Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы решения научно-технических задач в строительстве. Учебное пособие.pdf
Основные типы статических задач теории упругости (С. П. Деми-
)(
Kij
xδ
)(
Ki
xu
f
i
t
)(Kixu
)(
Kij
xδ
i
f
)(
)(SS
i
xu
)(Sixt
t
S
)(
)(SS
i
xu
u
S
i
f
)(
Kij
xδ
)(
Ki
xu
)(
Kij
xδ
)(
Ki
xu
)(
Kii
xuu =
)(
Kijij
xδ=δ
i
u
дов, 1979):
• первая – определение компонент тензора поля напряжений
в
нутри области V, занятой телом, и компонент
вектора перемещений
точек K внутри области V и точек поверхности S тела по заданным массовым
силам
понент тензора поля напряжений
по заданным перемещениям
и
и поверхности
i
;
• вторая – определение перемещений
по заданным массовым силам
на поверхности тела;
внутри области V и ком-
• третья (смешанная) – по заданным поверхностным силам
на одной части поверхности тела
на другой части поверхности тела
определим компоненты тензора напряжений
и по заданным перемещениям
и по заданным массовым силам
и перемещения
удовлетворяющие основным уравнениям равновесия и смешанным граничным уравнениям.
Прямая и обратная задачи теории упругости:
• прямая – решение одной из основных задач указанных трёх типов, т.е.
в определении девяти функций
и
• обратная – задавшись либо перемещениями
понентами тензора напряжений
, определяющих НДС тела;
, либо ком-
определяют из основным урав-
нений и граничных условий все остальные функции, а также внешние силы,
вызывающие заданные
.
Седов Л. И. (1976) считал, что особое значение имеют работы, посвя-
щённые прочности и разрушению конструкций из различных материалов.
В механике сплошной среды разрабатываются методы сведения механи-
ческих задач к математическим, устанавливаются законы движения деформируемых тел.
,
11
2. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Для расчёта конструкций применяют теоретические методы:
• аналитические;
• конечных разностей (МКР);
• конечных элементов (МКЭ);
• граничных элементов (МГЭ);
• дискретных элементов (МДЭ);
• комбинированные (например, МКЭ – МДЭ).
Нелинейные задачи. Они могут быть:
• геометрически нелинейными (тела не обладают достаточной жёстко-
стью, например, гибкие стержни);
• физически нелинейными (тела не подчиняются закону Гука);
• геометрически и физически нелинейными (детали изготавливаются
из резины или некоторых видов пластмасс);
• конструктивно нелинейными (учитывается возможность изменения
расчётной схемы в процессе деформирования);
• генетически нелинейными (учитывается накопление напряжений и
деформаций в процессе изменения конструкции при её изготовлении).
Постановка научно-технических задач. При решении научно-техни-
ческой задачи следует указать используемые допущения, гипотезы, принципы, законы, обоснованные подходы известных специалистов или свои.
Приведём примеры. В справочном пособии по строительной механике /
Ю. В. Верюжский, А. Б. Голышев, В. И. Колчунов и др. – М.: АСВ, 2014
анализируются теории ползучести бетона:
• упруго ползучего тела;
• упругой наследственности;
• старения.
Рассматриваются и предпосылки, принятые в каждой из теорий. Так
в первой теории для области линейной ползучести:
• бетон рассматривается как однородный изотропный материал;
• между мгновенными деформациями и напряжениями существует
линейная зависимость;
• между деформациями ползучести и напряжениями существует
линейная зависимость;
• для деформаций ползучести справедлив принцип наложения;
• абсолютные величины деформаций (упругих и ползучести прини-
мают независимо от знака напряжений).
Гипотезы, применяемые при построении теории чистого кручения круглых цилиндрических стержней:
• поперечные сечения бруса, плоские до деформаций, остаются плос-
кими и после деформаций; расстояние между ними не изменяется;
12
• поворот поперечных сечений относительно друг друга вокруг про-
(
) ( )
,0,,,
,
32122
2111
===
uxxuuxx
uu
дольной оси пропорционален расстоянию между сечениями.
Примеры постановки научно-технических задач. Гарагаш Б. А.
(см. список литературы) определил комплексную задачу прогнозирования
взаимодействия сооружений с неоднородными деформируемыми основаниями.
