Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Электромагнитная индукция. Учебное пособие
.pdf
проводника в магнитном поле на него будет действовать сила Ампера
A
F
F
B
R
x
B
F
R
A
F
вызванная индукционным током, модуль которой
,
iB l=
0
A
где
i – индукционный ток.
Направление этой силы будет определяться правилом левой руки
(см. приложение).
0
I
,
v
0
l
vdt
Рис. 1.2
Индуцируемая в проводнике ЭДС индукции согласно закону электромагнитной индукции
e
.
d
=-
dt
На основании закона Ома для полного контура имеем
ddS
=- =- =-
dBdSBlvdt == – элементарный магнитный поток через
где
площадь
00
dS , пересекаемую проводником за относительно малый про-
межуток времени
iR B B lv
dt dt
00
dt .
,
Отсюда индукционный ток, направление которого совпадает
с направлением ЭДС электромагнитной индукции, определяемой правилом правой руки, равен
lv
0
=- .
i
11
Индукционный ток будет направлен таким образом, чтобы возни-
F
B
B
кающая сила Ампера была направлена в противоположном от скорости
направлении, т. е. против внешней силы, приложенной к проводнику
(рис.
1.2).
Для определения силы, с которой поле действует на проводник с
током (силы Ампера), удобно воспользоваться правилом левой руки
(см. приложение).
Согласно второму закону Ньютона уравнение движения проводника в однородном магнитном поле, вызванного внешней вынужденной
силой, запишется в виде
dv
=-=- ,
mFFFiBl
dt
000A
где
iB l= – сила Ампера.
0A
Подставляя в это уравнение выражение индукционного тока, получим
22
dv
mF
=-
dt R
lv
0
0
.
Разделяя переменные и устанавливая пределы интегрирования,
запишем
vt
1
F
dv dt
0
kv
-
=
и
m
dv
ÚÚ
F
0
00
-
kv
=
dt
, где
m
kmR=
22
l
0
.
Интегрируя, получим
F
ln
0
m
F
0
kv
-
.
kt
=
F
1
ʈ
--=
0
ln
Á˜
˯
km
v
kv t
0
,
m
Отсюда скорость движения проводника в функции времени
22
-
Bl
0
mR
t
.
FFR
00
=-= -
ve e
kt
-
(1 ) 1
km
ʈ
Á˜
22
Á˜
Bl
0
˯
12
В уравнении скорости величина, обратная ,k отражает постоянную
B
F
B
F
B
E
R
x
B
E
A
F
R
времени
1 mR
== .
22
k
l
0
Последнее означает, что за время (3...5)t = после начала движе-
ния проводника его скорость выравнивается и достигает предельной
величины:
R
0
= .
v
max
22
l
0
Индуцируемая в проводнике ЭДС электромагнитной индукции
также достигает своего предела:
R
0
==
EBlv
0max
.
l
0
Если проводник с током, включенный в цепь с ЭДС
, помещен в
однородное магнитное поле и может свободно перемещаться в плоскости, перпендикулярной линиям поля, то под действием силы Ампера
проводник переместится на расстояние dx vdt= (рис. 1.3).
,iI
l
Элементарная работа, совершаемая силами поля,
гая, что полное сопротивление контура ,
0
Рис. 1.3
13
v
vdt
dA Id =
элементарная энергия EIdt
. Пола-
источника ЭДС E за промежуток времени dt будет расходоваться
E
E
E
E
F
2
на покрытие джоулевых (тепловых) потерь
IRdt и энергию Id
по перемещению проводника в однородном магнитном поле
2
Idt I Rdt Id=+
, откуда ток
I
d
-
E
= ,
dt
R
ddt
где
– ЭДС электромагнитной индукции, возникающая в провод-
нике при его движении.
На принципе взаимодействия проводника с током и магнитного
поля (рис. 1.3) основана работа электрических двигателей постоянного
тока, некоторых измерительных приборов и других различных
устройств электромеханики. Единственной движущей силой, определяющей направление движения проводника и его скорость, выступает
сила Ампера. Под действием
этой силы движение проводника проис-
ходит с нарастающей скоростью.
