Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и теория игр. Учебное пособие
.pdf
…………
λ
201
При t → ∞ в системе устанавливается предельный стационарный
режим, в ходе которого система случайным образом меняет свои
состояния, но их вероятности уже не зависят от времени. Финальную
вероятность состояния Si можно истолковать как среднее
относительное время пребывания системы в этом состоянии.
Пример 8.3. Определим финальные вероятности состояний S0, S1,
S2, S3 в примере 8.2 считая λ
1
1; λ
=
2
=
2; µ
1
2; µ
=
3. Используя граф
=
2
состояний примера 8.2, получим для финальных вероятностей систему
µ+µ=λ+λ
,)(
ppp
2211021
µ+λ=µ+λ
,)(
ppp
3201112
µ+λ=µ+λ
,)(
ppp
3102221
λ+λ=µ+µ
.)(
ppp
2112321
Подставляя данные, отбрасывая четвертое уравнение (которое
является следствием остальных) и, учитывая, что сумма вероятностей
равна 1, получим систему уравнений
Решая эту систему, получим:
323
+=
ppp
,210
34
+=
ppp
,301
224
+=
2
;
5
ppp
,302
.1
=+++
pppp
3210
1
5
4
;
15
2
;
.
==== pppp
3210
15
То есть в предельном стационарном режиме система в среднем 40%
времени будет проводить в состоянии S0 (оба узла исправны), 20%-в
состоянии S1 (первый узел ремонтируется, второй работает),
приблизительно 27% — в состоянии S2 (второй узел ремонтируется,
первый работает) и примерно 13% — в состоянии S3 (оба узла
ремонтируются).
8.4. Схема гибели и размножения
Марковский процесс называется процессом гибели и размножения,
если его размеченный граф состояний имеет вид
λ
01
λ
12
S0 S1
10
Рис. 8.3. Размеченный граф состояний процесса гибели и размножения
λ
21
λ
23
S
2
λ
32
λ
n-1, n
S
n-1
λ
Sn
n. n-1
202
Термин “схема гибели и размножения” ведет начало от
биологических задач, где подобной схемой описывается изменение
численности популяций. Эта схема часто встречается на практике, в
частности в теории массового обслуживания. Поэтому для нее
важно вычислить финальные вероятности p0, p1, p2, … , pn.
Пользуясь графом состояний, составим и решим алгебраические
уравнения для финальных вероятностей.
λ=λ
pp
,110010
λ+λ=λ+λ
,)(
ppp
22100111012
λ+λ=λ+λ
,)(
ppp
33211222321
LLLLLLLLLLLLLL
λ+λ=λ+λ
λ=λ
.
pp
−−−
1,11,
nnnnnn
,)(
ppp
−−−−−−−−
1,21,21,12,1
nnnnnnnnnnn
Из первого уравнения видно, что второе можно записать в виде
λ12p1 = λ21 p2, а в силу этого третье уравнение запишется так λ23p2 = λ32
p3, и так далее. В итоге получаем, что финальные вероятности
удовлетворяют уравнениям
λ=λ
pp
,110001
λ=λ
pp
,221112
,
LLLLLLLLLL
λ=λ
−−−
λ=λ
−−−
pp
,1,1,1
kkkkkk
,
LLLLLLLLLL
.
pp
1,1,1
nnnnnn
Из этих равенств легко вычислить все вероятности pk через p0.
Действительно
λ
01
=
1
λ
10
λ
12
=
20
λ
21
λλ
0112
;; ppppppp
=
1
λλ
1021
=
30
λλλ
011223
.
0
λλλ
102132
Для любого k (от 1 до n)
...
λλλ
kk
−
=
k
kk
−
0112,1
.
pp
...
