Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электронные устройства автоматики основы цифровой электроники. Курс лекций
.pdf
()()
134 123
.
XXX XXX
Рис. 2.4. Карта Карно, соответствующая функции, заданной в табл. 2.6
Без аналитической процедуры видно, что в конфигурацию объе-
динены клеточки, соседние по X
, и, следовательно, при образовании
2
дизъюнкции они могут быть склеены. Можно сразу записать первый
член в представлении функции в ДНФ как
XXX . Далее, вос-
431
пользовавшись операциями склеивания и поглощения, преобразуем
сумму
XXX XX XX XX X XX XX X X∨=∨=∨=
134 123 13 4 2 13 4 2
44
=∨
Второй член в этой сумме – результат склеивания двух клеточек с
единичными значениями функции, соседних по верхней строке. Образуем и из них конфигурацию.
Выполнив операцию склеивания над конъюнкциями 4, 5, 6, 7, получим в результате X
, имеющая различные значения в клеточках, соседних по строкам,
X
2
и переменная X
, имеющая различные значения в клеточках, сосед-
4
. В процессе склеивания исчезла переменная
1X3
них по столбцам.
Итак, рассматриваемая функция есть
431321
Клеточки, расположенные по диагонали, свойствами соседства не
обладают, поэтому объединения можно выполнять только из 2
4
2
, ... клеточек. Каждое 2i-клеточное объединение позволяет исклю-
.
XXXXXXXXf ∨∨=
31
0
, 21, 22,
чить i переменных. Очевидно, чем крупнее объединение, тем проще
выражение, ему соответствующее. Поэтому для получения минимальных форм выражений нужно составлять объединения максимальной
площади. При этом отдельные объединения могут частично накладываться друг на друга. Но необходимо следить, чтобы не было таких
объединений, все клеточки которых
уже объединились.
31
Единственная сложность этого метода минимизации – правиль-
223
()
YXX X X
1
X
2
XX
23
XX
ный выбор объединений с целью получения действительно минимальной формы. На рис. 2.5, а приведен пример правильного объединения.
Усложнения в процедуре объединения возникают при минимизации неполностью определенных функций (рис. 2.5, б). Так как функция некритична к значениям, которые не определены, то на месте
тильды
можно поставить 1 или 0, так чтобы формировать объедине-
ния большего размера.
Рис. 2.5. Примеры объединений в картах Карно при полностью (а)
и частично (б) определенной функции
Методом Карно можно минимизировать функции с представлением их в КНФ. Для этого строятся объединения по клеточкам с нулевыми значениями функции. На основе объединения строятся дизъюнкции соответствующих неизменяемых переменных с учетом их
значений (без инверсии или с инверсией) и записывается произведение этих дизъюнкций. Для рассмотренного примера (см. рис
. 2.4)
получаем
или второй вариант
Минимизацию логических функций можно производить, записывая в табличной форме не только окончательное значение функции,
но и промежуточные результаты. Поясним это на простом примере.
Пусть
для всех наборов аргументов, производя простейшие операции, сначала значение
конец, результат сложения последних двух столбцов по модулю 2
32
1
1
=⊕+
1
. Будем последовательно записывать
, затем произведение
))()((
XXXXXXXf ∨∨∨∨=
2
313
1313
1
4
3
XXXXXXXf ∨∨∨∨=
, сумму
.
))()((
42
+ и, на-
(табл. 2.7). Для аналитической записи минимальной формы рассмат-
12 3
YXX XX
1
X
12
XX
2
XX
23
XX
223
()
YXX X X
12 2 3 2 2 3
()()
XX X X XX X X
риваемой функции можно построить карту Карно (рис. 2.6), из которой следует, что
=+.
2
Таблица 2.7
X2 X3
X
1
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 1 0 1 1
0 1 0 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 1 1
1 1 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1 1
X
+ X3 Y
2
Рис. 2.6. Карта Карно, построенная по табл. 2.7 для функции Y
Аналогичную операцию можно было бы провести, используя «по-
клеточные» действия с картами Карно. Карты Карно для выражений
и
1
+ показаны на рис. 2.7. Произведя «поклеточное»
сложение этих карт по модулю 2, получим карту Карно, совпадающую с картой Карно на рис. 2.6.
Для проверки результата рекомендуется провести аналитическую ми-
нимизацию
=⊕+=
1
++ +
1
.
33
2
XX
23
XX
Рис. 2.7. Карты Карно для функций
(а) и
1
+ (б)
Используя описанные методы, можно производить упрощение
(«минимизацию») уже готовых логических схем. Пусть задано логи-
ческое устройство, схема которого показана на рис. 2.8. Обозначим
функции на выходе схемы ИЛИ-исключительное через Z
де схемы сложение по модулю 2 – через Z
истинности, включив в нее значения функций Z
. Составим далее таблицу
2
и Z2, которые легко
1
, а на выхо-
1
определяются (табл. 2.8).