По правилу Ленца возникающий в контуре индукционный ток
направлен так, чтобы его собственное магнитное поле препятствовало
нарастанию тока, вызванного включением в общую цепь источника
ЭДС
.
Согласно второму закону Кирхгофа для полного контура (рис. 1.3)
получим
iR E E B lv
=- =-
откуда ток через проводник
dt
Blv
-
i
= и сила, действующая на про-
0
,
0
d
R
водник с током, движущийся в магнитном поле (сила Ампера), равна
iB l v
== - .
A
Bl B l
0
RR
14
22
00
Уравнение движения проводника (второй закон Ньютона), вызван-
E
B
E
B
ного единственной силой Ампера, запишем в виде
dv
mF v
== -
dt R R
Bl Bl
A
22
00
.
Разделяя переменные, получим
vt
,
dv
ÚÚ
kE
00
-
Bl
0
kv
dt
=
.
kE
Bl
0
dv
=
dt
kv
-
Выполняя интегрирование, получим
ʈ
1
kE
ln
--=
Á˜
kBl
˯
0
v
kv t
0
, где
kmR=
22
l
0
.
Отсюда зависимость скорости проводника от времени
22
-
Bl
0
mR
t
EE
ve e
=-= -
Bl Bl
00
-
kt
(1 ) 1
ʈ
Á˜
Á˜
˯
и его максимальная скорость
vv
==.
max
Æ•
t
l
0
Согласно определению расстояние, пройденное проводником за
время t , равно
tt
xvdt e dt t e
==-=+ =
ÚÚ
00
EEEmR
Bl Bl
00
=- -
Bl
--
kt kt
(1 )
EEmR
te
Bl
0
0
ʈ
Á˜
˯
ʈ
-
Á˜
1
33
Á˜
˯
22
Bl
0
mR
Bl
t
33
0
.
t
0
Замечание. В рассмотренных примерах возникновение ЭДС индук-
ции связано только с изменением времени магнитного потока вследствие изменения площади поверхности, ограниченной контуром.
15
1.2. Примеры решения задач
x
B
Пример 1.1
В однородном магнитном поле с индукцией
0,05B = Тл перпен-
0
дикулярно силовым линиям поля внешними силами движется прямолинейный проводник длиной 0, 2l
магнитной индукции, возникающую в проводнике, через время 3t
= м (рис. 1.4). Найти ЭДС электро-
= с
после начала движения, если скорость проводника зависит от времени,
2
0,5vt= м/с.
0
l
v
dx vdt
Рис. 1.4
Решение. За некоторый малый промежуток времени dt провод-
ник переместится на расстояние
сечет все линии магнитной индукции, проходящие через площадь
dS ldx lvdt== . Учитывая перпендикулярность плоскости движения
проводника к линиям магнитной индукции, элементарный магнитный
поток
d через поверхность, пересекаемую проводником, запишем
в виде
00 0
dx vdt= (рис. 1.4), при этом он пере-
2
0,5d B dS B lvdt B l t dt == = .
Согласно закону электромагнитной индукции для ЭДС индукции
имеем
d
eBlt
=- = = ◊◊◊= ◊
dt
0
222
0,5 0, 05 0, 2 0, 5 3 4, 5 10
16
-
В.
Пример 1.2
F
F
F
x
B
F
R
A
F
Прямолинейный проводник с длиной активной части 0,8l = м,
концы которого замкнуты вне поля на сопротивление 0,01R = Ом,
находится в однородном магнитном поле с индукцией
(рис.
1.5). Определить внешнюю силу
, которую необходимо при-
0
0,5B
=
0
Тл
ложить к проводнику для его перемещения с постоянной скоростью
4v = м/с в плоскости, перпендикулярной линиям поля.
