Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения научно-технических задач в строительстве. Учебное пособие.pdf
Силовое поле – потенциальное (консервативное), если работа сил поля
( )
nnn
zyxzyxzyx ,,...,,,,...,,,,
ккк111
Π=Π
≠
=
=δ
.,0
,,1jiji
ij
( )
( )
( )
.,,,,,,,,;
,,,,,,,,,;
,,,,,,,,,;
zyxzyxzyxtFzm
zyxzyxzyxtFym
zyxzyxzyxtFxm
z
y
x
=
=
=
=+++
=+++
=+++
mnmnnm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
2211
22222121
11212111
,
,
,,,
2
1
2
1
21
222
21
1
1211
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
=
m
b
b
B
x
x
x
X
aaa
aaa
aaa
A
n
mnmm
n
n
определяется начальными и конечными положениями точек системы и
не зависит от вида траектории этих точек.
.
Силовые (статические) связи – ограничения, накладываемые на уси-
лия (напряжение) в элементах системы.
Символ Кронекера (дельта – тензор):
Система дифференциальных уравнений движения:
Система линейных уравнений в матричной форме:
их можно представить в виде матричного уравнения
т.е. АХ = В.
Скручиваемый стержень – стержень, в плоскости концевых сечений
которого приложены силы – крутящих моментов.
Составные стержни (А. Р. Ржаницын, 1982) – конструкции, попереч-
ное сечение которых включает несколько элементов, соединённых между
собой податливыми непрерывно распределёнными по длине или сосредоточенными в отдельных сечениях связями.
121
Статическая нагрузка – нагрузка, которая не изменяется во времени,
εεε
εεε
εεε
=ε
333231
232221
131211
.
333231
232221
131211
εεε
εεε
εεε
=ε
или изменяется так медленно, что не возникают силы инерции и колебания.
Они могут изменять свою величину и направление.
Статически возможные внутренние силы – силы, которые удовлетво-
ряют уравнениям равновесия при некотором фиксированном значении внешней нагрузки.
Статически допустимые внутренние силы – такие статически воз-
можные силы, которые не нарушают условий пластичности.
Статически неопределимые системы – системы, внутренние силовые
факторы в которых нельзя определить только с помощью уравнений равновесия (статики).
Статический способ построения линий влияния – находится аналитическое выражение закона изменения величины, для которой строится
линия влияния.
Стационарные колебания – установившиеся движения в механической
системе.
Степень свободы механической системы – число независимых
геометрических параметров (обобщённых координат), которые определяют
положение всех её точек в пространстве в любой момент времени и при
любом движении.
Степени свободы – независимые координаты, определяющие положения системы при её движении.
Стержни – элементы, у которых толщина и ширина малы по сравнению
с длиной. Они могут быть прямолинейными, криволинейными, постоянного
или переменного сечения.
Стержни работают на растяжение – сжатие, изгиб, кручение и комбинации. Частным видом стержней являются нити, работающие на растяжение и
не сопротивляющиеся сжатию и изгибу.
Тело изотропно, если упругие свойства одинаковы для всех направлений, выходящих из произвольной точки.
Тензор деформаций:
.
Тензор скоростей деформаций:
122
Теорема Бетти: возможная работа
12
A
21
A
.
mk
km
rr =
1=mF
m
F
1=∆
k
,
mkkm
r δ−=
km
r
m
F
mk
δ
k
∆
zx
xz
τ−=τ
внешних сил состояния 1 систе-
мы на действительных перемещениях состояния 2 системы равна возможной
работе
ниях состояния 1 системы.
внешних сил состояния 2 системы на действительных перемеще-
Теоремы взаимности единичных реакций в статически неопределимых системах (теоремы Рэлея).
Первая теорема: реакция связи k от единичного смещения связи m равна
реакции связи m от единичного смещения связи k:
Вторая теорема: единичная реакция связи k от силы
ничному перемещению по направлению силы
от перемещения связи
равна еди-
, взятому с отрицательным знаком
где
щение по направлению силы
– единичная реакция связи k от силы
от смещения опорной связи
,
– единичное переме-
.
Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла) – перемещение по i-му направлению от k-й единичной силы равно перемещению
по k-му направлению от k-й единичной силы.
Теорема о взаимности работ (теорема Бетти) – работа внешних (внутренних) сил i-го состояния системы на перемещениях (деформациях)
k-го состояния равна работе внешних (внутренних) сил k-го состояния той же
системы на перемещениях (деформациях) i-го состояния.
