Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Методика обучения математике. Часть 2. Учебно-методическое пособие
.pdf
61
5. Крутецкий В.А. Психология математических способностей
школьников. – М.: Просвещение, 1968.
6. В помощь учителям V – VI классов // Математика в школе. – 1992. –
№ 4– 5.
7. Минаева С.С., Чернышева Л.Ю. В помощь учителям, работающим
в IV классе по учебнику Э.Р. Нурка, А.Э. Тельгмаа // Математика в школе. –
1988. – №3.
8. Пехлецкий И.Д. Компоненты индивидуального стиля преподавания:
спецкурс-практикум / Перм. пед. ин-т. – Пермь, 1990.
9. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. – М.: ИИЛ, 1957.
10. Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976.
11. Реализация деятельностного подхода при обучении математике
в средней школе: сб. науч.-метод. ст. / отв. ред. Г.Н. Васильева. – Пермь, 2003. – 67 с.
62
Приложение 3
Теоретическая основа выполнения тождественных преобразований
иррациональных выражений
6
I. Теоретическая основа тождественных преобразований выражений
в основной школе:
1. Определение квадратного корня из числа.
2. Определение арифметического квадратного корня из числа.
3. Определение модуля числа.
4. Свойства арифметического квадратного корня.
а)
0,2 aaa
;
б)
aa
2
, где
Ra
;
в)
baba
,
0,0 ba
;
г)
.0,0, ba
b
a
b
a
II. Виды тождественных преобразований иррациональных выражений:
1. Вынесение множителя из-под знака квадратного корня.
2. Внесение множителя под знак квадратного корня.
3. Освобождение от иррациональности в знаменателе (числителе).
4. Освобождение подкоренного выражения от дробности.
5. Приведение подобных радикалов.
Алгоритмы
1. Вынесение множителя из-под знака квадратного корня
1. Представить подкоренное выражение в виде произведения, в котором
один или несколько множителей тождественно равны квадрату одночлена.
2. Заменить корень из произведения произведением корней.
3. Воспользоваться тождеством
aa
2
.
4. Освободиться, если требуется, от знаков модуля и выполнить
тождественные преобразования рациональных выражений.
Пример. Вынести множитель из-под знака корня:
.
3
a
Выполнение алгоритма:
1. Представим подкоренное выражение в виде произведения, в котором
множитель тождественно равен квадрату одночлена:
.23aaa
2. Заменим корень из произведения произведением корней:
aaaa
2
2
.
6
Из лекции И.С. Цай (См. пособие: Методика изучения математики в основной школе: курс лекций для
организации самостоятельной работы студентов по вопросам частных методик. – Пермь, ПГПУ, 2011).
63
3. Воспользуемся тождеством
aa
2
:
aaaa
2
.
4. Выполним тождественные преобразования выражения, получившегося
перед знаком корня:
.aaaa
Итак,
aaaaaaaaa
2
23
.
.
2. Внесение множителя под знак квадратного корня
1. Выделить положительный множитель перед корнем.
2. Представить его в виде арифметического квадратного корня, используя
тождество
aa
2
.
3. Заменить произведение корней корнем из произведения, используя
свойство
baba
.
4. Выполнить тождественные преобразования рациональных выражений,
получившихся под знаком корня.
Пример. Внести множитель под знак корня:
.aa
Выполнение алгоритма:
1. Подкоренное выражение неотрицательно, поэтому
0 а
, т.е.
.0а
Положительный множитель перед корнем: (– а), т.е.
aaaa
.
2. Представим множитель (– а) в виде арифметического квадратного
корня:
2
аа
. Тогда получим:
.2aaaa
3. Заменяем произведение корней корнем из произведения:
.
2
2
aaaa
4. Выполним тождественные преобразования выражения, получившегося
под знаком корня:
.32aaa
Итак,
32
2
aaaaaaaaa
.
64
Приложение 4
К технологии обучения решению задач методом уравнений
Г. Н. Васильева7
Мотивация обучения применению метода уравнений
к решению задач
Изучение фундаментального метода должно быть мотивировано, чтобы
каждый учащийся понимал необходимость овладения новым методом и его
сущностью. Это способствует отказу от формализма в обучении математике,
формированию осознанного усвоения предмета. Поэтому обучение школьников
применению уравнений к решению задач должно быть ненавязчивым,
обоснованным, понятым и принятым учащимися в результате работы над
первыми такими задачами.