0
0
i
l
0
v
0
vdt
Рис. 1.5
Решение. На проводник при перемещении в магнитном поле дей-
ствует сила Ампера
Bil= ,
0A
где i – индукционный ток в проводнике.
Согласно второму закону Ньютона с учетом проекции всех сил
dv
mFF
=-=,
0
dt
dv
0
где
= – ускорение проводника при постоянной скорости.
dt
Отсюда внешняя сила, приложенная к проводнику,
FBil
==
00A
0
A
.
17
Индуцируемая в проводнике ЭДС электромагнитной индукции
B
R
x0B
A
F
E
eBlv
Фd
=- =
dt
Фd=BdS Blvdt= – элементарный магнитный поток через пло-
где
щадку
ка длиной
000
dS lv dt= (рис. 1.5), пересекаемую активной частью проводни-
0
за некоторый малый промежуток времени dt.
l
00
,
По закону Ома индукционный ток в контуре
e
== .
i
lv
00
R
Отсюда внешняя сила, которую необходимо приложить к проводнику, равна
22
Blv
FBil
== = = Н.
00
00
R
22
0,5 0,1 4
◊◊
0,01
1
Пример 1.3
Проводник с длиной активной части 0,1l = м подключен к источ-
нику постоянной ЭДС
поле с индукцией
0
3E = В и находится в однородном магнитном
0, 25B = Тл (рис. 1.6). Определить ЭДС электро-
магнитной индукции и необходимую скорость проводника, движущегося перпендикулярно силовым линиям поля, при условии, что ток в
контуре цепи был равен нулю.
I
l
v
e
Рис. 1.6
18
Решение. Направление силы Ампера, действующей на проводник
R
E
E
B
с током в магнитном поле, определяется правилом левой руки (рис. 1.6).
Скорость движения проводника совпадает с направлением силы. Индуцируемая в проводнике ЭДС согласно правилу правой руки направлена противоположно току.
На основании закона Кирхгофа баланс напряжений для полного
контура цепи
IR e E-=-,
где e – индуцируемая
I – ток в контуре;
в проводнике ЭДС электромагнитной индукции;
– сопротивление полного контура.
По закону электромагнитной индукции в движущемся проводнике
наводится ЭДС индукции
v – скорость движения проводника.
где
eBlv=
,
0
Следовательно,
IR B lv-= .
0
Отсюда скорость проводника
-
IR
= .
v
l
0
Необходимая скорость проводника при условии, что ток в контуре
был равен нулю (0),I = будет составлять
E
vBl== =
0
3
0, 25 0, 8
◊
15
м/с.
Из уравнения баланса напряжений индуцируемая ЭДС при движении проводника при 0
I = равна
eE== В.
3
Пример 1.4
Прямолинейный проводник (рис. 1.7) с длиной активной части
0, 25
l = м перемещают в плоскости, перпендикулярной линиям одно-
19
родного магнитного поля с индукцией
B
R
x
B
R
замкнуты гибким проводом на сопротивление
щимся вне поля. Определить требуемую мощность
перемещения проводника с постоянной скоростью
i
0, 2B = Тл. Концы проводника
0
0,45R = Ом, находя-
P внешних сил для
3v = м/с.
0
0
v
0
l
vdt
0
Рис. 1.7
Решение. При перемещении проводника индуцируемая в нем
ЭДС электромагнитной индукции
ddS
eBBlv
=- =- =- ,
dBdSBlvdt ==
где
щадь
000
dS , пересекаемую активной частью проводника длиной l за не-
– элементарный магнитный поток через пло-
который малый промежуток времени
Согласно закону Ома для полного контура цепи имеем
dt dt
000
dt
.
iR e B lv==- ,
00
отсюда индукционный ток в контуре
lv
00
i
=- .
Мощность внешних сил будет равна мощности, выделяемой в сопротивлении на его нагрев:
Blv
00
R
2
(0,2 0, 25 3)
20
◊◊
0, 45
()
2
PiR
== = =
2
0,05
Вт.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]