Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения научно-технических задач в строительстве. Учебное пособие.pdf
Вероятность отказа – вероятность того, что в рассматриваемой конструкции
( ) (
) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
,
,,
0
,
0
,
0
,
0
,
0
ττ+ττ−µ+
+ττδτ−λ++µ+δλ=δ
∫
∫
duut
dutuututt
jiij
t
kkij
t
ijjikk
ijij
u
возникает отказ хотя бы одного из возможных видов.
Описаны модели внешних воздействий. Приведены примеры расчётов
на приспособляемость и прогрессирующее разрушение рамы. Рассмотрены
вероятностные подходы к решению различных задач, например, о хрупком
разрушении, циклических воздействиях, ползучести, изменений несущей
способности при деформировании и многих других.
Особенности постановки вариационных задач изложены в книге (Розин Л. А.
Вариационные постановки задач для упругих систем / Л. А. Розин. – Л.:
Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. – 224 с.).
Приведены задачи статики и динамики, линейные и нелинейные, на разрывных полях напряжений, деформаций и перемещений.
Обсуждаются вариационные постановки задач в теории тонких упругих
оболочек.
При решении упругопластической задачи для грунтов используют уравнения (Д. М. Шапиро, 2012):
• закон Гука;
• соотношения Коши;
• условия текучести (предельного напряжённого состояния);
• кинематические соотношения теории пластического течения.
Пример решения упругопластической задачи приведён в книге Шапиро Д. М. Теория и расчётные модели оснований и объектов геотехники /
Д. М. Шапиро. – Воронеж: Научная книга, 2012. – 164 с.
Задачи для вязкоупругих сред (К. Бреббия, С. Уокер, 1982). К вязкоупругим относят материалы, для которых зависимость между напряжениями
и деформациями включает время. Такие среды проявляют свойство ползучести, скорость деформаций которых зависит от текущего напряжённодеформированного состояния и от истории процесса нагружения.
Суммарное напряжение в момент времени t при заданной начальной
деформации линейно вязкоупругой среды представлено уравнением:
где t – время действия нагрузки;
– компоненты начальной деформации;
λ и µ – параметры Ламе, зависящие от времени (модули релаксации).
Предельные состояния (ГОСТ 27151–88) – состояния, при которых
конструкция, основание, здание или сооружение перестает удовлетворять
заданным требованиям. Их разделяют на группы.
21
1 группа (непригодность к эксплуатации):
• разрушение любого характера (пластичное, хрупкое, усталостное);
• потеря устойчивости формы;
• потеря устойчивости с переходом в изменяемую систему;
• качественное изменение конфигурации;
• ползучесть, сдвиг, образование трещин.
2 группа (затруднение нормальной эксплуатации):
• достижение предельных перемещений;
• достижение предельных уровней колебаний;
• образование трещин;
• достижение трещинами предельных размеров;
• потеря устойчивости формы.
Виды и методы расчётов. В книге (Верюжский Ю. В. Справочное
пособие по строительной механике / Ю. В. Верюжский, А. Б. Голышев,
Вл. И. Колчунов и др. В 2-х т. Том 1. – М.: АСВ, 2014. – 640 с.) рассмотрены
следующие виды расчётов стержневых систем:
• статически определимых на:
− подвижную нагрузку;
− неподвижную нагрузку.
• статически неопределимых систем методом:
− сил;
− перемещений;
• особые на:
− устойчивость;
− действие динамической нагрузки;
− длительное действие внешней нагрузки.
− нелинейную устойчивость железобетонных стержней при кратко-
временном и длительном загружении.
Изложены следующие методы расчёта строительных конструкций
и сооружений:
• конечных разностей;
• коллокаций;
• вариационные и вариационно-разностные;
• проекционные и проекционно-разностные;
• потенциала.
2.1. МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ И РАСЧЁТА
Компьютерные модели конструкций (А. С. Городецкий, И. Д. Евзе-
ров, 2009). Излагаются теоретические основы метода конечных элементов.
Компьютерные модели позволяют ставить и решать задачи, связанные
с моделированием процессов:
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЕРСОНАЛЬНЫХ ЭВМ
22
• нагружения;
( )
,0=+
−≡
fDBuB
Au
T
( )
u
ε
T
B
ε=σ
D
( ) ( ) ( )
uWuuJ +Π≡
( )
uJ
z
Ω
( ) ( )
∑
=
ϕ
=
nz
jz
jzjzh
xqxu
1
z
x Ω∈
• возведения;
• «приспособляемости», т.е. всего «жизненного цикла» сооружения.
