Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методология проектирования биотехнологических производств. Учебное пособие.pdf
21
Эмпирические формулы [12]. Пусть, изучая функциональную зависимость
, Исследователь произвел ряд измерений величин и и в результате получил таблицу значений и график, связывающий значения и .
Если аналитическое выражение функции неизвестно или весьма сложно,
то возникает практически важная задача: найти эмпирическую формулу ,
значения которой при
возможно мало отличались бы от опытных данных
. В такой постановке задача весьма неопределенна; поэтому
обычно по ряду соображений указывают достаточно узкий класс (например, мно-
жество функций линейных, степенных, показательных и т.п.), которому должна
принадлежать искомая функция , и дело, таким образом, сводится к нахожде-
нию лишь наилучших значений параметров. Во многих случаях класс определя-
ется требованием простоты эмпирической формулы; иногда этот класс подсказывается самой природой явления.
Геометрически задача построения эмпирической формулы состоит в проведе-
нии кривой вида из некоторого класса , возможно ближе примыкаю-
щей к системе точек
. Разумеется, при этом должен быть вы-
яснен точный математический смысл понятия «близости» кривой к конфигура-
ции точек
. Следует иметь в виду, что сами исходные опыт-
ные данные
, как правило, являются приближенными и содержат ошибки.
Построение эмпирической формулы слагается из двух этапов: 1) выяснение
общего вида этой формулы; 2) определение наилучших ее параметров.
В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может быть произведен на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости.
В других случаях удается подобрать такую формулу, сравнивая кривую, построенную по данным наблюдениям в декартовых координатах или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т.д.), с образцами известных кривых.
Можно ограничиться полиномом
.
Нередко употребляются другие элементарные функции (дробно-линейная,
степенная, показательная, логарифмическая и т.п.) [12].
22
Если вид эмпирической формулы выбран, то возникает задача определения
наилучших коэффициентов (параметров), входящих в эту формулу.
Метод наименьших квадратов [12]. Если между измеряемыми величинами су-
ществует функциональная зависимость, вид которой известен с точностью до численных значений некоторых параметров, то для определения оценок этих параметров применяется метод наименьших квадратов.
Рассмотрим метод на примере двух величин, связанных функциональным соотношением
,
где вид функции известен, а постоянные , подлежат определе-
нию по опытным данным.
Предположим, что для нахождения этих постоянных при значениях
аргу-
мента произведено измерений значений функции . Так как измерения сопровождаются ошибками, то получим значения пар чисел
, иска-
женных ошибками измерения. Обозначим разность между левой и правой частями
-го уравнения через и будем называть ее «невязкой» -го измерения, т.е. положим
.
Если , то число условных уравнений меньше общего числа неизвестных
параметров , и оценки этих параметров определены быть не могут. Если ,
то число условных уравнений равно числу неизвестных параметров, и задача
нахождения оценок сводится к задаче решения системы уравнений. Если , то
число условных уравнений превышает число неизвестных параметров, и возникает
задача использования этих уравнений для получения наилучших оценок парамет-
ров
. Практически эта задача возникает в тех случаях, когда увеличением числа
измерений пытаются скомпенсировать неизбежные ошибки каждого измерения.
В методе наименьших квадратов искомые постоянные определяются так,
чтобы сумма квадратов невязок обращалась в минимум, т.е., чтобы выполнялось
условие
.
23
Сумма является функцией неизвестных параметров
, поэтому из необхо-
димого условия экстремума этой функции следует обращение в нуль всех первых
производных от по
, т.е. выполнение равенств
Полученная система нормальных уравнений содержит уравнений, т.е.
столько же, сколько неизвестных параметров
.
Метод наименьших квадратов обладает тем преимуществом, что если сумма
квадратов уклонений
мала, то сами эти уклонения также малы по абсолютной
величине. К нему прибегают обычно при обработке наблюдений высокой точности,
когда нужно получить весьма точные значения параметров.
