Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методы линейного программирования. Практикум
.pdf
31
оно задает объем груза, забираемого с первого склада. Для реализации мощности второго склада составим уравнение баланса по второй строке:
200
24232221
xxxx
.
Для каждого столбца аналогичным образом определим уравнения баланса
таким образом, чтобы спрос каждого магазина был удовлетворен. Например,
уравнение баланса для второго столбца имеет вид:
12 22
100xx
.
Очевидно, что объем перевозимого товара принимает только положительные значения, в крайнем случае нулевые:
0
ij
x
(i = 1, 2; j = 1, 2, 3, 4).
Опишем суммарные затраты f на перевозку следующим образом:
2423222114131211
74286534 xxxxxxxxf
.
Следовательно, модель с рядом ограничений имеет вид:
.75
,75
,100
,50
,200
,100
2414
2313
2212
2111
24232221
14131211
xx
xx
xx
xx
xxxx
xxxx
Требуется найти оптимальное решение системы, при котором целевая
функция
2423222114131211
74286534 xxxxxxxxf
принимает наименьшее значение.
32
Поскольку суммарная мощность складов равна суммарной мощности ма-
газинов, эта транспортная задача является закрытой:
100 + 200 = 50 + 100 + 75 + 75.
Выделим три этапа решения транспортной задачи:
1) составить первоначальный план перевозок;
2) проверить найденное решение на оптимальность;
3) привести план перевозок к оптимальному плану.
1. Составить первоначальный план перевозок.
На первом этапе будем использовать метод нахождения первоначального
распределения поставок — метод северо-западного угла. Для этого начнем заполнение таблицы с самой крайней верхней левой (северо-западной) ячейки
(1; 1). Здесь необходимо максимально заполнить ячейку (1; 1). Например, в магазин М
1
требуется 50 кг товара, и со склада С
1
отправляем в этот магазин 50 кг.
В силу того, что потребности магазина М
1
выполнены, нет необходимости вез-
ти туда груз со склада С
2
.
М1 (50)
М2 (100)
М3 (75)
М4 (75)
С1 (100)
50
С2 (200)
−
Продолжим заполнять таблицу поставок, для этого перейдем к следующей верхней левой ячейке (1; 2). На складе С1 осталось 50 кг товара, значит, эти
остатки направляем в магазин М2, теперь на складе С
1
ничего не осталось.
М1 (50)
М2 (100)
М3 (75)
М4 (75)
С1 (100)
50
50 − −
С2 (200)
−
К таблице применим снова метод северо-западного угла, для этого выберем ячейку (2; 2). Максимально ее заполним: направляем 50 кг товара со склада
С
2
. Далее максимально заполняем северо-западную клетку (2; 3): направляем
туда 75 кг. Остаток в 75 кг помещаем в последнюю клетку (2; 4). Получен первоначальный план задачи:
33
М1 (50)
М2 (100)
М3 (75)
М4 (75)
С1 (100)
50
50 − −
С2 (200)
−
50
75
75
В этом распределении поставок заполненные клетки (1; 1), (1; 2), (2; 2),
(2; 3) и (2; 4) называются базисными, а пустые клетки (1; 3), (1; 4) и (2; 1) —
свободными.
После заполнения таблицы проверим выполнение важного условия: чис-
ло заполненных клеток должно равняться
m + n – 1,
где m — число поставщиков, n — число потребителей.
В нашем случае
51421 nm
, число заполненных клеток табли-
цы — пять. Это не случайно, поскольку при заполнении таблицы на каждом
шаге (кроме последнего) исключается из рассмотрения либо один столбец, либо
одна строка.
Если же условие, а именно количество заполненных клеток равняется
1 nm
, не выполняется (при отсутствии вычислительных ошибок), получаем,
что количество заполненных ячеек меньше необходимого, тогда решение считается вырожденным. Так произошло, потому что на некотором шаге заполнения из рассмотрения выпали одновременно и строка, и столбец. Что делать, если количество заполненных клеток меньше необходимого, рассмотрено в примере 6.
Теперь вычислим суммарные затраты распределения поставок методом
северо-западного угла:
1275757754502503504 f
(руб.).
Отметим существенный недостаток данного метода — он не учитывает
значения коэффициентов затрат.
Далее рассмотрим еще один метод нахождения первоначального распределения поставок — метод наименьших затрат. Суть данного метода состоит в том, что на каждом шаге максимально возможную поставку необходимо
34
направлять в ячейку с наименьшим коэффициентом затрат. При наличии нескольких ячеек с одинаковыми коэффициентами выбирается любая из них.
В нашей задаче ячейка с минимальным коэффициентом — это клетка
(2; 2), максимально ее заполним: направляем товар со склада С2 в магазин М2
в количестве 100 кг. Потребности магазина М2 удовлетворены.