Основными направлениями совершенствования МКЭ являются:
• построение уточненных конечных элементов за счёт увеличения
количества узловых неизвестных и степени аппроксимирующих элементов;
• снижение размерности разрешаемых уравнений применительно к за-
дачам динамики, устойчивости, физической и геометрической нелинейности;
• развитие структурных конечных элементов (МСКЭ) применительно
к пластинам и оболочкам;
• разработка модифицированных методов вычисления напряжений;
• реализация компьютерных моделей для решения задач динамики,
устойчивости, физической и геометрической нелинейности, реологии;
• интеграция, универсализация и интеллектуализация программных
комплексов.
Основное внимание уделено МКЭ в форме перемещений – искомой разрешающей функцией является перемещение. Это объясняется тем, что выбор
расчётной схемы легко поддается алгоритмизации.
Условие равновесия для задач линейной теории упругости представляется в виде:
(∗)
где В – матричный линейный дифференциальный оператор; и – вектор перемещений;
нированная матрица;
– вектор деформаций; D – матрица упругости;
– закон Гука.
– транспо-
Полная энергия:
является суммой потенциальной энергии деформации и работы внешних сил.
С помощью дифференциального оператора А можно перейти от решения
дифференциального уравнения (∗) к нахождению минимума функционала
полной энергии
ется вариационной. Порядок производных уменьшается в 2 раза.
вариант МКЭ аналогичен методу сил, если Рейсснера, – то смешанному методу.
вестных. Тип конечного элемента характеризуется набором узловых неизвестных, видом базисных функций, геометрии области
мых задач (видом оператора А).
ном виде, т.е.:
(функционала Лагранжа). Таким образом, задача явля-
В случае, когда в основу решения положен функционал Кастальяно, то
Важное значение придается выбору базисных функций и узловых неиз-
, классом решае-
Базисные функции на z конечном элементе вводятся в явном или неяв-
;
23
или
( )
mzmz
jzjz
z
zzzh
aa
aaxu ψ+
+ψ
++
ψ+ψ= ...
...
2
211
z
x
Ω
∈
z
Ω
jz
a
( )
mz
jz
jz
...,,
2,
1
=ψ
z
q
jz
a
z
Vqq =
,
1
qV
q
z
−
=
( ){ }
xiϕ
( )
( )
0
Ω∈ϕ
Ω∈ϕϕ
=ϕ
j
jij
i
x
x
( )
xu
Ω∈x
( ) ( )
,
1∑=
ϕ=
L
i
iih
x
qxu
i
q
,0=+ pKq
;
,
где mz – общее число узловых неизвестных, относящихся к z конечному элементу с областью
и
– коэффициенты и неиз-
;
вестные базисные функции.
Векторы узловых неизвестных
связаны с коэффициентами
соот-
ношениями:
;
где V – матрицы.
Узловыми неизвестными могут быть для:
• стержней – три перемещения и три угла поворота;
• балок стенок – два перемещения;
• объёмных элементов – три перемещения;
• тонких пластин – одно перемещение и два угла поворота;
• тонких оболочек – три перемещения и два угла поворота.
К важным преимуществам МКЭ относят возможность проведения сходимости и оценки приближённого решения, исследуя только один конечный
элемент из используемых в задаче.
Для решения линейных задач МКЭ выделяют пять основных этапов:
• расчленение системы на КЭ;
• выбор базисных функций;
• построение матриц жёсткости;
• приведение местной нагрузки к узловой для каждого КЭ;
• построение канонических уравнений;
• решение канонических уравнений и определение узловых неизвестных;
• определение компонентов напряжённо-деформированного состояния
(перемещений, напряжений) по области элемента и всей системы.
На каждой дискретной модели вводится система кусочно-непрерывных
функций
где L – общее число узловых неизвестных; h – максимальный размер КЭ;
q – вектор узловых неизвестных.
узловых неизвестных
где p – вектор внешней нагрузки в узлах; K – матрица жёсткости всей системы.
