Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и теория игр. Учебное пособие
.pdf
→
=
max;
→
=
v
z
101
min;)
ufB
,
uqaqaqa
≤+++
1212111
mm
,
uqaqaqa
≤+++
2222121
mm
LLLLLLLLLLL
,
uqaqaqa
≤+++
mnmnn
i
( )
.,10
miq
=≥
;1
L
L
L
L
2211
qqq
=+++
m
21
Здесь переменная u не подчинена условию неотрицательности.
Форму этих задач линейного программирования нетрудно
объяснить. Пусть v — оптимальный выигрыш первого игрока.
Оценивая свою смешанную стратегию {р1,
, ... , рn}, первый игрок
р2
стремится, чтобы при каждой чистой стратегии второго игрока его
средний выигрыш был не меньше оптимального. Если второй игрок
применяет свою стратегию Вj, то первый должен выбирать смешанную
стратегию, удовлетворяющей неравенству
.,,2,1,
mjvpapapa
2211
nnjjj
KK =≥+++
Аналогично рассуждает и второй игрок. Если u — проигрыш
второго игрока, который он стремится минимизировать, то оценивая
свою смешанную стратегию {q1, q2, ... , qm,} второй игрок должен
стремиться к выполнению неравенств
niuqaqaqa
,,2,1,
KK =≤+++
2211
mimii
.
Задачи A) и В) двойственны друг другу. Решение их в общем
случае громоздко. Но для игр размера 2 × m и n × 2 одну из задач
можно решить графически, а решение другой найти с помощью
условий дополнительной нежесткости. Кроме того, в общем случае
можно так преобразовать задачи А) и В), что они могут быть решены
двойственным симплекс-методом в форме, которая рассматривалась
выше.
4.5. Графическое решение игр размера 2 ×××× m и n ×××× 2
Рассмотрим игру размера 2 × m. Для оптимальной стратегии
первого игрока имеем задачу
,
≥+
vpapa
221111
,
≥+
vpapa
222112
LLLLL
≥+
2211
mm
pppp
.
,
vpapa
0,;1
≥=+
2121
→
=
max;
v
z
→
=
max;
→
=
v
z
102
Поскольку p
1 − p1, то, подставляя это выражение вместо p2 в
=
2
остальные ограничения, получим задачу с двумя переменными p1 и ν
≥−+−
,0)(
≤≤
.10
p
1
vapaa
2112111
≥−+−
,0)(
vapaa
2212212
2121
mmm
LLLLLLLLLL
≥−+−
;0)(
vapaa
Эту задачу можно решать графически. Для задач размером n × 2
точно также преобразуется задача для второго игрока
min;
uf
≤+
,
uqaqa
212111
222121
LLLLL
2211
nn
≤+
,
uqaqa
≤+
,
uqaqa
≥=+
.0,;1
qqqq
2121
Пример 4.5. Решить игру с платежной матрицей
В1 В2 В3 В4
А
2 1 5 3
1
А
1 3 4 0,5
2
Соответствующая задача линейного программирования имеет вид:
Исключим переменную p
q
q
q
q
u
2
1
2
3
4
; p
pp
≥
21
1−p1 :
=
2
,2
≥+
vpp
21
,3
≥+
vpp
21
45
21
=+
pp
21
≥+
vpp
,5,03
≥+
vpp
21
;1
.0,
max;
→
=
v
z
3
3
103
1
vp
1
1
≤≤
p
1
,32
−≥−−
vp
−≥−
vp
4
;5,05,2
−≥−
.10
,1
−≥−
vp
1
Полученную задачу решаем графически (рис. 4.1).
v
C
B
D
A
p1
0
1
grad z
л.у.ц.ф.
Рис. 4.1. Графическое решение задачи примера 4.5
Точкой максимума является точка С, удовлетворяющая системе
уравнений
−=−
,1
vp
Отсюда
1
1
2
0
1
1
0
;
== pp
— смешанная стратегия первого игрока в
2
=+
.32
vp
седловой точке. Для нахождения смешанной стратегии второго игрока
применим условия дополнительной нежесткости. Двойственная
задача имеет вид
→
=
3
3
3
104
min;
uf
,352
≤+++
p
1
p
2
v
qqqq
qqqq
.0,,,
≥
4321
uqqqq
4321
≤+++
uqqqq
4321
;1
=+++
4321
Условия дополнительной нежесткости запишутся так:
00
uqqqqp
4
uqqqqp
4
=−+++
,0)1(
,0)2(
,0)3(
,0)45(
=−+
,0)5,03(
1
в эти равенства, учитывая,
3
Подставим найденные
5
что
00
.
