Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки экспериментальных данных. Учебное пособие
.pdf
Приравнивая частные производные к нулю, получим
b
ln
x
+ ln
i
b ln
x
i
a
+ n ln
ln
x
i
a
= ln (y
= ln (x
).
i
)ln (yi),
i
2
Также можно ввести замену переменных и параметров следующим
образом:
x = lnx, a = lna,
тогда
lnφx,a,b
+ bx.
= a
Таким образом, задача сведена к линейной. Для практической реализации решения задачи аппроксимации необходимо:
- прологарифмировать данные исходной таблицы;
- по новой таблице, решая линейную задачу аппроксимации, найти
параметры a,b;
a
- вычислить a = e
3. Экспоненциальная аппроксимация φx,a,b
.
= ae
bx
Аналогично степенной аппроксимации экспоненциальную аппроксимацию можно свести к линейной, логарифмируя аппроксимирующую
функцию
lnφx,a,b
= lna + bx.
Обозначим a = lna. В результате получим
lnφx,a,b
= a + bx.
Практически для решения данной задачи аппроксимации необходимо выполнить следующие шаги:
- прологарифмировать значения функции исходной таблицы;
- по новой таблице найти параметры a,b;
a
- вычислить a = e
.
Это позволяет свести задачу экспоненциальной аппроксимации к
рассмотренной ранее задаче линейной аппроксимации (см. табл. 5.1).
Сумма квадратов отклонений имеет вид
S =∑lna + bx
– lny
i
2
.
i
Частные производные по основаниям b и lna
∂S
= 2 lna + bx
∂b
– lny
i
i
x
,
i
61
∂S
= 2 lna + bxi – lnyi.
∂(lna)
Приравняв частные производные нулю, имеем
b x
2
i
b x
+ ln
+ n∙ln
i
a
xi = x
a
= ln (y
∙ln (yi),
i
).
i
В результате решения нормальной системы можно найти b и lna, а по
таблице антилогарифмов – a.
4. Гиперболическая аппроксимация φx,a,b
Введем новую функцию
1
= ax + b. Задача также сводится к линей-
y
=
ax
1
+ b
ной аппроксимации путем замены переменных. Фактически необходимо
построить новую таблицу, в которой значения аргумента остаются неизменными, а значения функции заменены обратными к начальным и, используя новую таблицу, найти параметры a,b.
5. Гиперболическая аппроксимация φx,a,b
=
x
ax + b
Рассмотрим обратную функцию
ax + b
1
=
y
= a +
x
b
.
x
1
Введем замену переменных x =
. Тогда
x
1
= a + bx.
y
Таким образом, для сведения данной нелинейной задачи к линейной
достаточно заменить данные исходной таблицы обратными величинами.
a
6. Гиперболическая аппроксимация φx,a,b
=
+ b
x
Сумма квадратов отклонений имеет вид
2
.
S =
∑
a
+ b – yi
x
i
Частные производные по a и b равны
∂S
∂a
∂S
∂b
= 2
= 2
∑
∑
a
+ b – y
x
i
a
x
i
+ b – y
1
,
i
x
i
.
i
62
Приравнивая к нулю, имеем
y
i
,
x
i
a
1
+ b
2
x
i
1
=
x
i
1
⎩
a
+ n·b = y
x
i
.
i
Если нелинейную зависимость аппроксимирующей функции от параметров нельзя представить в виде суммы, то задачу минимизации решают, используя численные итерационные методы (градиентный спуск, методы Ньютона и др.).
В табл. 5.2 приведены системы нормальных уравнений для некоторых исходных функций.
Таблица 5.2
Системы нормальных уравнений
Исходное
Система нормальных уравнений
уравнение
1 2
y = ax
b
y = alnx + b
ax+b
y = e
y = aebx
b ln(x
a ln(x
)
i
b ln
a x
b x
b x
2
+ lna
)2+ b ln
i
a ln
2
i
a x
2
+ ln (a) xi – xi∙lnyi = 0,
i
ln
+ n∙lna
x
i
+ n∙b – y
x
i
+ b xi – xi∙lnyi = 0,
+ n∙b – lnyi= 0
i
+ n∙ln (a) – lnyi = 0
i
– ln
x
i
– lny
– y
x
i
i
x
= 0
i
∙lnx
i
= 0
i
lny
= 0,
i
= 0,
i
63
Продолжение табл. 5.2
x
1 2
y
i
= 0,
x
i
= 0
i
y
1
i
i
= 0,
= 0
y
i
1
= 0,
x
·y
i
i
1
= 0
y
i
y =
y =
y =
a
+ b
x
1
ax + b
x
ax + b
a
1
2
x
i
+ b
1
x
i
–
1
a
⎩
a x
+ n∙b – y
x
i
2
+ b xi –
i
a x
+ n∙b –
i
⎩
1
a
2
x
i
+ b
1
–
x
i
1
a
⎩
+ n∙b –
x
i
5.4. Интерполяция экспериментальных данных
Интерполяция – это научный метод, состоящий в получении промежуточных значений некоторой функции по имеющемуся дискретному
набору значений. При обработке экспериментальных данных интерполяция позволяет описывать результаты эксперимента таким набором кривых,
которые точно проходят через все опытные точки.
