Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и теория игр. Учебное пособие
.pdf
=
r
=
r
=
r
=
r
r
r
71
2.16. 2.17.
a
);15,15,15,15(
r
=
b
=
C
Ответ: z
);16,11,11,11,11(
542. Ответ: z
=
min
2526292017
2415543
.
13422219
191712720
2.18. 2.19.
a
);25,15,19,21(
r
=
b
=
C
Ответ: z
);20,15,15,15,15(
693. Ответ: z
=
min
2512112430
242029426
.
1810141427
2828146
2.20. 2.21.
a
r
==b
=
C
);18,17,13,22(
);42,7,7,7,7(
Ответ: z
82829179
2916272113
267243020
26301911
726. Ответ: z
=
min
a
);11,19,15,15(
r
=
b
=
C
a
min
);9,9,9,24,9(
859.
=
302091710
262624413
2927302422
2324111225
);16,14,11,9(
r
=
b
=
C
a
r
==b
=
C
);15,14,15,16(
min
);15,20,13,6,6(
);12,8,13,9,8(
=
min
339.
=
329.
1063155
122713823
25245130
9287268
1565230
759295
266142416
82542813
→+++=
72
3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДВОЙСТВЕННОСТИ
Для любой задачи линейного программирования можно
сформулировать некоторую задачу, называемую двойственной.
Решение каждой из этой пары задач часто автоматически приводит к
решению другой задачи, то есть количество решенных задач
увеличивается вдвое. В некоторых случаях одна из двойственных
задач проще и ее решать удобнее. Но важнее всего то, что во многих
приложениях линейного программирования требуется решать обе
двойственные задачи. Поэтому изучение взаимосвязи этих задач очень
полезно. Мы кратко опишем эту взаимосвязь, не останавливаясь
подробно на обоснованиях.
3.1. Симметрично-двойственные задачи
Рассмотрим задачу линейного программирования в стандартной
форме.
110
21
xcxccz
nn
≤+++
,...
bxaxaxa
11212111
nn
≤+++
,...
bxaxaxa
22222121
nn
2211
.0,...,,
≥nxxx
.........................................
≤+++
;...
bxaxaxa
mnmnmm
max;...
→+++=
Назовем эту задачу задачей 1. Построим по задаче 1 задачу 2,
которая имеет следующий вид:
min;...
110
≥
yyy
21
m
ybybcf
mm
,...
≥+++
cyayaya
11221111
mm
,...
≥+++
cyayaya
22222112
mm
.........................................
;...
≥+++
2211
cyayaya
nmmnnn
.0,...,,
Задача 2 построена по задаче 1 с помощью следующих правил:
1. Число переменных задачи 2 равно числу ограничений задачи 1.
2. Матрица системы ограничений задачи 2 является
транспонированной по отношению к соответствующей матрице
задачи 1, то есть, получена из нее заменой строк столбцами с
сохранением порядка.
3. Свободный член целевой функции f задачи 2 равен свободному
члену в выражении целевой функции z задачи 1, а коэффициенты
→−+
=
→+−−=
73
при переменных в выражении для f равны правым частям
неравенств системы ограничений задачи 1.
4. Неравенства в системе ограничений задачи 2 имеют смысл "≥", а
правые части этих неравенств равны коэффициентам при
переменных в целевой функции задачи 1.
5. Задача 2 является задачей на минимум, в то время как задача 1
является задачей на максимум.
Отметим, что если рассматривать задачу 2 как исходную для
построения двойственной задачи по сформулированным правилам, то
двойственная задача будет равносильна задаче 1. Разумеется, при этом
задачу 2 нужно сформулировать в стандартной форме.
