Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы линейного программирования. Практикум
.pdf
ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ
И.В. Абрамова, З.В. Шилова
МЕТОДЫ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Практикум
Саратов
Вузовское образование
2022
УДК 519.8
ББК 22.185
А16
Авторы:
Абрамова И.В. — канд. пед. наук,
доц. кафедры математических и естественнонаучных дисциплин
Соликамского государственного педагогического института — филиала
Пермского государственного национального исследовательского университета;
Шилова З.В. — канд. пед. наук, доц. кафедры гуманитарных
и естественных наук филиала Университета «Дубна» —
Дмитровского института непрерывного образования
Рецензенты:
Панкратова Л.В. — канд. пед. наук, доц., доц. кафедры
фундаментальной математики Вятского государственного университета;
Рихтер Т.В. — канд. пед. наук, доц., доц. кафедры математических
и естественнонаучных дисциплин Соликамского государственного
педагогического института — филиала Пермского государственного
национального исследовательского университета
Абрамова, Ирина Владимировна.
А16 Методы линейного программирования : практикум / И.В. Абрамова, З.В. Ши-
лова. — Саратов : Вузовское образование, 2022. — 92 с. — (Высшее образование). — Текст : электронный.
ISBN 978-5-4487-0835-0
Практикум знакомит читателя в основном с практическими аспектами решения
задач, связанными с некоторыми методами оптимизации, а именно методами линей-
ного программирования.
Подготовлен в соответствии с требованиями Федерального государственного
образовательного стандарта высшего образования.
Предназначен для студентов всех специальностей и направлений подготовки,
учебными планами которых предусмотрено изучение дисциплин «Линейное программирование», «Методы оптимальных решений», «Методы оптимизации», «Теория
принятия решений», «Исследование операций».
Учебное электронное издание
ISBN 978-5-4487-0835-0 © Абрамова И.В., Шилова З.В., 2022
© ООО «Вузовское образование», 2022
Учебное издание
Абрамова Ирина Владимировна
Шилова Зоя Вениаминовна
Редактор Ю.Ю. Желтова
Технический редактор, компьютерная верстка М.В. Половникова
Корректор Е.В. Савенкова
Обложка Я.А. Кирсанов, С.С. Сизиумова
Подписано к использованию 14.04.2022. Объем данных 7 Мб.
ООО «Вузовское образование»
8 (8452) 24-77-97
E-mail: sale@iprbookshop.ru
4
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ................................................................................................................. 5
§ 1. Линейное программирование .............................................................................. 6
§ 2. Графический метод решения задач линейного программирования ............. 10
§ 3. Методы решения транспортной задачи ........................................................... 28
Задания для самостоятельной работы ..................................................................... 55
Тестовые задания для самоконтроля ....................................................................... 74
Вопросы для самоконтроля ...................................................................................... 89
Библиографический список ...................................................................................... 91
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Для специалиста важно уметь принимать эффективные решения в совре-
менных экономических и иных системах. При этом поиск оптимальных реше-
ний практических задач происходит как в результате трудовой деятельности
специалиста, так и в повсеместной жизни. Это и задачи на составление опти-
мальных производственных планов, на организацию транспортных перевозок,
на экономически выгодное оптимальное использование сырьевых ресурсов и др.
В настоящем издании представлены краткие сведения из теории и приме-
нения некоторых методов оптимизации для решения практических задач, поз-
воляющих найти оптимально выгодный план или условия хранения, перевозок,
реализации и т.п.
Практикум ориентирован на студентов вузов, а также на тех, кто желает
углубить и расширить свои знания по некоторым методам оптимизации,
а именно по методам линейного программирования.
6
§ 1. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
В данном разделе приведем задачи линейной оптимизации. Более подробно рассмотрим классическую задачу потребления.
Дано n видов изделий и ряд услуг, необходимых в неделю, введем изделия как переменные: х
1
, х
2
, …, х
n
с соответствующими ценами р1, р
2
, …, р
n
за
единицу. Просуммируем стоимость этих товаров и услуг, получаем
n
i
ii
xp
1
.
Далее введем в рассмотрение функцию
),...,,(
21 n
xxxfz
. Эту функцию опреде-
лим как функцию полезности, описывающую уровень потребления z. Требуется
найти совокупность изделий и услуг х1, х
2
, …, х
n
с учетом данной величины доходов D в неделю, чтобы обеспечить наибольший уровень потребления, тем
самым:
max),...,,(
21
n
xxxfz
при условии
,
1
Dxp
n
i
ii
где
0
i
x
(i = 1, 2, …, n).
Данная задача является частным случаем задач на так называемый услов-
ный экстремум. Здесь решение задачи потребления зависит от цен р1, р
2
, …, р
n
и величины дохода D.
Приведем общую задачу линейного программирования: требуется найти
допустимое решение х1, х
2
, …, хn, где
0
i
x
(i = 1, 2, …, n), имея ряд ограничений:
7
mnnmmm
knnkkk
knknkk
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
12211
11)(22)1(11)1(
2211
11212111
...
...
,...