Как известно, учебная задача, позволяющая осуществить мотивацию,
начинается с осознания учеником собственного незнания, с понимания того,
что он знает, а чего не знает. В методической литературе в качестве средства
для создания проблемной ситуации предлагается задача, которую
арифметическим способом ученик решить не может. Но ведь эта задача,
вообще говоря, арифметическое решение имеет. Решали же в древности
арифметические задачи, не зная уравнений8. Для мотивации обучения методу
уравнений важно не столько познавательное затруднение учащихся, состоящее
в невозможности решить предложенную задачу, сколько осознание того, что
прежний способ рассуждения (правильный, испытанный временем,
позволяющий успешно решать задачи) в данной ситуации не срабатывает.
Средством для такой мотивации деятельности служит способ поиска
плана решения арифметической задачи по схеме восходящего анализа.
Рассмотрим задачу.
Лодка, скорость которой в стоячей воде 12
ч
км
, шла по течению реки
3 часа. Найти время, затраченное лодкой на путь, пройденный против течения,
если его длина на 8 км больше пути, пройденного по течению реки, а скорость
течения реки 4
ч
км
.
Представим модель поиска плана решения данной задачи, которая
должна быть сформирована у учащихся в начальной школе и, в худшем случае,
к концу изучения пропедевтического курса математики (см. ниже, рис.1).
7
Решение задач на составление уравнения: методическая разработка по курсу «Методика преподавания
математики» для студентов математических факультетов педвузов / Перм. гос. пед ун-т, авторы - составители
Г.Н. Васильева, И.С. Цай. – Пермь, 2001. – 23 с.
8
Малых А.Е., Мусихина И.В. Методы решения старинных арифметических задач. – Пермь: ПГПУ, 1999.
65
Рис. 1. Модель поиска плана решения задачи
Эта схема приводит к арифметическому способу решения задачи.
В результате анализа учащиеся формулируют план решения задачи,
по которому можно составить числовое выражение: ((12 + 4) ∙ 3 + 8) : (12 – 4).
Показанное выше действие поиска плана решения задачи, ранее
сформированное у младших школьников, является основой мотивации
деятельности по изучению алгебраического метода решения задач. Чтобы
произошло целеполагание (принятие учащимися цели деятельности), можно
рекомендовать решить задачу, которая сыграет роль учебной задачи.
Учебная задача к изучению метода уравнений может быть поставлена
самими учащимися после составления модели поиска решения специально
подобранной задачи. Приведем ее.
Лодка шла по течению реки 3 часа и против течения 5 часов. Путь,
пройденный лодкой по течению, оказался на 7 км длиннее пути, пройденного
против течения. Найти скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения
реки 4
ч
км
.
Время движения
лодки против течения
? ч
Путь, пройденный
против течения
? км
Скорость движения
лодки против течения
?
ч
км
Путь,
пройденный
лодкой
по течению
?
км
Разность
расстояний,
пройденных
по течению
и против
течения
8
км
Скорость
лодки
в стоячей
воде
12
ч
км
Скорость
течения
реки
4
ч
км
Скорость лодки
по течению
?
Время движения
по течению
3 ч
Скорость лодки
в стоячей воде
12
ч
км
Скорость течения
реки
4
ч
км
66
Составление модели поиска решения не затрудняет учащихся, это для них
известное действие. В результате появляется схема поиска плана решения
задачи (рис. 2). Составленная схема обсуждается на уроке. Учащиеся приходят
к выводу, что эта задача не сводится к известным данным из условия задачи.
Рис. 2. Модель рассуждения, приводящая к неизвестному в задаче
Оказалось, что для ответа на вопрос задачи нужно знать этот ответ, как
это было в предыдущем примере. Возник порочный круг. Чтобы его
преодолеть, следует считать искомое известным – х! Заменим в схеме
последний знак вопроса буквой х и далее заменим в схеме остальные знаки «?»
(рис. 3).
Этот момент очень важен в мотивации учения: происходит отделение
знания от незнания. Ученик знает, как искать решение задачи, знает структуру
поиска, составляет модель, но она отлична от получаемых в ранее решенных
задачах. Понимание процесса решения задачи как деятельности учащихся
позволяет использовать его в качестве средства развития познавательной
самостоятельности школьников. Возникает осмысление учащимися
Скорость лодки
в стоячей воде
?
ч
км
Скорость лодки
по течению
?
ч
км
Скорость течения
реки
4
ч
км
Путь, пройденный
лодкой по течению
?
км
Время движения
лодки по течению
3 ч
Скорость лодки
против течения
ч
км
?