В общем случае задача интерполяция имеет следующую постановку:
найти такую функцию f(x), что fx
К простейшим способам интерполяции относятся методы интерполяции кусочно-непрерывными функциями: линейный, параболический,
кубический сплайны.
Рассмотрим некоторые варианты для интерполяции функций:
1. Линейная интерполяция
При линейной интерполяции искомая функция f(x) представляется
кусочно-линейной функцией, заданной на каждом интервале [xi, x
гебраическим двучленом
i
= y
для всех значений i = 1, 2, …, n.
i
i+1
] ал-
x
= a
P
i
(x – x
i
) + b
i
.
i
Неизвестные коэффициенты ai и bi определяются через уравнение
прямой, проходящей через две точки [xi, yi] и [x
i+1
, y
i+1
]:
64
x
– y
P
i
y
– y
i+1
x – x
i
=
i
i
i+1
– x
,
i
x
тогда для x∈[x
i,xi+1
]
P
x
i
=
– y
y
i+1
x
i+1
– x
i
i
x – x
i
+ y
.
i
Погрешность замены функции f(x) ее линейной интерполяцией может быть оценена на основе теоремы Ролля
fx
M
|
R
i
(x)
|
≤
M
2
2
x
= P
2
max |(x – xi)(x – x
=max
[xi,x
i
i+1
]
+ R
(x),
i
|
f''(x)|.
i+1
)|,
Для функции двух переменных f(x,y) линейная интерполяция реализуется в виде билинейной интерполяции, представляющей суперпозицию
линейной интерполяции по каждой переменной: сначала в направлении
одной из координат, а затем в перпендикулярном направлении.
Уравнение билинейной интерполяции для функции двух переменных
имеет вид
fx,y
= a
+ bx + cy + dxy.
2. Параболическая интерполяция
При параболической интерполяции искомая функция f(x) представляется кусочно-параболической функцией, заданной на каждом интервале
, x
алгебраическим трехчленом
i+1
x
P
= a
i
(x – xi)
i
2
+ b
(x – x
i
) + c
i
.
i
x
i
В отличие от линейной интерполяции при построении параболиче-
, b
, c
ского сплайна возможно определение параметров a
i
таким образом,
i
i
чтобы в точках соединения сегментов сохранялась непрерывность первой
производной.
, b
, c
Неизвестные коэффициенты a
i
определяются через систему
i
i
уравнений
c
= y
,
i
i
x
a
i
i+1
– x
2a
2
i
x
i
+
i+1
b
i
– x
x
i+1
+ b
i
– x
i
= b
i
+ c
i+1
= y
i
i+1
,
65
или в матричном виде
a
i
b
=
i
c
i
001
– x
– x
2
x
i
i
– xi1
i+1
10
x
2x
i+1
i+1
-1
∙
y
i
y
.
i+1
b
i+1
Данная система позволяет последовательно, начиная с i = n – 2 до
= 1, определить коэффициенты алгебраического трехчлена на каждом от-
i
резке. При этом значение b
a
n-2(xn-1
a
– x
n-2(xn
можно определить из условия
n-2
c
=
y
,
n-2
x
– x
n-1
x
– x
n
n-2
n-2
+ c
+ c
– x
n-2
n-2
)
2
+ b
2
)
n-2
+ b
n-2
n-2
n-2
n-2
= y
= y
n
n-1
,
или в матричном виде
-1
y
n-2
∙
y
.
n-1
y
n
1
1
a
b
c
n-2
n-2
n-2
=
(x
001
(x
n-1
n
– x
– x
n-2
n-2
)2x
2
)
– x
n-1
xn – x
n-2
n-2
3. Кубическая интерполяция
При кубической интерполяции искомая функция f(x) представляется
кусочно-непрерывной функцией, заданной на каждом интервале x
алгебраическим четырехчленом
P
x
i
=
ai(x – xi)
3
+ b
x – x
i
2
i
+ c
i
x – x
i
+ d
.
i
При этом при построении кубического сплайна возможно определе-
, b
ние параметров a
, ci, di таким образом, чтобы в точках соединения сег-
i
i
ментов сохранялась непрерывность первой и второй производных.