Элементами её являлись:
• выбор механической модели основания;
• определение статических характеристик основания;
• выбор модели сооружений;
• определение (или задание) статических характеристик строительных
материалов сооружений и разброса данных деформируемости стыковых
соединений сооружения;
• определение (или задание) статических характеристик постоянных
и временных нагрузок на здание и основание;
• выбор системы уравнений совместности деформирования здания
и основания и способов их решения.
Рассмотрим постановку экспериментальной задачи (А. С. Сечников //
Бетон и железобетон. – 2008. – № 4). Целью исследований являлось:
• проверка прочности, жёсткости и трещиностойкости натурного
фрагмента каркаса «РАФНУСС НПУ» с плитами сплошного сечения;
• выявление особенностей напряжённо-деформированного состояния
системы;
• определение технологичности изготовления и монтажа;
• разработка рекомендаций по совершенствованию конструкций и
метода расчёта.
В результате испытания выявлены недостатки системы и предложены
рекомендации по усилению отдельных элементов и возможности использования каркаса в массовом строительстве.
Особенности решения научно-технических задач. Замкнутые системы уравнений. Седов Л. И. отмечал (1975), что дифференциальных уравне-
ний неразрывности, количества движения, моментов количества движения,
справедливых для описания непрерывных движений сплошных сред, даже
с добавлением граничных условий, недостаточно для описания движения
конкретной сплошной среды – число уравнений меньше числа неизвестных.
Система незамкнута.
Построить замкнутую систему (математическую модель) можно путём
введения дополнительных соотношений между параметрами среды.
Так, решение задачи о плоской деформации линейно упругого тела
должно удовлетворять уравнениям равновесия, граничным условиям, условиям совместности:
Построение новых моделей связано с экспериментальным изучением
свойств материала.
13
Расчётная модель – модель объекта (конструкции, сооружения, про-
( )
εδ=δ
цесса и т.п.), используемая для расчёта и проектирования. В неё вводятся
дополнительные упрощающие гипотезы, позволяющие выделить определяющие факторы.
Оден Дж. (1976) разработал конечноэлементные модели непрерывных
полей для исследования нелинейных задач строительной механики и механики сплошных сред.
Выделены четыре группы уравнений, описывающие поведение сплошной среды:
• кинематические;
• динамические (например, законы сохранения);
• термодинамические;
• уравнения состояния (определяющие).
Определяющие уравнения – соотношения между кинематическими,
динамическими и термодинамическими переменными, т.е. характеризуют
материал среды.
Нелинейное термомеханическое поведение сплошных сред. Механи-
ческая работа сопровождается выделением тепла и обратно. Свойства многих
материалов зависят от температуры, скорости деформирования и от их истории (обладают постоянной или затухающей памятью).
Идеализация диаграмм деформирования материала. Для упрощения
расчётов часто реальную диаграмму
зуют диаграммы жёсткопластического тела, Прандля, степенной, кусочнолинейной функции.
О выборе расчётных моделей. Анализ проектных решений и аварий
показывает, что выбору, обоснованию и важности расчётных моделей
не уделяется должного внимания. Читатель может осознать это рассмотрев,
к примеру, армирование жёстких фундаментов, приняв модель линейнодеформированной среды и модель Винклера.
Этому вопросу, на наш взгляд, следует уделять как можно больше внимания с чувством ответственности за надёжность и живучесть строящегося
объекта.
В монографиях А. В. Пшеничкина (2010), А. В. Перельмутера и
В. И. Сливкера (2011), Б. А. Гарагаша (2012) подробно рассмотрены особенности этой проблемы. Информацию можно найти и во множестве других
источников.
Моделирование – исследование объектов, процессов, явлений на моделях.
В механике выделяют большое число моделей тел. Приведём некоторые
из них:
• линейно и нелинейно упругие;
• упругопластические;
• жёсткопластические;
• упругопластические с упрочнением;
• упругопластические с разупрочнением;
14
заменяют условной. Исполь-
• линейно и нелинейно вязкие;
( )
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
δ
+δµ−δ=ε
δ+δ
µ−δ
=ε
δ
+δµ−
δ=ε
;
1
,
1
,
1
yxz
z
xz
yy
zyxx
E
E
E
;
......................................................................