== uv
1
1
010
2
010
0
0
1
1
010
2
0
0
1
3
0
0
1
4
010
( )
0
2
0
ppu
2
0
1
3
2
0
0
3
2
0
0
qqqqv
4
3
00
=−+
vppq
2
00
=−+
vppq
2
00
=−+
vppq
2
00
vppq
2
=−+
.01
2
0
== pp и
2
3
0
0
0
0
Четвертое, пятое и восьмое равенства будут
,5,043
=−+++
,0)352(
00
=−+++
,0)5,043(
0
тождествами. Из шестого и седьмого следует, что
0
определения
Откуда следует
0
q
и
q
имеем
1
2
0
2
1
0
1
2
0
1
0
;
== qq
2
5
0
=+
,
qq
2
3
5
0
=+
3
1
.
qq
2
3
Таким образом, седловая точка
.
0
3
Для
.0
== qq
4
игры
= qp
3
00
;
;
3
rr
1
2
1
2
=
3
.0;0;
;
3
Отметим, что средний выигрыш в седловой точке называется
обычно ценой игры в смешанных стратегиях. В нашей паре
(
)
∑
r
r
{
}
r
r
()()(
)
rrrrr
r
()()(
)
rrrrr
r
{
}
r
r
=++
+
v
max,
→
v
v
двойственных задач для первого и второго играков цена игры равна
.00uv =
В примере 4.5 цена игры равна
4.6. Решение игры двойственным симплекс-методом
Преобразуем пару двойственных задач А) и В) так, чтобы удобно
было применять двойственный симплекс-метод. Прежде всего,
отметим, что седловая точка игры не изменится, если ко всем
элементам платежной матрицы прибавить одну и ту же константу.
Действительно, если ко всем элементам прибавить константу С, то мы
получим новую платежную функцию
1
∑ ∑
ji ji
, ,
Таким образом, новая платежная функция отличается от старой
постоянным слагаемым С. Если
платежной функции, то
Прибавляя к обеим частям каждого этих неравенств константу С,
получим
1
То есть
функции. Прибавляя константу С ко всем элементам матрицы мы
всегда можем добиться того, чтобы цена игры была положительна, а
седловая точка осталась бы прежней. При этом, поскольку в решениях
задач А) и В)
подчиненными дополнительным условиям v>0; u>0, которые на точки
оптимума задач не повлияют.
Рассмотрим ограничение
части на v, обозначив
функции
00
является седловой точкой и новой платежной
, qp
00
положительны, можно считать переменные
vu и
p
i
мы получим задачу на минимум для новой целевой
1
z L
105
ji
,
+
0
1
( )
i
211
5
.
3
=+=
qpCaqpM
)(,
jiij
( )
jijiij
00
— седловая точка старой
, qp
≤≤
00
≤≤
1
21
K==
ppp L
n
. Поскольку в нашей задаче
.,,2,1 nix
→+++==
xxx
n
rr
+=
CqpMqpCqpa
.,
0000
.
,,,
qpMqpMqpM
0
.
,,,
qpMqpMqpM
и разделим обе его
1
. min
u
106
Разделив все неравенства системы ограничений задачи А) на v,
получим для переменных xi условия
,1
xaxaxa
L
L
i
=≥
L
2211
.
,1,0
nix
≥+++
1221111
nn
,1
xaxaxa
≥+++
2222112
nn
LLLLLLLLLLL
;1
xaxaxa
≥+++
nnmmm
Производя аналогичные преобразования задачи В) и вводя новые
q
переменные
j
y
,
=
j
получаем новую задачу:
1
f
u
L
211
L
1212111
L
i
=≥
L
2211
.
