Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы обработки экспериментальных данных. Учебное пособие
.pdf
вариационныйряд
i
Рис. 3.2. Гистограмма вариационного ряда
для результатов контрольного тестирования
Проверим гипотезу о нормальности результатов анкетирования по
критерию согласия Пирсона (критерию χ
параметров распределения
∑
x
x =
= 0,608,
N
∑
2
=
S
x –
2
x
= 0,009,
N – 1
2
). Для этого рассчитаем оценки
2
s =
Выполним расчет (табл. 3.10) критерия согласия Пирсона (критерий χ
= 0,01098 = 0,097.
S
2
).
Таблица 3.10
Расчет критерия согласия Пирсона для результатов контрольного
анкетирования
Интер-
вал
n/N 0,00 0,00 0,00 0,02 0,13 0,22 0,49 0,13 0,00 0,00
2
χ
набл,
0,0...0,1 0,1...0,2 0,2...0,3 0,3...0,4 0,4...0,5 0,5...0,6 0,6...0,7 0,7...0,8 0,8...0,9 0,9...1,0
x
n
pi
i
0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55 0,65 0,75 0,85 0,95
0 0 0 1 6 10 22 6 0 0
0,000 0,000 0,001 0,015 0,116 0,336 0,362 0,146 0,022 0,001
0,000 0,001 0,032 0,159 0,111 1,730 1,983 0,053 0,988 0,054
2
Для результатов контрольного анкетирования χ
= 5,11144.
набл
Для степеней свободы k = 10 – 3 = 7 и уровня значимости α = 0,05
2
χ
= 14,06714. Поскольку χ
крит
2
набл
< χ
2
, то гипотеза о нормальности рас-
крит
пределения результатов контрольного анкетирования также принимается.
Таким образом, приведенный выше расчет показывает, что результаты как диагностического, так и контрольного анкетирования можно считать репрезентативными и независимыми.
41
4. ПОГРЕШНОСТЬ И НАДЕЖНОСТЬ РЕЗУЛЬТАТОВ
ЭКСПЕРИМЕНТА
4.1. Погрешность средств измерений
Истинное значение некоторой физической величины – это такое значение, которое идеальным образом характеризует в качественном и количественном отношениях соответствующую физическую величину. Истинное значение физической величины может быть соотнесено с понятием абсолютной истины.
В результате измерения некоторой физической величины истинное
значение в общем случае не может быть получено в силу ограниченности
возможностей измерения. В связи с этим результатом измерений считается
значение некоторой физической величины, полученное с некоторой погрешностью
X = Q ± ∆,
где X – результат измерения физической величины; Q – истинное значение
физической величины; ∆ – абсолютная погрешность измерения.
Таким образом, результат измерения физической величины – это
приближенная оценка истинного значения, полученного с некоторой погрешностью. Величина этой погрешности определяет границы применимости результата измерения физической величины вместо ее истинного значения. На практике, как правило, истинное значение неизвестно, поэтому
вычислить указанную погрешность невозможно.
Абсолютная погрешность измерения выражается в единицах измеряемой величины, что ограничивает возможность сопоставления погрешности измерения различных величин в разных экспериментах. Безразмерным
выражением погрешности является относительная погрешность, которая
выражается в долях от измеряемой величины
∆
δ =
∙100 %.
X
Для средств измерений используют понятие «приведенная погрешность» – это относительная погрешность, выраженная отношением абсолютной погрешности средства измерений к условно принятому значению
величины (нормирующему значению) X
, постоянному во всем диапазоне
n
измерений или в его части:
∆
γ =
∙100 %.
X
n
Для целей определения возможной величины погрешности погрешность измерений разделяют на семь типов:
42
1) систематическую;
2) случайную;
3) грубую;
4) инструментальную;
5) методическую (погрешность метода измерений);
6) погрешность условий;
7) субъективную (личную).
Систематическая погрешность – погрешность результата измерения, остающаяся постоянной (или же закономерно изменяющейся) при повторных измерениях одной и той же величины.
