Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Исследование операций и теория игр. Учебное пособие
.pdf
41
симплекс-метод по-прежнему является основным инструментом в
линейном программировании.
Контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения
1. Как формулируется общая задача линейного программирования?
2. Когда задача линейного программирования называется имеющей
каноническую форму?
3. Какая форма задачи линейного программирования называется
стандартной?
4. В чем заключается геометрическое истолкование системы
ограничений и целевой функции задачи в случае двух переменных?
5. Дайте определения базисного вида системы линейных уравнений,
базисного и опорного решений такой системы.
6. Сформулируйте фундаментальную теорему симплекс-метода.
7. К какому виду должна быть приведена задача линейного
программирования перед применением симплекс-метода?
8. Как составить первую симплекс-таблицу?
9. Опишите порядок работы с симплекс-таблицей. В чем
заключается признак того, что симплекс-таблица является последней?
Как прочесть решение задачи по последней симплекс-таблице? В
каком случае по последней симплекс-таблице можно заключить, что
задача не имеет решения по причине неограниченности целевой
функции на области допустимых значений?
10. Для чего применяется метод искусственного базиса? Какие
основные случаи могут представиться при работе этим методом?
11. Опишите метод больших штрафов. Как составить M-задачу для
задачи линейного программирования в канонической форме?
12. Как избежать зацикливания симплекс алгоритма?
13. Что понимается под трудоемкостью симплекс метода? Что
означает его экспоненциальная трудоемкость на классе всех задач
линейного программирования?
14. Существуют ли алгоритмы решения задач линейного
программирования полиномиальной трудоемкости? Обладает ли класс
всех задач линейного программирования полиномиальной
сложностью?
Построить математические модели в задачах 1.1 — 1.4.
1.1. Для изготовления трех видов изделий A, B, C используется
токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование.
Затраты времени на обработку одного изделия для каждого из типов
оборудования указаны в следующей ниже таблице. В ней же указан
42
общий фонд рабочего времени каждого из типов оборудования, а
также прибыль от реализации одного изделия каждого вида.
Требуется определить, сколько изделий каждого вида следует
изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была
максимальной.
Затраты времени (станко-ч) на
Тип оборудования
Фрезерное 2 4 5 120
Токарное 1 8 6 280
Сварочное 7 4 5 240
Шлифовальное 4 6 7 360
Прибыль (руб.) 10 14 12
обработку одного изделия вида
A B C
Общий фонд
рабочего
времени
оборудования
(ч)
1.2. Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели A,
B и C использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и
фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производство
1 т. карамели данного вида приведены в таблице. В ней же указано
общее количество сырья каждого вида, которое может быть
использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т.
карамели каждого вида.
Нормы расхода сырья (т) на 1 т
Вид сырья
A B C
Сахарный песок 0,8 0,5 0,6 800
Патока 0,4 0,4 0,3 600
Фруктовое пюре
Прибыль от
реализации 1 т
карамели (руб.)
−
108 112 126
карамели
0,1 0,1 120
Общее
количество
сырья (т)
Найти оптимальный план производства карамели, обеспечивающий
максимальную прибыль от ее реализации.
1.3. При откорме животных каждое животное ежедневно должно
получать не менее 60 ед. питательного вещества A, не менее 50 ед.
вещества B и не менее 12 ед. вещества C. Указанные питательные
вещества содержаться в трех видах корма. Содержание единиц
43
питательных веществ в 1 кг каждого из видов корма приведено в
следующей таблице:
Питательные
вещества
A 1 3 4
B 2 4 2
C 1 4 3
Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма
вида
I II III
Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого
количества питательных веществ при минимальных денежных
затратах, если цена 1 кг корма I-го вида составляет 9 коп., корма II-го
вида — 12 коп., а корма III-го вида — 10 коп.
1.4. При производстве чугунного литья используется n различных
исходных шихтовых материалов (чугун различных марок, стальной
лом, феррофосфор и др.) Химический состав чугунного литья
определяется содержанием в нем химических элементов (кремния,
марганца, фосфора и др.). Готовый чугун должен иметь строго
определенный химический состав, который определяется величинами
Hj, представляющими собой доли (в процентах) j-го химического
элемента в готовом продукте (j=1,2,…, m). При этом считаются
известными величины h
— содержание (в процентах) j-го
ij
химического элемента в i-ом исходном шихтовом материале, а также
величины ci — цены единицы каждого шихтового материала
(i=1,2,…,n). Определить состав шихты, обеспечивающий получение
литья заданного качества при минимальной общей стоимости
используемых шихтовых материалов.