Рис. 2.8. Логическая схема, подлежащая упрощению
34
Таблица 2.8
X
X2 X3 Z1 Z2 Y1 Y2
1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 1
После этого также легко вычисляются значения функций
1
Y
2
Y
1
Y
1
Z
123
XXX
2
Y
2
Z
123
XXX
()&
132123
&( )
XXXXXXXXXXXX
1232
YXX XX XX
11 2
YXX XX XX
=
Из этой таблицы следует, что
=
=
⊕⊕
. Таким образом, блоки И и ИЛИ на рис. 2.8
=
∀∀ и
и
являются лишними.
Подобные вычисления сделать легче, чем, например, произвести анали-
тически минимизацию функции
+++.
23 12 1 3
YXXXXXXXXX=++
12 1 3 23
1321
Из приведенных примеров видно, что в ряде случаев аналитическая минимизация по простоте уступает приведенным выше методам
минимизации логических функций.
Контрольные вопросы
1. Какие технические устройства можно описать аппаратом буле-
вой алгебры?
2. Сколько логических функций может существовать для трех и
четырех переменных (вспомним, что для одной их четыре, для двух –
16)?
3. Почему карты Карно не используются для минимизации функ-
ций более четырех переменных?
4. Почему для нумерации столбцов и строк карты Карно для че-
тырех переменных используется не обычный двоичный код, а комбинация кода Грея?
5. Чем комбинационные логические устройства отличаются от по-
следовательностных (временных)?
6. Могут ли одни и те
ны различными формулами (например,
=++)?
231
же комбинационные функции быть записа-
=+ + и
21
.
35
3. КОМБИНАЦИОННЫЕ ЛОГИЧЕСКИЕ СХЕМЫ
23123
()( )( ).
ZXXXXX XXX X
И УСТРОЙСТВА
3.1. Последовательность действий при синтезе
комбинационных схем
Если функция задана в виде словесного описания, необходимо
формализовать это описание, составив таблицу истинности, т.е. указать значение функции при всех наборах аргументов. При составлении этой таблицы могут встретиться следующие случаи.
1. Известно однозначное значение функции для
всех сочетаний
входных переменных, т.е. функция полностью определена. В этом
случае можно приступать к следующему этапу синтеза.
2. Известно однозначное значение функции не для всех сочетаний
аргументов. Это может случиться, если некоторые сочетания аргументов или никогда не могут на практике встретиться, или при этих
сочетаниях несущественно значение функции. Это
случай неполного
определения функции. При минимизации функции значение ее для
этих аргументов можно принять такое, которое упростит процесс
минимизации или позволит получить самую простую форму записи.
3. При некоторых сочетаниях аргументов функция может реально
приобретать различные значения. Это является признаком того, что
данная функция не относится к числу комбинационных и для
синтеза
такого устройства необходимо пользоваться методами синтеза временных схем.
На основе таблицы истинности записывается алгебраическое выражение функции. Обычно будем пользоваться СНДФ, дающей более компактную запись, так как СНКФ целесообразно применять в
тех случаях, когда нулевых значений функций не более двух.
Рассмотрим процесс синтеза на примере. Пусть функция задана
табл. 3.1. Для записи функции в СНКФ обращаем внимание на строки нулевых значений функции. Если в строке какой-либо аргумент
равен единице, то его инвертируют. В результате получаем
=∨∨ ∨∨ ∨∨
1231
Для получения записи в СНДФ рассматриваем строки с единичным значением функции. Если в этой строке какой-либо аргумент
равен нулю, то его следует инвертировать:
36
21
1
3
3
2
1
32
1
.
XXXXXXXXXXXXXXXZ ∨∨∨∨=
2
3
213
Таблица
() ()( )
233
.
XX XX XX
X
X2 X3 Z
1
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
3.1
Для минимизации аналитическими методами запись в СНКФ нуждается в раскрытии скобок. В результате получится выражение более громоздкое, чем запись в СНДФ, что усложняет процесс минимизации аналитическим методом. Проведем минимизацию выражения в
СНДФ. Объединим попарно первый и четвертый, второй и пятый и
третий и пятый минтермы:
ZXXXXXXXXXXXX=∨∨∨∨∨=
21 31 3 2
312 112
=∨∨
32 1
Если третий минтерм объединить с четвертым, то получим несколько
отличную, но тождественную запись:
2
3
23
.