Отличительная особенность систематических погрешностей заключается в том, что они могут быть предсказаны, выявлены, оценены и исключены из результата измерения путем внесения поправок. Исключение
систематических погрешностей измерения из отдельных результатов или
серий, полученных при многократных измерениях одной и той же физической величины, называется «исправлением результатов», а полученные
при этом значения – исправленными.
Систематическая погрешность в общем случае может включать
в себя постоянную, периодическую составляющую либо иметь сложную
природу.
Например, прибор с неправильно выставленным нулем имеет постоянную систематическую погрешность, а динамометр с расслабленной
пружиной – прогрессивную.
В общем виде систематическая погрешность может быть описана некоторым сложным законом
∆
= α + β∙ψ + γ∙sin (φ),
сист
где α , β , γ – постоянные сложной систематической погрешности; ψ и
φ – аргументы прогрессирующей и периодической составляющих систематической погрешности.
Случайная погрешность – погрешность результата измерения, изменяющаяся случайным образом (как по знаку, так и по величине) при повторных измерениях, проводимых в одних и тех же условиях.
Случайная погрешность обнаруживается при повторных измерениях
одной и той же величины в виде разброса получаемых значений. Чаще всего случайная погрешность является следствием проявления различных не
учитываемых факторов, а также их сложной комбинацией.
В общем случае случайные погрешности неизбежны и всегда присутствуют в результате эксперимента. Свести к минимуму влияние случайных погрешностей можно путем применения к результатам эксперимента методов теории вероятностей и математической статистики.
Хотя случайные ошибки и не устранимы, их влияние можно снизить
путем проведения серии измерений (многократные измерения).
43
Грубая погрешность – погрешность отдельного результата измерения, существенно отличающегося от аналогичного измерения при одних и
тех же условиях.
Как правило, грубая погрешность возникает из-за ошибок при проведении эксперимента или однократного существенного влияния внешних
факторов. Поэтому при выявлении в результатах эксперимента грубой погрешности такой эксперимент признается неудавшимся, а данные с грубой
погрешностью во внимание не принимаются.
Инструментальная погрешность – погрешность, связанная с погрешностью применяемого средства измерения или округлением показаний на шкале прибора. Инструментальная погрешность может быть как
абсолютной, так и относительной.
Абсолютная величина инструментальной погрешности, как правило,
не превышает цену деления на шкале прибора, а в большинстве случаев
принимается в размере половины цены деления. Так, например, абсолютная погрешность линейки с делениями в 1 мм принимается в размере
∆ = 0,5 мм.
Для высокоточных средств измерений введено такое понятие, как
класс точности. Класс точности – обобщенная характеристика средств измерений, определяемая пределами допускаемых основных и дополнительных погрешностей, а также рядом других свойств, влияющих на точность
осуществляемых с их помощью измерений. Класс точности определяется по
ГОСТ 8.401–80 «Классы точности средств измерений. Общие требования».
Методическая (погрешность метода измерений) – систематиче-
ская погрешность, обусловленная несовершенством принятого метода
проведения эксперимента или применяемых средств измерений. Такая погрешность обусловлена следующими факторами:
- принятая модель объекта измерения существенно отличается от
модели, адекватно описывающей свойство, которое определяется путем
измерения;
- способ применения средства измерения влияет на получаемый
результат;
- алгоритм (формулы) расчета результатов измерений содержат методическую ошибку либо при вычислении выполняется недопустимое
округление промежуточных результатов, существенно влияющее на конечный результат;
- имеются другие факторы, не связанные со свойствами используемых средств измерений.
Погрешность условий – составляющая погрешности измерения, которая возникает из-за отклонений условий от нормальных. Для каждого
средства измерений имеются технически обусловленные нормальные условия эксплуатации, которые являются совокупностью различных внешних
44
параметров: температуры окружающей среды, влажности, давления, напряжения и частоты питающей сети и др. Изменение этих параметров сверх
допустимого приводят к увеличению погрешности средств измерений.
Субъективная (личная) погрешность – погрешность, неразрывно
связанная с экспериментатором и обусловленная, как правило, его индивидуальными особенностями (квалификацией, общим состоянием), а также
личностными характеристиками (внимательность, пунктуальность и т.п.).