В задачах 1.5 — 1.8 привести математическую модель линейного
программирования к каноническому виду.
1.5. 1.6.
→++−=
max,52
→+−−=
min,2
xxxz
321
≤+−
xxx
321
xxx
321
xxx
321
.0,,
≥xxx
321
,1262
=−+
,141253
≤−+−
,18463
xxxz
321
≤++
xxx
321
xxx
321
xxx
321
≥xxx
321
,12524
=+−
,15436
≤−+
,16233
.0,,
≥
≥
→+=
→+=
→+−
=
→−++−
=
→−+−=
44
1.7. 1.8.
→+−=
min,352
xxxz
321
≥++−
xxx
321
xxx
321
xxx
321
.0,
xx
21
,12
≤−+
,1665
≥++
,183
→−+−=
min,53
xxxz
321
≤−+
xxx
321
xxx
321
xxx
321
.0,
xx
32
,4752
≥+−−
,15834
≤+−
,111023
Используя геометрическое истолкование задач линейного
программирования, найти решения задач 1.9 — 1.13.
1.9. 1.10.
max;
xxz
21
,142
≤+
xx
21
xx
21
,1535
≤+−
xx
21
xx
21
.0,
≥
,2464
≥+
xx
21
max;2
xxz
21
,1224
≤−
xx
21
,63
≤+−
xx
21
xx
21
.0,
≥
,1642
≥+
Ответ: точка максимума (14; 0); Ответ: точка максимума (4,8;3,6);
z
14. z
=
max
max
=
12.
1.11. 1.12.
min;2
xxz
21
,1223
≤−
xx
21
,82
≤+−
xx
21
xx
21
.0,
≥
xx
21
,632
≥+
K
xxx
321
xxx
421
xxx
521
.0,,,
≥
xxx
521
max;24
xxxxz
5421
,55
=+−
,4
=++−
=++
,8
Ответ: точка минимума (10; 9); Ответ: точка максимума (2;6;33;0;0;);
z
−11 z
=
min
max
=
22.
1.13.
max;5
xxxz
321
,43
K
xxx
.0,,,
≥
xxx
521
Ответ: точка максимума (4/3; 0; 0; 1/3; 13/3;); z
=−−
321
,1
=−+−
xxxx
4321
,722
=+++
xxxx
5321
−20/3.
=
max
→−+
=
→−+
=
→++
=
45
В задачах 1.14 — 1.17 привести систему уравнений к какому-
нибудь базисному виду.
1.14. 1.15.
=++−
,1432
xxxx
4321
=++−
,3274
xxxx
4321
=−−−
xxxx
4321
.2353
xxxx
5321
xxxx
4321
xxxxx
1.16. 1.17.
=−−+
,123
xxxx
4321
=−−+
xxxx
4321
=−−+
xxxx
4321
,33472
.234
xxxx
xxxx
5321
xxxxx
54321
C помощью симплекс-метода и его модификаций найти решение
задач 1.18 — 1.27.
1.18.
max;623
xxxz
631
,18632
=+−+
).6,1(0
=≥
ix
i
Ответ: точка максимума (18; 0; 6; 66; 0; 0); z
xxxx
6321
,24223
=−++−
xxxx
6431
,3643
=−++
xxxx
6531
66.
=
max
1.19.
max;32
xxxz
421
,1622
=+−−
).6,1(0
=≥
ix
i
Ответ: точка максимума (6/11; 90/11; 0; 0; 254/11; 0); z
xxxx
5421
,18323
=−++
xxxx
4321
,2443
=+++−
xxxx
6421
282/11.
=
max
1.20.
max;78
xxxz
642
,12232
=−−−
).6,1(0
=≥
ix
i
Ответ: точка максимума (23; 4; 0; 1; 0; 0); z
xxxx
6421
,12344
=−−+
xxxx
6432
,2555
=+++
xxxx
6542
39.