0
λλλ
10211,
В числителе последней формулы стоит произведение
интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (от S0 до
Sk), а в знаменателе — произведение всех интенсивностей, стоящих у
стрелок, ведущих справа налево (от
S
до S0). Подставляя
k
выраженные через p0 вероятности в равенство p0 + p1 + …+ pn = 1,
получим:
203
λ
01
+
p
0
λ
10
λλ
0112
...1
+
λλ
++
1021
−−nn
Таким образом, получаем выражение для p
λ
01
+=
p
0
λ
10
λλ
0112
...1
+
λλ
++
1021
...
nn
...
0
−
nn
−
nn
λλλ
0112,1
1
=
.
λλλ
10211,
1
−
...
...
λλλ
0112,1
.
λλλ
10211,
8.5. Классификация систем массового обслуживания
Основные задачи теории СМО
Одной из основных задач исследования операций является анализ
своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания
(СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции,
ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, магазины,
парикмахерские и т.д. Каждая СМО состоит из некоторого
количества обслуживающих единиц, которые называют каналами
обслуживания. Каналами могут быть линии связи, рабочие точки,
кассиры, продавцы, лифты, автомашины и т.д. СМО могут быть
одноканальными и многоканальными. Всякая СМО предназначена для
обслуживания некоторого потока заявок, поступающих в какие-то
случайные моменты времени. Обслуживание заявок продолжается
какое-то, вообще говоря, случайное время Tоб, после чего канал
освобождается и готов к приему следующей заявки.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с
дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО
меняется скачком в моменты появления каких-то событий (прихода
новой заявки, окончания обслуживания старой, выбывания из очереди
заявки, которой надоело ждать).
СМО делятся на типы (или классы) по ряду признаков. Одним из
таких признаков является количество обслуживающих каналов.
Однако основное деление: СМО с отказами и СМО с очередью. В
СМО с отказами заявка, поступившая в момент, когда каналы заняты,
получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем в процессе
обслуживания не участвует. Примеры СМО с отказами встречаются в
телефонии. Заявка на разговор, пришедшая в момент, когда все каналы
заняты, получает отказ и покидает СМО не обслуженной. В СМО с
очередью заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не
уходит, а становится в очередь и ожидает возможности быть
обслуженной. На практике чаще встречаются (и имеют большее
значение) СМО с очередью. Теория массового обслуживания даже
имеет второе название: “теория очередей”. Существуют и другие
204
признаки, по которым производят классификацию СМО, но мы их
рассматривать не будем.
Основной задачей теории массового обслуживания является
определение по заданным условиям работы СМО (число каналов, их
производительность, правила работы, характер потока заявок)
показателей эффективности СМО, которые характеризуют
способность СМО справляться с потоком заявок. В качестве таких
показателей (в зависимости от обстановки и целей исследования)
могут применяться различные величины. Основными из этих величин
являются:
А — абсолютная пропускная способность СМО, то есть среднее
число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Q — относительная пропускная способность (средняя доля
пришедших заявок, обслуживаемых системой);
k
— среднее число занятых каналов;
Р
— вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО не
отк
обслуженной;
L
— среднее число заявок, находящихся в системе
сист
(обслуживаемых или стоящих в очереди);
W
— среднее время пребывания заявки в СМО;
сист
Lоч — среднее число заявок в очереди;
Wоч — среднее время пребывания заявки в очереди.
Отметим, что если входной поток заявок стационарен и имеет
интенсивность λ, то последние четыре параметра удовлетворяют
следующим формулам Литтла
1
,
LWλ=
систсист
1
,
LWλ=
очоч
которые справедливы для любых СМО, для которых эти параметры
имеют смысл. В некоторых случаях часть из перечисленных
показателей могут не иметь смысла. С другой стороны, в конкретных
СМО существенную роль могут играть не упомянутые выше
специфические показатели эффективности.
