Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методика обучения математике. Часть 2. Учебно-методическое пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

то содержание задачи в точности соответствовало бы системе соотношений (1), (2), т. е. получаемому из них уравнению (3). И тогда

(разумеется, при условии, что уравнение решено правильно) никакой проверки делать было бы не нужно. Но беда в том, что по смыслу на рассматриваемые физические величины накладываются ограничения (4), которые никак не отражены в составленном уравнении. Поэтому, после того как уравнение решено, нужно обязательно посмотреть, какие из корней этого уравнения удовлетворяют всем ограничениям (4). Чтобы это проверить, надо для каждого найденного корня х = х0 найти соответствующие физические величины

yy ,...,

и проверить выполнение ограничений (4). Если хотя бы одно из них

не выполняется, корень х0 по смыслу задачи непригоден и должен быть отброшен.

И вот тут-то заключена основная опасность. Дело в том, что при составлении уравнения мы обычно не выписываем (обозначая отдельными

буквами

yy ,...,

) все встречающиеся физические величины, а сразу выражаем

их через х и составляем уравнение. И может случиться, что корень х = х

требуемому ограничению

Mx

удовлетворяет, но одна из вспомогательных

физических величин (скажем,

) требуемому ограничению (т. е.

Ny 

)

не удовлетворяет, и потому корень х0 должен быть отброшен (хотя на первый взгляд х

требуемому ограничению, т. е.

Mx

удовлетворяет). Как можно это

обнаружить? Только проверкой по условию задачи с учетом смысла вводимых физических величин. Рассмотрим простые примеры.

Задача 2. В трех баках было вместе 50 л бензина, причем в первом было

на 10 л больше, чем во втором. Когда из первого бака вылили в третий 26 л, во втором и третьем баках стало бензина поровну. Сколько было первоначально в первом баке?

Решение (обычное, т. е. не вводящее обозначений

yy ,...,

для

встречающихся в задаче физических величин):

x л – в первом баке до переливания,

(х – 10) л – во втором баке,

(50 – х – (x –10)) л – в третьем баке до переливания,

(50 – х – (x –10) + 26) л – в третьем баке после переливания.

Получаем уравнение,

26)10(5010  xxx

, решая которое,

находим x = 32.

Если бы мы не произвели проверку по условию задачи, а успокоенные тем, что полученное решение x = 32 положительно, написали ответ (в первом баке было 32 л), то совершили бы ошибку.

Разберемся в этом. В рассматриваемой задаче имеются следующие физические величины:

– количество бензина в 1-м баке до переливания;

– количество бензина во 2-м баке;

– количество бензина в 3-м баке до переливания;

– количество бензина в 1-м баке после переливания;

– количество бензина в 3-м баке после переливания;

– разность между количеством бензина во 2-м и 3-м баках после

переливания.

По смыслу этих физических величин все числа

4321

,,,, yyyyx

должны быть

неотрицательными:

0,0,0,0,0

4321

 yyyyx

Таковы ограничения (по смыслу) в этой задаче. Проверим, выполняются ли они для найденного значения x = 32:

32 – число положительное;

22103210

 xy

– число положительное,

422325050

 yxy

– число отрицательное.

Дальше нечего проверять – величина

требуемому ограничению

не удовлетворяет, и значит, корень x = 32 должен быть отброшен по смыслу задачи, т. е. задача решения не имеет. Как видим, мнение Т. Н. Поляковой о том, что «нет необходимости в проверке по каким-либо соображениям принципиального характера», неверно и приводит к прямым ошибкам.

Разумеется, … в только что … рассмотренной задаче совершенно прозрачны причины, по которым следует отбросить неприемлемые решения (и другой способ выбора неизвестного сделал бы это еще яснее), но легко составить более сложные задачи, в которых причины отбрасывания решений не столь прозрачны и только проверка по условию задачи позволяет их выявить.

Вывод. Уравнение, составленное для решения текстовой задачи, не учитывает ряд ограничений на физические величины, которые должны быть наложены по смыслу задачи. При этом ограничения накладывается не только на основное неизвестное x, относительно которого составляется уравнение, но и на другие физические величины, рассматриваемые в процессе составления уравнения. Благодаря этому не все корни составленного уравнения оказываются пригодными для получения решения текстовой задачи (причем это не сразу «видно»), а некоторые должны быть (по смыслу задачи) отброшены. Вопрос о том, какие корни уравнения дают решения поставленной задачи, а какие должны быть по смыслу задачи отброшены, решается только проверкой. Поэтому проверка является необходимым элементом решения текстовой задачи; без проверки задача не может считаться решенной. Проверка заключается в следующем: взяв корень x0 уравнения, мы вычисляем все физические величины, входящие в условие задачи, и проверяем, удовлетворяют ли эти величины смысловым ограничениям; если все найденные значения физических величии удовлетворяют смысловым ограничениям, корень x0 дает решение задачи, а в противном случае (т. е. если хотя бы одно ограничение нс выполнено) корень х

отбрасывается как не подходящий по смыслу задачи.