=
max
=+−+
,2324
=−−+
,5492
=+−++
.3345
54321
=++−
,4435
4321
=++−
,7292
=+−−−
.344
→−+
=
→−+
=
→−+
=
→−++−
=
46
1.21.
max;53
xxxz
421
,28242
=+++
).6,1(0
=≥
ix
i
xxxx
4321
,30353
=+−+−
xxxx
5421
,32824
=++−
xxxx
6421
Ответ: точка максимума (10/11; 72/11; 0; 0; 0; 456/11); z
1.22.
max;523
xxxz
651
,34532
=+−+
).6,1(0
=≥
ix
i
Ответ: точка максимума (0; 76; 0; 66; 14; 0); z
xxxx
6521
,28424
=−++
xxxx
6531
,24633
=+−+−
xxxx
6541
28.
=
max
1.23.
max;2
xxxz
321
,624
≤−+−
≥
xxx
321
Ответ: точка максимума (2,8; 2,4; 0,4); z
xxx
321
,62
≥++
xxx
321
xxx
321
,422
=+−
.0,
7,2.
=
max
1.24.
max;5638
xxxxxz
54321
,28242
=−+++
).5,1(0
=≥
i
ix
Ответ: точка максимума (0; 0; 6; 28; 3); z
xxxxx
54321
,312
=++−
xxxx
5421
xxxxx
54321
,1188453
=−+++−
159.
=
max
max
226/11.
=
→+−++−=
47
1.25.
max;85432
→+−++−=
xxxxxxz
654321
).6,1(0
=≥
ix
i
xxxxxx
654321
xxxxxx
654321
Ответ: точка максимума (0; 0; 0; 80; 0; 440); z
1.26.
max;8353
→+++−+−=
xxxxxxz
654321
).6,1(0
=≥
ix
i
Ответ: точка максимума (0; 0; 0; 0; 60; 420); z
1.27.
max;51085
xxxxxxz
654321
).6,1(0
=≥
ix
i
xxxxx
65421
xxxxx
64321
xxxxxx
654321
Ответ: точка максимума (6; 0; 10; 8; 0; 0); z
,1202435
=++−−+
,320247592
=++−−+
3920.
=
max
,606543
=+−++−
xxxxxx
xxxxxx
654321
654321
max
=−++−
=++++−
=++−+−
max
=+−++−
=
,3632
,20222
,30323
=
3420.
190.
,4206353126177
ccc
. . .
48
2. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
2.1. Закрытая транспортная задача. Нахождение опорных планов
Одной из задач линейного программирования является
транспортная задача, состоящая, в общей постановке, в отыскании
оптимального плана перевозок некоторого однородного груза с m баз
A1, A2, ..., Am n потребителям B1, B2, ..., Bn. Пусть имеются
определенные запасы груза на базах A1, A2, ..., Am, которые мы
обозначим a1, a2, ... , am соответственно. Заказы каждого из
потребителей (потребности) обозначим b1, b2, ... , bn. Общее количество
имеющегося груза обозначим A (A = a1 + a2 + ...+ am), а общие
потребности — через B (B = b1 + b2 + ... + bn). При условии A = B мы
имеем закрытую модель, а при A ≠ B — открытую модель
транспортной задачи.
В этом параграфе мы рассмотрим закрытую транспортную задачу.
Предположим, что базы и потребители соединены коммуникациями,
например железными дорогами. Обозначим стоимость перевозки
единицы груза из пункта Ai в пункт Bj через cij. Числа cij можно
расположить в виде матрицы
n
11211
ccc
. . .
n
22221
. . . . . . . . . . . . . .
ccc
. . .
nmmm
21
Эта матрица называется матрицей стоимостей. Задача
заключается в нахождении такого плана перевозок, чтобы общая
стоимость их была минимальной. При этом необходимо выполнить
следующие два условия:
1) все запасы груза должны быть вывезены;
2) заказы потребителей должны быть выполнены.
Такие требования можно соблюсти лишь при условии A = B, то есть
в случае закрытой модели. Обозначим через xij количество груза,
которое планируется перевезти из пункта Ai в пункт Bj. Эти величины
будут представлять собой переменные в нашей задаче. Их также
можно расположить в виде матрицы, которая называется матрицей
перевозок. Общая стоимость перевозок (целевая функция нашей
задачи) имеет вид
=
xcz
∑
ijij
ji
,
Эту функцию требуется минимизировать. При этом, однако,
величины x
не могут принимать произвольные значения. Они
ij
=++
+
...
