Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитная индукция. Учебное пособие
.pdf
M
e
12
L
1
i
1
L
2
Рис. 3.5
Решение. Применяя для магнитно-связанных контуров понятие
M
коэффициента связи
kLL и закон электромагнитной индукции,
св
для индуцируемой на разомкнутых выводах второй катушки ЭДС взаимоиндукции получим
eMkLL
12 12 св 12
где
12
В момент времени
ddi
12 1
dt dt dt
t ЭДС взаимоиндукции будет равна
1
ekLLIe
12
12
dIe
t
kLLIe
,
св 12 0
12 св 12 0
t
1
t
0
=
100 0,01
0,5 0,015 0,01 100 200 45e
В.
Пример 3.6
На круглый прямой сердечник с магнитной проницаемостью
и диаметром
1, 0
r
с числом витков
0,12l м и
1
0,09l м. Определить взаимную индуктивность кату-
2
шек, если коэффициент магнитной связи между ними
0,01d м намотаны две соленоидные катушки
0
1
600w и
400w (рис. 3.6). Длина катушек
2
св
71
0,08k
.
L
2
l
2
r
1, 0
L
1
l
1
Рис. 3.6
Решение. Предварительно найдем индуктивность каждой катуш-
ки, считая длину соленоида намного больше его диаметра.
Индуктивность первой катушки
wS
1
rr
ll
11
– площадь поперечного сечения сердечника.
где
L
10 0
2
dS
0
4
Индуктивность второй катушки
wS
L
20 0
2
rr
ll
22
22
wd
10
410 1,0
7
440,12
4
2,96 10
Гн,
22
wd
20
7
410 1,0
440,09
22
600 0,01
22
400 0, 01
d
0
4
1, 75 10
Гн.
Взаимная индуктивность катушек
44 5
св 12
0,08 2,96 10 1, 75 10 1,82 10Mk LL
Гн.
Пример 3.7
На кольцевой сердечник прямоугольного сечения с магнитной про-
1, 0
1
650w и
ницаемостью
витков
30r мм, внешний радиус
1
равномерно намотаны две катушки с числом
r
450w (рис. 3.7). Внутренний радиус сердечника
2
40r мм, высота 15h мм. Определить
2
72
энергию магнитного поля магнитно-связанных катушек, если токи
3I А,
1
5I А, а образованные ими магнитные потоки в сердечнике
2
замыкаются в одном направлении. Коэффициент магнитной связи катушек
0,1k
св
.
r
1
r
2
h
L
1
I
1
L
2
I
2
r
ср
Рис. 3.7
Решение. Для расчета энергии в магнитно-связанной системе двух
катушек предварительно определим индуктивности каждой катушки и
их взаимную индуктивность.
Индуктивность первой катушки
224
L
10
()(40103010)15101,510Srrh
где
21
сердечника;
wS
1
r
220,035
м – ра-
ср 12
4 10 1,0 3,62 10
r
ср
( )/2 (3010 4010 )/2 3510rrr
74
333 4
диус средней линии сердечника.
Индуктивность второй катушки
650 1,5 10
33 3
Гн,
м2 – сечение
224
wS
2
L
20
r
220,035
410 1,0 1,7410
r
ср
450 1,5 10
74
73
Гн.
Взаимная индуктивность катушек
44 5
Гн.
12 св 12
0,1 3,62 10 1,74 10 2,51 10MkLL
Энергия магнитного поля двух магнитно-связанных катушек при
замыкании созданных ими магнитных потоков в одном направлении
(согласное включение)
22
LI L I
WMII
42 42
3,62 10 10 1,74 10 5
Дж.
11 2 2
м 12 1 2
22
53
2,51 10 10 5 4,18 10
22
Замечание. Применяемая в примере формула для расчета индук-
тивности катушки с кольцевым сердечником получена в предположении, что
магнитная индукция во всех точках сечения сердечника одинакова и равна
индукции на средней линии сердечника. В действительности магнитная
индукция увеличивается в направлении от внешней стороны сечения к внутренней. Более точное выражение для индуктивности
прямоугольного сечения имеет вид
2
r
wh
2
Lr
0
r
2
.
ln
1
В таком случае индуктивности первой и второй катушек
2
wh r
12
L
10
ln 4 10 1,0 ln
r
22
r
1
7
3,65 10
Гн,
24 3
650 1,5 10 40 10
4
кольцевой катушки
3
30 10
2
wh r
12
L
20
ln 4 10 1,0 ln
r
22
их взаимная индуктивность
Гн.
12 св 12
r
1
1, 75 10
Гн,
0,1 3, 65 10 1,75 10 2, 53 10MkLL
24 3
450 1,5 10 40 10
7
4
44 5
30 10
74
3
Энергия магнитного поля в системе магнитно-связанных катушек
22
LI L I
11 2 2
Дж.
WMII
м 12 1 2
22
4, 21 10
3
Погрешность полученного результата определения энергии магнитного
поля в процентах к величине энергии, найденной по более точной формуле
для индуктивности, составляет
33
WW
%
м max м min
W
м max
100 % 100 % 0, 7 %,
4, 21 10 4,18 10
3
4,21 10
т. е. менее 1 %.
Пример 3.8
Две магнитно-связанные катушки индуктивности 1L и 2L включены последовательно. Их эквивалентная индуктивность при согласном
включении
410L
вст
катушек.