8.6. Простейшие СМО и их характеристики
Ниже все потоки событий, переводящие СМО из состояния в
состояние, будут считаться простейшими. В их числе будет и так
называемый “поток обслуживаний”, под которым подразумевается
поток заявок, обслуженных одним непрерывно занятым каналом. В
этом потоке интервал между событиями имеет показательное
распределение. Время обслуживания Т
— показательно
об
λ
λ
µ
λ
λ
µ
µ
205
распределенная случайная величина. При этом среднее время
обслуживания
1
.
=µ
t
об
t
определяет интенсивность потока обслуживаний
об
1. n-канальная СМО с отказами (задача Эрланга)
Эта задача возникла из технических нужд телефонии и была
решена в начале нашего века датским математиком Эрлангом. Задача
ставится так.
Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с
интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность
1)(−
=µобt
. Найти финальные вероятности состояний СМО, а также
характеристики эффективности A, Q, P
отк
, k.
Состояние СМО будем определять по числу заявок, находящихся в
системе (в данном случае оно совпадает с числом занятых каналов).
Получаем следующие состояния:
S0 — в СМО нет ни одной заявки;
S1 — в СМО находится одна заявка (один канал занят остальные
свободны);
…………………………………….
Sk — в СМО находится k заявок (k каналов заняты, остальные
свободны);
…………………………………….
Sn — в СМО находится n заявок (все n каналов заняты).
Граф состояний СМО соответствует схеме гибели и размножения и
после разметки имеет вид (рис. 8.4)
S0
Рис. 8.4. Размеченный граф состояний n-канальной СМО с отказами
S1
2
3µ
…………
S
2
S
n–1
n
Sn
По уже готовым формулам схемы гибели и размножения получим
2
λ
λ
1(
+
+=
p
0
λ
; p
=
µ
=
201
2
µ
2
µ
2
λ
;...
2
!2
µ
k
λ
...
++
k
!
µ
k
λ
ppppp
=
k
k
!
k
µ
n
λ
1
−
;...
)
++
nk
pp
;
n
!
µ
n
λ
=
n
.
000
n
!
n
µ
...
λ
Если ввести обозначение
в виде:
206
λ
=ρ
, то эти формулы можно переписать
µ
2
ρ
ρ
1(
+=np
0
; p
=ρ=
201
...
+
2
ρ
!2
++
!2!1
;...
ppppp
n
n
ρ
1
−
)
!
n
ρ
=
.
00
!
n
Величина
называется приведенной интенсивностью потока
=ρ
µ
заявок. По финальным вероятностям вычислим характеристики
эффективности СМО. Очевидно, что
n
ρ
pP
==
nотк
0
!pn
Относительная пропускная способность Q в данном случае это
вероятность того, что заявка будет обслужена:
n
ρ
11 p
pQ
отк
−=−=
0
!
n
Абсолютную пропускную способность получим, умножая
интенсивность потока заявок λ на Q:
n
ρ
1(
QA
−λ=λ=
)
p
0
!
n
Зная финальные вероятности нетрудно найти и k— среднее число
занятых каналов как математическое ожидание числа занятых каналов:
n
ρ
1(
k
−ρ=
)
p
0
!
n
Пример 8.4. Имеется станция связи с тремя каналами (n = 3),
интенсивность потока заявок λ = 1,5 (заявки в минуту); среднее время
обслуживания одной заявки t = 2 (мин). Найти финальные
вероятности состояний и характеристики эффективности СМО: A, Q,
p
,
k
.
отк
Очевидно ρ = 3.
0
6
2
27
9
31(
1
1
)
;
=+++=−p
13
…………
λ
λ λ
µ
µ
…
207
pQA
96.1)
30
отк
3
ρ
==
!3
9
26
9
;
=
0
26
;346.0
9
;
13
9
1(5.1 ≈=≈≈−=
2
2
ρ
==ρ= pppppp
201
2
1(3 ≈−=k
26
9
;
26
;654.0;981.0)
9
Из полученных ответов видно, что СМО в значительной степени
перегружена. Из трех каналов занято в среднем около двух, а из
поступающих заявок 35% остаются не обслуженными.