Теорема о взаимности реакций – реакция i-й связи от единичного
перемещения k-й связи равна реакции k-й связи от единичного перемещения
i-й связи.
Теорема (закон) парности касательных напряжений: касательные
напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам, направленные
перпендикулярно к линии пересечений этих площадок, равны по величине и
обратны по знаку, т.е.
.
Теорема о максимуме касательных напряжений – на поперечном
сечении бруса при кручении всегда они достигают максимального значения
в точке контура поперечного сечения.
Задачи строительной механики:
• плоские и пространственные (решают в двух и трёх измерениях);
123
• статические (время не учитывают), динамические (указывают инер-
ционные свойства конструкций через производные по времени), квазистатические;
• геометрически нелинейные (при больших перемещениях и дефор-
мациях);
• физически нелинейные (появляются при отсутствии пропорциональ-
ности между усилиями деформациями);
• конструктивно нелинейные;
• подвижных и неподвижных систем;
• стержневых и вантовых систем, пластин и оболочек, рам, арок, плит;
• геометрически изменяемые (кинематически подвижные);
• геометрически неизменяемые (кинематически неподвижные);
• мгновенно изменяемые;
• статически определимые и неопределимые;
• устойчивости конструкций, оснований и систем (статические, энер-
гетические, кинематические);
• гармонические и бигармонические;
• температурные;
• линейные, нелинейные, упруго-пластические, вязкоупругие;
• аналитические, численные, экспериментальные;
• прочностные, деформационные, сейсмостойкости, надёжности;
• программирования, вариационные;
• тонкостенных стержней открытого профиля;
• генетической нелинейности, вызванных историей создания системы;
• вариационные;
• механики разрушения (прочности тел с трещинами, геометрии тре-
щин, динамики трещин);
• эллиптические;
• абстрактные (Ф. Сьярле, 1980);
• бифуркации;
• контактные;
• ассиметричные;
• краевые;
• предельного равновесия;
• обратно симметричная.
Первая основная задача: по заданным на границе тела нагрузкам найти
упругое равновесие тела.
Вторая основная задача: по заданным смещениям точек границы тела
найти его упругое равновесие.
Удар – действие силы, достигающей по модулю очень больших значе-
ний в течение весьма малого промежутка времени.
124
Ударный импульс:
Fdt
s
t
t
F
∫
τ+
∞→
→
τ
=
0
lim
( )
,
0
,,
=
µσ
ν
T
f
ij
ij
σ
ν
µ
0=µ
ν
( )
.0=σijf
( )
,0=σijf
.0=σ
σ∂
∂
=
ij
ij
d
f
df
.
0<
ij
ij
d
f
df σ
σ∂
∂
=
,
2
1
321
τ=σ
−σ
,
2
1
332
τ=σ−σ
.
2
1
331
τ=σ−σ
3
τ
,
2
1
32
τ
==δδ
DDijD
ij
I
D
I
2
( ) ( ) ( )
( )
2
31
2
23
2
12
2
1133
2
3322
2
22113
6
6
1
σ+σ+σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ
( ) ( ) ( )
.
6
1
2
13
2
32
2
213
σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ
.
Уравнение состояния – уравнение, связывающие параметры, определяющие состояние данной системы.
Уравнения поверхности текучести (Н. Н. Белов и др., 2013):
где Т – температура; f – функция текучести;
– тензор напряжения;
параметры физико-химической природы.
При T = const и
условие текучести:
Если f < 0, то в области материал ведёт себя упруго. При пластическом
нагружении:
–
где
где
касательному напряжению.
или
При разгрузке с поверхности:
Условия ползучести:
• Треско–Сен–Венана
– постоянная величина, характеризующая материал.
• Губера–Мизеса
– второй инвариант девиатора напряжений
В развёрнутом виде условие записывают в форме:
D
, пропорциональный
δ
ij
125
Условие текучести – перехода от упругого состояния к упругопласти-
(
)
.