,...
...
,...
здесь (линейная) целевая функция
nn
xcxcxcf ...
2211
принимает опти-
мальное (наибольшее или наименьшее) значение.
Примеры экономических задач линейного программирования
Задача 1. Предприятие выпускает детали: 50 деталей I вида или 200 деталей II вида. Отдел технического контроля предприятия может проверить порядка не более ста изделий любого вида. При этом изделие второго вида в пять раз
дешевле, чем изделие первого вида. Требуется найти оптимальный план, который обеспечит предприятию наибольшую прибыль.
Введем количество деталей I вида, которое должно выпустить предприятие, — х1, а количество деталей II вида обозначим x2. Тогда с учетом приведенных ограничений составим неравенства:
12
4 200xx
;
12
100xx
.
Значения количества деталей могут принимать положительные, в край-
нем случае нулевые значения, т.е.
1
0x
и
2
0x
.
Составим уравнение, описывающее прибыль:
12
5xx
, с учетом того, что
стоимость деталей I и II видов отличается в пять раз.
Запишем все в виде системы ограничений:
8
12
12
12
4 200,
100,
,0
xx
xx
xx
Требуется найти оптимальное значение целевой функции f(x1, x2) = 5x1 + x2.
Задача 2. Имеется два месторождения нефти: I и II, причем в год в I добывается 100 млн т нефти, а во II — 120 млн т. Вся нефть отправляется на четыре перерабатывающие завода: A1, A2, A3, A4, ежегодная потребность которых
составляет соответственно 50, 40, 70 и 60 млн т. Стоимость перевозки тонны
нефти (руб./тыс. км) из месторождений потребителям дана в таблице.
Исходные данные
Месторождение
Перерабатывающие заводы
Добыча
месторождения
(в год, млн т)
З
1
З
2
З
3
З
4
I
10 4 6 8 100
II 6 7 5 4
120
Потребности заводов
(в год, млн т)
50
40
70
60
Требуется составить план перевозки, удовлетворяющий потребность
в нефти всех потребителей, при этом затраты средств на перевозку должны
быть минимальны.
Введем следующее обозначение: х
ij
— это объем перевозки от i-го месторождения к j-му потребителю, например х13 — это объём перевозки от месторождения I на завод A3. Зададим уравнение баланса по первой строке и получим
уравнение
100
14131211
xxxx
, которое задает объем груза, забираемого от
I месторождения. Приведем вид уравнения баланса по второй строке:
120
24232221
xxxx
, по аналогии будем составлять уравнения баланса для
каждого столбца, так, например, для первого столбца уравнение будет иметь
вид:
50
2111
xx
и т.п.
9
Важно учитывать следующие ограничения, а именно, что значения объе-
ма перевозимого груза могут принимать только положительные значения,
в крайнем случае нулевые, поэтому будет выполняться:
0
ij
x
(i = 1, 2; j = 1,
2, 3, 4).
Через коэффициенты затрат и поставки опишем суммарные затраты f на
перевозку:
2423222114131211
457686410 xxxxxxxxf
.
Следовательно, модель данной задачи имеет вид с учетом ряда ограничений:
.60
,70
,40
,50
,120
,100
2414
2313
2212
2111
24232221
14131211
xx
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
Требуется найти оптимальное решение (х11, х12, х13, х14, х21, х22, х23, х24) це-
левой функции:
2423222114131211
457686410 xxxxxxxxf
.
В случае решения задачи с двумя переменными (задача 1) может быть
применен графический метод ее решения. К типу задач с двумя переменными
может быть сведен и такой вид задач линейного программирования, как кано-
нические задачи, которые содержат ограничения в виде уравнений, где количество переменных больше количества уравнений, например, на 2 (задача 6).
10
§ 2. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Приведем задачу линейного программирования в общем виде. Здесь
необходимо найти решение х
1
и х
2
при
12
,0x х
, с учетом ряда ограничений:
1 1 1 1
2 1 2 2
2
1
2
2
,
,
....
.
n n n
a хx b c
a x b c
a x b c
х
х
При этом целевая функция
21 1 2
kx хfk
должна принимать оптималь-
ное (наибольшее или наименьшее) значение.
Заметим, что в большинстве случаев при решении задач линейного про-
граммирования получаем область допустимых решений в виде выпуклого
n-угольника или некоторой выпуклой многоугольной области. Между тем оп-
тимальное решение может находиться в одной из вершин n-угольника или мно-
гоугольной области или совпадать с одной из сторон, или иное.
Приравняем целевую функцию f некой постоянной величине с:
21 1 2
k x k х c
.
Если будем брать конкретные числовые значения с, то для каждого значения с получим конкретную прямую, а в совокупности — множество параллельных прямых, которое определяет линии уровня целевой функции f.
Первый шаг выполнения графического метода решения задачи линейного
программирования состоит в том, что необходимо найти многоугольную выпуклую область — область допустимых решений.
Второй шаг применения графического метода решения задачи линейного
программирования заключается в построении линии уровня для с = 0 и соответствующей целевой функции f.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]