Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки экспериментальных данных. Учебное пособие
.pdf
зультаты измерений (для определения значений поправок) необходимо
знать не только значения аргументов, которые получают с помощью
«вспомогательных измерений», но и функции влияния на результаты измерений влияющих физических величин.
Если измерения не удалось организовать так, чтобы исключить или
скомпенсировать какой-либо фактор, то в результат для компенсации действия определенной составляющей погрешности вводится поправка С. Поправка – это величина, одноименная измеряемой, которая вводится в результат измерения с целью исключения составляющих систематической
погрешности. Поправка по числовому значению равна систематической
погрешности и противоположна ей по знаку. В результат может вводиться
несколько поправок. Введение их в процессе измерений или после является весьма эффективным методом исключения систематических погрешностей. Для его реализации необходимо предварительно выявить и оценить
погрешность, которая при изменении знака на противоположный и будет
использоваться в качестве поправки.
Систематические погрешности, остающиеся после введения поправок на ее наиболее существенные составляющие, называются неисклю-
ченными остатками систематических погрешностей
(НСП).
i
В этом случае ограничиваются оценкой границ возможных систематических погрешностей. Границы вычисляют в предположении, что НСП
представлена в виде суммы элементарных составляющих, для которых заданы границы:
, i = 1…m. Арифметическая граница НСП является
i
надежной, но обычно завышена
m
.
iia1
Доверительная граница НСП оценивается в предположении о равномерном распределении НСП в заданных границах. Доверительная граница
равна
m
2
,
k
ip
i
1
где k = k
(P, m).
p
При доверительной вероятности Р = 0,95 и числе составляющих
m ≥ 4 k = 1,1; при Р = 0,90 k = 0,95.
4.4. Грубые погрешности
При статистической обработке необходимо убедиться, что отсутствуют результаты с грубой погрешностью, так как они искажают результат измерения. Выявление результата с грубой погрешностью решается
51
статистическими методами – проверкой статистических гипотез. Проверя-
ется гипотеза о том, что результат наблюдения x
не содержит грубой по-
i
грешности, т.е. он является одним из значений измеряемой величины. Для
этого задаются вероятностью α (уровнем значимости) того, что сомнительный результат действительно мог иметь место в данной совокупности результатов наблюдений.
Если результаты наблюдений распределены по нормальному закону,
то грубые погрешности исключают, основываясь на критериях оценки
анормальности. Выбор критерия обосновывается тщательностью оценки
принятия гипотезы нормального распределения и точностью результатов.
Для оценки анормальности могут быть применены различные критерии.
Критерий «трех сигм» применяется при числе измерений n ≥ 20…50.
Так как в области ±3σ находится 99,73 % всех возможных значений, то результат, возникающий с вероятностью q ≤ 0,003, маловероятен и его можно считать промахом. То есть если отклонение результата от среднего
арифметического превышает три стандартных отклонения
S
– оценка среднеквадратичного отклонения измерений, то
x
S
Величины
x и
вычисляют без учета экстремальных значений
x
Критерий Романовского применяется, если число измерений
β/)(
При этом вычисляется отношение
β
ем
, выбранным по табл. 4.1. Если β ≥ βТ, то результат
Т
Sxx
и сравнивается с критери-
xi
x
x
считается про-
i
Sxx 3
, где
i
i
x
i
– промах.
x
.
i
20
n
махом и отбрасывается.
Таблица 4.1
Значения критерия Романовского β = f(n)
q
0,01
0,02
0,05
0,10
4n
1,73
1,72
1,71
1,69
6n
2,16
2,13
2,10
2,00
8
n
2,43
2,37
2,27
2,17
10
n
2,62
2,54
2,41
2,29
n
2,75
2,66
2,52
2,39
12
15n
2,90
2,80
2,64
2,49
20n
3,08
2,96
2,78
2,62
Вариационный ряд Диксона – удобный и достаточно мощный (с
малыми вероятностями ошибок) критерий. При его применении полученные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий
)...(,...,,
ряд
2121 nn
xxxxxx
. Критерий Диксона определяется следующим
образом:
.
)/()(К
xxxx
,
11Д
nnn
x
где
– последний результат вариационного ряда;
n
результат вариационного ряда;
x
– первый результат вариационного ряда.