24
Искомая функция перемещений по области системы
,
:
Задача определения непрерывных функций сводится к определению
из системы:
Приведём алгоритм статического и динамического расчёта линейно-
Ввод исходных данных
Редуцирование матриц
жёсткости и массы
Статистический расчёт конструкции
Вычисление матриц жёсткости, массы
Вычисление матриц жёсткости,
Определение частот
Вывод перемещений узлов (частот и форм
в расчётных точках конечных элементов
Вычисление матричных частотных
Расчёт на устойчивость
Вычисление матриц
Определение частот и форм
деформированных конструкций (В. П. Агапов, 2004) (рис. 2)
начальных напряжений
собственных колебаний усилий
конструкций с учётом начальных
Вывод частот и форм собственных
колебаний для различных значений
параметра нагрузки
Рис. 2. Алгоритм расчёта конструкций
напряжений и нагрузки для элементов
массы и нагрузки для конструкции
и форм собственных
колебаний конструкции
собственных колебаний) и напряжений
характеристик и обобщённых матриц
напряжений элементов
методом наложения связи
Вывод минимального
критического параметра
и форм потери устойчивости
25
2.2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Метод конечных элементов. Идея метода. Конструкцию разбивают
на множество элементов простой геометрической формы: отрезки линий,
треугольники, четырёхугольники, тетраэдры и т.п. Элементы соединяют
между собой в узловых точках. Аналитическими методами описывают
напряжённо-деформированное состояние для этих (конечных) элементов,
а затем и всей конструкции, как правило, решают системы алгебраических
или дифференциальных уравнений второго порядка.
Разработан ряд программ для ЭВМ: NASTRAN, SCAD, ANSYS,
GTSTRUDL, MARC, DJNA, ЛИРА, ПРИНС.
МКЭ реализуется в форме метода перемещений или смешанного метода.
Наиболее популярным является первый метод. Основными неизвестными
являются перемещения узловых точек. Перемещения внутренних точек, деформации и напряжения вычисляют в зависимости от узловых перемещений.
Метод конечных элементов:
• библиотека КЭ (стержень, пластины, массивные тела, КЭ конечной
жёсткости и т.п.) – адекватная аппроксимация основных типов конструктивных элементов зданий и сооружений;
• учёт совместного деформирования сложных систем, состоящих
из различных типов конструктивных элементов (колонны, балки, плиты
стержни, пластины);
• учёт сложной структуры конструктивных элементов (различные
физико-механические характеристики, наличие отверстий, изменение сечений, закрепление (опоры) различного типа);
• учёт вида загружения (распределённое, сосредоточенное, статиче-
ское, динамическое и т.п.);
• учёт особенностей узлов соединения и положения конструктивных
элементов (наличие абсолютно жёстких участков КЭ, выравнивание КЭ
по плоскости, по грани, по положению КЭ в общей системе.
Основные этапы расчёта:
• выбор расчётного метода (программного комплекса) для реализации
расчёта;
• разработка (создание) модели несущих конструкций;
• проверка модели;
• расчёт;
• верификация результатов.
Формирование расчётной модели:
• выделение из объекта несущей части и элементов, воспринимающих
нагрузки на здание;
• геометрическое моделирование;
• идеализация материала конструкции;
26
• идеализация связей между элементами конструкции (внутренние
связи) и внешней средой (внешние связи).
Метод конечных элементов в нелинейной механике сплошных сред
(Дж. Оден, 1976). Для многих материалов уравнения состояния при малых
деформациях и установившихся однородных температурах считают линейными.
Начиная с 1950 г. возникали ситуации, для которых нельзя применять
классические линейные теории:
• полимерные и синтетические материалы;
• закритическое деформирование гибких конструкций;
• значительные деформации надувных конструкций;
• вязкоупругое и термовязкоупругое поведение материалов.
Это привело к разработке нелинейной теории поведения материалов
и конструкций, нелинейной механике твёрдого тела, численных анализов
нелинейных сред.
Нелинейные теории приводят к нелинейным уравнениям. Наиболее
эффектным стал метод конечных элементов.
Рис. 3. Пример типов конечных элементов для решения
пространственной задачи теории упругости (О. В. Кабанцев, 2013)
27
Концепция метода конечных элементов. Классический подход.
( )
XF
[ ]
BL;
)(xF
Сплошная среда аппроксимируется дискретной моделью – кусочная аппроксимация непрерывных полей. Изучают свойства бесконечно малых элементов
континуума. Устанавливают соотношения между средними значениями различных величин для бесконечно малых элементов. Устремляя размеры элементов к нулю, а число их к бесконечности, получают дифференциальные
уравнения в частных производных или интегральные уравнения, описывающие поведение материала.
