Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методология проектирования биотехнологических производств. Учебное пособие.pdf
11
2. ЭКСПЕРИМЕНТ – ОСНОВА ПРОЕКТИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
При проектировании БТП обычно используются опытные данные: это могут
быть результаты специально выполненных исследований, сведения, собранные при
изучении работы действующих установок, или информация, почерпнутая из литературных источников.
Часто предварительный выбор биотехнологической концепции производства
не основывается на результатах собственных исследований. Однако, как правило,
после предварительного анализа возможных вариантов концепции выбирается
наиболее многообещающий из них и проводятся исследования в целях экспериментальной проверки концепции и установления оптимальных значений режимных параметров БТП.
Планирование эксперимента должно отвечать следующим требованиям.
1. Эксперимент необходимо ставить так, чтобы полученные данные можно
было обобщить, т.е. выводы из опыта распространить на условия, в которых будет
осуществляться промышленное биотехнологическое производство.
2. Следует изучить влияние изменения тех параметров, которые существен-
ным образом воздействуют на ход процесса.
3. План эксперимента должен быть составлен так, чтобы можно было получить
нужную информацию, проводя минимальное число опытов.
4. Результаты опытов следует подвергнуть критической оценке и представить
в виде, удобном для их использования при проектировании.
Первые два указанных требования можно удовлетворить с помощью теории
подобия [7, 8]. Для выполнения третьего требования нужно использовать статистические методы планирования эксперимента [9 – 11]. Применение различных математических методов для вычисления погрешности эксперимента, составления диаграмм и номограмм, обобщения результатов опыта в виде математических выражений (в том числе критериальных, полученных на основе теории подобия) обусловлено четвертым требованием.
12
2.1. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОДОБИЯ И АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
Теория подобия и анализа размерностей формирует основные направления
обобщенного анализа – учения о методах универсализации количественного исследования, т.е. определения наиболее рациональной формы представления получаемых результатов [7, 8].
Фундаментальная идея обобщенного анализа заключается в замещении множества отдельных характерных величин (параметров), характеризующих индивидуальные особенности конкретного биотехнологического процесса, совокупностью безразмерных комплексов, число которых меньше числа первоначальных размерных параметров.
Теория подобия позволяет установить подобие или «родство» разных объектов, описываемых, однако, одним и тем же дифференциальным уравнением. При
этом для подобных объектов все или некоторые параметры будут находиться в одинаковых взаимных отношениях (связях). Условия полного или частичного геометрического/физического/временного подобия задаются безразмерными комплек-
сами из характерных величин (параметров) или числами типа , называемыми
критериями подобия и параметрическими критериями соответственно.
Два явления называют подобными, если любую характеристику одного их них
можно получить из аналогичной характеристики другого с помощью пропорционального (подобного) преобразования. Для подобия явлений данного класса необходимо и достаточно равенства численных значений всех критериев задачи, т.е.
условия ( тот же самый)
; ; ...; ; ; ... .
В таблице 2.1 приводится перечень безразмерных комплексов, которые наиболее часто встречаются в задачах био- и химической технологии. Большинство комплексов названы числами подобия, так как они могут встретиться и как критерии
подобия, и как безразмерные переменные. Критериями подобия названы лишь те
комплексы, которые либо вообще не содержат параметрических значений переменных, либо критерий и соответствующие числа имеют различные обозначения.
Re≡
vl
ν
13
2.1. Безразмерные комплексы
Наименование
Обозначение
Сопоставляемые эффекты
Примечания
Число
Рейнольдса
Силы инерции и трения
скорость; длина;
кинематический
коэффициент вязкости
Число Фруда
Силы трения и гравитации
ускорение свободного
падения
Число Нуссельта
Перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью через неподвижный
пристеночный слой
коэффициент теплоот-
дачи; теплопровод-
ность
Число Шервуда
Перенос массы конвекцией и диффузией через
неподвижную границу фаз
коэффициент массоот-
дачи; коэффициент
диффузии
Число Пекле
Перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью
коэффициент темпе-
ратуропроводности
Критерий Био
Внутреннее и внешнее термическое сопротивление
теплопроводность
твердой стенки;
определяющий размер
Число Фурье
Темпы изменения температуры в окружающей
среде и внутри тела
– время
Критерий
Прандтля
Перенос количества движения и теплоты посредством молекулярного механизма
Критерий
Шмидта
Перенос количества движения и массы посредством молекулярного механизма
14
Кроме критериев подобия, приведенных выше, используются многие другие,
например критерии термодинамического подобия и критерии подобия кинетики
химических реакций.
Биотехнология, как и химическая технология, – науки, базирующиеся на эксперименте; каждый эксперимент проводится в определенных условиях, и выводы
из него правильны только для данных условий. Поэтому принципиальное значение
имеет постановка эксперимента таким образом, чтобы полученные результаты
можно было обобщить и перенести на другие условия осуществления БТП. В этом
случае мы пользуемся теорией подобия и применяем теорему Кирпичева–Гухмана:
подобны те явления или системы, которые описываются одинаковыми уравнениями связи и условия однозначности которых подобны [7].