Сглаживание. Одним из эффективных методов уменьшения дисперсии значе-
ний , связанной с наличием помех, является усреднение. Так как время экспери-
мента ограничено, то усреднение проводится не только по времени, но и по мно-
жеству соседних значений функции . Возможность уменьшения погрешности при
таком усреднении связана с тем, что при достаточно малом изменении независимых параметров, как правило, также мало изменяются. Все же резкие их изменения
связаны главным образом с ошибками измерения. Эти изменения при усреднении
сглаживаются.
Сущность метода сглаживания скользящим средним заключается в том, что
значения усредняются на некотором интервале . Значения сглаженной функции получают по формуле
При выборе интервала усреднения нужно учесть, что увеличение интервала
ведет к искажению истинной зависимости и потере
точек в начале и в конце
диапазона изменения . Обычно при сглаживании экспериментальных данных выбирают .
Сущность метода сглаживания четвертыми разностями заключается в аппрок-
симации каждых пяти соседних значений
параболой второго порядка. При этом
24
вычисляется только поправка к средней (третьей по счету) координате, затем осу-
ществляется сдвиг вправо на величину и снова производится определение по-
правки и т.д.
Сглаживание производится по формуле
где есть четвертая
центральная разность функции при -м значении аргумента.
Чтобы избежать потери четырех значений
, следует определить в начале и в
конце интервала значения при по формулам:
;
;
;
,
в которых
третья центральная разность:
.
Интерполяция и экстраполяция [13]. Результаты измерений, на основе которых проводятся технологические расчеты, часто сводятся в таблицы, в которых измеренные значения зависимой переменной соответствуют разным значениям независимого параметра. Однако чаще всего требуемое значение находится между
двумя значениями, приведенными в таблице, и для его определения нужно использовать интерполяцию. Когда отыскиваемое Исследователем значение больше или
меньше тех, что представлены в таблице, приходится применять экстраполяцию.
Простейшая задача, приводящая к приближению функций, заключается в сле-
дующем. В дискретные моменты времени
наблюдаются значения
функции ; требуется восстановить ее значения при других . Иногда из каких-
25
то дополнительных соображений известно, что приближающую функцию целесо-
образно искать в виде
.
Если параметры определяются из условия совпадения
и при-
ближающей функции в точках
, так называемых узлах интерполяции,
,
то такой способ приближения называют интерполяцией или интерполированием.
Пусть – наименьшее из чисел узлов интерполяции, а – наибольшее из
них. Если точка , в которой вычисляется значение , лежит вне отрезка ,
то наряду с термином интерполяция употребляют термин экстраполяция.
Среди способов интерполирования наиболее распространен случай линейного
интерполирования, когда приближение ищется в виде
, (2.1)
где
– фиксированные функции, значения коэффициентов
определяются
непосредственно решением системы (2.1), называется методом неопределенных
коэффициентов.
Наиболее изучен случай интерполирования многочленами
.
Тогда
,
и система уравнений (2.1) имеет вид
. (2.2)
Далее мы предполагаем, что все
различные. Определитель этой системы
отличен от нуля (определитель Вандермонда). Следовательно, система
(2.2) всегда имеет решение, и притом единственное.
Непосредственное нахождение
c помощью решения этой системы уже при
сравнительно небольших , например при , приводит к катастрофическому
искажению коэффициентов
вычислительной погрешностью.
26
Известен ряд явных представлений интерполяционного многочлена
, не прибегая к непосредственному решению системы (2.2). Интерполя-
ционный многочлен, записанный в форме
,
называют интерполяционным многочленом Лагранжа.
Для случая равноотстоящих узлов полином Ла-
гранжа может быть записан в виде интерполяционного полинома Ньютона
,
(2.4)
где
разделенные разности первого, второго и -го порядков соответственно.
Если функция задана таблично, причем известны ее значения
лишь в узлах
, то интерполяционный полином Лагранжа
(2.3) может быть использован для приближенного нахождения нетабличных значе-
ний функции. В случае равноотстоящих узлов для интерполирования функции
можно воспользоваться интерполяционным полиномом Ньютона (2.4). В частно-
сти, при имеем формулу линейного интерполирования
,
а при формулу квадратичного интерполирования
,
где
– шаг таблицы.