Практический подход. Выделяют следующие особенности:
• изучают свойства элементов конечных размеров;
• могут быть использованы уравнения, описывающие поведение кон-
тинуума;
• размеры элементов всё время остаются конечными;
• интегрирование заменяют конечным суммированием;
• уравнения в частных производных заменяют системами алгебраиче-
ских или обыкновенных дифференциальных уравнений;
• среда с бесконечным числом степеней свободы представляется дис-
кретной моделью с конечным числом степеней свободы;
• с увеличением числа конечных элементов и уменьшением их разме-
ров поведение дискретной системы приближается к поведению непрерывной
(сплошной среды);
• такой подход применим к исследованию конечных деформаций фи-
зически нелинейных анизотропных неоднородных тел любой геометрической
формы при произвольных краевых условиях.
Теория конечных элементов. Она трактуется как систематический спо-
соб аппроксимации непрерывной функции дискретной моделью.
Суть метода показана на примере одномерной задачи (рис. 4).
Рассматривается вещественно непрерывная функция
на интервале
вещественной оси Х.
(рис. 4, а)
а) б)
Рис. 4. Непрерывная функция F(X) (a)
и её конечно-элементное представление
28
(б)
Конечно элементная модель
( )
xF
(
)
XF
( )
(
)
xf
e
( )
e
xx =
[ ]
BA
;
( )
XF
(
)
,
5
,4
,
3,
2,
1
, =
∆=
∆
∆
X
FF
5
432
1
,
,,,
FF
FFF
A
X
N
cx)
(
,
11
)1
(
Xx =
,
21
)2
(
2
)
1
(
X
xx =
=
,
3
1
)
3(
2
)2(
Xxx ==
,
41
)
4(
2
)3(
Xxx ==
.
52
)4(
Xx
=
а)
б)
этой функции показана на рис. 4, б.
В конечном числе узловых точек (в примере их пять) значения заданной и
приближённой функций совпадают.
На каждом подинтервале (конечном элементе) функция
симируется функцией
в подинтервале е). В интервале
в каждом узле (рис. 5, а):
(
– локальные координаты точки
вычисляются значения функции
аппрок-
где
– глобальные значения функций (элементы множе-
ства Y).
Глобальные координаты
образом (рис. 5, б):
связаны с локальными
следующим
Каждый конечный элемент рассматривается отдельно и временно
не связан с другими элементами – не имеет с ними общих точек.
Рис. 5. Глобальные значения (а) и локальные аппроксимации (б) функции F(X)
29
Приняты следующие соотношения между глобальными значениями
)
5
,4
,3
,
2,
1(
=
∆
∆
F
)2
,
1;
4,
3
,2
,
1(
)(
=
= N
ef
N
e
,
11
)1(
Ff =
,
21
)2(
2
)1
(
Fff
==
,
3
1
)3(
2
)2(
Fff ==
,
41
)4(
2
)3(
Fff ==
.
52
)4(
Ff =
( )
,
...,,,,
5
21
4
1
)
()(
FFFxfF
e
ex
∑
=
=
( )
521
)(
...,,,, FFFxf
e
( )
,...,,2,1,0,,, niFwuL
iii
==ϑ
iii
wu
,, ϑ
функций
и локальными
:
В окончательном виде:
где
– локальные функции, выраженные через глобальные.
Агапов В. П. (Агапов В. П. Метод конечных элементов в статике, динамике, и устойчивости конструкций: учебное пособие. – М.: АСВ, 2004. – 248 с.)
отмечает следующие этапы расчёта любой конструкции методом перемещений:
• идеализация конструкций или выбор расчётной схемы;
• вычисление матрицы жёсткости (МЖ) отдельных элементов в любой
местной системе координат;
• преобразование МЖ элементов общую для всей конструкции систе-
му координат;
• формирование уравнений движения или равновесия конструкций:
где L – некоторый оператор, в общем случае, дифференциальный;
–
перемещения узловых точек в направлении координатных осей; n – число
узлов; F – параметр нагрузки.
• решение вышеприведённой системы относительных узловых пере-
мещений;
• вычисление деформаций элементов по известным узловым переме-
щениям; вычисление напряжений в элементах по известным деформациям.
Практические приложения МКЭ. Наиболее подробно изложены
в книге О. В. Кабанцева (Кабанцев О. В. Расчёт и конструирование многоэтажных и высотных монолитных железобетонных зданий : учебное пособие /
О. В. Кабанцев. – М.: АСВ, 2013. – 419 с.).
В книге рассмотрены темы:
• принципиальная технологическая схема проектирования многоэтаж-
ных зданий;
• модели воздействия;
• расчётная технология; метод конечных элементов;
• расчётные модели железобетонных зданий; технология создания и
анализ;
• здания в условиях аварийных и особых расчётных ситуаций;
• конструирование монолитных железобетонных конструкций.
30