Пример 3.1. Исходная задача 1:
max;321
xxz
21
,1042
≤+
y
1
y
2
y
3
xx
xx
21
≤−
xx
21
≤+
xx
21
.0,
≥
21
,1.24
;1265
Двойственная задача 2:
min;12101
→+++=
yyyf
321
,2542
≥++
yyy
yyy
321
,3624
−≥+−
yyy
321
.0,,
≥
321
Запишем задачу 2 в стандартной форме:
max;12101
→−−−−=
yyyf
3211
,2542
−≤−−−
yyy
321
yyy
321
;3624
≤−+−
yyy
321
.0,,
≥
Двойственная к ней задача:
min;321
xxz
211
,1042
−≥−−
xx
21
−≥+−
xx
21
−≥−−
xx
21
.0,
≥
xx
21
,1.24
;1265
Полученная задача равносильна первоначально взятой задаче и
совпадает с ней, если перейти к стандартной форме. Отмеченное
++=
74
свойство взаимности является причиной того, что пара задач (1;2)
называется парой взаимно-двойственных задач.
3.2. Экономический смысл взаимно-двойственных задач
Рассмотрим задачу оптимального использования ресурсов
предприятием, которое производит n видов продукции: P1, P
2, ... , Pn
и
использует для этого m видов ресурсов R1, R2, ... , Rm. Будем считать,
что ресурсы при необходимости можно продать, не изготавливая
продукции. Если b1, b2 , ... , bm — наличные количества ресурсов; aij
— расход ресурса Ri на изготовление единицы продукции Pj, а xj —
плановое количество продукции Pj , то переменные x1, ... , x
должны
n
удовлетворять системе неравенств
,...
≤+++
211
.0,...,,
≥
xxx
21
n
bxaxaxa
11212111
nn
,...
≤+++
bxaxaxa
22222121
nn
.............................................
;...
≤+++
bxaxaxa
mnmnnmm
Для максимизации прибыли от реализации продукции предприятие
должно решить задачу на максимум для функции
11 nn
,...
xcxcz
где c1, c2, …, cn — прибыли от реализации единицы соответствующего
вида продукции.
Пусть наше предприятие имеет возможность продать ресурсы
некоторому другому предприятию или лицу. Обозначим через y1, ... ,
ym соответствующие цены ресурсов R1, R2, ... , Rm. Покупатель
заинтересован в понижении цен, но продавец не будет продавать
ресурсы, если продажа менее выгодна, чем производство продукции.
Станем на точку зрения покупателя и определим наиболее выгодные
цены ресурсов с его точки зрения. При полной покупке ресурсов он
должен минимизировать общую сумму выплаты за ресурсы:
11
ybybf
mm
.min...
→++=
При этом стоимость ресурсов, идущих на изготовление единицы
каждого вида продукции, не должна быть меньше, чем прибыль от ее
реализации, иначе продавцу невыгодно продавать ресурсы. Поэтому
цены y1, y2, ... , ym должны удовлетворять неравенствам:
→−+−=
′′′′′−′
′
′−′
75
,...
≥+++
21
2211
.0,...,,
≥
yyy
m
cyayaya
11221111
mm
,...
≥+++
cyayaya
22222112
mm
.........................................
;...
≥+++
cyayaya
nmmnnn
Таким образом, предприятие-покупатель ресурсов при назначении
цен решает задачу линейного программирования двойственную по
отношению к задаче, которую решает предприятие-производитель при
составлении оптимального плана выпуска продукции. Величины
0
1
00
, составляющие точку минимума для задачи покупателя,
,...,,
yyy
2
m
называют двойственными ценами (оценками) ресурсов. Они имеют и
более глубокий смысл, о котором речь пойдет ниже.
3.3. Несимметрично-двойственные задачи
Рассмотрим задачу линейного программирования в общем форме.
Приведем эту задачу к стандартной форме с помощью рассмотренных
выше приемов. Равенства в системе ограничений заменим парами
противоположных неравенств, а переменные, принимающие значения
произвольного знака, заменим разностями неотрицательных
переменных. К полученной задаче в стандартной форме применим
сформулированные выше правила построения двойственной задачи.
Для простоты рассмотрим эту ситуацию на конкретном примере.
Исходная задача:
min;35
xxxz
321
,22
=+−
xxx
321
;3
−≥−+
xxx
321
.0,
≥
xx
21
Переменная x3 может принимать значения произвольного знака,
поэтому полагаем
= xxxxx
.0,;
≥
Запишем задачу в
стандартной форме.