Чаще всего субъективная погрешность проявляется в погрешности отсчета
экспериментатором показаний по шкалам средств измерений.
В целом абсолютная погрешность измерения является интегральной погрешностью, которая образуется в результате объединения составляющих погрешностей от разных источников
∆ = ∆
где ∆
∆
у
– инструментальная погрешность; ∆м – методическая погрешность;
си
– погрешность условий; ∆оп – субъективная погрешность.
си·∆м·∆у·∆оп
,
По значимости все погрешности, составляющие абсолютную погрешность, можно разделить на значимые и пренебрежимо малые. К пренебрежимо малым относят погрешности, существенно меньшие как
остальных погрешностей, так и абсолютной погрешности в целом.
4.2. Случайные погрешности результата эксперимента
Случайные погрешности эксперимента возникают из-за наличия
случайных погрешностей у применяемых средств измерений, из-за колебаний влияющих факторов, из-за ограниченных возможностей органов
чувств человека и др.
Случайные погрешности проявляются в результатах эксперимента в
виде разброса значений относительно некоторого значения. Вследствие того, что результат измерения X содержит случайную погрешность Δ, он сам
является случайной величиной, так как X = Q + Δ. Поскольку из-за влияния
случайных погрешностей получить точное значение в каждом отдельном
эксперименте невозможно, то возникает задача на основе наблюдаемого разброса случайных значений выявить характер распределения случайных погрешностей и с определенной надежностью определить истинное значение.
Для оценки величины и закономерностей случайных погрешностей
используются знания теории вероятностей и математической статистики.
Случайной величиной называется переменная, которая может принимать любое значение из заданного множества значений и с которой связано распределение вероятностей. Она может принимать дискретные и непрерывные значения.
В общем случае погрешности эксперимента рассматриваются как
непрерывные случайные величины, подчиняющиеся неизвестному закону
распределения.
45
Закон распределения случайной величины может быть описан функцией распределения, определяющей вероятность того, что случайная величина X примет значение, не превосходящее x:
Fx
= PX < x = P∞ ≤ X ≤ x
.
Если функция распределения дифференцируема, то закон распределения случайной величины также может быть задан через плотность распределения случайной величины
dF(x)
fx
=
dx
.
4.3. Систематические погрешности
Систематические погрешности условно можно разделить на четыре
группы:
1) погрешности, природа которых нам хорошо известна и их значение может быть достаточно точно определено введением соответствующих
поправок;
2) погрешности известного происхождения, но неизвестной величины. К их числу относятся погрешности измерительных приборов;
3) погрешности, обусловленные объектом измерений;
4) погрешности, о существовании которых мы не подозреваем, хотя
они могут быть существенными.
Постоянные систематические погрешности возникают, например,
при неправильной установке начала отсчета, неправильной градуировке и
юстировке средств измерения и остаются постоянными при всех повторных наблюдениях. Поэтому если уж они возникли, то их очень трудно обнаружить в результатах наблюдений.
Среди переменных систематических погрешностей принято выделять прогрессивные и периодические.
Прогрессивная погрешность возникает, например, при взвешивании,
когда одно из коромысел весов находится ближе к источнику тепла, чем
другое, поэтому быстрее нагревается и удлиняется. Это приводит к систематическому сдвигу начала отсчета и монотонному изменению показаний весов.
Периодическая погрешность присуща измерительным приборам с
круговой шкалой, если ось вращения указателя не совпадает с осью шкалы.
Все остальные виды систематических погрешностей принято называть погрешностями, изменяющимися по сложному закону.
Наличие систематических погрешностей искажает результаты измерений. Их отсутствие определяет правильность измерений – качество, отражающее близость к нулю систематических погрешностей. Основная
трудность – обнаружение систематических погрешностей с последующей
их полной или частичной компенсацией.
46
Результаты наблюдений, полученные при наличии систематической
погрешности, называются неисправленными. При проведении измерений
стараются исключить или учесть влияние систематической погрешности.
Все имеющиеся методы можно разделить на методы выявления и исключения систематических погрешностей.
Методы выявления (обнаружения) позволяют обнаружить систематические погрешности, связанные с действием определенных факторов.