М1 (50)
М2 (100)
М3 (75)
М4 (75)
С1 (100) 4 −
3 5 6
С2 (200)
8
100
2 4
7
Далее, есть две ячейки с одинаковыми минимальными затратами (1; 1)
и (2; 3). Выберем для заполнения любую из них, например (1; 1): направляем
в M1 максимально возможное количество товара — 50 кг. Потребности магазина М
1
удовлетворены. Заполняем ячейку (2; 3): направляем в M3 максимально
возможное количество — 75 кг. Потребности магазина М3 удовлетворены.
М1 (50)
М2 (100)
М3 (75)
М4 (75)
С1 (100)
50
4
−
3
−
5
6
С2 (200)
−
8
100
2
75
4
7
Следующая ячейка для заполнения — (1; 4): направляем в M4 возможные
50 кг, поскольку на складе С
1
осталось 50 кг после заполнения клетки (1; 1).
М1 (50)
М2 (100)
М3 (75)
М4 (75)
С1 (100)
50
4
−
3
−
5
50
6
С2 (200)
−
8
100
2
75
4
7
Осталось заполнить последнюю ячейку (2; 4) направляем в магазин М4 25
кг со склада С
2
. Получен первоначальный план транспортной задачи методом
наименьших затрат:
М1 (50)
М2 (100)
М3 (75)
М4 (75)
С1 (100)
50
4
−
3
−
5
50
6
С2 (200)
−
8
100
2
75
4
25
7
35
В этом распределении поставок заполненные ячейки (1; 1), (1; 4), (2; 2),
(2; 3) и (2; 4) являются базисными, а пустые (1; 2), (1; 3) и (2; 1) — свободными.
Проверим выполнение условия «число заполненных ячеек равняется
1 nm
», в данном случае
51421 nm
, и число заполненных ячеек
таблицы — пять.
Вычислим суммарные затраты распределения поставок методом
наименьших затрат:
11752577541002506504 f
(руб.).
Если сравнить метод северо-западного угла и метод наименьших затрат,
то заметим, что суммарные затраты будут больше в случае первого метода. При
втором методе распределение поставок ближе к оптимальному или оптимально.
Теперь необходимо провести проверку решений на оптимальность и при необ-
ходимости оптимизировать их.
2. Проверить найденное решение на оптимальность.
Для проверки решения на оптимальность используется метод потен-
циалов.
Составим матрицу С, элементами которой являются данные в условии
транспортной задачи коэффициенты затрат на перевозку товара со складов
в магазины:
7428
6534
C
.
Решим вопрос об оптимальности полученного методом наименьших
затрат распределения поставок:
М1 (50)
М2 (100)
М3 (75)
М4 (75)
С1 (100)
50
4
−
3
−
5
50
6
С2 (200)
−
8
100
2
75
4
25
7
Занесем в таблицу только те из коэффициентов затрат, соответствующая
клетка которых содержит поставку. Припишем каждой строке потенциалы U1,
U2, каждому столбцу — потенциалы V1, V2, V3, V4.
36
М1
М2
М3
М4
Потенциалы
строк
С1 4 6
U
1
С2 4 7
U
2
Потенциалы
столбцов
V1
V2
V3
V4
Сформулируем правило: каждое из значений в ячейке равно сумме по-
тенциалов соответствующих строки и столбца. Вычислим потенциалы строк
U1, U2 и столбцов V1, V2, V3, V4 по этому правилу (например, U2 + V4 = 7). Для
каждого значения таблицы составим аналогичное уравнение и получим систему
уравнений:
.7
,4
,2
,6
,4
42
32
22
41
11
VU
VU
VU
VU
VU
Для того чтобы система имела единственное решение, необходимо взять
значение одного из потенциалов равным нулю, например V4 = 0. Решим устно
эту простую систему уравнений и полученные значения потенциалов занесем
в таблицу:
М1
М2
М3
М4
Потенциалы
строк
С1 4 6
U1 = 6
С2 2 4 7
U2 = 7
Потенциалы
столбцов
V1 = −2
V2 = −5
V3 = −3
V4 = 0
Далее по тому же правилу (каждое из значений в клетке равно сумме по-
тенциалов соответствующих строки и столбца) заполним пустые клетки таблицы:
37
М1
М2
М3
М4
Потенциалы
строк
С1
4
1
3
6
U1 = 6
С2 5 2 4 7
U2 = 7
Потенциалы
столбцов
V1 = −2
V2 = −5
V3 = −3
V4 = 0
Значения всех клеток таблицы запишем в виде матрицы А:
7425
6314
A
.
Теперь вычислим оценку каждой клетки таблицы, для чего найдем оце-
ночную матрицу В, где В = С − А:
0003
0220
7425
6314
7428
6534
B
.
Заметим, что в оценочной матрице В все элементы, которые соответствуют базисным клеткам распределения поставок, всегда равны нулю. В данном
случае это клетки (1; 1), (1; 4), (2; 2), (2; 3) и (2; 4).
Сформулируем критерий оптимальности распределения поставок:
распределение поставок оптимально тогда и только тогда, когда оценки всех
свободных ячеек неотрицательны.
Отметим, что в матрице В оценки всех свободных клеток (1; 2), (1; 3),
(2; 1) принимают неотрицательные значения. Согласно критерию оптимально-
сти, распределение поставок методом наименьших затрат оптимально.