1
x
– предпоследний
1n
52
qZP
q
)К(
Критическая область для этого критерия
Д
q
. Значения Zq
приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
Значения критерия Диксона
Z
n
4
6
8
10
14
16
18
20
30
0,10 0,05 0,02 0,01
0,68
0,48
0,40
0,35
0,29
0,28
0,26
0,26
0,22
при q, равном
0,76
0,56
0,47
0,41
0,35
0,33
0,31
0,30
0,26
0,85
0,64
0,54
0,48
0,41
0,39
0,37
0,36
0,31
0,89
0,70
0,59
0,53
0,45
0,43
0,41
0,39
0,34
Кроме рассмотренных критериев для оценки наличия в результатах
измерений грубой погрешности существуют и другие (например: критерий
Граббса, Шовинэ, Шарлье и др.).
5. ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА
ЕГО РЕЗУЛЬТАТОВ
5.1. Выбор числа повторений по критерию надежности
При планировании эксперимента одним из важных вопросов является вопрос о числе повторений опыта при определении той или иной измеряемой величины. Один из методов определения необходимого числа повторений основан на показателе надежности, с которой будет определяться
неизвестная величина.
Допустим, в серии опытов определяется значение неизвестной величины, а в качестве оценки этого значения принимается среднее арифметическое значение многократных измерений. Для определения количества
повторений измерений необходимо задаться следующими величинами:
1. Надежность результатов опыта β, с помощью которой можно
установить доверительный интервал значений измеряемой величины. Показатель α еще называется доверительной вероятностью, т.е. вероятностью
того, что значения измеряемой величины y не выйдут за доверительные
пределы ±∆y, определяемые доверительной вероятностью.
Чем выше требуется надежность, тем больше (шире) получится доверительный интервал, и чем больше задается доверительный интервал,
тем вероятнее, что результаты измерений не выйдут за его пределы.
53
При обычных исследованиях в технике для нахождения зависимостей влияния различных факторов достаточна доверительная вероятность
0,7...0,9. При изучении же характеристик приборов нужна более высокая
надежность – 0,95...0,99. Чем выше надежность результатов, тем больше
требуется повторность опытов.
2. Допустимая ошибка ε, выраженная в долях среднеквадратическо-
го отклонения σ. Результаты многократных измерений одной и той же ве-
личины должны лежать в пределах ±3σ. Поэтому если заранее неизвестно,
в каких пределах должна изменяться измеряемая величина, то можно для
сокращения числа повторений задаться ошибкой ±3σ.
Практическая необходимость в конкретных условиях определяет допустимую ошибку дальнейших исследований. В табл. 5.1 приведены значения числа повторностей опыта в зависимости от выбранных доверительной вероятности и допустимой ошибки.
Таблица 5.1
Необходимое количество повторений опытов
Предельная
ошибка ε в
долях σ
3,0 1 1 2 3 4 5
2,0 1 2 3 4 5 7
1,0 3 4 5 7 11 17
0,5 6 9 13 18 31 50
0,4 8 12 19 27 46 74
0,3 13 20 32 46 78 127
0,2 29 43 70 99 171 277
0,1 169 266 273 378 668 1089
0,05 431 659 1084 1540 2659 4338
0,01 10 732 16 436 27 161 38 416 66 358 108 307
Пример. Требуется определить число измерений температуры воды
ртутным термометром. Для этого принимаем доверительную вероятность
β = 0,95 и ошибку ε = ±3σ, где σ – среднеквадратическое отклонение ре-
зультатов опытов. В пересечении столбца β = 0,95 и строки ε = ±3σ получа-
ем число измерений, равное 3.
Если заранее известно, что термометр сам имеет предельную по-
грешность измерения 1°, что составляет, допустим, 0,5σ, то при довери-
тельной вероятности β = 0,95 требуется сделать 18 измерений.
0,7 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999
Доверительная вероятность β
54
5.2. Исключение грубых ошибок серии экспериментов
При повторении опытов грубые ошибки могут вызвать большой разброс экспериментальных результатов. Поэтому при получении результатов, резко отличающихся от всех других, может возникнуть вопрос о наличии грубой ошибки.