,1,0
miy
max;
yyy
→+++==
m
,1
yayaya
≤+++
mm
,1
yayaya
≤+++
2222121
mm
LLLLLLLLLLL
yayaya
mnmnn
;1
≤+++
Мы получили пару симметрично-двойственных задач. Последнюю
задачу можно решать симплекс-методом непосредственно после
уравнивания неравенств, а решение другой можно будет прочесть по
последней симплекс-таблице. Если
1
0020
,,,
yyy K
— точка максимума
m
задачи для второго игрока, то вероятности чистых стратегий в
седловой точке можно найти по формулам
0
y
0
m
=== L
m
.;;;
f
max1
Если
0
y
0
1
q
1
0020
,,,
1
xxx K
n
q
f
max1
— точка минимума задачи для первого игрока,
0
y
0
2
2
f
max1
q
то вероятности стратегий в седловой точке равны
0
x
0
m
=== L
m
.;;;
z
min1
Отметим, что
0
x
0
1
p
1
p
z
min1
maxmin
0
x
0
2
2
z
min1
.
Azf ==
Цена игры при этом равна А − С ,
p
где С — константа, которую мы прибавляли, гарантируя неравенства
ν>0; u>0.
107
Пример 4.6. Наметим нахождение седловой точки в смешанных
стратегиях для игры примера 4.4. Прибавим ко всем элементам
матрицы число 6. Получим матрицу
yyy
321
1038
.
1103
12110
,, xxx
и
3
21
max;)2
→++=
yyyf
3211
,11038
≤++
yyy
321
yyy
321
,1103
≤++
yyy
321
≤++
yyy
321
.0,,,
≥
;11210
x
1
x
2
x
3
Построим пару двойственных задач в переменных
.
,, yyy
3
21
min;)1
→++=
xxxz
3211
,11038
≥++
xxx
32,1
xxx
321
,1103
≥++
xxx
321
;11210
≥++
xxx
321
.0,
≥
Вторую задачу можно решить симплекс-методом непосредственно
после уравнивания неравенств системы ограничений.
4.7. Доминирование и дублирование стратегий. Упрощение
игры
Если платежная матрица такова, что каждый элемент некоторой
строки с номером i не меньше соответствующего элемента строки с
номером k и, по меньшей мере, один ее элемент строго больше
соответствующего элемента строки с номером k, то говорят, что
стратегия Ai первого игрока доминирует над его стратегией Ak.
Очевидно, что стратегия первого игрока, для которой есть
доминирующая, не может быть оптимальной чистой стратегией для
него, или входить в его оптимальную смешанную стратегию с
ненулевой вероятностью. Таким образом, такую стратегию можно
исключить из рассмотрения, вычеркнув из матрицы строку с номером
k. Аналогично, если каждый элемент столбца с номером j платежной
матрицы не больше соответствующего элемента столбца с номером r
и, по меньшей мере, один его элемент строго меньше
соответствующего элемента столбца с номером r, то говорят, что
стратегия Bj второго игрока доминирует над его стратегией Br. При
поиске оптимальных стратегий столбец с номером r можно
вычеркнуть.
2
4
108
Вообще говоря, в платежной матрице могут быть одинаковые
строки или столбцы. Соответствующие стратегии называются
дублирующими. Очевидно, что дублирующие стратегии
целесообразно отбросить.
Выявление доминирующих и дублирующих стратегий позволяет
произвести упрощение игры, то есть сократить размеры ее платежной
матрицы, исходя из того очевидного факта, что стратегии, над
которыми есть доминирующие, применяться в игре не будут, а
избавиться от дублирования стратегий можно в виду их полной
взаимозаменяемости. Упрощение игры обычно производят в
следующем порядке. Вначале с точки зрения первого игрока выявляют
его стратегии, над которыми есть доминирующие, а также его
дублирующие стратегии. Соответствующие строки платежной
матрицы вычеркивают. Для сокращенной матрицы проделывают то же
самое, но с точки зрения второго игрока. Упрощение игры считается
завершенным, если на очередном шаге в платежной матрице будут
отсутствовать доминирующие и дублирующие стратегии для первого и
второго игроков.
Замечание. Если исходная платежная матрица имеет седловую
точку в чистых стратегиях, то процесс упрощения игры приведет к
матрице размера 1×1, состоящей из одного элемента (седловой
точки).
Пример 4.7. Рассмотрим игру с платежной матрицей
5742
7867
.
1435
9067
Нетрудно видеть, что стратегия первого игрока A2 доминирует над
стратегиями A1 и A3, которые можно отбросить. В оставшейся матрице
с точки зрения второго игрока стратегия B2 доминирует над
стратегиями B1 и B4. Отбрасывая последние две стратегии, получим
упрощенную игру
В2 В3
6 8
А
6 0
А
109
Возвращаясь на точку зрения первого игрока, мы видим, что в
последней игре стратегия A2 доминирует над стратегией A4.