Время движения
лодки против течения
5 ч
Скорость лодки
в стоячей воде
?
ч
км
Скорость течения
реки
4
ч
км
Путь, пройденный
лодкой против
течения – ? км
Разность расстояний,
пройденных по течению
и против течения – 7 км
67
Рис. 3. Алгебраический анализ задачи
«незнания» – известный способ не дает результата. Не удалось «свести» вопрос
задачи к данным в условии, значит, знания известного способа рассуждений
недостаточно, нужен новый способ. Какой?
Модель показывает, что для ответа на вопрос задачи структурный
компонент, содержащийся в вопросе, должен быть известным. И если
бы он был известен, то можно составить числовое выражение, получить
числовое равенство. В данном случае равенство уже не будет числовым, так как
задачу не удалось свести к данным.
- К какому равенству можно прийти?
- К равенству с переменной – уравнению!
Таким образом, учащиеся подходят к новому способу решения задачи,
к выбору неизвестного и обозначению его переменной (х
ч
км
– скорость лодки
в стоячей воде).
Тогда можно:
найти скорость лодки по течению – (х+4)
ч
км
;
путь, пройденный по течению – (х+4)·3 км;
Скорость лодки
в стоячей воде
х
ч
км
Скорость лодки
по течению
?
ч
км
Скорость течения
реки
4
ч
км
Путь, пройденный
лодкой по течению
?
км
Время движения
лодки по течению
3 ч
Скорость лодки
против течения.
(х – 4)
ч
км
Время движения
лодки против
5 ч
Скорость лодки
в стоячей воде.
х
ч
км
Скорость течения
реки.
4
ч
км
Путь, пройденный
лодкой против
течения – ? км
Разность расстояний,
пройденных по течению
и против течения – 7 км
68
найти скорость лодки против течения – (х – 4)
ч
км
;
путь, пройденный лодкой против течения – (х – 4) ∙ 5 км;
скорость лодки по течению – ((х – 4) ∙ 5 + 7) км;
скорость лодки против течения – ((х – 4) ∙ 5 – 7) км;
разность расстояний и т.д.
С одной стороны, путь, пройденный лодкой по течению, ((х – 4) ∙ 5 + 7)
км, а с другой стороны — (х + 4) ∙ 3 км.
Значения выражений (х – 4) ∙ 5 + 7 и (х + 4) ∙ 3 равны, получаем
уравнение:
(х – 4) ∙ 5 + 7 = (х + 4) ∙ 3.
Как видно из примера, учащиеся приходят к самым разным уравнениям:
х + 4 = ((х – 4) ∙ 5 – 7) : 3;
(х + 4) ∙ 3 – (х – 4) ∙ 5 = 7 и т.п.
Обязательным является составление нескольких уравнений.
Предпочтение отдается уравнению наиболее простой структуры.
Особо следует остановиться на действии контроля и оценки в решении
алгебраических задач. Такие действия, как выполнение краткой записи (модели
текста задачи), различные способы оформления решения задачи, проверка
решения, формируются при решении арифметических задач, а при изучении
метода уравнений лишь уточняются.
Теоретическое значение проверки в решении задач методом уравнений
следует из структуры нисходящего анализа. Остановимся на важности
реализации (или формирования, если оно отсутствует) действия проверки как
компонента деятельности школьников.
Ученик, решивший задачу, должен быть убежден в правильности
выполненного задания; т.е. должно срабатывать действие контроля и оценки –
один из компонентов структуры деятельности школьников9. Это еще один
аргумент в ответе на вопрос о необходимости проверки в решении задач
с помощью уравнений, актуальный сегодня, в условиях внедрения ФГОС ООО.
Поэтому должен восприниматься странным вопрос учащегося к учителю:
«Какой ответ в задаче?». Реакция учителя на него однозначна – закончите
решение задачи (что означает – сделайте проверку). И нельзя экономить время
на таком важном моменте в воспитании школьников, как формирование
самоконтроля.
9
Васильева Г.Н. Методические аспекты деятельностного подхода при обучении математике
в средней школе: практико-ориентированная монография / Перм. гос. пед. ун-т. – Пермь, 2009. – С.
14.
69
В.Г. Болтянский10
Нужна ли проверка при решении текстовых задач на составление
уравнений?
Под таким же названием в № 1 журнала «Математика в школе» за 1971 г.