Если нет возможности установить наличие нарушений в проведении
эксперимента, которое могло привести к такой грубой ошибке, то решение
об отбрасывании результата эксперимента, существенно отличающегося от
остальных, должно применяться на основании различных критериев и
сравнения с другими результатами.
Пусть была проведена серия независимых измерений одной и той же
величины с одинаковой точностью. Обозначим полученные значения через
x
, x
,…, xn, а значение, подозреваемое на грубую ошибку, – x*.
1
2
Подсчитаем среднее результатов измерений
x
+ x2 + … + x
1
x
=
n
.
n
Если на результаты измерений оказывает влияние случайная погрешность с известной величиной среднеквадратичного отклонения σ, то
вычисляем значение t
t =
Если вероятность 1 – 2∙Фt
Лапласа, а α – уровень значимости, то значение x
x – x*
σ
(n + 1) / n
< α , где Ф – интегральная функция
.
*
можно признать грубой
ошибкой с вероятностью (1 – α).
Какой принимать уровень значимости, зависит от условий задачи и
эксперимента, но, как правило, уровень значимости не превышает 5 %.
Если величина σ неизвестна, то вместо нее можно принять приближенную оценку
s =
1
n – 1
∑
n
x
= 1
i
– x
i
2
,
тогда
x – x*
Если значение x
t =
*
при принятом уровне значимости α не является
.
s
грубой ошибкой, то это не исключает окончательно наличие грубой ошибки, но свидетельствует об отсутствии достаточных оснований для исключения «выскакивающего» значения.
55
После удаления грубых ошибок из набора значений можно найти интервал, в котором будет находиться действительное значение
= x ± σ, xд = x ± s
x
д
5.3. Аппроксимация экспериментальных данных
Аппроксимация (приближение) – это научный метод, состоящий в
замене одних объектов другими, в каком-то смысле близкими к исходным
данным, но более простыми. При обработке экспериментальных данных
аппроксимация позволяет описывать результаты эксперимента простыми
функциями, максимально близкими к полученным результатам.
Случайные погрешности, возникающие в ходе эксперимента, если
они носят систематический характер, слабо влияют на результаты аппроксимации, поэтому считается, что аппроксимация наиболее эффективна для
исключения из результатов экспериментов таких ошибок.
В общем случае задача аппроксимации имеет следующую
постановку: найти значения коэффициентов уравнения кривой линии
a
, a
y = φ(x,
В качестве меры удаленности кривой линии y = φ(x, a
,…, am), максимально близко проходящей к заданным точкам.
0
1
, a1,…, a
0
) от
m
заданных точек принимается сумма квадратов разности ординат кривой и
заданных точек (метод наименьших квадратов)
2
Sa
0
, a
,…, a
1
= ∑y
m
– φ
i
x
, a0, a
i
,..., a
1
m
→ min.
, a
Поскольку коэффициенты уравнения кривой a
вещественными, то функцию Sa
, a
0
прерывную функцию, зависящую от a
Задачу на поиск минимума Sa
,…, a
1
, a
0
можно рассматривать как не-
m
,…, am.
1
, a
,…, a
0
1
m
,…, am являются
0
1
можно свести к
задаче поиска корня системы уравнений с неизвестными параметрами
(k = 0, 1,…, m), S(a0, a
a
k
,…, am)
1
dS
= 0, k = 0, 1,…, m.
da
k
Решение задачи метода наименьших квадратов сводится к
системе алгебраических уравнений относительно неизвестных параметров
, a
0
,…, am
1
a
∂
y
– φx
i
, a0, a1,..., a
i
m
∂a
0
φx
, a0, a
i
,..., a
1
m
= 0,
∂
y
– φx
i
, a0, a
i
,..., a
1
m
∂a
1
φx
, a0, a
i
,..., a
1
m
= 0,
⋯
∂
y
⎩
– φx
i
, a0, a
i
,..., a
1
m
∂a
m
φx
, a0, a
i
,..., a
1
m
= 0.