Практически для проверки корня х0 достаточно «пройти» по условию задачи от начала до конца, вычисляя все входящие физические величины и следя за выполнением смысловых ограничений.

Сказанное представляется совершенно ясным и элементарным. И вряд ли автор взялся бы писать на эту общеизвестную тему, если бы указанная заметка не убедила в том, что в этом вопросе не все и не всем ясно. В заключение остановимся на вопросе о том, что понимает под «проверкой» Т. Н. Полякова и почему она приходит в своей заметке к столь странным выводам. В общем виде мысль, высказанную в ее заметке, можно выразить следующим образом. Дана текстовая задача, содержащая числовые параметры

qcba ,...,,,

Например, в рассмотренной выше задаче 1 можно считать, что а = 100 (т. е. ежедневная плановая заготовка дров в кубометрах), b = 10 (т. e. ежедневное превышение плана заготовки дров, тоже в кубометрах), с = 5 (т. е. число сэкономленных дней). Для решения задачи вводится неизвестное х (в задаче 1 это было количество заготовленных дров в кубометрах) и составляется уравнение. В это уравнение входят числовые параметры и неизвестное х, т. е. составленное уравнение в общем случае имеет вид

.0),...,,,,( qcbaxf

(5)

Подчеркнем, что хотя параметры обозначены буквами, но предполагается, что в задаче указаны их числовые значения. Решая уравнение (5), мы находим один или несколько корней. Казалось бы, теперь надо сделать проверку каждого корня по смыслу задачи. Но Т. Н. Полякова предлагает иной путь, а именно: имея корень x = x0 уравнения (1), она предлагает считать один из числовых параметров (скажем, а) новым неизвестным, т. е. предлагает рассмотреть новую задачу, в которой x = x0 уже является известным параметром, а вместо а рассматривается новое неизвестное

z. Ясно, что относительно этого неизвестного мы получим уравнение

.0),...,,,,(

qcbzxf

(6)

Как же связаны между собой уравнения (5) и (6)? Ясно, что z = а будет решением уравнения (6) и что, вообще говоря, уравнение (6) может кроме z = а иметь и другие корни. Итак, замена одной текстовой задачи другой задачей (замена задачи, связанной с уравнением (5), задачей, связанной с уравнением (6),— вот смысл того, что обсуждается как «проверка» в заметке Т. Н. Поляковой. Вывод очевиден. Уравнение, составленное при решении второй задачи (т. е. (6)), всегда будет иметь z = а своим корнем, т. е. никакой проверки (если отвлечься от возможных вычислительных ошибок) решение этой второй задачи не дает. Кроме того, уравнение (6) может иметь кроме z = а и другие корни, что также не имеет никакого отношения к проверке решения первоначальной задачи. Составление и решение второй задачи не заменяют проверки решения по смыслу задачи, т. е. проверки выполнения смысловых ограничений.

Например, если в рассмотренной выше задаче 2 принять за новое неизвестное z количество бензина, перелитого из 1-го бака в 3-й (чтобы во 2-м и 3-м баках стало поровну), то мы найдем для этого нового неизвестного значение z = 26, но так и не обнаружим, что в 3-м баке было вначале отрицательное количество литров бензина.

Я вовсе не хочу сказать, что составление второй задачи вредно. Напротив, как один из возможных методических приемов осмысления данных задачи этот прием иногда может быть полезен. По недопустимо путать этот прием с проверкой решения задачи и тем … недопустимо декретировать на этом основании ненужность проверки.

Проверка решения по смыслу задачи — необходимый элемент решения. Ее ничем нельзя заменять и тем более отменять.

Другое дело, что учитель может иногда разрешить не делать проверку, предупредив, скажем, что «вообще-то ее необходимо делать, но сейчас мы времени тратить на нее не будем». Это – вопрос методики и педагогического такта учителя.

Электронное учебное издание

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Учебно-методическое пособие

в 3 частях

Часть 2

Направление подготовки – 44.03.05 «Педагогическое образование»

профиль подготовки – «Математика и Информатика»

Составитель:

Васильева Галина Николаевна

Редактор М.Н. Афанасьева

Минимальные системные требования:

Тип компьютера, процессор, частота: процессор Intel(R) Celeron(R) и выше,

частота 2.80 ГГц

Видеосистема: монитор Super VGA с разреш. 800х600, отображ. 256 и более цв.

Оперативная память (RAM): 128 Мb

Операционные системы: Windows XP и выше

Дополнительные программные средства: Acrobat Reader 8.0 и выше

Дополнительное оборудование: CD-дисковод ; клавиатура ; мышь.

Редакционно-издательский отдел

Пермского государственного гуманитарно-педагогического университета

614990, г. Пермь, ул. Сибирская, 24, корп. 2, оф. 71,

тел. +7(342) 238-63-12

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 88

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]