была помещена заметка Т.Н Поляковой. Указанная заметка неправильно
освещает вопрос и ни к чему, кроме путаницы, привести не может. В связи
с этим представляется совершенно необходимым «поставить точки над i ». То,
что понимается под «проверкой» в указанной заметке, расходится с тем
содержанием, которое вкладывают в этот термин большинство (если не все)
остальных преподавателей математики. Такая «проверка» действительно
не нужна (во всяком случае, не обязательна). Но существует и другая проверка
— проверка в общепризнанном понимании (по смыслу задачи), и она
обязательно должна завершать решение текстовой задачи на составление
уравнений.
Приведем общие соображения и примеры, поясняющие сказанное. Для
простоты ограничимся текстовыми задачами, которые решаются составлением
одного уравнения с одним неизвестным (аналогичные соображения применимы
в случае, когда задача сводится к системе уравнений). Возьмем задачу, которая
приведена в заметке Т. Н. Поляковой.
Задача 1. Артель лесорубов должна по плану ежедневно заготовлять 100
кубометров дров. Лесорубы, перевыполняя план, заготовляли ежедневно сверх
нормы 10 кубометров дров, а потому окончили заготовку на 5 дней раньше
намеченного планом срока. Сколько кубометров дров заготовили лесорубы?
В этой задаче встречается целый ряд величин, которые мы условимся
называть «физическими» величинами:
х – число кубометров дров, заготовленных лесорубами;
1
y
– число дней работы по плану;
2
y
– число дней, потраченных лесорубами на заготовку дров фактически;
3
y
– число сэкономленных дней (т. е. разность между плановым
и фактическим сроками заготовки дров).
Здесь х (первая встречающаяся физическая величина) есть основное
неизвестное, вводимое для составления уравнения, а остальные физические
величины (т.е. y1, y2, y3 ) являются вспомогательными. Для составления
уравнения мы последовательно выражаем эти вспомогательные физические
величины через х и ранее введенные величины:
21321
,
110
,
100
yyy
x
y
x
y
.
В результате удается выразить y3 через х:
110100
213
xx
yyy
.
Так как по условию задачи y3 = 5, то это и дает возможность составить
уравнение
.5
110100
xx
10
Математика в школе. 1971. № 3. С. 43.
70
Мы столь подробно остановились на процессе составления уравнения,
чтобы был ясен общий метод решения таких задач. Он заключается, как это
ясно из сказанного, в следующем. Мы вводим для решения задачи ряд
физических величин:
kk
yyyyx ,,...,,,
121
, причем делаем это так, чтобы каждую
из величин
k
yy ,...,
1
можно было выразить (в силу условия задачи) через ранее
введенные величины:
121
2111
122
11
,,...,,(
),,...,,(
.........................
),,(
),(
kkkk
kkk
yyyxfy
yyxfy
yxfy
xfy
(1)
и чтобы величина уk была известной из условия задачи:
.ayk
(2)
Если все эти соотношения сопоставить, то удастся сначала выразить
k
y
через x (т.е.
))(,(),(
12122
xfxfyxfy
, затем можно будет выразить
a
y
через
x и т.д., пока наконец мы не получим выражение последней величины уk через
х:
(3) ).(xy
k
Учитывая соотношение (2), мы получим тогда уравнение для решения
задачи
ax )(
. Такова общая схема составления уравнения в текстовой
задаче (эту схему можно было бы заменить несколько более общей, но, как
правило, применяется именно такая схема). Приведем ещё пример…
Итак, общая схема составления уравнения по условиям текстовой задачи
выяснена. Однако при решении текстовой задачи мало составить уравнение.
Дело в том, что рассматриваемые физические величины всегда подчинены
некоторым ограничениям, которые явно в условии задачи не указываются,
но вводятся по смыслу рассматриваемых физических величин. Так, число дней
работы по плану есть (по смыслу) величина положительная (и притом
выражающаяся целым числом); количество бензина в баке после переливания
величина (по смыслу) неотрицательная; температура воды в градусах Цельсия
(при нормальном давлении) есть величина, заключенная в отрезке [0; 100] и т.д.
В общем виде можно сказать, что если при решении текстовой задачи были
введены физические величины
k
yyx ,...,,
1
, то (по смыслу этих физических ве-
личин) имеются некоторые ограничения:
,,...,,
11 kk
NyNyMx
(4)
где М, N1,…, Nk, некоторые числовые множества. Например, если (по смыслу)
физическая величина
1
y
должна быть неотрицательной, то это означает, что
накладывается ограничение
11
Ny
, где
).,0[1N
Если бы ограничений (4) (по
смыслу рассматриваемых физических величин) наложено не было,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]