Опираясь на теорему Кирпичева–Гухмана, можно сформулировать требования, касающиеся проведения экспериментальных исследований, результаты которых должны быть перенесены на промышленные условия: 1) необходимо установить условия однозначности процесса; 2) в опытах должны исследоваться зависимости между параметрами, входящими в условия однозначности; 3) из условий однозначности следует составить критерии подобия, характеризующие процесс;
4) ход явлений нужно описать критериальными уравнениями, определив экспериментально значения коэффициентов и показателей степени при критериях; 5) перенося результаты опытов на условия, отличающиеся от экспериментальных, необходимо соблюдать подобие условий однозначности и численное равенство критериев подобия, составленных на основе условий однозначности.
При правильном планировании эксперимента должны выполняться два первых требования, а при масштабировании процесса особенно важны требования, перечисленные в пунктах 3 – 5.
Теоретически существует другая возможность использования экспериментальных результатов: если ход исследуемого явления удается описать в виде системы уравнений, то, решая ее для новых условий, можно определить ход явления
в этих условиях. В случае физико-биохимических процессов система уравнений,
описывающих явление (например кинетику биохимической реакции, тепло- и массообмен и т.д.), – это обычно система нелинейных дифференциальных уравнений,
которую удается решить численными методами.
15
2.2. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА
Экспериментальное исследование должно проводиться так, чтобы можно
было получить требуемую (достаточно представительную) информацию, выполнив как можно меньшее число соответствующим образом запланированных опытов. Результаты этих экспериментов могут быть основой для решения интересующей нас технологической задачи. Необходимо отметить, что обычно мы стремимся
найти оптимальное решение и, следовательно, определить значения независимых
параметров процесса (например, температуры, давления, концентрации), при которых зависимая переменная (например, производительность, выход, удельные расходные нормы сырья и т.д.) достигает экстремального значения (максимального
или минимального) [9 – 11].
Полное изучение процесса основывается на нахождении системы уравнений,
описывающих зависимости интересующих нас зависимых переменных от изменений независимых переменных
:
.
Проведение систематических исследований, называемых однофакторными,
в целях полного изучения процесса реализуется таким образом, что исследуется
ряд зависимостей с поочередным сохранением постоянных значений всех независимых переменных, за исключением одной.
Например, когда имеются только два независимых параметра и
, то при-
нимая, что обеим независимым переменным задается одинаковое число значе-
ний, сначала исследуется ряд зависимостей:
для : , , ...,
,
а затем
для : , , ...,
,
где и постоянные; число различных значений, заданных независимым
переменным.
Может случиться, что даже собранный обширный численный материал недостаточен для определения закона, которому подчиняется ход явления (например,
16
часто не удается точно установить кинетическое уравнение сложного биохимического превращения). В этих случаях необходимо аппроксимировать исследуемую
зависимость эмпирическим уравнением в виде, например, полинома
,
где число независимых переменных.
Вследствие больших затрат труда и времени на полное систематическое изучение процесса исследователь чаще всего довольствуется выборочным исследованием и, следуя интуиции, проводит эксперимент в тех областях, где надеется отыскать оптимальное решение.
Математическая теория планирования эксперимента дает возможность избежать излишне длительных и дорогостоящих систематических исследований и одновременно очень точно, а не основываясь на инженерной интуиции, составить
план решения задачи при минимально необходимом числе опытов [9 – 11]. Эта тео-
рия нашла широкое применение в научных исследованиях в области химии, физики, технологии и т.д.
Обычно сначала выполняется небольшое число предварительных опытов, позволяющих исключить те области, в которых отсутствуют перспективы достижения
оптимального решения, и определяющих предположительное направление исследований. На этой основе планируется первый этап экспериментов; анализ же ин-
формации о форме поверхности функции становится основой планирования
следующего этапа, приближающего исследователя к оптимальной области, и т.д.
На первых этапах чаще всего достаточно аппроксимировать результат линейным
полиномом; для области же, близкой к оптимуму, необходимо использовать полином более высокой степени.
Проблема планирования эксперимента значительно шире и сложнее, чем она
изложена в работах [9 – 11]. Существует также много различных методов поиска
оптимальной области. Цель данного пособия заключалась только в том, чтобы показать важное значение и практическую выгоду использования «стратегии экспериментального исследования» в биотехнологии.
17
2.3. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА
Решая технологическую задачу, основываемся на результатах лабораторных и
полупромышленных исследований, на наблюдениях за работой промышленной
установки, на данных, собранных из литературных источников, и т.д. Обычно исходные данные оформляются в виде таблиц, в которых интересующие нас величины (например, выходы, нагрузки аппарата, физико-биохимические свойства исходных веществ и продуктов и т.д.) приводятся для разных значений независимых
параметров (например, температуры, времени, концентраций компонентов, скорости потока и т.д.). Этот материал требует следующей математической обработки:
1) чтобы знать, какие можно совершить ошибки, нужно определить пределы точности значений тех величин, на которых мы будем основываться; 2) результаты
исследований, содержащиеся в таблицах, надо представить в удобной для дальнейших вычислений форме, т.е. в виде математических выражений, диаграмм или номограмм; 3) часто возникает необходимость сглаживания, интерполирования и экстраполирования опытных данных в целях нахождения значений, не приведенных в
таблицах.