56
Для аппроксимации могут быть использованы любые дифференцируемые функции, но задача поиска значений a
, a1,…, a
0
может быть су-
m
щественно упрощена, если эти параметры входят в аппроксимирующую
функцию линейно
где φ
φ
(x) – произвольные базисные функции.
k
x, a
0
, a
,.., a
1
= a
m
x
φ
0
+ a
0
x
1
+ … +
amφ
φ
1
m
x
, m < N,
Общих принципов выбора базисных функций нет, поэтому их выбор
осуществляется экспериментатором исходя из общего вида распределения
результатов эксперимента и возможности интерпретации полученного решения. Сложность и трудоемкость поиска решения прямо зависит от
сложности базисных функций, поэтому наилучшей считается аппроксимирующая функция, в которой используется небольшое число базисных
функций.
Если в результате решения задачи аппроксимации
Sa
, a1, …,
0
a
> ε, то число коэффициентов аппроксимации недостаточ-
m
но для правильного воспроизведения графика экспериментальной зависимости, а в случае Sa
, a1, …,
0
a
< ε значительно увеличиваются ошибка
m
оценки и время вычисления параметров, а также усложняется их интерпретация (физический смысл).
Если параметры a
, a1, …, a
0
в аппроксимирующую функцию входят
m
линейно, то приведенная выше система уравнений значительно упрощается
y
y
– φxi, a0, a1, ..., a
i
– φxi, a0, a1, ..., a
i
φ
m
φ
m
x
= 0,
i
0
x
= 0,
i
1
⋯
y
⎩
– φxi, a0, a1, ..., a
i
m
φ
x
= 0.
i
m
Одним из способов нахождения неизвестных параметров
, a1, …,
a
0
am является способ с использованием расширенной матрицы
Грамма. Элементами этой матрицы являются скалярные произведения базисных функций и столбец свободных коэффициентов
Gφ
, φ1, …, φm =
0
(φ0,φ0)(φ0,φ1)
(φ
)(φ1,φ1)
1,φ0
⋯
⎣
(φ
)⋯(φm,φ1)
m,φ0
⋯ (φ
⋯ (φ
⋯⋯⋯
⋯ (φ
0,φm
1,φm
m,φm
)(φ0,f)
)(φ1,f)
)(φm,f)
,
⎦
где
φ
j,φk
= φ
(xi)φk(xi),
j
57
,f=
j
∑
φj(xi)f(xi).
φ
Заполнение матрицы Грамма не требует вычисления всех элементов,
поскольку данная матрица является диагонально симметричной, ибо
φ
j,φk
= φ
. В случае ортогональности базисных функций φ
k,φj
(x) все
k
недиагональные элементы матрицы Грамма равны нулю, что увеличивает
точность вычисления параметров
φ
x
j
φ
x
dx = 0, j ≠ k.
k
Хорошо известными системами ортогональных базисных функций
являются полиномы Лежандра, тригонометрические ряды Фурье, вейвлетфункции.
Рассмотрим некоторые варианты для аппроксимирующих функций:
1. Полиномиальная аппроксимация
Аппроксимирующая функция представляет собой полином степени
m вида
φ
x, a
, a1, …, a
0
= a
m
+ a1x + a
0
2
x
+ … + a
2
m
x
m
, m < n.
Здесь базисные функции представлены в виде последовательности
степеней аргумента x
φ
0
x
= x
0
= 1, φ
1
x
= x
1
= x, …, φ
m
x
=
m
x
.
Система уравнений линейных алгебраических уравнений для параметров имеет следующий вид:
⎩
a
a
x
0
x
0
a0n + a
i
m
+ a
i
+ a
1
1
x
1
x
x
+ a
i
2
+ a
i
m+1
+ a2x
i
Тогда расширенная матрица Грамма для полиномиальной аппроксимации имеет вид
G
1, x, …,
m
x
=
∑
∑
⎣
Вычисляя все входящие в матрицу суммы по экспериментальным
данным, параметры a
(k = 0, 1, …, m) могут быть найдены, например, ме-
k
тодом Гаусса.
n
⋯
x
x
2
x
2
x
i
m
i
2
+ … + a
i
3
+ … + a
i
…
m+2
i
∑
x
i
2
∑
x
i
⋯
m+1
∑
x
i
x
m
m
+ … + a
⋯
∑
⋯
⋯⋯⋯
∑
⋯
x
x
m
∑
x
m+1
x
i
2m
x
i
m
= y
i
m+1
i
2m
i
m
∑
i
∑
∑
,
i
= x
= x
y
i
x
y
i
i
m
x
y
⎦
i
i
yi,
i
m
yi.
i
.