, b
Неизвестные коэффициенты a
, ci, di определяются через систему
i
i
уравнений
d
= y
,
i
i
⎩
a
i(xi+1
– xi)
3a
i
x
3
+ b
i+1
– x
6a
x
i
i+1
2
+ 2b
i
x
– x
i
i+1
– x
i
i
+ 2b
i
2
+ c
x
i+1
i
– x
= 2b
i
– x
+ c
i+1
i
= c
i
+ d
i+1
= y
i
,
i+1
,
x
i+1
i
или в матричном виде
, x
i
i+1
66
⎠
-1
∙
y
i
y
i+1
.
c
i+1
b
i+1
a
b
c
d
i
i
=
i
i
⎝
(x
3x
3(x
00
i+1
i+1
– xi)
– x
i+1
i
– xi)
3
x
i+1
2
2(x
i+1
– x
– xi)
1
2
i
0 1
x
i+1
– x
1
i
1
0 00
Данная система позволяет последовательно, начиная с i = n – 3 до
i = 1, определить коэффициенты алгебраического трехчлена на каждом от-
резке. При этом значения a
a
a
⎩
n-3(xn-2
x
n-3
n-1
a
n-3(xn
– x
– x
n-3
n-3
– x
)
n-3
3
+ b
3
+ b
)
3
+ b
n-3
n-3
n-3
n-3
n-3
x
– x
n-2
x
– x
n-1
x
– x
n
и d
n-3
d
= y
n-3
n-3
n-3
n-3
можно определить из условия
n-3
,
n-3
2
+ c
2
+ c
2
+ c
n-3
n-3
n-3
x
– x
n-2
x
– x
n-1
x
– x
n
n-3
n-3
n-3
+ d
+ d
+ d
n-3
n-3
n-3
=
= y
= y
y
,
n-2
,
n-1
n
, b
, c
или в матричном виде
a
n-3
(x
(x
b
n-3
=
c
n-3
d
n-3
⎝
Пример результата интерполяции экспериментальных данных приведен на рис. 5.1.
00
3
– x
n-2
– x
n-1
(xn – x
n-3
n-3
n-3
)
)
3
)
x
– x
n-2
3
x
n-1
x
n
– x
– x
n-3
n-3
n-3
0 1
2
x
2
2
– x
n-2
x
– x
n-1
xn – x
n-3
n-3
n-3
-1
y
∙
n-3
y
n-2
.
y
n-1
y
n
1
1
1
⎠
Исходныйряд
Линейныйсплайн
Квадратичныйсплайн
Кубическийсплайн
Рис. 5.1. Результат интерполяции экспериментальных данных
67
6. РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА
Задание 1. Построить и оценить линейную однофакторную регрес-
сию. В результате проведения однофакторных экспериментов были получены по 10 точек парных зависимостей y = f(x):
Вариант
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Номер опыта
-2,5 -2,0 -1,5 0,5 1,0 2,0 2,5 3,0 4,5 5,5
x
1
-3,0 -1,5 -2,0 -2,0 0,5 -1,0 2,0 0 2,0 3,3
y
1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 4,5 6,0 7,5 8,0
x
2
8,0 6,5 7,5 5,0 6,0 3,5 5,5 2,5 3,5 1,0
y
-2,0 -1,0 1,0 3,5 4,0 6,0 7,0 8,5 10,0 10,5
x
3
2,5 1,5 2,5 3,5 2,6 4,2 2,7 3,5 3,8 4,5
y
1,0 2,0 2,5 3,5 4,0 5,0 6,0 6,5 7,0 8,0
x
4
1,5 4,0 2,1 1,8 6,5 4,1 5,0 3,4 6,2 5,0
y
-3,5 -2,0 -1,5 0,5 2,0 3,0 6,5 8,0 8,5 10,5
x
5
6,0 4,6 5,2 4,7 6,1 8,5 8,0 10,0 7,5 9,4
y
-3,0 -2,5 -1,0 1,0 3,3 3,5 7,0 8,0 9,0 10,0
x
6
8,4 9,4 8,5 6,6 3,2 7,0 5,1 3,0 3,6 2,0
y
x
0 2,0 4,5 5,0 6,0 7,0 8,5 10,0 10,5 12,0
7
-0,5 0 -0,5 0,5 0,6 0 1,0 1,7 1,1 1,4
y
-1,0 0,3 0,6 1,0 1,8 2,0 2,6 4,0 4,5 5,0
x
8
-3,6 1,0 -1,5 -3,0 2,0 4,4 6,7 8,0 7,0 10,0
y
-4,0 -2,8 -2,0 -1,1 0 1,0 0,5 2,6 3,0 6,0
x
9
4,0 5,7 4,3 9,0 3,5 9,1 6,0 4,0 7,5 9,0
y
3,7 4,0 5,0 5,5 6,8 7,0 8,5 9,5 9,2 11,0
x
10
1,0 0 -1,4 4,3 1,9 5,0 -1,7 3,0 5,2 0
y
Известно, что зависимости имеют линейный характер.