2. Одноканальная СМО с неограниченной очередью
Пусть имеется одноканальная система с очередью, на которую не
накладывается никакие ограничения (ни по длине очереди, ни по
времени ожидания). На систему поступает поток заявок с
интенсивностью λ; поток обслуживаний имеет интенсивность µ =
(
t
)–1. Требуется, как и раньше, найти финальные вероятности и
об
характеристики эффективности.
Состояние системы, как и раньше, определяются количеством
заявок в системе. Они описываются так:
S0 — канал свободен;
S1 — канал занят (обслуживает заявку), очереди нет;
S2 — канал занят, одна заявка стоит в очереди;
…………………………………………………………..
Sk — канал занят, k − 1 заявка стоит в очереди.
…………………………………………………………..
Теоретически число состояний здесь бесконечно. Граф состояний
имеет следующий вид
S0 S1
µ
Рис. 8.5. Размеченный граф состояний одноканальной СМО с
неограниченной очередью
S
2
µ
λ
S
k
S
k+1
Это схема гибели и размножения, но с бесконечным числом
состояний. Можно доказать, что при ρ = λ/µ < 1 финальные
вероятности существуют, а при ρ
≥
1 очередь при t → ∞ растет
неограниченно. Формулы для финальных состояний можно считать
208
такими же, как в обычной схеме гибели и размножения. Число
слагаемых в формуле для p0 будет бесконечным.
λ
+=
p
0
При ρ < 1 имеющийся здесь ряд сходится и его сумма равна
(1−ρ)
µ
−
1
. Поэтому p
2
1−ρ, p
=
λ
++
µ
1
λ
+
µ
0
k
+
ρ(1−ρ), p
=
−
( )
2
2
ρ2(1−ρ) , … , p
=
k
......1......1
+ρ++ρ+ρ+=
=
k
1
−
ρk(1−ρ),
1
… . Вероятности p0, p1, p2, … , pk, … образуют геометрическую
прогрессию со знаменателем ρ. Максимальная из этих вероятностей p0
— вероятность того, что канал вообще свободен.
Найдем среднее число заявок в СМО L
. Случайная величина Z
сист
(число заявок в системе) имеет возможные значения 0, 1,2,…, k,…с
вероятностями p0, p1, p2, …, pk, … . Ее математическое ожидание:
......10
+⋅++⋅+⋅=
pkppL
10
.
kсист
Подставляя сюда выражения для pk, имеем:
k
∞
ρ
d
ρ−ρ=ρρ−ρ=ρ−ρ=
)1()1()1(
∑∑∑
k
=
ρ
d
=
11
сист
∞
k
=
1
k
∞
−
1
k
kkL
=
k
∞
d
ρ−ρ=
k
∑
ρ
d
1
=k
Таким образом, получаем:
Формула Литтла сразу дает:
L
ρ−ρ=ρ
сист
W
d
)1()1(
ρ
d
сист
ρ
1
ρ−
ρ
.
=
1 ρ−
=
ρ
.
)1( ρ−λ
1
)1(
ρ−ρ=
ρ−
ρ
.
=
2
)1(
1
ρ−
Найдем среднее число заявок в очереди. Число заявок в очереди
равно числу заявок в системе минус число заявок под обслуживанием.
Значит (по правилу сложения математических ожиданий) среднее
число заявок в очереди Lоч равно среднему числу заявок в системе L
сист
минус среднее число заявок под обслуживанием. Число заявок под
обслуживанием либо ноль (если канал свободен), либо единица (если
канал занят). Математическое ожидание такой случайной величины
равно вероятности того, что канал занят P
. Очевидно P
зан
зан
=
1–р
ρ.
=
0
209
ρ
Такими образом, получаем
2
ρ
=
окончательно
L
оч
.