Для обнаружения переменных систематических погрешностей можно использовать точечные диаграммы. Их анализ является сравнительно
простым и достаточно эффективным средством, позволяющим выявлять и
оценивать переменные систематические погрешности.
Точечную диаграмму строят в координатах «результат измерения X –
номер измерения n». Идеальная точечная диаграмма должна состоять из
точек, располагающихся на одинаковой высоте, которая соответствует истинному значению измеряемой физической величины Q. Тенденции изменения результатов на точечной диаграмме свидетельствуют о наличии переменных систематических погрешностей и дают возможность провести
соответствующую аппроксимирующую линию. Вид используемой аппроксимации соответствует характеру систематических погрешностей. Отклонения результатов от аппроксимирующей линии могут рассматриваться
как случайные составляющие погрешности измерения. Для выявления систематической погрешности применяют специальные статистические методы. К ним относятся способ последовательных разностей Аббе, дисперсионный анализ и др.
Способ последовательных разностей (критерий Аббе) применяется
для обнаружения изменяющихся во времени систематических погрешностей (МИ 2091–90). Дисперсию результатов наблюдений можно оценить
двумя способами
n
2
x
2
][
xQ
1
][σ xx
1
n
i
1
1
n
1
)1(2
n
1
i
2
;
)(
i
2
)(
xx
1
i
.
i
При использовании критерия Аббе считают, что в результатах есть
систематическая составляющая погрешности измерений, если
где r
22
– критическое значение критерия Аббе, найденное при определен-
q
rxxQr ][σ/][
,
q
ном уровне значимости и числе наблюдений.
Если полученное значение критерия Аббе меньше критического, то в
результатах наблюдений обнаруживается переменная систематическая
погрешность.
47
Дисперсионный анализ (критерий Фишера) применяется для выявле-
ния систематической погрешности результатов наблюдения под действием
какого-либо фактора (например, температуры, давления и др.). Для этого
проводят несколько серий (s > 3) по n
значениях влияющего фактора. Всего sn
измерений в каждой при различных
j
= N измерений.
j
Рассчитывают внутрисерийную и межсерийную дисперсии. Внутрисерийная рассчитывается как средняя сумма дисперсий результатов
наблюдений в каждой серии
j
s
где
2
σ
вс
n
j
1
x
j
x
,
– результат i-го измерения в j-й серии.
n
i
j
x
ij
1
ij
1
sN
jni
ij
11
2
)(
xx
,
j
Усредненная межсерийная дисперсия будет зависеть не только от
случайных погрешностей, но и от систематических различий между результатами наблюдений в различных сериях. Она рассчитывается по формуле
s
1
мс
1
s
()
nx x
jj
j
1
2
,σ
где
2
s
1
x
N
j
1
xn
.
j
j
Критерием наличия систематических погрешностей является критерий Фишера F = σ
2
мс
/ σ
2
. Если F > Fq, где Fq – критическое значение кри-
вс
терия Фишера, найденное по таблице распределения Фишера при определенном уровне значимости q и степенях свободы k
= s – 1 и k2 = N – s, то
1
обнаруживается систематическая погрешность, вызываемая тем фактором,
по которому группировались результаты наблюдений.
Если закон распределения результатов измерений неизвестен, то для
обнаружения систематических погрешностей применяют статистический
критерий Вилкоксона или критерий Сиджела-Тьюки, подробно описанные
в МИ 2091–90.
При проведении измерений стараются в максимальной степени исключить или учесть влияние систематических погрешностей. Это может
быть достигнуто следующими путями:
- устранением источников погрешности до начала измерений;
- устранением источников погрешности в процессе измерений;
- определением поправок и внесением их в результат измерений;
- оценкой границ неисключенных систематических погрешностей.
Устранение источников погрешностей до начала измерений (профилактика погрешностей) является наиболее рациональным. Профилактика
погрешностей включает:
48
- применение исправных, стабильных и помехоустойчивых средств
измерений;
- выявление теоретических погрешностей метода или средств изме-
рений и их исключение или учет до начала измерений;
- стабилизацию условий измерений и защиту от нежелательных воздействий влияющих величин (и физических полей) на средства и объекты
измерений; строгое соблюдение правил использования средств измерений
и методик их выполнения;
- обучение операторов и контроль их квалификации.