Первым шагом при математической обработке результатов опытов является
графическая интерпретация зависимости исследованной величины от независимых
параметров. Обычно эти зависимости представляют в прямоугольной системе координат, предполагая, что изменяется только один независимый параметр; для различных значений других параметров получаются семейства кривых. Описанный
способ имеет следующие цели: 1) оценить точность измерений (разброс точек
около интерполяционной кривой); 2) найти общую тенденцию изменения исследуемой величины; 3) определить тип зависимости; 4) установить, к какой группе
предположительно принадлежит уравнение, описывающее явление; 5) сопоставить
результаты исследований с данными, основанными на теории изучаемого явления.
Ошибки измерений. Величины, на которых Исследователь основывает вычис-
ления, являются результатом измерения. Поэтому он никогда не знает точных значений этих величин, а оперирует лишь приближенными их значениями, содержащими некоторую ошибку измерения. Проводя вычисления, нужно знать точность
измерения, чтобы определить, какая ошибка может быть совершена, и иметь возможность эту ошибку учесть.
18
Различают два рода ошибок измерения. Систематическая ошибка обусловлена
погрешностями измерительных устройств или неправильной методикой проведения измерений. Систематическую ошибку можно компенсировать, вводя в расчет
результата измерения соответствующие поправки.
Случайная ошибка зависит от точности применяемого способа измерения и
умения Исследователя. Измеряя одну и ту же величину всегда одинаковым способом, Исследователь получает вследствие случайных ошибок разные результаты.
Случайную ошибку нельзя исключить, используя поправки. Все дальнейшие рассуждения касаются случайных ошибок.
Если Исследователь выполнил измерений некоторой величины , найдя их
значения
, то среднее арифметическое этих значений вычисляется по
формуле
и будет приблизительно равняться измеренной величине, т.е. . При этом
абсолютная ошибка i-го измерения составляет
.
Относительная ошибка i-го измерения
равна отношению абсолютной
ошибки к измеренной величине :
Так как точного значения измеренной величины Исследователь не знает, вме-
сто он вводит среднее арифметическое большого числа измерений.
Если проведено измерений и их ошибки равны , то средняя
погрешность измерения величины η составляет
Ошибка, абсолютное значение которой будет наиболее высоким, называется
максимальной ошибкой измерения.
19
Случайные ошибки могут подчиняться законам равномерного или
нормального распределения вероятности.
Законом равномерного распределения вероятности называется закон распре-
деления случайной величины, плотность вероятности которой внутри задан-
ного интервала
имеет постоянное значение (и равна нулю вне этого интер-
вала). Таким образом, для рассматриваемого закона распределения имеем
Случайная величина, подчиняющаяся закону равномерного распределения, с
одинаковой вероятностью может принимать значения внутри любых равновеликих
интервалов, расположенных в области возможных значений случайной величины.
Параметрами закона равномерного распределения являются математическое
ожидание и
. Тогда формулу для плотности вероятности
можно
переписать в виде
Определим дисперсию закона равномерного распределения
3
и среднее квадратическое отклонение
3
Закону равномерного распределения подчиняются ошибки округления,
а также ошибки измерения, возникающие при округлении отсчета до целого деления шкалы измерительного прибора.
Вторым законом распределения, весьма часто встречающимся в теории ошибок и в других приложениях, является закон нормального распределения (закон
20
Гаусса). Случайная величина подчиняется нормальному закону, если ее плотность вероятности может быть представлена в виде
,
где математическое ожидание случайной величины ;
дисперсия, а ко-
эффициент перед экспонентой подобран таким образом, чтобы интеграл от
,
взятый от до , был равен .
Нормальный закон определяется двумя параметрами: математическим ожида-
нием и средним квадратическим отклонением (дисперсией
или мерой точ-
ности
).
Составление уравнений. Наиболее удобной и краткой формой выражения результатов исследований является уравнение, описывающее зависимость интересующей нас величины от независимых параметров технологического процесса.
Основой для составления уравнений служат результаты опытов и наблюдений,
собранные в таблицы или представленные в виде графиков.
Составить нужное нам уравнение относительно просто, если известно общее
уравнение физико-химического или биологического закона, согласно которому
протекает процесс. В дальнейшем наша задача сводится к эмпирическому определению численных значений коэффициентов уравнения на основе результатов исследований. Такое уравнение называется полуэмпирическим.
Известно, например, что зависимость кинетического параметра скорости ре-
акции от температуры описывается выражением, которое в общем виде можно
записать следующим образом:
,
где предэкспоненциальный множитель и энергию активации необходимо
определять по экспериментальным данным.
Когда такой физический закон неизвестен, Исследователь старается подобрать
формулу, с помощью которой можно более точно описать ход изучаемого процесса
в исследованном интервале. Это уравнение будет эмпирическим.