0=
σ
ij
f
( )
.0,,
321
=σσσf
32
1
,,
σσ
σ
( )
,0
,,
321
=
IIIg
ij
I
δ=
δ
+δ
+δ
=
3
2
11
( )
(
)
1
3
32
21
2
δδ
+δ
δ
+δ
δ
−=
δ
δ−
δδ
=
jj
iiji
ij
I
( )
kkjjiikkjiijkijkij
I δδδ+δδδ−δδδ=δδ
δ= 326/1
32
13
321
,, III
( )
,0,,
321
=IIIy
321
,, II
I
ij
I σ=σ+σ+σ=
3211
( )
( )
13322
12
2
1
σσ+σσ+σσ=σσ−σσ=
jjii
jiij
I
( )
kkjjiikkjiijkijkij
I σσσ+σσσ−σσσ=σσσ= 32
6
1
3213
,
2
1
321
τ=σ−σ
,
2
1
33
2
τ=σ−σ
,
2
1
331
τ=σ−σ
3
τ
0
3
2 1
=σ+
σ+σ
3
2
/22 τ
33
2τ=σ
,
2
1
32
τ==σσ
DDijD
ij
I
D
I
2
( ) ( ) ( )
( )
,6
6
1
2
31
2
23
2
12
2
1133
2
3322
2
22113
σ+σ+σ+σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ
ческому:
или
Последнее уравнение – уравнение поверхности в трёхмерном пространстве главных напряжений
.
Для изотропных в отношении пластических свойств материалов условий
текучести имеет вид:
где
тензора напряжений.
;
;
– инварианты
Условия текучести:
• для изотропных в отношении пластических свойств материалов:
где
– инварианты тензора напряжений;
;
;
;
• Треска–Сен–Венана:
где
– постоянная величина – характеристика материала; в трёхмерном
пространстве главных напряжений – шестигранная призма с рёбрами, параллельными прямой
образуется правильный шестиугольник со
;
стороной
• Губера-Мизеса:
где
126
;
;
– второй инвариант девиатора напряжений
D
.
δ
ij
или
( ) ( ) ( )
2
13
2
32
2
213
6
1
σ−σ+σ−σ+σ−σ=τ
33
3τ=σ
3
3
577,
0
σ≈
τ
,
wzzwf
f
RR ββ
f
β
z
β
wf
R
wz
R
wzzwff
RR ββ
,1≤
γ
γβ
wf
cwf
wff
Rlk
n
F
f
k
w
l
wf
γ
wzzwff
RR ββ
.1≤
γγβ
fczwwfz
Rlkn
F
.
В пространстве главных напряжений условия Губера–Мизеса описывает
цилиндрическую поверхность около призмы Треска–Сен–Венана;
;
.
Условие прочности угловых швов.
Расчёт производится по двум опасным сечениям: по металлу шва и по
металлу границы сплавления с учётом отношения:
где
таллу шва и по границе зоны сплавления;
и
– коэффициенты глубины проплавления соответственно по ме-
– расчётное сопротивление
сварного углового соединения срезу по металлу шва;
– расчётное сопро-
тивление сварного углового соединения срезу по металлу границы сплавления.
Случай 1.
< 0, т.е. металл границы сплавления более про-
чен, чем металл шва.
Условие прочности имеет вид:
где n – количество сварных швов;
длина шва;
– коэффициент условий работы углового сварного шва
– катеты углового шва;
– расчётная
по металлу шва.
Случай 2.
> 1, т.е. металл шва более прочен, чем металл
границы сплавления.
Тогда условие прочности представлено:
Подчеркнём, что при сварке возможно возникновение в конструкциях
остаточных напряжений, деформации горячих и холодных трещин.
Усталость – понижение прочности материала при многократном приложении нагрузки.
Устойчивость – свойство тела, находящегося в состоянии равновесия
или движения определённым образом реагировать на возмущающие воздействия. Состояние равновесия устойчиво, если малые возмущения вызывают
малые отклонения от этого состояния.
127
Устойчивая форма равновесия статически нагруженной конструк-
,
2
2
t
и
Fx
z
yx
хz
ху
х
∂
∂
ρ=+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
+
∂
σ∂
,
2
2
t
Fy
zyx
уzу
ху
∂
ϑ∂
ρ=+
∂
τ∂
+
∂
σ
∂
+
∂
τ∂
.
2
2
t
Fz
zyx
z
уz
хz
∂
ω∂
ρ=+
∂
σ∂
+
∂
τ∂
+
∂
τ∂
ijijijij
ε′σ′′=ε′′σ
′
( )
[ ]
( )
,
1
2
,
1
xzxzzyxx
EE
τ
ν
+
=γσ+σν−σ=ε
( )
[ ]
( )
,
12
,
1
yzyzxzyy
EE
τ
ν+
=γσ+σν−σ=
ε
( )
[ ]
( )
.
12
,
1
xyxyyxzz
EE
τ
ν+
=γσ+σν−σ=ε
(
) ( )
µ+λµ+µ= /23xE
( )
µ+λλ=ν 2/
( )( )
ν−ν+
ν
=λ
211
E
( )
ν+=µ12
E
µ
ции – малым возмущениям соответствуют малые отклонения формы.