сог
2
Гн (рис. 3.8, б ). Определить взаимную индуктивность M
2
610L Гн (рис. 3.8, а), при встречном включении
L
1
Ф
1
L
2
Ф
2
а
L
1
Ф
1
L
2
Ф
2
б
Рис. 3.8
75
Решение. В частном случае последовательного соединения маг-
L
нитно-связанных катушек их эквивалентные индуктивности при согласном и встречном включениях
сог 12
2LLLM ,
вст 12
2LLLM .
Вычитая из первого выражения второе, получим
4LL M
сог вст
,
отсюда взаимная индуктивность магнитно-связанных катушек
22
LL
сог вст
M
Гн.
610 410
510
3
44
3.3. Задачи для самостоятельного решения
Пример 3.9. Соленоидная катушка с током длиной
и диаметром
Определить наведенную в катушке ЭДС самоиндукции
мерном изменении силы тока на величину 3i А за время
3
610t
с.
0,05d м содержит 900w витков провода (рис. 3.9).
0
e
при равно-
l
d
0
i
w
м
0, 25l
Рис. 3.9
22
wd
i
Ответ:
e
Lr
0
0
lt
4
4
В.
Пример 3.10. По виткам соленоидной катушки длиной 0, 2l м
0,045d
и диаметром
0
м течет ток 2sin1000it (рис. 3.10). Опре-
76
делить наведенную в катушке ЭДС
L
ков катушки
500w .
e самоиндукции, если число вит-
l
d
0
i
Ответ:
w
Рис. 3.10
22
wd
eIt
Lr m
0
0
4
l
cos
5sin (1000 90 )t В.
o
Пример 3.11. Определить величину индуктивности L катушки,
если по виткам катушки течет ток 4sin 2500it А и наведенная в ней
ЭДС самоиндукции
Ответ: 0,01
et В.
L
L
e
di dt
/
100sin (2500 90 )
L
Гн.
o
Пример 3.12. Две индуктивно-связанные катушки имеют индук-
тивности
0,1k
св
. Определить энергию магнитного поля всей магнитно-связанной системы катушек при токах
встречного включения.
Ответ:
0,1L Гн и
1
22
LI L I
11 2 2
WkLLII Дж.
мсв12 12
22
0, 4L Гн. Коэффициент связи катушек
2
10I А и
1
9
5I А для случая их
2
Пример 3.13. Эквивалентная индуктивность двух последователь-
но соединенных и магнитно-связанных катушек при согласном включении
поля
W всей магнитно-связанной системы при значении тока, проте-
м
кающего по виткам катушек 10I А.
0,04L Гн (рис. 3.11). Определить энергию магнитного
сог
77
Ответ:
I
LI
сог
W Дж.
м
L
1
2
2
2
Рис. 3.11
L
2
78
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнит-
ное поле : учебник. – 8-е изд. / Л. А. Бессонов. – Москва : Высшая школа,
1986. – 263 с.
Теоретические основы электротехники : учебник для вузов. В 2 т / под
2.
ред. проф. П. А. Ионкина. Т. 2. Нелинейные цепи и основы теории электромагнитного поля. – Москва : Высшая школа, 1976. – 383 с.
Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические
3.
цепи : учебник. – 10-е изд. / Л. А. Бессонов. – Москва : Гардарики, 1999. – 638 с.
Атабеков Г. И. Теоретические основы электротехники : учебник для
4.
вузов. В 3 ч. Ч. 1. Линейные электрические цепи / Г. И. Атабеков. – 5-е изд.,
исправл. – Москва : Энергия, 1978. – 592 с.
Теоретические основы электротехники : учеб. пособие / под ред. проф.
5.
А. Е. Каплянского. – Москва : Высшая школа, 1972. – 448 с.
Нейман В. Ю. Физические основы электротехники. Основные свойства
6.
и законы линейных электрических цепей : учеб. пособие / В. Ю. Нейман. –
Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2023. – 186 с.
Нейман В. Ю. Электротехника и электроника. Интернет-тестирование
7.
базовых знаний. Физические основы электротехники. Основные свойства
и законы линейных электрических цепей : учеб. пособие / В. Ю. Нейман. –
Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2024. – 310 с.
Нейман В. Ю. Электротехника и электроника. Интернет-тестирование
8.
базовых знаний. Теория и методы анализа линейных цепей постоянного тока:
учеб. пособие / В. Ю. Нейман. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2022. – 124 с.
Нейман В. Ю. Электротехника и электроника. Интернет-тестирование
9.
базовых знаний. Ч. 3. Теория и методы анализа линейных цепей синусоидального тока: учеб. пособие / В. Ю. Нейман. – Новосибирск : Изд-во НГТУ,
2014. – 130 с.
79
10.
Малинин Л. И. Теория цепей современной электротехники / Л. И. Ма-
линин, В. Ю. Нейман. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2013. – 347 с. (Учебники
НГТУ).
Нейман В. Ю. Теоретические основы электротехники в примерах и
11.
задачах. Ч. 2. Линейные электрические цепи однофазного синусоидального
тока: учеб. пособие / В. Ю. Нейман. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2015. –
166 c.
Нейман В. Ю. Теоретические основы электротехники в примерах
12.
и задачах. Ч. 4. Линейные электрические цепи несинусоидального тока: учеб.
пособие / В. Ю. Нейман. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011. – 182 c.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]