+−+−=
xxxxz
max;35
→
33211
′′
′
xxxx
,22
≤
−
y
1
y
2
y
3
+−
3321
′′
′
xxxx
+
−+−
3321
′′
′
xxxx
≤
+
−+−
′′′
xxxx
≥
3321
3321
.0,,,
,22
−≤
;333
Построим двойственную задачу:
min;
→+−+−
=
max;
76
3225
yyyf
321
,1
≥−−
yyy
321
,322
−≥++−
yyy
321
,13
≥−−
yyy
321
;13
−≥++−
yyy
321
.0,,
≥
yyy
321
Отметим, что переменные y1 и y2 входят в эту задачу лишь в
комбинации y1– y2, а третье и четвертое неравенства системы
ограничений двойственной задачи являются взаимно
противоположными и могут быть заменены равенством y1– y2– 3y
1.
=
3
Обозначая y1– y2 через y, можем записать двойственную задачу в виде
min;325
→+−−=
yyf
3
,1
≥−
yy
3
yy
3
,32
−≥+−
yy
3
;13
=−
.0
≥
y
3
Отметим, что эта же задача может быть получена из
первоначальной задачи, записанной в виде задачи на максимум с
неравенством типа " ≤ " :
35
→+−+−=
xxxz
3211
,22
=+−
y
y
3
≥
xx
21
xxx
321
;33
≤−+−
xxx
321
,0,
c помощью изложенного выше правила составления симметрично-
двойственной задачи со следующими добавлениями:
а) если в исходной задаче в системе ограничений есть равенство,
то в двойственной задаче соответствующая переменная не
подчинена условию неотрицательности;
б) если в исходной задаче переменная не подчинена условию
неотрицательности, то в двойственной задаче соответствующее
ограничение является равенством.
В общем случае, если задачу общего вида сформулировать как
задачу на максимум, все неравенства в системе ограничений которой
имеют смысл "≤", то двойственную задачу можно сформулировать по
правилам для симметрично двойственных задач с добавлениями
а) и б).
{
}
{
}
(
)
77
3.4. Первая и вторая теоремы двойственности
Все рассматриваемые ниже утверждения относятся к парам
двойственных задач общего вида, то есть необязательно симметричнодвойственных.
Теорема 3.1. Для всякой пары двойственных задач если исходная
задача имеет решение, то двойственная задача также имеет
решение, и оптимальные значения целевых функций этих задач
совпадают, то есть z
max
f
. Если исходная задача не имеет решения
=
min
по причине неограниченности целевой функции на области
допустимых значений, то двойственная задача недопустима.
Отметим, что первая теорема двойственности не позволяет по
решению одной из задач найти точку оптимума другой. С ее помощью
отыскивается лишь оптимальное значение целевой функции. Связь
между точкой минимума и максимума пары двойственных задач
определяет следующая
Теорема 3.2. Для того, чтобы n-мерный вектор
1 n
0020
xxx
удовлетворяющий системе ограничений исходной задачи, и m-мерный
вектор
1 m
0020
удовлетворяющий системе ограничений
,,...,,
yyy
двойственной задачи, были соответственно точкой максимума
исходной и точкой минимума двойственной задач, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:
0
11101
0
( )
12102
0
212
0
222
0
0
( )
11
0
( )
11101
0
( )
11202
22
0
221
0
222
0
0
( )
11
22
0
=−+++
,0...
bxaxaxay
1
1
nn
0
=−+++
,0...
bxaxaxay
2
2
nn
........................................................
00
=−+++
,0...
bxaxaxay
mnmnmmm
0
cyayayax
1
1
mm
0
cyayayax
2
mm
=−+++
,0...
=−+++
,0...
2
........................................................
00
=−+++
.0...
cyayayax
nmmnnnn
,,...,,
Вторая теорема двойственности содержит равенства, которые
называются условиями дополнительной нежесткости. Она позволяет
решать следующие задачи:
1) определять оптимальный план одной из двойственных задач,
если известно решение другой;
→+=
(
)
78
2) проверять, не решая задачи, является ли некоторая
совокупность чисел оптимальным планом одной из
двойственных задач.