Наименьшая стоимость перевозок составляет 1 175 руб.
Покажем, что распределение поставок методом северо-западного угла не
оптимально:
М1 (50)
М2 (100)
М3 (75)
М4 (75)
С1 (100)
50
4
50
3
−
5
−
6
С2 (200)
−
8
50
2
75
4
75
7
38
Занесем в таблицу только те из коэффициентов затрат, соответствующая
клетка которых содержит поставку. Припишем каждой строке потенциалы U1,
U2, каждому столбцу — потенциалы V1, V2, V3, V4.
М1
М2
М3
М4
Потенциалы
строк
С1 4 3
U
1
С2 2 4 7
U
2
Потенциалы
столбцов
V1
V2
V3
V4
Сформулируем правило: каждое из значений в ячейке равно сумме по-
тенциалов соответствующих строки и столбца. По этому правилу вычислим
потенциалы строк U1, U2 и столбцов V1, V2, V3, V4, следуя таблице данных
(например, U2 + V4 = 7). Составим аналогичное уравнение для каждого значения
таблицы и получим систему уравнений:
.7
,4
,2
,3
,4
42
32
22
21
11
VU
VU
VU
VU
VU
Примем значение одного из потенциалов равным нулю: пусть V4 = 0. Ре-
шим устно эту простую систему уравнений и полученные значения потенциа-
лов занесем в таблицу:
М1
М2
М3
М4
Потенциалы
строк
С1 4 3
U1 = 8
С2 2 4 7
U2 = 7
Потенциалы
столбцов
V1 = −4
V2 = −5
V3 = −3
V4 = 0
Далее по тому же правилу заполним пустые клетки таблицы:
39
М1
М2
М3
М4
Потенциалы
строк
С1 4 3
5
8
U1 = 8
С2 3 2 4 7
U2 = 7
Потенциалы
столбцов
V1 = −4
V2 = −5
V3 = −3
V4 = 0
Значения всех ячеек таблицы запишем в виде матрицы А:
7423
8534
A
.
Теперь вычислим оценку каждой ячейке таблицы, для чего найдем оценочную матрицу В, где В = С − А:
0005
2000
7423
8534
7428
6534
B
.
Заметим, что в оценочной матрице В все элементы, которые соответству-
ют базисным клеткам распределения поставок, равны нулю. В данном случае
это ячейки (1;1), (1;2), (2;2), (2;3) и (2;4).
Согласно критерию оптимальности, распределение поставок методом се-
веро-западного угла не оптимально, так как оценочная матрица содержит отрицательное значение (оно соответствует клетке (1;4)).
Далее покажем, как оптимизировать этот план перевозок.
3. Привести план перевозок к оптимальному плану.
После вычисления оценок всех ячеек таблицы поставок найдем отрицательные и выберем одну из них для передачи в нее поставки.
В нашем случае оценочная матрица содержит одно отрицательное значе-
ние — ячейку (1; 4). В нее и будем передавать поставку. В этой клетке поставим знак «+».
М1 (50)
М2 (100)
М3 (75)
М4 (75)
С1 (100)
50
50
+
С2 (200)
50
75
75
40
Далее расставим знаки «плюс» и «минус» в таблице, где они чередуются
таким образом, чтобы получился замкнутый цикл и выполнялись следующие
условия:
- остальные знаки цикла (все, кроме первоначально поставленного знака
«+») ставим только в базисных клетках;
- если в строке (столбце) есть «+», то в этой строке (столбце) должен быть
и «−», и наоборот.
Искомый цикл пересчета, отвечающий указанным условиям, отмечен
в таблице пунктиром:
М1 (50)
М2 (100)
М3 (75)
М4 (75)
С1 (100)
50
50 −
+
С2 (200)
50 +
75
75 −
Перераспределим товар по циклу. Обратимся к клеткам, содержащим
знаки «−». Среди их значений найдем минимальное:
5075,50min
. К зна-
чению каждой клетки цикла со знаком «+» прибавим
50
, из значения каж-
дой клетки цикла со знаком «−» вычтем
50
. Теперь клетка (1;2) стала сво-
бодной. Получим следующий план перевозок:
М1 (50)
М2 (100)
М3 (75)
М4 (75)
С1 (100)
50 −
50 +
С2 (200)
100 +
75
25 −
Полученный план перевозок необходимо проверить на оптимальность
с помощью нахождения оценочной матрицы В и применения критерия оптимальности (пункт 2).
Если оценки всех свободных ячеек окажутся неотрицательными, то
найденное распределение будем считать оптимальным — на этом процесс ре-
шения заканчиваем. Если полученный план перевозок снова окажется не опти-
мальным, то его требуется оптимизировать (пункт 3).
Заметим, что полученный план перевозок совпадает с планом перевозок,
распределенных методом наименьших затрат. Выше было показано, что этот
план оптимален, минимальные затраты составляют 1 175 руб. Решение задачи
закончено.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]