,
,
666564636261
262524232221
161514131211
τ+τ+τ+δ+δ+δ=γ
τ+τ+τ+δ+δ+δ=ε
τ+τ+τ+δ+δ+δ=ε
xzyxyzzyxxy
xzyxyzzyxy
xzyxyzzyxx
aaaaaa
aaaaaa
aaaaaa
.,,
GGG
xy
xy
zx
zx
yz
yz
τ
=γ
τ
=γ
τ
=γ
z
yx
εεε ,,
zyx ,,
zxyzxy
γγγ ,,
• термоупругие;
• термовязкоупругие;
• термореологические простые с памятью;
• анизотропные;
• чувствительные к виду напряжённого состояния;
• анизотропные;
• ортотропные;
• квазилинейные;
• деформационно-анизотропные.
В упругом материале напряжения в произвольный момент времени
зависят только от локальной деформации в этот момент времени и не зависят
от напряжений деформирования.
Каждая модель отличается набором свойств. Так, для линейно упругого
тела характерны: сплошность, идеальная упругость, линейная зависимость
между напряжениями и деформациями, достаточная жёсткость (относительные перемещения малы по сравнению с единицей).
Приведём ряд соотношений из линейной теории упругости, часто применяемых при решении научно-технических задач.
Обобщённый закон Гука:
• сжатия-растяжения изотропных тел:
координатных осей
• сжатия-растяжения анизотропных тел:
• сдвига:
Здесь:
– относительные деформации удлинения в направлении
;
– угол сдвига в плоскостях yz, xz, xy;
15
,,,
σσσ
zx
yzxy
τ
ττ
,,
GE,
µ
ik
a
(
)
;
1
2 µ+
=
E
G
( )
;
21
zyx
E
e δ+δ+
δ
µ
−
=
( )
( )
( )
(
)
;6
2
2
22
2
22
2
xzyхyzyxxzzyi
τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ
(
)
( )
( )
( )
( )
;
2
3
12
2
22
2
2
22
xzyхyzyxxzzyi
γ+γ+γ+ε−ε+ε−ε+ε−ε
µ+
=ε
( ) ( )
( )
( )
;6
6
1
222
22
2
xzyxyzxzzyyxi
τ+τ+τ+σ−σ+σ−σ+
σ−σ=τ
(
)
;
3
1
,
,
3
,
0ср
zyxii
T
iT
i
E
ε+ε+ε
=ε=ε
ε=δ
δ
=τδ
=δ
,
22
2
2
2,
1
xy
yxyx
τ+
δ+δ
±
δ+δ
=δ
T
δ
zyx
взаимно перпендикулярных площадках;
второго рода (для сжатия – растяжения и сдвига);
циональности (коэффициент Пуассона);
– нормальные и касательные напряжения на трёх
– модули упругости первого и
– коэффициент пропор-
– упругие константы, зависящие
от свойств материала.
Приведём некоторые соотношения, часто используемые при решении
научно-технических задач:
– объёмная деформация:
– интенсивность нормальных напряжений:
– интенсивность деформаций:
– интенсивность касательных напряжений:
где
описывающие поведение сплошной среды, можно разделить на четыре группы:
16
– предел текучести материала.
Уравнения состояния. Оден Дж. (1976) показывает, что уравнения,
• кинематические;
• динамические, например, законы сохранения;
• термодинамические;
• определяющие (уравнения состояния).
Последние устанавливают соотношения между кинематическими, динамическими и термодинамическими переменными и характеризуют материал,
из которого состоит среда.
Все уравнения состояния должны согласовываться с:
• законом сохранения массы;
• уравнениями баланса количества движения и момента количества
движения;
• законом сохранения энергии;
• неравенством Клаузиуса–Дюгема.
Учитываются следующие правила составления уравнений:
• все уравнения состояния должны согласовываться с основными
физическими законами сохранения;
• значения переменных состояния в какой-либо материальной точке
тела в определённый момент времени определяются предысторией движения
и температурой всех точек тела;
• любая величина, являющаяся независимой переменной в каком-либо
одном уравнении состояния, должна присутствовать во всех уравнениях
состояния;
• на зависимые переменные состояния в какой-либо точке несуще-
ственно влияют значения независимых переменных в материальных точках,
удаленных от рассматриваемой;
• поведение материала не зависит от выбора системы пространствен-
ных координат;
• форма уравнений состояния должна быть инвариантна относительно
группы унимодульных преобразований материальной системы отсчёта.