27
Интерполирование многочленом Лагранжа или Ньютона на всем отрезке
с использованием большого числа узлов интерполяции часто приводит к плохому
приближению, что объясняется сильным накоплением погрешностей в процессе
вычислений. Для того чтобы избежать больших погрешностей , весь отрезок
разбивают на частичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно
заменяют функцию многочленом невысокой степени (кусочно-полиномиаль-
ная интерполяция).
Одним из способов интерполирования на всем отрезке является интерполиро-
вание с помощью сплайн-функций. Сплайн-функцией или сплайном называют ку-
сочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке и имеющую на
этом отрезке некоторое число непрерывных производных. Преимуществом сплайнов перед обычной интерполяцией является их сходимость и устойчивость процесса вычислений.
Кубический сплайн [14]. Пусть на задана непрерывная функция .
Введем сетку
и обозначим
. Сплайном соответствующей функции
и данным узлам
, называется функция , удовлетворяющая следующим
условиям:
а) на каждом сегменте
, функция является много-
членом третьей степени;
б) функция , а также ее первая и вторая производные непрерывны на
;
в)
.
Сплайн, определяемый условиями а) – в), называется интерполяционным ку-
бическим сплайном.
На каждом из отрезков
будем искать функцию
в виде многочлена третьей степени
,
28
где – коэффициенты, подлежащие определению. Запишем выражения
для производных функции :
,
,
поэтому имеем
,
,
,
.
Из условий интерполирования
получаем, что
.
Доопределим, кроме того, .
Далее из условия непрерывности функции
имеем
.
Отсюда, учитывая выражение для функций
, получаем при
уравнения
Обозначая
, перепишем эти уравнения в виде
. (2.6)
Из условия непрерывности первой производной
следуют уравнения
(2.7)
Из условия непрерывности второй производной получаем уравнения
3 . (2.8)
Объединяя уравнения (2.6) – (2.8), получим систему 3 уравнений отно-
сительно 3 неизвестных .
29
Два недостающих уравнения можно получить, задавая те или иные граничные
условия для , например, предположив, что функция удовлетворяет усло-
виям
. Тогда естественно требовать, чтобы
.
Отсюда получаем
, т.е. .
Заметим, что условие совпадает с уравнением (2.8) при ,
если положить . Таким образом, приходим к замкнутой системе уравнений
для определения коэффициентов кубического сплайна:
, , ; (2.9)
3 ; (2.10)
. (2.11)
Исключим из уравнений (2.9) – (2.11) переменные , , и
получим систему, содержащую только :
,(2.12)
, .
В силу диагонального преобладания система (2.12) имеет единственное реше-
ние. Так как матрица системы трехдиагональная, решение легко найти методом
прогонки, которая в данном случае устойчива [14]. По найденным коэффициентам
коэффициенты и
определяются с помощью явных формул:
Метод прогонки. В общем случае системы линейных алгебраических уравне-
ний с трехдиагональной матрицей имеют вид:
, (2.13)
,
. (2.14)
30
Для численного решения систем с трехдиагональными матрицами применя-
ется метод прогонки, который представляет собой вариант метода последовательного исключения неизвестных.
Будем искать решение системы (2.13) в виде
,
где
неизвестные пока коэффициенты. Выразим
,
.
Подставляя полученные выражения для
в уравнение (2.13), приходим
при к уравнению
.
Последнее уравнение будет удовлетворено, если выражения в квадратных
скобках равны нулю. Из этих двух равенств находим рекуррентные формулы для
определения
:
(2.15)
Сравнивая формулу с краевым условием
, нахо-
дим: ,
.
Нахождение коэффициентов
по формулам (2.15) называется прямой
прогонкой. После того как прогоночные коэффициенты
,
найдены, решение системы (2.13), (2.14) находится по рекуррентной формуле
, начиная с .
Для начала счета по этой формуле требуется знать
, которое определяется
из уравнений
,