Требуется:
1) построить экспериментальные точки в декартовой системе
координат;
2) построить оценочную прямую линию зависимости по методу
контура;
3) рассчитать коэффициенты линейной регрессии b
и b1;
0
4) рассчитать коэффициенты парной корреляции;
5) построить прямую по полученной регрессионной зависимости в
тех же координатах (с экспериментальными точками и оценочной прямой);
6) проверить значимость полученного уравнения регрессии по
F-критерию Фишера.
68
Задание 2. Построить и оценить нелинейную однофакторную ре-
грессию. Даны варианты однофакторных нелинейных зависимостей:
Номер
варианта
х
1 2 3 4 5 6 7 8
1,5 2,5 4,5 6,5 8,0 9,4 10,4 11,3
Номер опыта
1
у
х
112 105 95 80 70 50 30 15
-7,2 -4,5 -3,0 -1,5 1,5 2,5 5,0 6,5
2
у
х
30 55 65 80 95 100 103 107
-1,0 1,7 3,0 5,0 7,0 8,5 9,5 10,5
3
у
х
105 92 80 70 50 38 25 10
-5,2 -4,0 -2,5 -1,5 0 1,5 3,0 5,5
4
у
х
-25 0 20 35 44 50 60 60
-2,5 0 2,5 5,0 5,5 9,2 7,5 10,5
5
у
х
5,0 13 25 35 44 75,0 56 100
1,3 2,5 5,0 6,8 7,5 8,5 8,5 9,0
6
у
х
3,0 5,0 20 32 50 65 80 95
-2,0 0 2,5 5,0 6,8 7,5 9,0 10,5
7
у
х
-3,0 -30 -20 -15 0 10 35 60
-5,5 -2,0 0 1,5 3,5 4,8 6,5 7,5
8
у
х
74 68 57 45 34 9,0 -11 -30
-6,3 -5,4 -3,4 -1,0 0,6 2,6 3,2 4,2
9
у
х
30 32 30 25 13 -4 -25 -46
0,5 2,4 4,1 4,8 5,0 5,8 6,4 7,2
10
у
4,0 14 39 56 45 69 87 104
Требуется:
1) построить экспериментальные точки в декартовой системе
координат;
2) рассчитать коэффициенты нелинейной (квадратичной) зависимо-
сти a, b, c методом исключения переменных в нормальных уравнениях;
3) проверить адекватность полученного уравнения регрессии по
F-критерию Фишера;
4) рассчитать коэффициент парной корреляции;
5) построить расчетную кривую на координатной плоскости с опыт-
ными точками.
Задание 3. Аппроксимация экспериментальных данных
1. Для таблично заданной функции найти параметры следующих аппроксимирующих функций: линейной, степенной, полиномиальной и экспоненциальной.
2. Оценить величину достоверности для каждого случая.
69
3. Построить на одном рисунке исходные данные и графики аппроксимирующих функций.
4. Проверить нормальность распределения остатков наилучшей аппроксимации.
Порядок выполнения заданий
1. Ввод исходных данных. Исходными данными является таблица
значений узлов аппроксимации и соответствующих им значений аппроксимируемой функции. В первом столбце таблицы находятся значения x
втором – значения y
. Количество узлов (n) индивидуально в каждом зада-
i
, во
i
нии (если аппроксимирующая функция f(x) нелинейна относительно коэффициентов аппроксимации, то предварительно следует линеаризовать ее
путем подходящей замены переменных).
2. Расчет значений аппроксимирующей функции и среднего квадратического отклонения.
Расчет значений аппроксимирующей функции состоит из двух этапов:
1) решение системы уравнений;
2) вычисление значений полинома в узловых точках x
.
i
3. Пересчитать коэффициенты, если это необходимо для перехода к
исходной аппроксимирующей функции f(x), и напечатать их.
4. Вывести в графическом виде построенную функцию f(x).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В учебном пособии были рассмотрены общие вопросы планирования
однофакторных и многофакторных экспериментов, методы снижения числа ошибок при проведении эксперимента, а также различные методы обработки полученных в ходе эксперимента данных и проверки их на корректность. При освоении учебного материала у обучающихся формируется системное понимание взаимосвязи всех этапов эксперимента от планирования до обработки данных и их влияние на надежность конечного результата.
Методы планирования эксперимента и обработки полученных результатов иллюстрируются примерами как из области технических, так и
гуманитарных наук. Это позволяет изучать различные методы обработки
экспериментальных данных студентам любых направлений подготовки.
Учебное пособие предназначено главным образом для студентов,
имеющих хорошую математическую подготовку, знающих и понимающих
основы математического анализа, теории вероятностей и математической
статистики.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]