должны быть предусмотрены мероприятия,
не допускающие прогрессирующего разрушения.
Это отражено, например, в документах:
1. СТО 008-02495342–2009 «Предотвращение прогрессирующего об-
рушения железобетонных монолитных конструкций зданий. Проектирование
и расчёт».
2. СП 382.1325800.2018 «Защита зданий и сооружений от прогресси-
рующего обрушения. Правила проектирования. Основные положения».
Проблема обострилась в связи со строительством высотных и уникальных зданий и деятельностью террористов.
В последние годы произошёл ряд разрушений объектов по всему миру,
связанный с грубыми ошибками при проектировании, строительстве, эксплуатации и реконструкции.
Это требует комплексного подхода к обеспечению безопасности зданий и
сооружений. Особое внимание следует уделять более глубокому изучению
механизма работы конструктивных систем с возможным регулированием НДС.
Численные решения нелинейных уравнений (Дж. Оден, 1976).
Рассматривается система нелинейных уравнений:
(∗)
39
Требуется найти удовлетворяющие этой системе значения Х – n-мерного
.
.....
2
1
=
n
X
X
X
X
( )
.0=Xf
,
1 zzzz
DXX λ+=
+
z
X
zz
Dλ
z
D
z
λ
( )
;,1tiiεφ=σ
( )
;,
2
t
c
i
i
ξφ
=σ
,
3
εξφ=σ
c
i
c
ii
d
ii
εσ ,
c
i
ξ
∫
−
ε=
c
i
dq
вектора независимых неизвестных:
При решении методом конечных элементов компонентами вектора Х
являются компоненты узловых перемещений. Уравнения (*) – глобальные
жёсткостные соотношения и условия несжимаемости. Их можно записать
в виде n-мерного векторного уравнения:
Для решения нелинейных уравнений используют итерационные и
неитерационные методы. В первых решения начинают с нулевого (пробного)
приближения Х
. Далее строится последовательность приближений. Она
0
должна сходиться к решению системы.
Как правило, последующие приближения получают с помощью рекуррентных формул вида:
где
– приближённое решение на z-м шаге процесса;
– n-мерный вектор, определяющий направление поправки;
– поправка;
– скаляр,
определяющий её величину.
В неитерационных методах точки подбираются случайно.
Теории ползучести и пластичности, используемые при решении
научно-технических задач.
Технические теории ползучести – старения, течения и упрочнения
(Н. Н. Малинин, 1975).
Технические теории ползучести:
• старения
• течения
• упрочнения
где
– интенсивности напряжений и деформаций;
– интенсивность
скоростей деформации ползучести; – параметр Удквиста; t – время.
40