Методы исключения (компенсации) погрешностей в процессе изме-
рений достаточно разнообразны и включают следующие частные случаи:
- компенсацию погрешности по знаку;
- измерение четное число раз через полупериоды,
- использование метода замещения;
- устранение влияния вариации;
- исключение погрешности от мертвого хода;
- измерение одной величины несколькими методами, несколькими
средствами измерений;
- автоматическую поднастройку или коррекцию «нуля» после выполнения серии измерений;
- применение автоматических компенсаторов для учета воздействия
на средство измерения влияющих величин и ряд других.
Наиболее распространенный способ исключения систематической
погрешности – способ замещения, суть которого заключается в том, что
измеряемый объект заменяют известной мерой, находящейся в тех же
условиях. Этот метод используют, например, при взвешивании груза на
равноплечих весах для устранения неравноплечности весов. Груз уравновешивают любой тарой, затем снимают и замещают набором гирь, при
этом сохраняется равновесие коромысла.
Метод компенсации по знаку (метод изменения знака систематической погрешности) состоит в том, что измерения проводят дважды так,
чтобы погрешность входила в результаты с противоположными знаками.
Исключается она при вычислении среднего значения
xx
x
где
x – среднее арифметическое значение измеряемой величины; x
зультаты измерений; x
Δ
– систематическая погрешность.
с
– действительное значение измеряемой величины;
д
21
2
xx
2
сДcД
,
, x2 – ре-
1
)()(
Примером использования этого метода может служить исключение
влияния магнитного поля Земли. Первое измерение проводят, когда средства измерений находятся в любом положении. При проведении второго
49
измерения поворачивают средство измерения на 180°. Если в первом слу-
чае магнитное поле будет вызывать положительную погрешность, а во
втором – отрицательную, то среднее арифметическое двух результатов не
будет содержать погрешности из-за влияния магнитного поля.
Метод поверки средства измерения в рабочих условиях основан
на «самоповерке» СИ по точной мере или набору мер в перерывах между
измерениями. Наиболее эффективным такой метод будет при автоматическом переключении на измерение меры (мер) и автоматическом внесении
поправки в результаты последующих измерений или автоматической поднастройке СИ. Поскольку предусмотрено определение значения погрешности «в рабочих условиях» и в ограниченном числе точек, строгое соответствие такого метода поверке СИ не гарантировано. Такой метод, скорее,
следует рассматривать как автоматизированную поднастройку СИ или автоматизированный метод получения поправки и внесения ее в результаты
измерений. С точки зрения общих методов выявления погрешностей он базируется на измерении точной меры.
Способ симметричных наблюдений заключается в том, что в течение некоторого времени выполняются несколько измерений одной и той
же величины постоянного размера и за окончательный результат принимается полусумма отдельных результатов, симметричных во времени относительно середины интервала. Этот способ применяется для устранения
прогрессирующей погрешности (от постоянного прогрева аппаратуры, падения напряжения в цепи питания, вызванного разрядом аккумулятора).
Например, было проведено пять измерений, начатых в момент времени
когда погрешность имела значение
. Очевидно, что
1
t
1
,
4251
22
.
3
Способ противопоставления заключается в том, что измерения
проводят два раза так, чтобы причина, вызывающая погрешность, при первом измерении оказала противоположное действие на результат второго.
Например, при взвешивании на равноплечих весах с целью устранения
неравноплечности необходимо произвести два измерения. При проведении
второго следует груз и гири поменять местами. За результат принимают
среднее арифметическое двух измерений.
Метод рондомизации. Суть в том, что одна и та же величина измеря-
ется разными методами (приборами). При увеличении числа используемых
методов (приборов) систематические погрешности взаимно исключаются.
Метод вспомогательных измерений (измерений влияющих вели-
чин, выходящих за нормальные области значений) используется для определения значений поправок, компенсирующих погрешности из-за воздействия влияющих физических величин. Для учета такого воздействия на ре-
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]