Имеются и другие правила, например, «аксиома памяти».
Выбор расчётных схем (систем, физических моделей). Это наиболее
ответственный этап проектирования. От правильности выбора зависит практическая ценность результатов.
Расчётная схема – условная идеализированная схема, отражающая
наиболее важные свойства объекта.
Известны выработанные подходы к идеализации элементов сооружений,
условий сопряжения, физических свойств материалов, внешних воздействий,
протекающих процессов и явлений. Они подтверждены практикой и расчётами.
Расчётную схему описывают математической моделью – совокупностью
уравнений, чисел, символов, операторов и других математических отношений, позволяющих использовать исходную информацию в результаты расчётов (Ю. В. Верюжский и др., 2014).
Например, вместо прямых и кривых стержней рассматриваем осевые
линии, в оболочках и пластинах – срединную поверхность, вместо жёстких
узловых соединений в железобетонных сегментных фермах принимаем шарнирные, сопряжение колонны с фундаментом считаем жёстким, а с ригелем –
шарнирным.
17
Большое разнообразие моделей грунтовых оснований и зданий описано
,wcpz=
z
c
( )
( ) ( ) (
)
,,
~
,
1
1
0
∑ ∑
= =
+ϕ=ϕ==
n
i
n
j
jyjixi
yxcyAxACyxс
0
C
( )
xiϕ
( )
yjϕ
xi
A
yj
A
( )
yxс ,
( )
yx
с ,
( )
yxс ,
~
( ) ( )
,xcwxp =
{ }
21
, xxx =
1−
c
в различных источниках, например, в монографиях Б. А. Гарагаша (2012),
а нагрузок и воздействий на здания и сооружения – в книге В. Н. Гордеева,
А. И. Лантух-Лященко, В. А. Пташинского и др. (2011).
В качестве моделей здания принимают: бесконечно жёсткую балку, бал-
ку с приведённой и сдвиговой жёсткостями, балку-стенку, оболочку, составную систему из стержней, пластин, объёмных блоков.
Пример развития и практического использования модели грунтово-
го основания. Модель Фусса–Винклера – местных упругих деформаций.
Предложена Н. И. Фуссом в 1801 г., а затем использована при расчёте балок
Е. Винклером в 1867 г. Согласно этой модели, грунт представляет собой
систему вертикальных пружин, не связанных в горизонтальном направлении.
Такая среда не обладает распределительной способностью. Это однопараметрическая модель:
где р – давление на грунт; w – вертикальное упругое перемещение рассматриваемой точки;
– коэффициент пропорциональности (постели).
Предложен ряд модификаций модели (Г. Г. Болдырев, М. В. Малышев,
2015), однако она используется в упрощенном варианте. Недостатком модели
Фусса–Винклера является неучёт:
• распределительной способности грунта;
• зависимости коэффициента постели от размеров и формы фундамен-
та, вида грунта.
В работах А. П. Пшеничкина (2011) и Б. А. Гарагаша (2012) используют
переменный коэффициент жёсткости С (x, y), что позволяет учесть неоднородность грунтов в плане здания, величину активной зоны, начальной структурной прочности грунтов и других факторов.
В общем:
где
ней осадке поля;
– среднее значение коэффициента жёсткости, соответствующее сред-
– координатные функции, описывающие детер-
минированную часть коэффициента жёсткости основания по направлениям
осей x и y;
,
– амплитудные коэффициенты;
– рассматривается
как реализация случайного поля с разделением на регулярную компоненту
и случайную
Макаров Б. П., Кочетков Б. Е. (1987) уравнение:
где
– координатный вектор на поверхности контакта;
.
– подат-
ливость основания.
18
С учётом одномерного линейного закона ползучести (А. Р. Ржаницын,
( ) ( ) ( )
(
) (
)
,,
,,
,
0
τ
τ−
=
∫
t
dx
tR
x
wt
xw
xctxp
( )
τ,tR
( )
( ) ( )
,,
2
2
2
2
4
4
t
v
xmtxp
t
w
xm
x
w
EI
∂
∂
=+
∂
∂
+
∂
∂
( )
x
m
( )
txv ,
(
)
tx
p ,
( )
(
) (
) (
)
( )
(
)
.