Уравнение движения сплошной среды в напряжениях:
Ферма – стержневая система с жёсткими или шарнирными узловыми
соединениями, остающаяся геометрически неизменяемой при замене всех
жёстких узлов шарнирными.
Физическая нелинейность – отсутствие пропорциональности между
усилиями и деформациями. Это свойственно для неупругих материалов.
Флаттер крыла самолёта – при достижении некоторой скорости воз-
никают колебания крыла с нарастающей амплитудой. Известны случаи разрушения металлических мостов от флаттера.
Флюс – неметаллический гранулированный материал, расплав которого
необходим для улучшения процесса сварки и качества сварного шва.
Формула Бетти:
,
т.е. сумма произведений компонент тензора напряжений одного состояния
на соответствующие компоненты тензора деформаций другого состояния
взаимно равны.
Формулы, выражающие деформации через напряжения:
Здесь
Обычно принимают вместо
128
;
;
;
.
– G.
Фундаментальные уравнения линейной теории упругости. Про-
( )
[ ]
zyxx
E
σ−σν−σ=ε
1
( )
[ ]
zxyy
E
σ−σν−σ=ε
1
( )
[ ]
yxzz
E
σ−σν−σ=
ε
1
G
xy
xy
τ
=γ
G
G
yz
yz
τ
=γ
( )
ν+=12
E
G
m
xy =
странственное напряжённое состояние.
;
τ
=γ ;
xz
xz
;
;
;
;
.
Фундаментальные задачи линейной теории упругости. Их используют для определения напряжённо-деформированного состояния среды при
разных схемах нагружения. Среда однородная изотропная, подчиняющаяся
закону Гука, заполняющая полупространства при начальном недеформированном состоянии (отсутствуют внешние нагрузки и внутренние напряжения). При бесконечном удалении от силы перемещения обращаются в путь,
а в точке приложения силы напряжения бесконечно растут по величине.
В связи с этим под силой мысленно выделяется объём части тела, заключенной в полусфере малого радиуса с центром в начале координат.
Пространственные задачи:
• сосредоточенная сила приложена на поверхности перпендикулярно
поверхности тела (J. Boussiness, 1985; см. В. А. Флорин,1959; Н. А. Цитович,1963; С. П. Демидов, 1979 и др.).
• сосредоточенная горизонтальная сила приложена на поверхности
полубесконечного тела (Хуанг Вен-хси, и др., КНР; формулы приведены
в кн. В. А. Флорина,1959).
• вертикальная сосредоточенная сила вблизи и перпендикулярная
поверхности линейно-деформированного полупространства, при этом граничная поверхность влияет на результаты расчётов (R. D. Mindlin, 1936;
R. D. Mindlin, D. Cheng, 1950; формулы приведены в работах В. А. Флорина
(1959), В. А. Кофман (1956), Н. М. Дорошкевич (1959).
• вертикальная сосредоточенная сила приложена внутри массива,
а граничная поверхность не оказывает влияния (K. Kelvin, 1855).
Плоские задачи:
• сосредоточенная вертикальная сила приложена в некоторой точке
прямоугольной границы бесконечно толстой пластинки; фундаментальное
решение (А. Flamant, 1984) называют простым радиальным распределением
напряжений (подробнее см. в книгах С. П. Тимошенко, Дж. Гудьера, 1975;
А. Надаи, 1959).
В книгах О. Osterberg (1957) и Н. А. Цытович (1963) рассмотрены и дру-
гие виды нагрузок, действующих на поверхность грунта в условиях плоской
задачи.
Функции, используемые в научных исследованиях (О. С. Иванов-
Мусатов, 1976) (рис. 3, 4).
• степенная
;
129
• показательная
x
ay =
xya log=
;csc ;sec ;ctg
;tg ;cos ;sin
xyxyxy
xyxyxy
===
===
2
sh
xx
ee
x
−
−
=
2
ch
xx
e
e
x
−
+
=
x
x
xx
e
e
e
e
x
x
x
−
−
+
−
==
ch
sh
th
x
x
xx
ee
ee
x
x
x
−
−
−
+
==
sh
ch
th
.cscarc
;secarc
;arcctg
;
arctg
;arccos
;arcsin
xy
xyxy
x
yx
y
xy
===
=
=
=
а)
б)
в)
г)
• логарифмическая
• тригонометрическая
• гиперболические
;
;
;
,
• обратные тригонометрические
,
Вид функций показан на рис. 3.
,
;
Рис. 3. Примеры очертаний некоторых функций (начало)
130