58
В частном случае, если m = 1, то аппроксимирующая функция явля-
ется линейной
φx,a
x
с базисными функциями φ
0
= 1, φ
изведения соответственно равны
φ
φ
φ
1,φ1
φ
φ
Расширенная матрица Грамма примет вид
G1,x
=
0
φ
0,φ0
0,φ1
1,φ0
0
,f =
1
n
∑
,f =
x
= a
+ a
0
x
= x, для которых скалярные про-
1
= 1,
= x
= x
= x
∑
yi,
∑
xiyi.
∑
x
i
2
∑
x
i
i
x
1
,
i
,
i
2
,
i
∑
y
i
∑
.
x
y
i
i
Преобразуя матрицу G(1,x) к диагональному виду, получим следующие выражения для вычисления параметров линейной аппроксимации:
2
∑
∑
x
y
a
=
0
=
a
1
n∑x
n∑x
n∑x
i
2
i
yi–∑x
i
2
i
∑
–
i
– ∑x
∑
–
∑
x
x
y
i
i
i
,
2
i
∑
y
i
i
.
2
x
i
Аналогично для параболической аппроксимации (m = 2
φx,a
0,a1,a2
+ a1x + a
0
2
x2
= a
расширенную матрицу можно записать в виде
2
G1,x,x
2
=
∑
∑
n
∑
x
∑
x
i
2
x
i
∑
x
x
∑
i
2
∑
∑
x
x
i
3
i
∑
x
i
3
i
4
i
∑
∑
y
i
x
y
.
i
i
2
x
y
i
i
Вычисляя из экспериментальных данных необходимые суммы и диагонализируя расширенную матрицу Грамма, находим значения параметров
аппроксимации a
0,a1,a2
.
59
Коэффициенты a
работки величин x
i
, a1, …,
0
a
вычисляются путем математической об-
m
,yi, полученных с погрешностью ε. Поэтому аппрокси-
мирующая функция также будет получена с погрешностью.
Степень аппроксимирующего полинома m выбирают так, чтобы
обеспечить по возможности точное приближение аппроксимируемой
y = f(x) и аппроксимирующей φ(x) функций на всем интервале x
0
,x
. При
n-1
обработке экспериментальных данных, определенных с погрешностью
ε
заданное
, когда аналитическое выражение для f(x) неизвестно, обычно начи-
нают с аппроксимации полиномом степени m = 1. После определения ко-
эффициентов a
ε
заданное
> ε, то необходимо увеличить степень полинома m на единицу и
, a1, …, a
0
вычисляют величину ε . Если получится, что
m
повторить вычисления. Увеличение m и повторные вычисления необходимо осуществлять до тех пор, пока не выполнится условие ε
заданное
≤ ε.
Для контроля целесообразно на одном чертеже построить исходные
точки x
,yi и график аппроксимирующего полинома. При правильном вы-
i
боре значения m график полинома усредняет, сглаживает случайные погрешности ε
на всем интервале x
i
,x
.
0
n-1
Многие нелинейные задачи аппроксимации могут быть сведены к
линейным путем замены переменных и значений функции. При этом данные таблицы пересчитывают и представляют в виде, удобном для линейной аппроксимации. Рассмотрим несколько примеров.
2. Степенная аппроксимация
Аппроксимирующая функция представляет собой нелинейную
функцию параметров a и b
φx,a,b
= ax
b
, a > 0, x > 0.
В этом случае, логарифмируя аппроксимирующую функцию, задачу
можно свести к линейной аппроксимации
φx,a,b
= lna + blnx.
Это позволяет свести задачу степенной аппроксимации к рассмотренной ранее задаче линейной аппроксимации (см. табл. 5.1).
Сумма квадратов отклонений имеет вид
S(lna,b) = ∑lna + blnx
– lnyi
i
2
.
Частные производные по основаниям b и lna
∂S
= 2 ln (a) + bln (xi) – ln (yi)ln (x
∂b
∂S
= 2∑ln (a) + bln(xi) – ln (yi).
∂(lna)
),
i
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]