,
,,
0
τ
∂
+
∂
τ−
++
=
∫
t
d
t
v
w
tR
t
xv
t
xw
хс
t
xp
1968):
где
– ядро релаксации.
При решении стохастических задач ползучести оснований фундамент-
ных конструкций уравнения поперечных колебаний балки на упругонаследственном основании:
где
тическое воздействие;
– погонная масса с учётом статической нагрузки;
– кинема-
– реакция основания.
Контактное давление может быть выражено через оператора ползучести:
Теория концентрации напряжений является одним из важнейших
разделов теории упругости и пластичности (В. В. Бирюлев, И. И. Кошин,
И. И. Крылов, А. В. Сильвестров, 1990). Реализация условий хрупкого разрушения является одним из самых опасных, так как отсутствуют предвестники разрушения, не происходит перераспределение усилий и напряжений.
Она зависит от:
• напряжённого состояния;
• величины и скорости деформаций;
• структурного состояния стали;
• физико-химических воздействий окружающей среды;
• истории изменения влияющих параметров во времени;
• масштабного эффекта (снижения прочности конструкций с увеличе-
нием их размеров).
В упомянутой выше книге (С. 187, табл. 2) приведены схемы разрушения образцов в виде отрыва (хрупкое) и среза (вязкое) при растяжении, сжатии, изгибе, кручении и срезе.
Трещины. Их различают по:
• ширине раскрытия (волосяные, сквозные);
• направлению (вертикальные, горизонтальные, наклонные);
• длине (от нескольких миллиметров до нескольких метров);
• изменению размеров во времени (стабилизированные, нестабилизи-
рованные);
19
• причинам появления (силовые, деформационные, температурные, кор-
,ν
=Lu
.Uu ∈
.Vv ∈
( )
τv
0
Ω
,0 t≤τ≤
( ) ( )
[ ]
.0;
0
tVptp ≤τ≤Ω∈τ=
розионные, усталостные, технологические, комбинированного действия и др.);
• степени опасности для несущей способности и(или) устойчивости;
в специальной литературе приводятся данные для разных конструкций, материалов и условий эксплуатации;
• стадии развития (зарождения, развития, разрушения с появлением
в отдельных случаях магистральных);
• характеру появления: вязкие (сдвига), хрупкие (отрыва).
Для разных научных дисциплин классификация трещин может резко
отличаться. Приведём пример (Ломтадзе В. Д. Инженерная геология. Инженерная петрология. – Л.: Недра, 1984. – 511 с.). В геологии рассматривают
следующие виды трещин: выветривания, контракционные, морозобойные,
напластования, тектонические, оползней, провалов, просадок, отрыва, разгрузки, скалывания.
В настоящее время интенсивно развивается механика разрушения.
Информацию по этой проблеме можно найти в работах Гриффитса
(A. A. Griffith, 1920), Орована (E. O. Orovan, 1950), Ирвина (G. R. Irwin, 1958)
Л. И. Седова (1970), Г. П. Черепанова (1983, 2012), Ю. В. Зайцева (1991),
Е. М. Чернышева (2012) и др.
Общая постановка задач. Целью расчёта строительной конструкции
является определение параметров, при которых наступление предельных
состояний в течение всего установленного срока эксплуатации будет меньше
заданного значения (В. В. Болотин, 1972).
Пусть поведение некоторой системы при внешних воздействиях описывается уравнением:
где ν – элемент из входных параметров Q; и – элемент из пространства
выходных параметров U; L – оператор системы;
Эволюция состояния описывается функциями и(t). Геометрическим
образом состояний являются траектории в пространстве состояний U.
Для описания качества системы вводится пространство V. Каждому качеству системы соответствует элемент
Функция надёжности системы определяется как вероятность пребывания элемента
в допустимой области
в течение интервала
т.е.:
В книге (Аугустин Г., Баратта А., Кашиати. Ф. Вероятностные методы
в строительном проектировании / пер. с англ. – М.: Стройиздат, 1988. – 584 с.)
отмечается, что на практике мы имеем дело с случайными параметрами, процессами, явлениями, величинами, свойствами.
Реакция конструктивной системы тоже может быть случайным процессом. В одной и той же конструкции могут возникнуть отказы разных видов.
20