ρ−
1
LL
систоч
=ρ−=
ρ−
, или
ρ−
1
По формуле Литтла найдем среднее время пребывания заявки в
очереди
W
ρ
=
оч
.
)1(2ρ−λ
Абсолютную и относительную пропускные способности A и Q
вычислять нет надобности, поскольку каждая заявка рано или поздно
будет обслужена, A=λ, Q=1. Все характеристики эффективности
найдены.
Пример 8.5. В порту имеется один причал для разгрузки судов.
Интенсивность прибывающих судов равна 0,4 (судов в сутки). Среднее
время разгрузки судна составляет 2 суток. Предполагается, что
очередь судов, ожидающих разгрузки, может быть неограниченной
длины. Определить показатели эффективности работы причала, а
также вероятность того, что ожидают разгрузки не более чем 2 судна.
Очевидно, что ρ=λ/µ=λ
t
0,4⋅2= 0,8. Поскольку ρ<1, то
=
об
финальные вероятности существуют. Вычислим некоторые из них.
р
1 – ρ=0,2. Далее p
=
0
p
ρ2(1−ρ)=0,64⋅0,2=0,128; p
=
2
=
3
ρ3(1−ρ)=0,1024. Вероятность того,
ρ(1−ρ)=0 ,2⋅0,8=0,16;
=
1
что ожидают разгрузки не более двух судов, равна P=p1+ p2+
p
0,16 + 0,128 + 0,1024=0,3904.
=
3
Среднее количество судов в нашей СМО L
время пребывания судна в системе W
2
ρ
=
длина очереди
L
оч
= 0,64/0,2 = 3,2, а по формуле Литтла
ρ−
1
4/0,4=10 (суток). Средняя
=
сист
среднее время пребывания заявки в очереди W
0,8/0,2=4. Среднее
=
сист
3,2/0,4 = 8 (суток).
=
оч
Проведенные расчеты показывают, что эффективность разгрузки
судов невысокая. Для повышения эффективности требуется
уменьшить среднее время разгрузки судна или увеличить количество
причалов (каналов обслуживания).
3. n-канальная СМО с неограниченной очередью
Пусть система имеет n каналов обслуживания, каждый из которых
характеризуется потоком обслуживаний интенсивности µ. Поток
!0k
!0n
ρ
210
заявок, как и в предыдущей задаче, имеет интенсивность λ и на
очередь не накладывается никаких ограничений. Здесь мы имеем
схему гибели и размножения с бесконечным количеством состояний,
первые n+1 из которых определяются количеством занятых каналов и
отсутствием очереди. Остальные — длиной очереди. Опуская
подробности, приведем окончательные формулы для финальных
вероятностей и некоторых показателей эффективности СМО. Введем
обозначение ρ = λ/(nµ). Можно показать, что при ρ < 1 финальные
kk
n
ρ
pp
вероятности существуют и справедливы равенства
kn
n
ρ
pp
0 ≤ k≤ n;
=
k
, при k ≥ n + 1, где
)(
ρ
n
=
p
0
!
n
kn
1
−
n
1
−
)1(
+ρ−
∑
=
k
)(
ρ
n
!
k
0
=
k
1
−
, при
.
Для среднего количества заявок в системе справедлива формула
ρ
p
L
сист
n
=
n
+ρ
.
2
)1( ρ−
Из формул Литтла получим выражение для среднего времени
пребывания заявки в системе
W
сист
1
+ρ
n
=
λ
ρ
p
n
.
2
ρ−
)1(
Для средней длины очереди справедлива формула
L
оч
.
2
)1( ρ−
p
n
=
Среднее время пребывания в очереди равно
p
W
оч
n
.
2
)1( ρ−µ=n
Пример 8.6. Порт имеет три причала для разгрузки судов. Среднее
время разгрузки одного судна у каждого из причалов — 0,5 суток. На
рейд порта пребывает в среднем 4 судна в сутки. При наличии
свободного причала судно сразу становится под разгрузку. В
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]