Отбрасывая последнюю стратегию и сравнивая оставшиеся стратегии
второго игрока, приходим к выводу, что стратегия B3 должна быть
отброшена. Получилась игра размера 1×1 и седловая точка (A2, B2) в
чистых стратегиях.
4.8. Типичный пример применения теории игр в экономике
Пусть предприятие может выпускать три вида продукции: А, В и С.
Прибыль от реализации продукции зависит от уровня спроса, о
котором ничего неизвестно, но он принимает три возможных значения.
Прибыль от реализации каждого изделия вида А, В или С в
зависимости от уровня спроса представлена в таблице:
Спрос
Продукц.
A 8 3 10
B 3 10 1
C 10 1 12
I
II
III
Эту ситуацию можно рассматривать как игру двух игроков, если
предприятие будет считать, что спрос ведет себя самым невыгодным
для него образом. Рассматривая соответствующую игру в смешанных
стратегиях, нетрудно найти седловую точку, в которой вероятности
стратегий
03020
,, ppp
1
первого игрока (предприятия) укажут удельные
веса каждого вида продукции, которые обеспечат предприятию
оптимальную гарантированную прибыль при самом неблагоприятном
поведении спроса. Игры, подобные рассмотренной, носят название игр
с природой. Решение в рамках матричной игры с нулевой суммой
позволяет принимать решения, являющиеся наилучшими при самых
неблагоприятных условиях. Однако при более благоприятных
условиях это решение может оказаться далеко не лучшим.
4.9. Другие разновидности игр
В настоящее время теория игр является довольно развитым
разделом математики, содержащим различные обобщения матричных
игр с нулевой суммой. Рассмотрим кратко основные направления
таких обобщений. Отказ от абсолютной противоположности интересов
игроков (от антагонистичности игры) приводит к
r
r
{}{
}
rKr
rrrrrrr
r
r
r
110
неантагонистическим играм, простейшими из которых являются
биматричные игры. Биматричной игрой называется игра двух
игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши задаются двумя
матрицами отдельно для каждого из игроков. В каждой матрице строка
соответствует стратегии первого игрока, а столбец — стратегии
второго игрока. При этом на пересечении строки и столбца в первой
матрице находится выигрыш первого игрока, а во второй — второго.
Если считать, что первый игрок имеет n стратегий, i=1, 2, …, n, а у
второго игрока имеется m стратегий, j=1, 2, …, m, то выигрыши
первого и второго игроков соответственно задаются матрицами
aaa
KK
=
A
1
KK
1
KK
1111
mj
KKKKK
aaa
imiji
KKKKK
aaa
nmnjn
=
B
1
1
bbb
KK
KK
KK
1111
mj
KKKKK
bbb
.,
imiji
KKKKK
bbb
nmnjn
Обычная матричная игра является частным случаем биматричной
при a
p
смешанной стратегией первого игрока, и
–bij. Будем по-прежнему называть полный набор вероятностей
=
ij
{р1,
=
, ... , рn} применения первым игроком своих чистых стратегий
р2
q
{q1, q2, ... , qm,} —
=
смешанной стратегией второго игрока. Тогда средние выигрыши
первого и второго игроков соответственно равны
nim
jiij
1
j
1 1
2
nim
rrrr
==
∑ ∑∑ ∑
= == =
j
1 1
qpbqpMqpaqpM
.),(,),(
jiij
Вместо понятия седловой точки здесь вводится понятие точки
равновесия биматричной игры. Это пара смешанных стратегий
первого и второго игроков
0
1
00020
== и
1
0020
,,,,,,
qqqqpppp K
mn
отступление от которых не выгодно обоим игрокам, то есть, для
которых выполнены неравенства
00
1
0
1
при любых смешанных стратегиях
00
2
p
q
и
≥≥
.
0
),(),();,(),(
qpMqpMqpMqpM
2
,
Теорема 4.2. Всякая биматричная игра имеет, хотя бы одну,
точку равновесия.
Существуют способы нахождения точек равновесия, однако эти
способы значительно сложнее, чем для матричных игр с нулевой
суммой.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]