XXXXXXZ ∨∨=
3
1
Теперь обратимся к минимизации с помощью карты Карно, соответствующей заданной в НДФ функции (рис. 3.1). На рис. 3.1, а показано объединение квадратов, соответствующих первому результату
минимизации, на рис. 3.1, б – второму. Из карты Карно видно, что
других способов оптимального объединения квадратов не существует.
Базируясь на минимизированных выражениях, легко составить
функциональные схемы (
заменены кружочками на входах схем И.
рис. 3.2). На них для упрощения инверторы
Эти кружочки и означают
инвертирование данного аргумента.
Рис. 3.1. Два варианта (а и б) объединения квадратиков карты Карно
37
233
ZXXXXXX
Рис. 3.2. Четыре варианта функциональной схемы, реализующие
функции табл. 3.1: базис И, ИЛИ, НЕ (а) и (б), базис И – НЕ (в),
базис ИЛИ – НЕ (г)
Если для реализации функции использовать другой базис, например, элементы И – НЕ, то минимизированное выражение нужно с
помощью правил Моргана привести к нужному виду. В нашем слу-
чае
=⋅⋅
3
инверторов надо использовать элементы И – НЕ с закороченными
входами или на свободные входы подавать логическую единицу.
Если необходимо строить схему, используя элементы ИЛИ – НЕ,
то преобразованное к этому базису выражение будет иметь вид
38
21
схема показана на рис. 3.2, в. В качестве
22 3
,
ZX X X X X X
=∨∨∨∨ ∨
132
а схема изображена на рис. 3.2, г.
В качестве инверторов на входе схемы следует использовать элементы ИЛИ – НЕ с закороченными входами, как это сделано на выходе
схемы, или на свободные входы подавать логический ноль.
Далее в этой главе будут рассмотрены типовые комбинационные
схемы, встречающиеся в устройствах цифровой автоматики и вычислительной техники.
3.2. Повторители, инверторы,
шинные формирователи
Эти элементы выполняют простейшие логические функции одной
переменной. Повторитель (Z = X) и инвертор
)( XZ = были рас-
смотрены выше. Здесь отметим, что эти элементы являются также
усилителями мощности, а точнее говоря, усилителями тока электрических сигналов. Интегральные микросхемы, реализующие эти
функции, содержат обычно несколько однотипных элементов в одном корпусе. В некоторых ИМС выходы могут переводиться в высокоимпедансное состояние или иметь открытый коллектор, что
будет
рассмотрено далее.
Шинный формирователь (ШФ) без инверсии или с инверсией по
функциональному назначению соответствует повторителям или инверторам. Он широко используется в микропроцессорной технике в
качестве усилителей, например, для согласования (по мощности) выхода микропроцессора с большим количеством потребителей сигналов. Однонаправленные ШФ используются для передачи адресных
сигналов, которые вырабатываются
микропроцессором и подаются к
другим устройствам системы (только в одном направлении). Двунаправленные формирователи (ДШФ) используются для усиления сигналов, соответствующих обрабатываемым данным. Эти сигналы могут поступать от внешних устройств в микропроцессор в обратном
направлении.
При организации передачи данных от внешних устройств к мик-
ропроцессору, принятых в настоящее время,
необходимо как бы отключить выходы тех устройств, с которыми микропроцессор в данный момент времени не работает, от магистральных шин данных, по
которым передается информация. Это необходимо, чтобы не искажалась информация, которую передает в данный интервал времени одно из внешних устройств.
39
С этой целью необходимо переводить выходы не работающих в
данное время устройств в так называемое высокоимпедансное (или
третье) состояние. Поясним, как это можно осуществить. Выходной
каскад устройства, подключаемого к магистральным шинам микропроцессорной системы, выполнен на двух транзисторах, работающих
в режиме насыщения (один из этих двух транзисторов) и отсечки
(другой
транзистор). В таких режимах работы транзистор можно для
наглядности заменить замкнутыми или разомкнутыми ключами
(контактами), как показано на рис. 3.3, а и б. Если же разомкнуть оба
ключа, то выход схемы оказывается изолированным от земли и источника «+Е». Этот вариант называется высокоимпедансным выходом (или третьим стоянием выхода). Управление этими
ключами
осуществляется самой логической схемой.
Рис. 3.3. Принцип реализации выхода с высокоимпедансным
состоянием: а – формирование логического нуля; б – формирование
логической единицы; в – высокоимпедансное состояние
Микросхемы ШФ и ДШФ имеют четыре или восемь независимых
каналов с инверсией или без нее с общими управляющими сигналами
для всех каналов (в некоторых ИМС имеются две группы каналов
с независимым управлением каждой группой). Условное обозначение ДШФ на восьми каналах с переводом выходов в высокоимпедансное состояние показано на рис
в центральном поле означает усиление сигналов, а символ ◊
40
. 3.4. Напомним, что символ >>
– воз-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]