Иногда одну из двойственных задач можно решить графически, а
решение двойственной задачи определить с помощью условий
дополнительной нежесткости.
Пример 3.2. Пусть дана задача
max;
→++=
xxxz
321
,232
≤−+
y
1
y
2
xxx
xxx
321
;32
≤+−
xxx
321
.0,,
≥
321
Двойственную задачу
min;32
yyf
21
,12
≥+
yy
21
,13
≥−
yy
21
≥+−
yy
21
.0,
≥
yy
21
;12
можно решить графически (рис.3.1.).
y2
1
2
3
grad
z
1
0
3
4
.
;
A
y1
л. у. ц. ф.
Рис. 3.1. Графическое решение двойственной задачи
.
518512565
5
(
)
5
5
5
5
{
}
r
79
4
3
Точкой минимума двойственной задачи является точка
4
( )
minmax
3
3
2
Для определения точки
.
=+=⋅+⋅=== Affz
;
A
5
5
максимума исходной задачи составим условия дополнительной
нежесткости:
010
1
( )
2
010
( )
1
( )
2
010
( )
3
Подставим в эти равенства
и пятое равенства при этом выполняются при всех
определения
1
03020
получаем систему уравнений
,, xxx
1
1
0
x
1
0
=−−+
xxxy
002010
xxxy
n
0
=−+
yyx
2
02010
=−−
yyx
0
yyx
2
3
0
;
1
0
2
020
xxx
=
,0
,0232
302
=−+−
,032
,012
,013
=−+−
.012
4
0
Учитывая, что четвертое
.
== yy
2
030
=−+
,232
xxx
0
=+−
,32
3
0
x
0
и
x
3
, для
2
которая равносильна системе
030
=−
,23
xx
2
0
0
2
0
=
.0
x
1
11
0
.
=== xxx
=+−
,32
xx
3
Таким образом, точка максимума
Ее решение:
7
0
0
;0
1
;
2
3
исходной задачи (0; 7/5; 11/5).
.
Пример 3.3. Будет ли план
1;1;1=x
оптимальным планом
задачи
max;32
→++=
xxxz
321
,1
≤−−
y
1
y
2
xxx
321
≤−+
xxx
321
?0,,
≥
xxx
321
;1
→+=
(
)
80
Составим двойственную задачу:
min;
yyf
21
,1
≥+
yy
21
,2
≥+−
yy
21
;3
≥−−
yy
21
.0,
≥
yy
21
Составим условия дополнительной нежесткости:
1
2
1
0
2
0
3
Подставим в эти равенства
2
010
( )
2
0
010
( )
yyx
2
0
0
( )
( )
yyx
2
1
0
0
yyx
2
1
0
1
=−−−
xxxy
3
00
xxxy
n
=−+
0
2
,01
=−−+
,01
,01
=−+−
,02
=−−−
.03
0
.1
=== xxx
3
0
0
010
Получим систему уравнений
0
=−
,02
y
1
0
0
1
=+
,1
yy
2
0
yy
1
0
yy
1
0
=+−
,2
2
0
=−−
,3
2
которая является несовместной. Следовательно, рассматриваемый
план оптимальным планом не будет.
3.6. Третья теорема двойственности
Пусть некоторая задача линейного программирования решена и
получено некоторое значение z
. При изменении правых частей
max
ограничений b1, b2, ... , bm задача меняется и, в конечном счёте,
меняется значение z
величин b1, b2, ... , bm, то есть рассмотрим функцию z
. Будем рассматривать z
max
как функцию
max
max(b1
, b2, ... , bm).
Теорема 3.3. В оптимальном плане двойственной задачи
координата
b
, ... , bm) по переменной bi, то есть
2
0
численно равна частной производной функции z
y
i
z
∂
max
b
∂
0
==
i
i
.
.,...,2,1;
miy
max(b1
,
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]