;
...
axx
x
=++
+
...
;
...
bxx
x
22
2n
m1
m2
mn
49
неотрицательны и удовлетворяют следующим ограничениям, которые
выражают требования 1) и 2), сформулированные выше:
21
111211
n
=+++
axxx
n
..............................
=+++
axxx
;...
222221
....
mnmmm
21
112111
m
=+++
;...
bxxx
222212
m
..............................
=+++
....
bxxx
nnmnn
Приведенная система ограничений состоит из двух подсистем,
которые называются системой горизонтальных и вертикальных
уравнений. Таким образом, закрытая транспортная задача является
задачей линейного программирования с ограничениями равенствами.
Система ее ограничений содержит n+m уравнений с n⋅m
неизвестными. Для решения транспортной задачи также применяют
симплекс-метод, но в силу специфики задачи здесь можно обойтись
без симплекс-таблиц. План перевозок с указанием запасов и
потребностей, а также стоимостей перевозок, удобно записывать в
виде таблицы данных:
c
12
c
22
c
m2
Потребности
x
12
x
x
c
. . .
. . .
. . .
1n
x
1n
c
2n
x
c
mn
x
Запасы
a1
a2
b1 b2 . . . bn
c
11
x11
c
12
x21
. . . . . . . . . . . . . . .
c
am
m1
x
Решение задачи можно получить путем некоторых
преобразований этой таблицы, которые соответствуют переходу от
одного плана перевозок к другому. Как и в общем случае,
оптимальное решение ищется среди опорных решений системы
ограничений транспортной задачи. Ранг этой системы равен n + m − 1,
поэтому среди m⋅n переменных x
выделяются
ij
m + n − 1 базисных переменных, а остальные (m − 1)⋅(n − 1)
переменные являются свободными. В базисном решении свободные
переменные равны нулю. Обычно эти нули в таблицу не вписывают,
50
оставляя соответствующие клетки пустыми. Таким образом, при
внесении в таблицу перевозок вместо
x
чисел, представляющих
ij
опорный план, мы имеем m + n − 1 заполненных и (m − 1)(n − 1)
пустых клеток. Как и в общем случае, решение транспортной задачи
начинается с отыскания первого опорного плана (исходного опорного
решения системы ограничений). Мы рассмотрим два метода
построения такого опорного плана. Суть обоих методов состоит в том,
что опорный план составляется последовательно в несколько шагов
(точнее, m + n − 1 шагов). На каждом из шагов заполняется одна
клетка. При рассмотрении клетки с номерами (k, r) на первом шаге
может представиться три случая:
а) ak >br;
б) ak = br;
в) ak <b
r
В случае а) в клетку ставится число br, вычеркивается r-тый
столбец, а запасы в пункте Ak полагаются равными ak − br. В случае в)
в клетку записывается число ak, вычеркивается k-тая строка, а
потребности в пункте br полагаются равными br− ak. В случае б) в
клетку ставится число ak = br и вычеркивается, по выбору, строка или
столбец (вычеркивать и строку, и столбец нельзя). Оставшиеся
потребности в пункте br или запасы в пункте ak полагаются равными
нулю. После первого шага наша таблица сократилась на одну строку
или на один столбец, а потребности или запасы соответственно
подправлены. В сокращенной таблице снова выбираем для заполнения
клетку и повторяем все сначала. Начиная с первоначально данной
таблицы и повторив m + n − 2 раз описанный шаг, мы придем к
“таблице”, состоящей из одной клетки. Заполнив эту последнюю
клетку и совершив m + n − 1 шаг, мы получим искомый опорный план.
Правда, мы не указали, каким образом на каждом шаге мы выбираем
клетку для заполнения. Различие методов отыскания первого
опорного плана как раз и состоит в различии способов выбора
заполняемой клетки.
Метод северо-западного угла. В этом методе на каждом шаге
построения первого опорного плана заполняется верхняя левая клетка
("северо-западный угол") оставшейся таблицы.
Метод наименьшей стоимости. В этом методе на каждом шаге
построения первого опорного плана заполняется та клетка оставшейся
таблицы, которая имеет наименьший тариф (c
). Если такая клетка не
kr
единственная, то заполняется любая из них.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]